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解析几何初步复习(直线与圆)


一、知识框架
直线与直线方程

直线的倾斜角和斜率 直线的方程 两直线的位置关系

直 线 与 圆 的 方 程

线性规划及应用 求曲线方程 圆的标准方程 圆与圆方程 圆的一般方程 圆的参数方程

直线与圆、圆与圆的位置关系

1、直线的倾斜角 倾斜角的取值范围是

r />
0 ? ? ? 180 .
? ?

2、直线的斜率
k ? tan? , (? ? 90? )

意义:斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于x轴的 倾斜程度。 直线的斜率计算公式:即 k ?

y ?y x ?x
2 2

1

1

若直线l的斜率存在, 则方向向量为(1, k )

直线法向量 n ? (?k ,1)

基本要素练习
1、A(-2,1),B(2,2),直线 mx+y-m+1=0与线段AB相交, 则m的取值范围___________.
2 [? ,?? ) ? (?? ,3] 3

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基本要素注意点
1、倾斜角为90°的直线没有斜率。 2、斜率与倾斜角之间的变化关系, 参照正切函 数单调性。 3、注意倾斜角取值范围。

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直线方程的形式:
形式 条件 方程 应用范围

点斜式

过点( x0,y0), 斜率为k

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

k存在 k存在
k存在 且k ? 0
k存在且 ? 0 且不过原点

斜截式 在y轴上的截距为b, 斜率为k 两点式 过P1(x1, y1), P2(x2, y2)

y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

截距式 在y轴上的截距为b, 在x轴上的截距为a 一般式

x y ? ? 1. a b
Ax ? By ? C ? 0

任何直线

方程练习
1、若直线ax+by+c=0在第一、二、四象限,则 有( D ) A.ac>0,bc>0 C.ac<0,bc>0 B.ac>0,bc<0 D.ac<0,bc<0

2、已知直线被坐标轴截得线段中点是(1,-3), 3x-y-6=0 则直线的方程是 ___________ . 3、过点(-2, -3),且与x轴、y轴的截距相 3x-2y=0或x+y+5=0 等的直线方程是_________________.
返回

方程注意点
1、特殊形式的方程都有一定的限制条件。
2、解题时应根据实际情况选用合适的形 式以利解题。 3、当我们决定选用某一特殊形式的方程 时,而又不知道其是否满足限制条件, 应加以讨论,或用特殊形式的变式。
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点与直线
1、点与直线的位置关系
2、点关于直线对称的点坐标

3、直线关于点对称的直线方程
4、点到直线的距离

练习

点与直线练习
1、已知直线 l1 : A 1x ? B 1 y ? 1和 l2 : A 2 x ? B2 y ? 1

相交于点P(2,3),则过点 P 1( A 1, B 1 ), P 2(A 2 , B2 )的直线 2x+3y=1 方程为 _.
2、点P(2,5)关于直线x+y=1的对称点的坐标是( A )

A(-4,-1) B(-5,-2) C(-6,-3) D(-4,-2)
3、已知△ABC的一个顶点为A(3,-1),∠B被y轴平分,∠C 被直线y=x平分,则直线BC的方程是 ( A )

A.2x-y+5=0 B.2x-y+3=0 C.3x-y+5=0 D.x+2y-5=0
4、已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1 ,则 2 ?1 a等于 ___ 返回

1.平行
直线l1与l2的平行充要条件是 k1=k2 且b1=b2.

2.垂直
即l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1

注意:特殊情况

直线中有斜率不存 在—解决方案:画图 解决

4.交点
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 若方程组? 有唯一解( x0 , y0 ) ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

直线l1与l2相交于点 ( x0 , y0 )

5.点到直线的距离
d? Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2

平行直线间距离
d? C1 ? C2 A2 ? B 2

两直线特殊位置关系练习
1、如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0 平行,则a=( B )
A.-3 B.-6 C.
3 ? 2

2 D. 3

2、若直线 x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直, 则a=( ) A

A.

2 ? 3

B.

2 3

3 ? C. 2

3 D. 2

返回

两直线相交相关练习

1、光线自右上方沿直线y=2x-1射到x轴上一点M, 被x轴反射,则反射光线所在直线的方程是 y=-2x+1 ________________ . 2、△ABC的三个顶点是A(0,3),B(3,3),C(2, 0),直线:x=a将△ABC分割成面积相等的两部分, 则a的值是___ 3

返回

y

一般地,二元一次不等式:Ax+By+C>0

y ? kx ? b
o x

? y ? kx ? b(或y ? kx ? b)
解决线性规划问题的图解法的一般步骤: 1.根据题意列表; 2.找出x,y满足的不等式组; 3.由线性约束条件画出可行域;

y ? kx ? b

4.令z=0,再利用平移法找到最优解所对应的点; 5.求出最优解所对应点的坐标,代入z中,即得目标函数的最 大值和最小值.

