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广东高考数学2007-2012年试题分类汇编(一)


广东高考数学 2007-2012 年试题分类汇编
(集合与简易逻辑)
理科 2007 5 2007 5 2008 5 2008 5 2009 5分 2009 5分 2010 10 分 2010 15 分 2011 5 2011 5 2012 5 2012 5

文科

1、(07年理1) 已知函数 f ( x) ?

/>M ?N ?(

1 的定义域为 M , g ( x) ? ln(1 ? x) 的定义域为,则 1? x
B.{x|x<1} C.{x|-1<x<1} D. ? )

) A.{x |x>-1}

2、(07 年文 1)已知集合 M ? {x 1 ? x ? 0},N ? {x A. {x ?1 ≤ x ? 1} B. {x x ? 1}

1 ? 0} ,则 M ? N ? ( 1? x

C. {x ?1 ? x ? 1} D. {x x ≥ ?1}

3、(08 年理 6)已知命题 p : 所有有理数都是实数,命题 q : 正数的对数都是负数,则下列命 题中为真命题的是( )A. (?p) ? q B. p ? q C. (?p) ? (?q) D. (?p) ? (?q) 4 、 (08 年 文 8) 命 题 “若 函 数 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在 其 定 义 域 内 是减 函 数 , 则

log a 2 ? 0 ”的逆否命题是(



A、若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内不是减函数 B、若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内不是减函数 C、若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数 D、若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数 5、(09 年理 1) 已知全集 U ? R ,集合 M ? {x ?2 ? x ? 1 ? 2} 和 N ? {x x ? 2k ? 1, k ? 1, 2,?} 的关系的韦恩(Venn)图如图 1 所示,则阴影部分所示的 集合的元素共有( ) A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 无穷多个
2

6、(09 年文 1)已知全集 U=R,则正确表示集合 M={—1,0,1}和 N={ x x ? 1 ? 0 }关系 的韦恩(Venn)图是( )

1

7、(10 年理 1)若集合 A={ x -2< x <1},B={ x 0< x <2}则集合 A ∩ A. { x -1< x <1} 8、(10 年理 5) “ m ? A.充分非必要条件 B. { x -2< x <1} C. { x -2< x <2}

B=(



D. { x 0< x <1} )

1 ”是“一元二次方程 x 2 ? x ? m ? 0 ”有实数解的( 4

B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分必要条件 ) D.

1 9、(10 年文 1)若集合 A ? ?0,1,2,3? , B ? ? ,2,4? 则集合 A ? B ? (
A.

?0,1,2,3,4?

1 B. ? ,2,3,4?
3 2

1 C. ? ,2?


?0?

10、(10 年文 8) “ x ? 0 ”是“ x ? 0 ”成立的( A.充分非必要条件 B.充分必要条件

C.必要非充分条件

D.非充分必要条

11、 (10 年文 10)在集合 ?a, b, c, d ? 上定义两种运算○和○如下 + * + ○

a
a
b

b
b

c
c
b

d
d

* ○

a a
a

b

c a
c

d

a
b

a
b

a
b

a
d

b b
b

b b
d
) C. c

c
d

c
d

c
b

c
d

a a

c
d

c a

a
d

那么 d ○ ( a ○ c ) ? ( * + A. a B. b

D. d

12、(11 年文理 2)已知集合 A ?

?? x, y ?

∣ x, y 为实数,且 x ? y ? 1 , B ?
2 2

?

?? x, y ? x, y

为实数,且 y ? x? ,则 A ? B 的元素个数为( 13、(11 年理 8)

)A.0 B.1 C.2

D.3

8.设S是整数集Z的非空子集, 如果?a, b ? S , 有ab ? S , 则称S关于数的乘法是封闭的 若T , V是Z . 的两个不相交的非空子集, T ? V ? Z .且?a, b, c ? T , 有abc ? T , ?x, y, z ? V , 有xyz ? V . 则下列结论恒成立的是 : A. T, V中至少有一个关于乘法是封闭 C. T, V中有且只有一个关于乘法是封闭
2

