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高中数学必修二1.3空间几何体的表面积与体积


中心投影 投影

投影线交于一点

直观强、接近实物 斜投影 正投影

平行投影 投影线平行
正视图 侧视图 俯视图

不改变原 物形状

?

三视图

视图 直观图

长对正、高平齐、宽相等 根据三视图,我们可以得 到一个精确的空间几何体

斜二测画法

可以根 据直观 图的结 构想象 实物的 形象

1、表面积:几何体表面的面积 2、体积:几何体所占空间的大小。

在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,您 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗?

几何体表面积

展开图

平面图形面积
平面问题

空间问题

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图 形围成的几何体,它们的展开图是什么? 如何计算它们的表面积?

棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

h

正棱柱的侧面展开图

S表面积 ? S侧 ? 2S底

棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

正棱锥的侧面展开图

侧面展开

h'

h'
正棱锥的侧面展开图

S表面积 ? S侧 ? S底

棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

侧面展开
h'

正棱台的侧面展开图

h'

S表面积 ? S侧 ? S上底 ? S下底

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成 的几何体,它们的侧面展开图还是平面图形,计 算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底 面面积之和.

例1.已知棱长为 a,各面均为等边三角形的四面体 S-ABC,求它的表面积 . 分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成. 交BC于点D. 解:过点S作 SD ? BC ,

∵ BC ? a , SD ? SB 2 ? BD 2 ? a 2 ? ( )2 ?
S A B D C
? S?SBC

a 2

3 a 2

1 1 3 3 2 ? BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4

因此,四面体S-ABC的表面积为
S ? 4? 3 a ? 3a 2 2

r O?
l
O
圆柱的侧面展开图是矩形
2? r

S表面积 ? S侧 ? 2S底

S圆柱侧 ? S长方形 2?rl = 2 S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r ( r ? l )

S ? ? r ? ? rl ? ? r (r ? l )
2

2?r

l
圆锥的侧面展开图是扇形

r

O

参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台的 侧面展开图是什么 .

r 'O’
l

2?r '

S ? ? ( r ? r 2 ? r ' l ? rl )
'2

2?r

r

O

圆台的侧面展开图是扇环

S ? ? ( r ? r 2 ? r ' l ? rl )
'2

r' x ? r x?l
x

r 'O’
l

2?r '

2?r

rx ? r ' x ? r 'l

r

O

S



? ? r(l ? x) ? ? r ' x ? ? (rl ? rx ? r ' x)
? ? ( r ' l ? rl )

圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?

S ? ? r 2 ? ? rl ? ? r (r ? l )

S ? ? (r ? r ? r l ? rl )
'
2

2

'

l

r

r 'O’
r
O?

O

l
l

r

O

O

S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r (r ? l )
2

小结:1、弄清楚柱、锥、台的侧面展 开图的形状是关键; 2、对应的面积公式
圆锥:S ? ? r 2 ? ? rl ? ? r (r ? l )

r1=0
圆台:S

? ? (r ? r ? r l ? rl )
'2 2 '

r1=r2
圆柱:S ? 2? r 2 ? 2? rl ? 2? r ( r ? l )

例2.如图,一个圆台形花盆盆口直径20cm,盆底直 径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长15cm.为 了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫 升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(取 ? ? 3.14, 结果精确到1毫升,可用计算器)? 解:花盆外壁的表面积:
S ? ? ? [( 15 2 15 20 1.5 ) ? ? 15 ? ? 15] ? ? ? ( )2 2 2 2 2
20cm

? 1000(cm 2 ) ? 0.1( m 2 )

15 cm
15 cm

涂100个花盆需油漆: 0.1 ? 100 ? 100 ? 1000 (毫升) 答:涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.

棱柱(圆柱)可由多边形(圆)沿某一方向得 到,因此,两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆 柱)应该具有相等的体积.