例题
1、经过点P(1,2),引一条直线使它与两点(2,3), (4,-5)距离相等,求这条直线方程. 2、已知一直线l过点(2,3),被两平行线3x+4y-7= 0与3x+4y+8=0所截得的线段长为3 2 。求直线方程。

3、过点P(2,1)作直线l分别交x轴的正半轴和y轴的正 半轴于点A、B,当△AOB(O为原点)的面积S最小时, 求直线l的方程,并求出S的最小值.
题1解:直线方程为3x+2y-7=0或4x+y-6=0 题2解:直线方程为x-7y+19=0或7x+y-17=0

题3解:直线l的方程为x+2y-4=0,此时S最小为4.

概念题
如果直线l沿x轴负方向平移3个单位,再沿y轴正 方向平移一个单位后,又回到原来位置,那么直 1 ? 线l的斜率为___。 3 ? 已知P1(x1,y1)、P2(x2,y2)分别是直线l上和直线l外 的点,若直线l的方程是f(x,y)=0,则方程f(x,y)f(x1,y1)-f(x2,y2)=0,表示( C) A。与l重合的直线 B。过P1且与l垂直的直线 C。过P2且与l平行的直线 D。不过P2但与l平行的直线
?

1.曲线与方程
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程 的解;

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,

2.求曲线方程
(1)建立适当的坐标系,用 (x,y) 表示曲线上任意一 点M的坐标;
(2)用坐标x,y表示关系式,即列出方程f(x,y)=0; (3)化简方程 f(x,y)= 0;

(4)验证x、y的取值范围。

圆的标准方程
( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

圆的一般方程
x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

圆的参数方程
?x ? a ? r cos ? ? ? ? y ? b ? r sin ?

例 1. 已知⊙ C : (x-1)2+(y-2) 2=2 , P(2,-1) , 过P作⊙C的切线,切点为A、B。
(1)直线PA、PB的方程; (2)求过P点⊙C切线的长;
y

2 A 1B - O 1 2 ? P 1 1

C?

x

解:


( 1 )由题知切线斜率存在 设方程为: y ? 1 ? k ( x ? 2)

即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0.
?k ?3 1? k
2

? 2

? k ? 6k ? 7 ? 0
2

解得 k ? 7 或 k ? ?1.
故所求切线方程为: y ? 1 ? 7( x ? 2) 或 y ? 1 ? ?( x ? 2)

即 7x ? y ? 15 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .

例1.已知⊙C:(x-1)2+(y-2) 2=2,P(2,-1),过P作⊙C的切线,切 点为A、B。 (2)求过P点⊙C切线的长;
2 1 -1 O -1
2

y

C?

A
x
?

(2) ? | PC | ? (1 ? 2)2 ? (2 ? 1)2 ? 10

B 1 2

| CA | ? 2
2 2

P

? 在Rt△PCA 中, PA ? PC ? CA ? 10 ? 2 ? 8

? | PA | ? 2 2

? 过P点⊙C 的切线长为2 2.

例 2 、已知圆 O′的圆心在 y轴上,截直线 l1: 3x+4y+3=0 所得弦 长为8,且与直线l2:3x-4y+37=0相切,求圆O′的方程。 l1 A 解: ?圆O?的圆心在y轴上 C

? 设圆的方程为x ? ( y ? b ) ? r ,
2 2 2

B O′

其中O( ? 0 ,b),半径为r,
设 l1与圆O?交于A、B两点,则 AB ? 8 , 的中点(如图),在 Rt△O? AC中, O?C ?
? 4b ? 3 ? 2 ? ? ? ? 16 ? r ?① ? 5 ? ? ? ? 4b ? 37 ? ? r ?② 又 圆O?与 l2相切 5
2

l2

过圆O? 作O? C ? l1于C,则C为弦AB

4b ? 3 5

, O? A ? r

解由①②组成的方程组 得:b ? 3 ,r ? 5
?圆O? 的方程为x2 ? ( y ? 3)2 ? 25 .

例1、求经过A(2,?1), 和直线x ? y ? 1相切,且圆心 在直线y ? ?2 x上的圆的方程。

y

解:设圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

圆心在直线 y ? ?2 x上
? b ? ?2a (1)
O
C
?