B.T, V中至多有一个关于乘法是封闭 D.T, V中每一个关于乘法是封闭

14、(12 年文理 2)设集合 U ? {1, 2,3, 4,5,6} , M ? {1, 2, 4} , 则 CU M =( A .U B. {1,3,5} C. {3,5,6}



D. {2, 4, 6}

广东高考数学 2007-2012 年试题分类汇编
(函数)
理科 2007 24 分 2007 24 分 2008 19 分 2008 17 分
3

2009 5分 2009 10 分

2010 24 分 2010 24 分

2011 15 分 2011 15

2012 19 2012 24


文科

1、(07 年文理 3)若函数 f ( x) ? x ( x ? R ) ,则函数 y ? f (? x) 在其定义域上是( A.单调递减的偶函数 C.单调递增的偶函数 B.单调递减的奇函数 D.单调递增的奇函数

2、(07 年文理 5)客车从甲地以 60km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地,在乙地停留了半 小时,然后以 80km/h 的速度匀速行驶 1 上时到达内地.下列描述客车从甲地出发,经过乙 地,最后到达丙地所经过的路程 s 与时间 t 之间关系的图象中,正确的是( s(km)
160 140 120 100 80 60

) s(km)
160 140 120 100 80 60

s(km)
160 140 120 100 80 60

s(km)
160 140 120 100 80 60

4. ,故选(C)
0 1 2 3

t(h) 0

1

2

3

t(h)
2

0

1

2

3

t(h) 0

1

2

3

t(h)

A.

B.

C.

D.

3、(07 年文理 21)已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在区 间 [?11] 上有零点,求 a 的取值范围. , 4、(08 年理 7) 设 a ?R ,若函数 y ? e ? 3x , x ?R 有大于零的极值点,则(
ax



A. a ? ?3

B. a ? ?3

C. a ? ?

1 3

D. a ? ?

1 3

3

? 1 ,x ? 1 ? 5、(08 年理 19)设 k ?R ,函数 f ( x ) ? ?1 ? x , F ( x) ? f ( x) ? kx , x ?R ,试 ? ? x ? 1,x ≥ 1 ? 讨论函数 F ( x) 的单调性.
6、(08 年文 9)设 a ? R ,若函数 y ? e ? ax , x ? R ,有大于零的极值点,则(
x



A、 a ? ?1

B、 a ? ?1

C、 a ? ?

1 e

D、 a ? ?

1 e

7、(08 年文 17)某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、 每层 2000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费 用为 560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少 层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 购地总费用 ) 建筑总面积

( ) 8、(09 年文理 4)若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a a>0,且a ? 1 的反函数,且 f (2) ? 1 ,
x

则 f ( x) ? (



A. log 2 x

B.

1 2x

C. log 1 x
2

D.2 x?2

9、(09 年文 8)函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是(
x

) D. ? 2, ?? ?

A. ? ??, 2 ?

B. (0,3)

C. (1,4) )

10、(10 年文理 2)函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 的定义域是( A.(2, ?? ) B.(1, ?? )
x

C.[1, ?? )
?x x

D.[2, ?? )
?x

11、(10 年文理 3)若函数 f ( x) ? 3 ? 3 与 g ( x) ? 3 ? 3 的定义域均为 R ,则( A. f ( x) 与 g ( x) 均为偶函数 C. f ( x) 与 g ( x) 均为奇函数 B. f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数 D. f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数



12、 年文理 20)已知函数 f ( x) 对任意实数 x 均有 f ( x) ? kf ( x ? 2) , (10 其中常数 k 为负数, 且 f ( x) 在区间 ? 0, 2 ? 上有表达式 f ( x) ? x( x ? 2) .w_w w. k#s5_u.c o*m (1)求 f (?1) , f (2.5) 的值; (2)写出 f ( x) 在 ? ?3,3? 上的表达式,并讨论函数 f ( x) 在 ? ?3,3? 上的单调性; (3)求出 f ( x) 在 ? ?3,3? 上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值. w_w*w.k_s_5

4

13、(11 年文理 4)函数 f ( x) ? A. (??, ?1)

1 ? lg(1 ? x) 的定义域是( 1? x
C. (?1,1) ? (1, ??)

