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珠海市2012-2013学年度第一学期期末学生学业质量监测高三理科数学试题教师卷


珠海市 2012--2013 学年度第一学期末学生学业质量监测高三理科数学试题

高三理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1.已知全集 U ? R ,集合 A={y | y=2x,x∈R},则 CU A = A. ? C. (-∞,0] B.(0,+∞) D.R
开 始 n=12

, i=1

2.已知 a,b 是实数,则“ ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件

?a ? 2 ”是“ a ? b ? 5 ”的 ?b ? 3
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
是 n=3n+1

n 是奇数? 否 n n= 2 i=i+1 n=5? 是 输出 i 结 束 (第 3 题图) 否

3.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 A.4 B.5 C.6 D.7 4. 已知直线 l,m 和平面 α, 则下列命题正确的是 A.若 l∥m,m ? α,则 l∥α C.若 l⊥m,l⊥α,则 m∥α 5.已知是虚数单位,复数 B.若 l∥α,m ? α,则 l∥m D.若 l⊥α,m ? α,则 l⊥m

1 3 A. ? i 10 10

i = 3?i 1 3 1 3 B. ? ? i C. ? i ? 10 10 8 8

1 3 D. ? i ? 8 8

6. 函数 y=sin (2x+ A.向左平移

π )的图象可由函数 y=sin 2x 的图象 4
B.向右平移

π 个单位长度而得到 8 π C.向左平移 个单位长度而得到 4

π 个单位长度而得到 8 π D.向右平移 个单位长度而得到 4
则 2x+4y 的最小值是

?x ? y ? 5 ? 0 ? 7.若实数 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 0 ?x ? 3 ?
A.6 B.4 C. ? 2

D. ? 6

8. 对于直角坐标平面内的任意两点 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ,定义它们之间的一种“距离” : ‖AB‖= x1 ? x2 ? y1 ? y2 ,给出下列三个命题: ①若点 C 在线段 AB 上,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;

②在△ABC 中,若∠C=90° ,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖; ③在△ABC 中,‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D.3 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一 题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. (一)必做题(9-13 题) 9.函数 y ?

sin x 的导函数 y ? ? x



x cos x ? sin x x2
.2

10.在递增等比数列{an}中, a 2 ? 2, a 4 ? a3 ? 4 ,则公比 q = 11.某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团) : 合唱社 高一 高二 45 15 粤曲社 30 10

武术社

a
20

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查,按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人,结 果合唱社被抽出 12 人,则这三个社团人数共有_______________.150 12.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 C=

?
3



y B

3 3 b ? 3 ,若△ABC 的面积为 ,则 c = 2
13.如图,F1,F2 是双曲线 C:

. 7

A F1 O F2 x

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0) 的左、右焦 a 2 b2 点, F1 的直线与 C 的左、 过 右两支分别交于 A, 两点. | AB | : | BF2 B 若
| : | AF2 |=3 : 4 : 5,则双 曲线的离心率为 .

13

(第 13 题图)

(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中, 已知曲线 C1 : ?

?x ? t ? 2 , (为参数)与曲 ? y ? 1 ? 2t

线 C2 : ? 长为

? x ? 3 cos ? ,( ? 为参数)相交于两个点 A 、 B ,则线段 AB 的 ? y ? 3 sin ?
.4
C O P A

D

B (第15题图)

15. (几何证明选讲选做题)如图,PAB、PCD 为⊙O 的两条割线, 若 PA=5,AB=7,CD=11,AC=2,则 BD 等于 . 6

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 设向量 a= (2, sin ? ) ,b= (1, cos ? ) ,θ 为锐角. 13 (1)若 a·b= ,求 sinθ+cosθ 的值; 6 π (2)若 a∥b,求 sin(2θ+ )的值. 3 16. (本小题满分 12 分) 13 1 解: (1) 因为 a·b=2+sinθcosθ= ,所以 sinθcosθ= . 6 6 4 所以 (sinθ+cosθ)2=1+2 sinθcosθ= . 3 2 3 又因为 θ 为锐角,所以 sinθ+cosθ= . 3 (2) 解法一 因为 a∥b,所以 tanθ=2. 所以 sin2θ=2 sinθcosθ=
2 2