V柱体= sh

h

h

S

S

S

经探究得知,棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱) 1 的 ,即棱锥(圆锥)的体积:
3

1 V ? Sh(其中S为底面面积,h为高) 3

由此可知,棱柱与圆柱的体积公式类似,都是 底面面积乘高;棱锥与圆锥的体积公式类似,都是 1 等于底面面积乘高的 3 .

P

根据台体的特征,如何求台体的体积? A?

圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的
1 ' V ? ( S ? S ' S ? S )h 3 1 1 ' V ? V大 ? V小 ? S ( h ? x ) ? S x 3 3 1 ? [ Sh ? ( S ? S ' ) x ] 3
S' x2 ? ? S ( h ? x )2
S'

S?
B?

D?

C?

h
A

D

S

C
B
S' h S ? S'

x ? ? x? h? x S

1 1 S' ' V ? h[ Sh ? ( S ? S ) ] ? [S ? 3 3 S ? S'

SS ' ? S ' ]h

柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

V ? Sh

S' ? S

1 ' V ? ( S ? S ' S ? S )h 3

S' ? 0

1 V ? Sh 3

例3.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8 g / cm )六 角螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边形,边长为12mm, 内孔直径为10mm,高为10mm,问这堆螺帽大约有多少个 ? ( 取3.14,可用计算器)? 解:六角螺帽的体积是六棱柱的体积与 圆柱体积之差,即:
3 10 2 2 V? ?12 ? 6 ?10 ? 3.14 ? ( ) ?10 4 2

3

? 2956(mm3 ) ? 2.956(cm3 )

所以螺帽的个数为 5.8 ?1000 ? (7.8 ? 2.956) ? 252(个)
答:这堆螺帽大约有252个.

圆柱

S ? 2?r (r ? l ) r ? r?
r? ? 0

柱体、锥体、台体的表面积

圆台 S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl )

圆锥 展开图

S ? ?r (r ? l )

各面面积之和

柱体、锥体、台体的体积 柱体

V ? Sh

S ? S'
台体

1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

S'? 0

锥体

1 V ? Sh 3

人类的家--地球

怎样求球的体积和表面积?
球既没有底面,也无法像柱、锥、台体 一样展成平面图形,怎样求球的表面积和体 积呢?

H

h

S1

R

4 1 1 1 1 ? R3 ? V球 ? RS1 ? RS2 ? RS3 ? ? ? RS球面 3 3 3 3 3

S球面 ? 4? R2

4 3 V球 ? ? R 3

如图,圆柱的底面直经与高都等于球的直经 2R. 求证:(1) 球的体积等于圆柱体积的2/3; (2) 球的表面积等于圆柱的侧面积. 解:
4 V球 ? ? R3 ,V柱 ? ? R2 ? 2 R ? 2? R3 3

2 ? V球 ? V柱 3

S球 ? 4? R 2 , S 圆柱侧 =2? R ? 2 R ? 4? R 2

? S球 ? S

圆柱侧

小结:棱柱、棱锥和棱台的表面积 棱柱: S表面积 ? S侧 ? 2S底 棱锥: S表面积 ? S侧 ? S底
棱台: S表面积 ? S侧 ? S上底 ? S下底
球体的表面积: S

球面

? 4? R

2

球体的体积:

4 3 V球 ? ? R 3

圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式:

S ? ? r 2 ? ? rl ? ? r (r ? l )

S ? ? (r ? r ? r l ? rl )
'
2

2

'

l

r

r 'O’
r
O?

O

l
l

r

O

O

S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r (r ? l )
2

柱体、锥体、台体的体积公式:

上底扩大

上底缩小

V ? Sh

S' ? S

1 ' V ? ( S ? S ' S ? S )h 3

S' ? 0

1 V ? Sh 3

?作业:
A类:一、课本第28页习题1.3A组第1、 第2题(写在第二本作业上) 二、课本第28页练习题1、2、3 (第一本)
B类:导学案1.3(基础题必做,拓展问题可 选做)


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