) D. (??, ??)

B. (1, ??)

14、(11 年文 10 理 8)设 f ( x), g ( x), h( x) 是 R 上的任意实值函数,如下定义两个函数

( f ? g )( x)和( f ? g )( x) : 对任意 x ? R,( f ? g )( x) ? f ( g ( x));( f ? g )( x) ? f ( x) g ( x), 则
下列等式恒成立的是( )

A. (( f ? g ) ? h)( x) ? (( f ? h) ? ( g ? h))( x) B. (( f ? g ) ? h)( x) ? (( f ? h) ? ( g ? h))( x) C. (( f ? g ) ? h)( x) ? (( f ? h) ? ( g ? h))( x) D. (( f ? g ) ? h)( x) ? (( f ? h) ? ( g ? h))( x) 15、(11 年文 12)设函数 f ( x) ? x cos x ? 1.若f (a) ? 11, 则f (?a) ? __________。.
3

16、(12 年理 4)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A. y ? ln( x ? 2) B. y ? ? x ? 1 ) C. y ? ( ) x

) D. y ? x ?

1 2

1 x

17、(12 年文 4) 下列函数为偶函数的是( A、y=sinx B 、y= x
3

C、 y= e

x

D、 y=ln

x2 ? 1

18、(12 年文 11)函数

的定义域为__________。
2

19、 年文理 21) a ? 1 , (12 集合 A ? {x ? R | x ? 0} ,B ? {x ? R | 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0} , (1)求集合 D (用区间表示) D ? A? B 。 (2)求函数 f ( x) ? 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6ax 在 D 内的极值点。
3 2

5

广东高考数学 2007-2012 年试题分类汇编
(导数)
理科 2007 5分 2007 5分 2008 17 分 2008 17 分 2009 19 分 2009 14 分 2010 14 分 2010 24 分 2011 14 分 2011 14 2012 19 2012 14
. )

文科

1、 (07 文理 12)函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是 2、(08 年理 7) 设 a ?R ,若函数 y ? e ? 3x , x ?R 有大于零的极值点,则(
ax

A. a ? ?3

B. a ? ?3
x

C. a ? ?

1 3

D. a ? ?

1 3


3、(08 年文 9)设 a ? R ,若函数 y ? e ? ax , x ? R ,有大于零的极值点,则( A、 a ? ?1 B、 a ? ?1 C、 a ? ?

1 e

D、 a ? ?

1 e

4、(09 年理 8)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲 车、乙车的速度曲线分别为 v甲和v乙 (如图 2 所示) .那么对于图中给定的 t0和t1 ,下列判断 中一定正确的是 A. 在 t1 时刻,甲车在乙车前面 C. 在 t 0 时刻,两车的位置相同 B. t1 时刻后,甲车在乙车后面 D. t 0 时刻后,乙车在甲车前面

5、(09 年文 21 理 20)已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线

y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x) 在 x ? ?1 处取得极小值 m ? 1(m ? 0) .设 f ( x) ?

g ( x) . x

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q(0, 2) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值; ( 2 ) k (k ? R) 如 何 取 值 时 , 函 数 y ? f ( x) ? kx 存 在 零 点 , 并 求 出 零 点.W.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6、(11 年文理 19)设 a ? 0, 讨论函数 f ( x) ? Inx ? a(1 ? a) x ? 2(1 ? a) x的单调性。
2

7、(11 年文 10 理 8)设 f ( x), g ( x), h( x) 是 R 上的任意实值函数,如下定义两个函数

( f ? g ) ( x) 和 ( f ?g ) ( x) :对任意 x? R , ( f ? g ) ( x) ? f ( g ( x)) ;