?????? 3 分

?????? 6 分 ?????? 8 分

2 sinθcosθ 2 tanθ 4 = = , sin2θ+cos2θ tan2θ+1 5

cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 3 cos2θ=cos θ-sin θ= = =- .?????? 10 分 5 sin2θ+cos2θ tan2θ+1 π 1 3 所以 sin(2θ+ )= sin2θ+ cos2θ 3 2 2 4-3 3 1 4 3 3 = × + ×(- )= . 2 5 2 5 10 解法二 因为 a∥b,所以 tanθ=2. 2 5 5 所以 sinθ= ,cosθ= . 5 5 4 3 因此 sin2θ=2 sinθcosθ= , cos2θ=cos2θ-sin2θ=- . 5 5 π 1 3 所以 sin(2θ+ )= sin2θ+ cos2θ 3 2 2 4-3 3 1 4 3 3 = × + ×(- )= . 2 5 2 5 10 ?????? 12 分 ?????? 10 分 ?????? 12 分 ?????? 8 分

17. (本小题满分 12 分) 某中学校本课程共开设了 A,B,C,D 共 4 门选修课,每个学生必须且只能选修 1 门选修课, 现有该校的甲、乙、丙 3 名学生: (1)求这 3 名学生选修课所有选法的总数; (2)求恰有 2 门选修课没有被这 3 名学生选择的概率; (3)求 A 选修课被这 3 名学生选择的人数的数学期望. 17、 (本小题满分 12 分) 解析:(Ⅰ)每个学生有四个不同选择,根据乘法法则,选法总数 N= 4 ? 4 ? 4 ? 64 ?? 3 分 (Ⅱ) 恰有 2 门选修课这 3 名学生都没选择的概率为

P2 ?

2 2 C 4 C 32 A2 2 ? 3 ? 3 ? 2 9 ? ? 4? 4? 4 16 43

?????? 7 分

(Ⅲ) 设 A 选修课被这 3 名学生选择的人数为 ? ,则 ? =0,1,2,3 P( ? =0)=

33 27 ? 43 64

P( ? =1)=

1 C3 ? 32 27 ? 43 64

1 3 ?C3 9 P( ? =2)= 3 ? 4 64

3 C3 1 P( ? =3)= 3 ? 4 64

?????? 9 分

? 的分布列是
???? 10 分

?
P

0

1

2

3

27 64

27 64

9 64

1 64

E? ? 0 ?

27 27 9 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? 64 64 64 64 4

???? 12 分

18. (本小题满分 14 分) 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视 图为直角梯形 (1)求证: BC // 平面C1 B1 N ; (2)求证: BN ? 平面C1 B1 N ; (3)设 M 为 AB 中点,在 BC 边上找一点 P ,使 MP // 平面 CNB1 ,并求

BP 的值. PC

4 8 主视图 8

侧视图

4 4 8 俯视图

18.解: (1)证明:? 该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,

? BA, BC , BB1 两 两 互 相 垂 直 。 以 BA, BC , BB1 分 别 为 x, y, z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则

N (4,4,0), B1 (0,8,0) , C1 (0,8,4), C (0,0,4) , B(0,0,0)

?????? 2 分

∵ BC ? (0,0,4) , B1C1 ? (0,0,4) , BC ? B1C1 ,∴ BC // B1C1 ∵ B1C1 ? 平面C1 B1 N , BC ? 平面C1 B1 N , ∴ BC // 平面C1 B1 N ?? 4 分 (2) BN ? B1 N ? (4,4,0) ? (4,?4,0) ? 16 ? 16 ? 0 , ?

BN ? B1C1 ? (4,4,0) ? (0,0,4) ? 0
? BN ? B1 N , BN ? B1C1 ,又 B1 N ? B1C1 ? B1 ? BN ? 平面C1 B1 N
?????? 8 分 A

C P B M

C1

B1 N

(3)设 P (0,0, a ) 为 BC 上一点, ? M 为 AB 的中





? M (2,0,0) , MP ? (?2,0, a ) , NC ? (?4,?4,4)
设平面的一个法向量为 n ? (1, x, y ) ,则有

n ? NC , n ? NB1 ,则有 n ? NC ? 0, n ? NB1 ? 0,
∴ (1, x, y ) ? (?4,?4,4) ? 0, (1, x, y ) ? (?4,4,0) ? 0 ,得 x ? 1, y ? 2 , ∴ n ? (1,1,2) ,?10 分

? MP //平面 CNB1 ,? n ? MP ,于是 MP ? n ? (?2,0, a ) ? (1,1,2) ? ?2 ? 2a ? 0
解得: a ? 1 ????????? 12 分

? MP ? 平面 CNB1 ,? MP //平面 CNB1 ,此时 PB ? a ? 1 ,
? BP 1 ? PC 3
????????????? 14 分

(注:此题用几何法参照酌情给分)