?

A

x

又经过点A(2,?1) ?(2 ? a)2 ? (?1 ? b)2 ? r 2 (2)

因为圆与直线 x ? y ? 1相切 | a ? b ?1 | ? ? r (3) 2
由(1)(2)(3)得:a ? 1, b ? ?2, r ? 2

k AC ?

b ?1 ? ?1 a?2

1? a ? b ? ? r (3) 2

?所求圆的方程是 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

例3、求经过A(2,?1), 和直线x ? y ? 1相切,且圆心 在直线y ? ?2 x上的圆的方程。

y

解:设圆心坐标为 (a,?2a)
O
?

| a ? 2a ? 1 | 则由题意知: (a ? 2) ? (?2a ? 1) ? 2
2 2

C

?

A

x

解得a ? 1
?圆心坐标为 (1,?2),半径为 2

?所求圆的方程是 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

例3、求经过A(2,?1), 和直线x ? y ? 1相切,且圆心 在直线y ? ?2 x上的圆的方程。

y

解:设圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

以A为切点的圆的切线方程 是:
(2 ? a)(x ? a) ? (?1 ? b)( y ? b) ? r
2

O
C
?

?

A

x

? (2 ? a) x ? (1 ? b) y ? a 2 ? 2a ? b2 ? b ? r 2 ? 0

即与x ? y ? 1是同一直线

2 ? a ? 1 ? b 2a ? a 2 ? b 2 ? b ? r 2 ? ? ? 1 1 1 又b ? ?2a
解得:a ? 1, b ? ?2, r ? 2
?所求圆的方程是 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

练习:圆的方程是( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1, P是 直线x ? y ? 1 ? 0上任意点,经过P作圆的切线, 求切线长的最小值以及相应P点坐标。
解: | PA |2 ?| PC |2 ? | AC |2 ?| PC |2 ?1
y
C?

?当 | PC | 最小时, | PA | 也最小
| PC |min ? | 2 ?1?1| ?2 2 1?1

A
O

x

? | PA |min ? 7
此时lPC : x ? y ?1 ? 0
? P(0,?1)

P?

例4. 已知圆满足:( 1 )截y轴所得弦长为2;(2)被x轴分成两段 圆弧,其弧长的比为3 ∶ 1;(3)圆心到直线l:x ? 2 y ? 0的距离为 求该圆的方程。 5 , 5

解:令圆心坐标为( a,b),半径为r,
则r2 ? 12 ? a2 ①


y

由( 2)知 ?ACB ? 90? ? r ? 2 b a ? 2b 5 由( 3 )? 2 ? 5 1 ? (?2)2

1

r

C
|b|

|a |

.

r
B
x

oA

? a ? 2b ? 1 ③

联立①②消去 r

? 2b2 ? a2 ? 1



?a ? 2b ? 1 ?a ? 2b ? ?1 ③④ ? ? 2 (Ⅰ)或? 2 (Ⅱ) 2 2 ?2b ? a ? 1 ?2b ? a ? 1

例4. 已知圆满足:( 1 )截y轴所得弦长为2;(2)被x轴分成两段 圆弧,其弧长的比为3 ∶ 1;(3)圆心到直线l:x ? 2 y ? 0的距离为 求该圆的方程。 5 , 5

?a ? 2b ? 1 ?a ? 2b ? ?1 ③④ ? ? 2 (Ⅰ)或? 2 (Ⅱ) 2 2 ?2b ? a ? 1 ?2b ? a ? 1
解(Ⅰ)b ? ?1, a ? ?1, r ? 2b ? 2

解(Ⅱ) b ? 1, a ? 1, r ? 2b ? 2
综上所述:所求圆的方 程为
2 2 (x ? 1 ) ? (y ? 1 ) ?2 2 2 或(x ? 1 ) ? (y ? 1 ) ?2

例5 已知与曲线 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的直线 l
分别交x 轴、y轴于 A、B 两点,O 为坐标原点, B | OA |? a , | OB |? b (a ? 2,b ? 2) .
y

(1) 求证: (a ? 2)(b ? 2) ? 2 ; (2) 求线段 AB 中点的轨迹方程; (3) 求 ?AOB 面积的最小值 .