6

( f ?g ) ( x) ? f ( x) g ( x) ,则下列等式恒成立的是
A. ( ( f ? g )   ) ( x) ? ( ( f ? )  ( g ? ) ) ( x) h h ? h ?  B. ( ( f ?g )  h ) ( x) ? ( ( f ? h)   g ? h) ) ( x) ( ? ?  C. ( ( f ? g ) ? h ) ( x) ? ( ( f   )  ( g   ) ) ( x) ? g ? ?h D. ( ( f ?g )   ) ( x) ? ( ( f ?g )   g ? ) ) ( x) ( ?h ?  h 8、(12 年理 12)曲线 y ? x ? x ? 3 在点(1,3)处的切线方程为
3

广东高考数学 2007-2012 年试题分类汇编
(不等式)
理科 2007 2008 22 分 2007 5分 2008 17 分 2009 19 分 2009 14 分 2010 24 分 2010 2011 12 分 2011 14 2012 10 分 2012 14

文科

?2 x ? y ≤ 40, ? ? x ? 2 y ≤ 50, 1、 (08 年理 4)若变量 x,y 满足 ? 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值是() ? x ≥ 0, ? y ≥ 0, ?
A.90 2、 (08 年理 17) B.80 C.70 D.40

某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房。经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平 均建筑费用为 560 + 48x(单位:元) 。为了使楼房每平方米的平均综合费用最 少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费 用,平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积) 。

7

?2 x ? y ? 40, ? x ? 2 y ? 50, ? 3、 (08 年文 12)若变量 x,y 满足 ? 则 z=3x+2y 的最大 值是________。 x ? 0, ? ? y ? 0, ?
4、 (10 年文理 19)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含 12 个单 位的碳水化合物 6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水 化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营养 中至少 含 64 个单位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐?

5、 (11 年理 9)不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? 0 的解集是

.

?0 ? x ? 2 ? 6、 年理 5 文 6)在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ? 2 (11 给定。 ? ?x ? 2 y ???? ???? ? ON 若 M ( x, y) 为 D 上的动点,点 A 的坐标为 ( 2,1) ,则 z ? OM ? 的最大值为
A. 4 2 B. 3 2 C.4 D.3

? y?2 ? 7、 (11 年理文 5)已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?
A.12 B.11 C.3 D.-1

8

广东高考数学 2007-2012 年试题分类汇编答案
(集合与简易逻辑)
?1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 故选(C)2、C;3、D ;4、A;5、B;6、B;7、D;8、A;9、 ?1 ? x ? 0

1. ?

A;10、A;11、A;12、C;13、A;14、C;

广东高考数学 2007-2012 年试题分类汇编答案
(函数) 1、B;2、C; 3、 解:
若 a ? 0 , f ( x) ? 2 x ? 3 , f ( x) ? 0 ? x ? 则 令

3 不符合题意, 故 a ? 0 ? [?1,1] , 2

?? ? 4 ? 8a (3 ? a ) ? 0 ? 当 f ( x) 在 [-1,1]上有一个零点时,此时 ? 或 f (?1) ? f (1) ? 0 1 ??1 ? ? 2a ? 1 ?

?? ? 4 ? 8a (3 ? a ) ? 0 ? 1 ?3 ? 7 ? 解得 a ? 或 1 ? a ? 5 当 f ( x) 在[-1, 1]上有两个零点时, ? ?1 ? ? 则 ?1 2 2a ? ? f (?1) ? f (1) ? 0 ?
? ?3 ? 7 ?3 ? 7 或a ? ?a ? 2 2 ? ?3 ? 7 1 1 ? 解得 ? a ? ? 或a ? 即a ? 或a ? 5 2 2 2 ? ? a ? 1或a ? 5 ? ?
综上,实数 a 的取值范围为 (??,