19.(本题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 左、 上顶点 A(0, b) ,?AF1 F2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 右两个焦点分别为 F1 、F2 , a2 b2

为正三角形且周长为 6. (1)求椭圆 C 的标准方程及离心率; (2)O 为坐标原点, P 是直线 F1 A 上的一个动点,求 | PF2 | ? | PO | 的最小值,并求出此时点 P 的坐标. 19、(本题满分 14 分)

? a ? 2c ? 解: (Ⅰ)解:由题设得 ?a ? a ? 2c ? 6 ? a2 ? b2 ? c2 ?
解得: a ? 2, b ?
2

?????? 2 分

3 , c ? 1 ?? 3 分
离心率 e ?

故 C 的方程为

x y2 ? ? 1 . ?? 5 分 4 3

1 2

??????? 6 分

(2)直线 F1 A 的方程为 y ?

3 ( x ? 1) ,?? 7 分

设点 O 关于直线 F1 A 对称的点为 M ( x 0 , y 0 ) ,则

3 ? y0 ? ? x ? 3 ? ?1 ? x0 ? ? 2 ? 0 ? (联立方程正确,可得分至 8 分) ?? ? 3 y0 x0 ? ? 3 ( ? 1) ? y ? ? 0 ?2 2 ? 2 ?
所以点 M 的坐标为

3 3 (? , ) 2 2

???????????? 9 分

∵ PO ? PM , PF2 ? PO ? PF2 ? PM ? MF2 ,?? 10 分

3 3 | PF2 | ? | PO | 的最小值为 | MF2 |? (? ? 1) 2 ? ( ? 0) 2 ? 7 2 2

????? 11 分

3 ?0 3 2 直线 MF2 的方程为 y ? ( x ? 1) 即 y ? ? ( x ? 1) 3 5 ? ?1 2

????? 12 分

2 ? ? 3 ?x ? ? 3 ( x ? 1) ? 2 3 ?y ? ? ?? 由? ,所以此时点 P 的坐标为 (? , ) ????? 14 分 5 3 3 ? y ? 3 ( x ? 1) ?y ? 3 ? ? 3 ?
20.(本小题满分 14 分)

1 2 ax ? 2 x , g ( x) ? lnx . 2 (1)如果函数 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调减函数,求 a 的取值范围; g ( x) 1 (2)是否存在实数 a ? 0 ,使得方程 ? f ?( x) ? (2a ? 1) 在区间 ( , e) 内有且只有两个不相等 x e 的实数根?若存在,请求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 20.解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 x 在 [1, ??) 上是单调增函数,不符合题意.?1 分 2 当 a ? 0 时, y ? f ( x) 的对称轴方程为 x ? ? ,由于 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调增函数,不符 a
已知函数 f ( x) ? 合题意. 当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调减函数, 则 ? 综上, a 的取值范围是 a ? ?2 .

2 ? 1 ,解得 a ? ?2 , a

?????????????4 分

g ( x) lnx (2)把方程 ? f ?( x) ? (2a ? 1) 整理为 ? ax ? 2 ? (2a ? 1) , x x 2 即为方程 ax ? (1 ? 2a ) x ? lnx ? 0 . ????????5 分 1 2 设 H ( x) ? ax ? (1 ? 2a ) x ? lnx ( x ? 0) ,原方程在区间( , e )内有且只有两个不相等的实数根, e 1 即为函数 H ( x) 在区间( , e )内有且只有两个零点. ??6 分 e 1 2ax 2 ? (1 ? 2a ) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? ????7 分 H ?( x) ? 2ax ? (1 ? 2a ) ? ? x x x 1 令 H ?( x) ? 0 ,因为 a ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ? (舍) ???????8 分 2a 当 x ? (0,1) 时, H ?( x) ? 0 , H ( x) 是减函数; 当 x ? (1, ??) 时, H ?( x) ? 0 , H ( x) 是增函数.??10 分

? 1 ? H ( e ) ? 0, ? 1 H ( x) 在( , e )内有且只有两个不相等的零点, 只需 ? H ( x) min ? 0, ????13 分 e ? H (e) ? 0, ? ? ? ? a 1 ? 2a e2 ? e (1 ? 2a)e ? a ? e 2 ? 0, ? a ? 2e ? 1 , ? 2 ? e ?1 ? e e2 ? ? ? ? 即 ? H (1) ? a ? (1 ? 2a ) ? 1 ? a ? 0, ∴ ? a ? 1, ? ?ae 2 ? (1 ? 2a )e ? 1 ? (e 2 ? 2e)a ? (e ? 1) ? 0, 1? e ?a ? 2 ? , e ? 2e ? ? ? ?
解得 1 ? a ?

