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08竞赛辅导─三角函数(一)三角函数的性质及应用


三角函数( 三角函数(一) 三角函数的性质及应用 三角函数的性质及应用
引入 知识要点

反三角函数

思考1 思考

思考2 思考

1

三角函数( 三角函数(一)
三角函数与反三角函数, 三角函数与反三角函数,是五种基本初等函数中 的两 种 , 在现 代

科学的很 多领域中 有着广泛的 应 同时它也是高考的必考内容之一 的必考内容之一. 用.同时它也是高考的必考内容之一. 第一讲─三角函数的性质及应用 第一讲─ 三角函数的性质大体包括:定义域、值域、奇偶 三角函数的性质大体包括:定义域、值域、 周期性、 单调性、 最值等 这里以单调性为最难. 这里以单调性为最难. 性、 周期性、 单调性、 最值等. 它 们在平面几何、立体几何、解析几何、 们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中 均有广泛的应用
2

第一讲─ 第一讲─三角函数的性质及应用 三角函数的性质的基本知识 1、 三角函数的性质的基本知识 2、理解反三角函数的概念
注意:三角函数在其定义域上是没有反函数的. 注意:三角函数在其定义域上是没有反函数的. (∵不是一一映射,同一个三角函数值会对应许多角) 不是一一映射,同一个三角函数值会对应许多角)
但是人们需要解决已知三角函数值 但是人们需要解决已知三角函数值求未知角的问题 已知三角函数 为了更好解决此类问题而定义了反三角函数: 为了更好解决此类问题而定义了反三角函数: ? π π? 如:⑴反正弦函数 y = arcsin x ( x ∈ [ ?1,1]) ,值域为 ? ? , ? ? 2 2? π π? ? 的反函数. 它是函数 y = sin x ( x ∈ ? ? , ? ) 的反函数. ? 2 2? 这里的“ 是一个角的符号. 这里的“ arc sin a ”是一个角的符号. 3

? π π? ⑴反正弦函数 y = arcsin x ( x ∈ [ ?1,1]) ,值域为 ? ? , ? ? 2 2? ? π π? 的反函数. 它是函数 y = sin x ( x ∈ ? ? , ? ) 的反函数. ? 2 2? 这里的“ arc sin a ”是一个角的符号. 这里的“ 是一个角的符号.

? π π? 这个角“ arc sin a ”落在 ?? , ? 上,且 sin(arc sin a) = a 这个角“ ? 2 2?

? π π? 反过来,如果角 反过来,如果角 x ∈ ? ? , ? ,且 sin x = a ,则 arc sin a = x ? 2 2? ? π π? 即 arc sin(sin x ) = x ( x ∈ ? ? , ? ) ? 2 2?

类似地,还可定义:⑵反余弦函数 ⑶反正切函数 类似地,还可定义: 正切函数

你认为应怎样定义? 你认为应怎样定义?
4

反余弦

反正切

⑵反余弦函数 y = arc cos x ( x ∈ [ ?1,1]) ,值域为 [ 0, π ] 的反函数. 它是函数 y = cos x ( x ∈ [ 0, π ]) 的反函数.

因为这个区间是最简单的,且每一个余弦值都对应一个 因为这个区间是最简单的 且每一个余弦值都对应一个 角在这个区间,且是余弦函数的一个单调区间 且是余弦函数的一个单调区间. 角在这个区间 且是余弦函数的一个单调区间

这里的“ 是一个角的符号. 这里的“ arc cos a ”也是一个角的符号.

这个角“ 这个角“ arc cos a ”落在 [ 0, π ] 上,且 cos(arc cos a ) = a 反过来,如果角 反过来,如果角 x ∈ [ 0, π ] ,且 cos x = a ,则 arc cos a = x 即 arc cos(cos x ) = x ( x ∈ [ 0, π ])

你认为又应怎样定义反正切呢 你认为又应怎样定义反正切呢? 反正切
5

⑶反正切函数 y = arc tan x ( x ∈ R ) ,值域为 ( ? 反正切

π π

它是函数 y = tan x ( x ∈ ( ?

, )) 的反函数. 的反函数. 2 2 这里的“ 是一个角的符号. 这里的“ arc tan a ”也是一个角的符号.