?3 ? 7 ] ? [1, ??) 2

2 (别解: ax ? 2 x ? 3 ? a ? 0 ? (2 x ? 1)a ? 3 ? 2 x , 题意转化为 x ?[?1,1] 求 a ?
2 2

3 ? 2x 2x2 ?1

9

2 转化为勾函数问题) 7 t ? ?6 t ax 4 、 B ; 解 析 】 f '( x) ? 3 ? ae , 若 函 数 在 x ? R 上 有 大 于 零 的 极 值 点 , 即 【 f '( x) ? 3 ? aeax ? 0 有 正 根 。 当 有 f '( x) ? 3 ? aeax ? 0 成 立 时 , 显 然 有 a ? 0 , 此 时 1 3 x ? ln(? ) ,由 x ? 0 我们马上就能得到参数 a 的范围为 a ? ?3 . a a ? 1 x ? 1, ? 1 ? (1 ? x) 2 ? k , ? kx, x ? 1, ? ? F '( x) ? ? 5、 【解析】F ( x ) ? f ( x ) ? kx ? ?1 ? x ?? x ? 1 ? kx, x ? 1, ?? 1 ? k , x ? 1, ? ? 2 x ?1 ?
的值域,令 t ? 3 ? 2 x ?[1,5] 得 a ?

1 ? kx( x ? 1) ,当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 (??,1) 上是增函数; 1? x 1 1 当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 (??,1 ? ) 上是减函数,在 (1 ? ,1) 上是增函数; k k 1 对于 F ( x) ? ? ? k ( x ? 1) ,当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 ?1, ?? ? 上是减函数; 2 x ?1 1 ? 1 ? ? ? 当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 ?1,1 ? 上是减函数,在 ?1 ? , ?? ? 上是增函数。 2 ? 2 4k ? ? ? 4k ?
对于 F ( x) ?
x x 6、A; 【解析】题意即 e ? a ? 0 有大于 0 的实根,数形结合令 y1 ? e , y2 ? ?a ,则两曲线

交点在第一象限,结合图像易得 ?a ? 1 ? a ? ?1,选 A.

7、 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 f(x)元,则
f ? x ? ? ? 560 ? 48 x ? ? f ? ? x ? ? 48 ? 10800 , x2 2160 ?10000 10800 ? 560 ? 48 x ? ? x ? 10, x ? Z ? ? 2000 x x
令 f ?? x? ? 0 得

x ? 15

当 x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0

;当 0 ? x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0

因此 当 x ? 15 时,f(x)取最小值 f ?15 ? ? 2000 ; 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。
x ) 8、A; 【解析】函数 y ? a(a>0,且a ? 1 的反函数是 f ( x) ? log a x ,又 f (2) ? 1 ,即

log a 2 ? 1 ,所以, a ? 2 ,故 f ( x) ? log 2 x ,选 A

9、D;10、B;11、D;

12、解: (1)∵ f ( x) ? kf ( x ? 2) ,且 f (x) 在区间[0,2]时 f ( x) ? x( x ? 2)


f (?1) ? kf (?1 ? 2) ? kf (1) ? k ? 1 ? (1 ? 2) ? ?k



f ( x) ? kf ( x ? 2)



f ( x ? 2) ?

1 1 1 3 f ( x) ∴ f (2.5) ? f (0.5 ? 2) ? f (0.5) ? ? 0.5 ? (0.5 ? 2) ? ? k k k 4k
10

(2)若 x ? [0,2] ,则

x ? 2 ? [2,4] f ( x ? 2) ?

1 1 1 f ( x) ? x( x ? 2) ? [( x ? 2) ? 2][( x ? 2) ? 4] k k k 1 ∴ 当 x ? [2,4] 时 , f ( x) ? ( x ? 2)( x ? 4) 若 x ? [?2,0) , 则 x ? 2 ? [0,2) k



f ( x ? 2) ? ( x ? 2)[( x ? 2) ? 2] ? x( x ? 2) ∴ f ( x) ? kf ( x ? 2) ? kx( x ? 2)
若 x ? [?4,?2) ,则 x ? 2 ? [?2,0) ∴ f ( x ? 2) ? k ( x ? 2)[( x ? 2) ? 2] ? k ( x ? 2)( x ? 4) ∴ f ( x) ? kf ( x ? 2) ? k ( x ? 2)( x ? 4) ∵ (2,3] ? [2,4], [?3,?2) ? [?4,?2)
2