e2 ? e e2 ? e , 所以 a 的取值范围是( 1, ) . ???????14 分 2e ? 1 2e ? 1
an (an ? 2) ( n ? N* ) . 4

21. (本题满分 14 分) 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? (1)求 a1 的值及数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证:

1 1 1 1 5 ( n ? N* ) ; ? 3 ? 3 ?? ? 3 ? 3 a1 a2 a3 an 32 ? an ?1 1 1 1 (3)是否存在非零整数 ? ,使不等式 ? (1 ? )(1 ? ) ?? ? (1 ? ) cos ? a1 a2 an 2
对一切 n ? N* 都成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由. 21. (1)由 S n ?

1 an ? 1

an (an ? 2) . 4 a (a ? 2) 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 1 ,解得 a1 ? 2 或 a1 ? 0 (舍去) ??2 分 . 4 当 n ? 2 时, a (a ? 2) an ?1 (an ?1 ? 2) 由 an ? S n ? S n ?1 ? n n ? an 2 ? an ?12 ? 2(an ? an ?1 ) , ? 4 4 ∵ an ? 0 ,∴ an ? an ?1 ? 0 ,则 an ? an ?1 ? 2 ,
∴ ?an ? 是首项为 2,公差为 2 的等差数列,故 an ? 2n . ??????4 分

另法:易得 a1 ? 2, a2 ? 4, a3 ? 6 ,猜想 an ? 2n ,再用数学归纳法证明(略). (2)证法一:∵

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 3 3 2 2 an (2n) 8n ? n 8n(n ? 1) 8(n ? 1)n(n ? 1) 1 1 1 ? [ ? ](n ? 2) ,??4 分 16 (n ? 1)n n(n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴当 n ? 2 时, 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? a1 a2 a3 an 2 4 6 (2n)3

1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? )?( ? ) ??? ? ] 3 2 16 1? 2 2 ? 3 2 ? 3 3? 4 ( n ? 1) n n( n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 5 ? ? [ ? ] ? ? ? ? .? 7 分 8 16 2 n(n ? 1) 8 16 2 32 1 1 5 当 n ? 1 时,不等式左边 ? 3 ? ? 显然成立. ?????? 8 分 a1 8 32 ?
证法二:∵ n3 ? 4n(n ? 1) ? n(n 2 ? 4n ? 4) ? n(n ? 2) 2 ? 0 ,∴ n3 ? 4n(n ? 1) .

1 1 1 1 1 1 1 ? ? 3? ? ( ? ) (n ? 2) .??4 分 3 3 an (2n) 8n 32n(n ? 1) 32 n ? 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴当 n ? 2 时, 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? a1 a2 a3 an 2 4 6 (2n)3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 .??7 分 ? 3 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ? (1 ? ) ? ? ? 2 32 2 2 3 n ?1 n 8 32 n 8 32 32 1 1 5 当 n ? 1 时,不等式左边 ? 3 ? ? 显然成立. ??8 分 a1 8 32 ? an ?1 (3)由 an ? 2n ,得 cos ? cos(n ? 1)? ? (?1) n ?1 , 2 1 设 bn ? ,则不等式等价于 (?1) n ?1 ? ? bn . 1 1 1 (1 ? )(1 ? ) ?? ? (1 ? ) an ? 1 a1 a2 an


an ? 1 bn ?1 4 n 2 ? 8n ? 4 2n ? 1 2n ? 2 ? ? 1 ,? ? ? ? 1 ? bn ? ? (2n ? 1)(2n ? 3) 1 ? 4 n 2 ? 8n ? 3 ?1 ? ? an ?1 ? 1 ?1 ? 2n ? 2 ? 2n ? 3 ? ? an ?1 ? ?
?9 分 ∵ bn ? 0 ,∴ bn ?1 ? bn ,数列 ?bn ? 单调递增.
n ?1

???????? 10 分

假设存在这样的实数 ? ,使得不等式 (?1) ① 当 n 为奇数时,得 ? ? (bn ) min ? b1 ? ② 当 n 为偶数时,得 ?? ? (bn ) min 综上, ? ? (?

? ? bn 对一切 n ? N* 都成立,则

2 3 ; ??11 分 3 8 5 8 5 ,即 ? ? ? . ??12 分 ? b2 ? 15 15

8 5 2 3 , ) ,由 ? 是非零整数,知存在 ? ? ?1 满足条件.?? 14 分 15 3


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