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专题4 立体几何(11)


课时强化训练(十一) 一、选择题 1.(2013· 合肥质检)下图几何体的正视图和侧视图可能正确的是(

)

A

B

C

D

解析:本题考查学生的空间想象能力,关键要想象出侧视图. 答案:A 2.(2013· 辽宁联考)用若干个大小相同,棱长为 1 的

正方体摆成一个立体模型,其三视 图如图所示,则此立体模型的表面积为( )

A.24 B.23 C.22 D.21 解析:这个空间几何体是由两部分组成的,下半部分为四个小正方体、上半部分为一个 小正方体,结合直观图可知,该立体模型的表面积为 22. 答案:C 3. (2013· 银川模拟)若某几何体的三视图(单位: cm)如图所示, 则此几何体的体积是( )

A.36 cm3 B.48 cm3 C.60 cm3 D.72 cm3 解析: 依题意得知, 该几何体的上半部分是一个长为 4 cm, 宽和高均为 2 cm 的长方体, 下半部分是一个侧着放的直四棱柱, 其高为 4 cm, 其底面是一个上底为 2 cm, 下底为 6 cm, 1 高为 2 cm 的等腰梯形,故该几何体的体积 V=4×2×2+ ×(2+6)×2×4=48 cm3,故选 2 B.

答案:B 4.(2013· 洛阳统考)一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)如图所示,则该几何 体的表面积是( )

A.20+4π B.24+4π C.20+3π D.24+3π 解析: 由三视图可知该几何体为一个正方体和一个半圆柱的组合体, 且正方体的棱长为 1 2,半圆柱的底面半径为 1,母线长为 2,所以该几何体的表面积为 2×2×5+2×π+2× π 2 =20+3π 答案:C 5.(2013· 广东卷)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( )

14 16 A.4 B. C. D.6 3 3 解析: 由三视图可得该棱台有一条长为 2 的侧棱垂直于底面, 且上下底面分别是边长为 1 14 1 和 2 的正方形,所以体积为 ×2(1+4+2)= ,所以选 B. 3 3 答案:B 6.(2013· 河北质检)已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 3 2,则这个四棱锥的外接 球的表面积为( ) A.12π B.36π C.72π D.108π 1 ?2 解析: 依题意得, 该正四棱锥的底面对角线长为 3 2× 2=6, 高为 ?3 2?2-? ?2×6? =3,因此底面中心到各顶点的距离均等于 3,所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形 的中心,其外接球的半径为 3,所以其外接球的表面积等于 4π×32=36π,选 B. 答案:B 二、填空题 7.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面,则该圆锥的体积为________. 解析:因为半圆的面积为 2π,所以半圆的半径为 2,底面圆的周长为 2π,所以圆锥的 3 母线长为 2,底面圆的半径为 1,所以圆锥的高为 3,体积为 π. 3 3 答案: π 3 8.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥 A- BB1D1D 的体积为__________cm3.

解析:由题意知,四边形 ABCD 为正方形,连接 AC,交 BD 于 O,则 AC⊥BD,由面 面垂直的性质定理,可证 AO⊥面 BB1D1D.四棱锥底面 BB1D1D 的面积为 3 2×2=6 2cm2, 1 从而 VA-BB1D1D = ×OA× S BB1D1D =6 cm3. 3 答案:6 9.如图,AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱,BC=2.若 AD=2c,且 AB+BD = AC + CD = 2a , 其 中 a 、 c 为 常 数 , 则 四 面 体 ABCD 的 体 积 的 最 大 值 是

__________. 解析:过点 B 在平面 BAD 中作 BE⊥AD,垂足为 E,连接 CE,因为 BC⊥AD,所以 AD 1 ⊥平面 BCE, 所以四面体 ABCD 的体积为 S△BCE· AD, 当△BCE 的面积最大时, 体积最大. 因 3 为 AB+BD=AC+CD=2a,所以点 B、C 在一个椭圆上运动,由椭圆知识可知当 AB=BD 1 = AC = CD = a 时 , BE = CE = a2-c2 为 最 大 值 , 此 时 截 面 △ BCE 面 积 最 大 , 为 2 1 2 c ×2 a2-c2-1= a2-c2-1, 此时四面体 ABCD 的体积最大, 为 S△BCE· AD= · a2-c2-1. 3 3 2c 答案: · a2-c2-1 3 三、解答题

10. (2013· 新课标全国卷Ⅰ)如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, CA=CB, AB=AA1, ∠BAA1 =60° . (1)证明:AB⊥A1C; (2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值. 解析:(1)取 AB 的中点 O,连接 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB, 所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1, ∠BAA1=60° , 故△AA1B 为等边三角形, 所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C?平面 OA1C,故 AB⊥A1C.