?k 2 ( x ? 2)( x ? 4), x ? [?3,?2) ? k x( x ? 2), x ? [?2,0) ? ∴当 x ? [?3,3] 时, f ( x) ? ? x( x ? 2), x ? [0,2] ? 1 ? ( x ? 2)( x ? 4), x ? (2,3] ? k
∵ k ? 0 ,∴当 x ? [?3,?2) 时, f ( x) ? k ( x ? 2)( x ? 4) , 由二次函数的图象可知, f (x) 为
2

增函数;当 x ? [?2,0) 时, f ( x) ? kx( x ? 2) ,由二次函数的图象可知,当 x ? [?2,?1) 时,

f (x) 为增函数,当 x ? [?1,0) 时, f (x) 为减函数;当 x ? [0,2] 时, f ( x) ? x( x ? 2) ,由
二次函数的图象可知,当 x ? [0,1) 时, f (x) 为减函数;当 x ? [1,2] 时, f (x) 为增函数; 当 x ? (2,3] 时, f ( x) ?

1 ( x ? 2)( x ? 4) ,由二次函数的图象可知, f (x) 为增函数。 k

(3)由(2)可知,当 x ? [?3,3] 时,最大值和最小值必在 x ? ?3 或 ? 1,1,3 处取得。 (可画 图分析)∵ f (?3) ? ?k , f (?1) ? ?k , f (1) ? ?1 , f (3) ? ?
2

1 ∴当 ? 1 ? k ? 0 时, k

1 y max ? f (3) ? ? , y min ? f (1) ? ?1; k
当 k ? ?1时, y max ? f (?1) ? f (3) ? 1, y min ? f (?3) ? f (1) ? ?1; 当 k ? ?1 时, y max ? f (?1) ? ?k , y min ? f (?3) ? ?k .
2

13、C;14、B;15、-9;16、A;17、D;18、 [?1,0) ? (0, ??) ; 19、 【解答】(1)对于方程 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 :
2

11

判别式 ? ? 9(1 ? a) ? 48a ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 因为 a ? 1 ,所以 a ? 3 ? 0
2

1 ? a ? 1 时, ? ? 0 ,此时 B ? ? ,所以 D ? ? ; 3 1 ② 当 a ? 时, ? ? 0 ,此时 B ? {x | x ? 1} ,所以 D ? (0,1) ? (1, ??) ; 3 1 2 当 a ? 时, ? ? 0 ,设方程 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 的两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,则 3
① 当

x1 ?

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) , x2 ? 4 4

B ? {x | x ? x1或x ? x2 }
③ 当0 ? a ?

1 3 时, x1 ? x2 ? (1 ? a) ? 0 , x1 x2 ? 3a ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 0 3 2

此时, D ? ( x, x1 ) ? ( x2 , ??)

? (0,

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) )?( , ??) 4 4

④ 当 a ? 0 时, x1 x2 ? 3a ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 0 此时, D ? ( x2 , ??) ? (
2

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) , ??) 4

(2) f ?( x) ? 6 x ? 6(1 ? a) x ? 6a ? 6( x ? 1)( x ? a) , a ? 1 所以函数 f ( x) 在区间 [ a,1] 上为减函数,在区间 (??, a] 和 [1, ??) 上为增函数

1 ? a ? 1 时,因为 D ? ? ,所以 f ( x) 在 D 内没有极值点; 3 1 1 ② 当 a ? 时, D ? (0,1) ? (1, ??) ,所以 f ( x) 在 D 内有极大值点 a ? ; 3 3 1 ③ 当 0 ? a ? 时, 3
① 当

D ? (0,

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) )?( , ??) 4 4

由0 ? a ?

1 ,很容易得到 3

a?