2 1 -1 O -1 1 2 A
x

y x b?2) ( 1 ) 由已知可设直线 l : ? ? 1 (a ? 2 , 解: a b ? 直线 l : bx ? ay ? ab ? 0 与圆 C相切
| a ? 1 ? b ? 1 ? ab | ? ?1 2 2 a ?b

即 (a ? b ? ab)2 ? a2 ? b2 ? 2 ? 2(a ? b) ? ab ? 0

? (a ? 2)(b ? 2) ? 2 .

例5 已知与曲线 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的直线 l
分别交x 轴、y轴于 A、B 两点,O 为坐标原点, B | OA |? a , | OB |? b (a ? 2,b ? 2) . (1) 求证: (a ? 2)(b ? 2) ? 2 ; 2
y

(2) 求线段 AB 中点的轨迹方程;
(2) 设线段 AB 的中点 M(x , y) ,则

1 -1 O -1 1 2 A
x

即 a ? 2x , b ? 2y 将它代入 (a ? 2)(b ? 2) ? 2

由中点坐标公式得: x ? a?0, y ? 0?b 2 2

得( 2x ? 2)(2 y ? 2) ? 2 1 ?(x ? 1)( y ? 1) ? ( x ? 1 ,y ? 1) 2

即为所求线段 AB中点的轨迹方程.

例5 已知与曲线 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的直线 l
分别交x 轴、y轴于 A、B 两点,O 为坐标原点, y | OA |? a , | OB |? b (a ? 2,b ? 2) . B

(1) 求证: (a ? 2)(b ? 2) ? 2 ; (2) 求线段 AB 中点的轨迹方程; (3) 求 ?AOB 面积的最小值 .
(3) S?AOB ? 1 | OA || OB | ? 1 ab 2 2

2 1 -1 O -1 1 2

A

x

由 (a ? 2)(b ? 2) ? 2 得 ab ? 2a ? 2b ? 2

?ab ? 2(a ? b) ? 2 ? 4 ab ? 2
? ab ? 6 ? 2 2

当且仅当 a ? b ? 2 ? 2时 ? (S?AOB )min ? 2 2 ? 3 .

例 6. 已知圆 C : (x-1)2+(y-2)2=25 ,直线 l : ( 2m+1 ) x+(m+1)y-7m4=0(m∈R). (1)求证:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点; (2)求直线l与圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程. 解:(1)圆心(1,2)到直线l的距离为: | 3m ? 1 | | (2m ? 1) ? 2(m ? 1) ? 7m ? 4 | ? d? 2 2 5m 2 ? 6m ? 2 (2m ? 1) ? (m ? 1) | 3m ? 1 | 要证: ?5 2 5m ? 6m ? 2 ? (3m ? 1)2 ? 25(5m2 ? 6m ? 2)
? 29m2 ? 36m ? 12 ? 0

? ? ? 362 ? 4 ? 29?12 ? 0

? 29m2 ? 36m ? 12 ? 0显然成立
?对任意实数 m,直线l 与圆恒交于两点 .

图形分析

例 6. 已知圆 C : (x-1)2+(y-2)2=25 ,直线 l : ( 2m+1 ) x+(m+1)y-7m4=0(m∈R).
(1)求证:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;

(2)求直线l与圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程.
解: ( 1 )将直线l的方程变形得 (2 x ? y ? 7)m ? ( x ? y ? 4) ? 0 ,

?2x ? y ? 7 ? 0 ?x ? 3 ?? . 对任意实数 m,方程成立 . ?? ?x ? y ? 4 ? 0 ?y ? 1

?对任意实数 m,直线 l 恒守定点A( 3, 1 ) .
又 AC ? 5 ? 5

? A在圆C内

?对任意实数 m,直线l 与圆恒交于两点 .

例 6. 已知圆 C : (x-1)2+(y-2)2=25 ,直线 l : ( 2m+1 ) x+(m+1)y-7m4=0(m∈R).
(1)求证:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;

(2)求直线l与圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程. (2)由平几知识可得, l 被圆截得最短的弦是与 直径AC垂直的弦 . y ? k AC ? 2 ? 1 ? ? 1 ?kl ? 2 1? 3 2 ?直线 l:y ? 1 ? 2( x ? 3)

即 2 x ? y ? 5 ? 0 为直线 l被圆截的 线段最短时的直线方程 .
此时圆心C(1 , 2)到直线 2x ? y ? 5 ? 0 的距离为 | 2 ?1 ? 1? 2 ? 5 | | CA |? ? 5 2 2 2 ? (?1)

.C
o

.A
B

D
x

最短弦长为| BD |? 2 | AB |? 2 25 ? 5 ? 4 5.


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