(2)由(1)知 OC⊥AB,OA1⊥AB. 又平面 ABC⊥平面 AA1B1B,交线为 AB, 所以 OC⊥平面 AA1B1B, 故 OA,OA1,OC 两两相互垂直. → → 以 O 为坐标原点,OA的方向为 x 轴的正方向,|OA|为单位长,建立如图所示的空间直 角坐标系 O-xyz. 由题设知 A(1,0,0),A1(0, 3,0),C(0,0, 3),B(-1,0,0). → → → → 则BC=(1,0, 3),BB1=AA1=(-1, 3,0),A1C=(0,- 3, 3). 设 n=(x,y,z)是平面 BB1C1C 的法向量, → ? BC=0, ?n· ?x+ 3z=0, 则? 即? → ?-x+ 3y=0. ? BB1=0. ?n· 可取 n=( 3,1,-1). → n· A1C 10 → 故 cos〈n,A1C〉= =- . 5 → |n||A1C| 所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 10 . 5

11.(2013· 长春调研)如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,∠ABC =90° ,PD⊥平面 ABCD,AD=1,AB= 3,BC=4. (1)求证:BD⊥PC; (2)当 PD=1 时,求此四棱锥的表面积. 解析:(1)证明:由题意可得 DC=2 3,BD2=AD2+AB2=4,则 BC2=DB2+DC2,∴ BD⊥DC. ∵PD⊥平面 ABCD, ∴BD⊥PD,而 PD∩CD=D, ∴BD⊥平面 PDC. ∵PC?平面 PDC,∴BD⊥PC. (2)∵PD⊥平面 ABCD, ∴PD⊥AB,而 AB⊥AD,PD∩AD=D, ∴AB⊥平面 PAD, ∴AB⊥PA,即△PAB 是直角三角形. ∵PA= PD2+AD2= 2, 1 1 6 ∴SRt△PAB= AB· PA= × 3× 2= . 2 2 2 过点 D 作 DH⊥BC 于点 H,连接 PH,则同理可证明 PH⊥BC,且 DH=AB= 3,

则 PH= PD2+DH2= 12+? 3?2=2. 1 1 故 S△PBC= BC· PH= ×4×2=4. 2 2 1 1 1 易得 SRt△PDA= AD· PD= ×1×1= . 2 2 2 1 1 SRt△PDC= DC· PD= ×2 3×1= 3. 2 2 1 1 5 3 S 梯形 ABCD= (AD+BC)· AB= ×(1+4)× 3= . 2 2 2 故此四棱锥的表面积 S=SRt△PAB+SRt△PAD+SRt△PDC+S△PBC+S 梯形 ABCD= 6 1 + + 3+4+ 2 2

5 3 9+7 3+ 6 = . 2 2 12.(2013· 哈尔滨模拟)如图所示,在四棱锥 S-ABCD 中,AB⊥AD,AB∥CD,CD= 3AB,平面 SAD⊥平面 ABCD,M 是线段 AD 上一点,AM=AB,DM=DC,SM⊥AD.

(1)证明:BM⊥平面 SMC; V1 (2)设三棱锥 C-SBM 与四棱锥 S-ABCD 的体积分别为 V1 与 V,求 的值. V 解析: (1)证明: ∵平面 SAD⊥平面 ABCD, 平面 SAD∩平面 ABCD=AD, SM?平面 SAD, SM⊥AD, ∴SM⊥平面 ABCD. ∵BM?平面 ABCD,∴SM⊥BM. ∵四边形 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,AM=AB,DM=DC, ∴△MAB,△MDC 都是等腰直角三角形, ∴∠AMB=∠CMD=45° , ∴∠BMC=90° ,∴BM⊥CM, ∵SM?平面 SMC,CM?平面 SMC,SM∩CM=M, ∴BM⊥平面 SMC. (2)三棱锥 C-SBM 与三棱锥 S-CBM 的体积相等,由(1)知,SM⊥平面 ABCD, 1 1 SM× BM×CM 3 2 V1 故 = , V 1 1 SM× ?AB+CD?×AD 3 2 设 AB=a,由 CD=3AB,AM=AB,DM=DC,得 CD=3a,BM= 2a,CM=3 2a, 2a×3 2a 3 V1 AD=4a,从而 = = . V ?a+3a?×4a 8


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