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) ?1? 4 4

(可以用作差法,也可以用分析法)所以, f ( x) 在 D 内有极大值点 a ;
12

④ 当 a ? 0 时, D ? (

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) , ??) 4

由 a ? 0 ,很容易得到 综上:当

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) ? 1 此时, f ( x) 在 D 内没有极值点。 4

1 ? a ? 1 或 a ? 0 时, f ( x) 在 D 内没有极值点; 3 1 当 0 ? a ? 时, f ( x) 在 D 内有极大值点 a 。 3

广东高考数学 2007-2012 年试题分类汇编答案
(导数)
?1 ? 1、 ? , ?? ? ;2、B;3、A;4、A; 【解析】由图像可知,曲线 v甲 比 v乙 在 0~ t 0 、0~ t 1 与 x ?e ?
轴所围成图形面积大,则在 t 0 、 t1 时刻,甲车均在乙车前面,选 A.
2
w.w .w.k. s.5.u .c.o. m

5、 (1) 解: 依题可设 g ( x) ? a( x ? 1) ? m ? 1 ( a ? 0 ), g ' ( x) ? 2a( x ? 1) ? 2ax ? 2a ; 则 又 g ? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行

? 2a ? 2

a ?1
g ? x? x
m 2 ) x0

? g ( x) ? ( x ? 1) 2 ? m ? 1 ? x 2 ? 2 x ? m , f ? x ? ?
2 2 2 2 设 P xo , yo ,则 | PQ | ? x0 ? ( y 0 ? 2) ? x0 ? ( x0 ?

? x?

m ?2, x

?

?

2 ? 2 x0 ?

m2 ? 2m ? 2 2m 2 ? 2m ? 2 2 | m | ?2m 2 x0
2 0

m2 2 当且仅当 2 x ? 2 时, | PQ | 取得最小值,即 | PQ | 取得最小值 2 x0
当 m ? 0 时, (2 2 ? 2)m ? 当 m ? 0 时, ( ?2 2 ? 2) m ? (2) y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ? 由

2 2

解得 m ?

2 ?1

解得 m ? ? 2 ? 1

m 得 ? 2 ? 0 ( x ? 0 ), ?1 ? k ? x 2 ? 2 x ? m ? 0 x

? *?

13

当 k ? 1 时,方程 ? *? 有一解 x ? ?

m m ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2

当 k ? 1 时,方程 ? *? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 若 m ? 0 , k ? 1?

? 2 ? 4 ? 4m(1 ? k ) 1 , 函 数 y ? f ? x ? ? kx 有 两 个 零 点 x ? ,即 2(1 ? k ) m

x?

1 ? 1 ? m(1 ? k ) 1 ;若 m ? 0 , k ? 1 ? , k ?1 m

函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?

1 ? 1 ? m(1 ? k ) ? 2 ? 4 ? 4m(1 ? k ) ,即 x ? ; 2(1 ? k ) k ?1

1 , 函数 y ? f ? x ? ? kx m 1 m 有一零点 x ? ? ?m 综上,当 k ? 1 时, 函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; k ?1 2 1 1 当 k ? 1? ( m ? 0 ) , 或 k ? 1? ( m ? 0 ) 时 , 函 数 y ? f ? x ? ? kx 有 两 个 零 点 m m
当 k ? 1 时,方程 ? *? 有一解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 ,

k ? 1?

x?

1 ? 1 ? m(1 ? k ) 1 1 ;当 k ? 1 ? 时,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ?m . k ?1 m k ?1

6、解:函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??). f ?( x) ?

2a(1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a) x ? 1 , x
? ? 1? ?. 3?

当 a ? 1时,方程2a(1-a)x ? 2(1 ? a) x ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 12(a ? 1) ? a ?
2

①当 0 ? a ? 时, ? ? 0, f ?( x) 有两个零点,

1 3

x1 ?

(a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 ? ? 0, x2 ? ? 2a 2a (1 ? a ) 2a 2a(1 ? a)

且当 0 ? x ? x1或x ? x2时, f ?( x) ? 0, f ( x)在(0, x1 )与( x2 , ??) 内为增函数; 当 x1 ? x ? x2时, f ?( x) ? 0, f ( x)在( x1 , x2 ) 内为减函数;

1 ? a ? 1时, ? ? 0, f ?( x) ? 0, 所以f ( x)在(0, ??) 内为增函数; 3 1 ③当 a ? 1时, f ?( x) ? ? 0( x ? 0), f ( x)在(0, ??) 内为增函数; x
②当 ④当 a ? 1时, ? ? 0, x1 ?

(a ? 1)(3a ? 1) 1 ? ? 0, 2a 2a (1 ? a )

14

x2 ?

(a ? 1)(3a ? 1) 1 ? ? 0, 所以f ?( x) 在定义域内有唯一零点 x1 , 2a 2a(1 ? a)

且 当 0 ? x ? x1时, f ?( x) ? 0, f ( x)在(0, x1 ) 内 为 增 函 数 ; 当 x ? x1 时 ,

f ?( x) ? 0, f ( x)在( x1 , ??) 内为减函数。

f ( x) 的单调区间如下表:

0?a?
(0, x1 )

1 3
( x1 , x2 )

1 ? a ?1 3
( x2 , ??)

a ?1
(0, x1 )
( x1 , ??)

(0, ??)

(其中 x1 ?

(a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 ? , x2 ? ? ) 2a 2a(1 ? a) 2a 2a(1 ? a)

7、(B) . .对 A 选项 ( ( f ? g )   ) ( x) ? ( f ? g ) ( x)h( x) ? f ( g ( x))h( x) h ? 

  ( ( f ?h)  ( g ?h) ) ( x) ? ( f ?h) ( ( g ?h)( x) ) ? ( f ?h) ( ( g ( x)?h( x) ) ? ? f ( g ( x)? ( x))h( g ( x)? ( x)) ,故排除 A h h
对 B 选项 ( ( f ?g )  h ) ( x) ? ( f ?g )(h( x)) ? f (h( x)) g (h( x)) ?

( ( ( f ? h)   g ? h) ) ( x) ? ( f ? h)( x)( g ? h)( x) ? f (h( x)) g (h( x)) ,故选 B ? 
对 C 选项 ( ( f ? g ) ? h ) ( x) ? ( f ? g )(h( x)) ? f ( g (h( x))) 故排 ?h ( ( f   )  ( g   ) ) ( x) ? ( f ? g )(( g   )( x)) ? ( f ? g )( g (h( x))) ? f ( g ( g (h( x)))) , ? g ? ?h 除 C 对 D 选项 ( ( f ?g )   ) ( x) ? ( f ?g )( x)h( x) ? f ( x) g ( x)h( x) ?h

( h ( ( f ?g )   g ?h) ) ( x) ? ( f ?g )( x)( g ? )( x) ? f ( x) g ( x) g ( x)h( x) ,故排除 D ? 

8、 y ? 2 x ? 1

广东高考数学 2007-2012 年试题分类汇编答案
(不等式)
1、C;2、 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 f(x)元,则

f ? x ? ? ? 5 6 0 4x8 ? ? ? f ? ? x ? ? 48 ?

2 1 6? 1 0 0 0 0 0 10800 ? 5? 0 x ? 8 6 4 ? x ? 1 0 ,x? Z? ? 2000 x x

10800 , 令 f ?? x? ? 0 得 x ? 15 x2 当 x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 0 ? x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0
因此 当 x ? 15 时,f(x)取最小值 f ?15 ? ? 2000 ; 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。

3、70;
15

4、解:设该儿童分别预订 x, y 个单位的午餐和晚餐,共花费 z 元,则 z ? 2.5x ? 4 y 。
可行域为

y ?1 2x ? 8 ? 6 4 , ?3 x ? 2 y ? 16, ?6 x ? 6y ? 4 2 , ? x ? y ? 7, ? ? ? ? 即 y ?6 x ? 1 0 ? 6 4 , ?3 x ? 5 y ? 32, ? x ? 0 ,x ? N , ? x ? 0, ? ? ? y ? 0 ,y ? N . ? y ? 0. ? ?
作出可行域如图所示: 经试验发现,当 x ? 4, y ? 4 时,花费最 少,为 2.5 ? 4 ? 4 ? 4 ? 26 元. 5、 [1, ? ?) ;6、C;7、B

16


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