π π

, ) 2 2

这个角“ 这个角“ arc tan a ”落在 ( ? 反过来,如果角 反过来,如果角 x ∈ ( ?

π π

, ) 上,且 tan(arc tan a ) = a 2 2

π π

, ) ,且 tan x = a ,则 arc tan a = x 2 2

, )) 2 2 ⑷反余切函数 y = arc cot x ( x ∈ R ) ,值域为 (0, π )

即 arc tan(tan x ) = x ( x ∈ ( ?

π π

的反函数. 它是函数 y = cot x ( x ∈ (0, π )) 的反函数.
6

思考 1.
1 2 的值域是( ⑴函数 y = arc cos( ? x ) 的值域是( D ) 2 ? π π? ? π π? ?π ? (A) ? ? , ? (B) ? ? , ? (C) ? , π ? ? 2 6? ? 2 3? ?6 ?
2

?π ? (D) ? , π ? ?3 ?

1 ⑵设 f ( x ) = x ? π x , α = arc sin , 3 5 1 5 β = arc tan , γ = arc cos( ? ) , δ = arccot( ? ) ,则( B ) 4 3 4 (A) f (α ) > f (β ) > f (δ ) > f (γ ) (B) f (α) > f (δ) > f (β) > f (γ ) (C) f (δ ) > f (α ) > f (β ) > f (γ ) (D) f (δ) > f (α) > f (γ ) > f (β)
7

练习1 练习

练习 1. 等于C ( ⑴已知 θ ( , ) ,则 arc cos(sinθ ) 等于( ) 2 2 π π 3π (A) ? θ (B) π ? θ (C) θ ? (D) ?θ 2 2 2 1 的值域为( ⑵设 f ( x) = arc tan x + arc sin x 的值域为( ) 2 3π 3π ? 3π π ? ? π π? (A) (?π , π ) (B) ?? , ? (C) (? , ) (D) ?? , ? 4 4 ? 4 4? ? 2 2? ⑶

π 3π

D

若 arc sin(sin α + sin β ) + arc sin(sin α ? sin β ) = 的值是______. 则 sin 2 α + sin 2 β 的值是______.

π
2

,

1 2

8

大小. 思考 2:设 x ∈ [ 0, π ] ,试比较 cos(sin x ) 与 sin(cos x ) 大小.
分析:分析比较对象的结构, 分析:分析比较对象的结构,没有现成的结论可资利 可以考虑“特值探究” 中间传递” 结构变形” “中间传递 “ “结构变形 用,可以考虑“特值探究” 中间传递” 结构变形”等 “ 方法尝试解决该问题. 方法尝试解决该问题. π 取特殊值 x = 0, , π ,易得 cos(sin x ) > sin(cos x ) 2

思考 3:求函数 y = 2sin(

π
3

? 2 x ) 的单调增区间. .

法一: 法一:利用复合函数的规律
利用导数 导数来 法二:利用导数来判断
9

思考3法一 思考 法一

练习2 练习

3:求函数 思考 3:求函数 y = 2sin( 解:∵ y = 2sin(

π
3

的单调增区间. ? 2 x ) 的单调增区间.

π
3

? 2 x)

3π (k ∈ Z ) 由 2kπ + ≤ ? 2 x ≤ 2kπ + 2 3 2 7π (k ∈ Z ) 即 2 kπ + ≤ ? 2 x ≤ 2 kπ + 6 6 7π π ≤ x ≤ - kπ ? ( k ∈ Z ) 得 ? kπ ? 12 12

π

π

π

7π π? ? , kπ ? ? ( k ∈ Z ) . ∴原函数的单调增区间为 ? kπ ? 12 12 ? ?
10

练习 1 ⑴
3 ? sin x 的最小值是( 函数 y = 的最小值是( 1 + cos x 4 (A)1 (B)4 (A)1 (B)4 (C) 3

C)
4 (D) ? 3

⑵ 函 数 y = (sin x + 1)(cos x + 1) ( ?

π

2+ 3 值是______. 值是______. ( ⑶函数 f 4 x ) = sin(2 x + ? ) 的图象的一条对称轴为直线
x=

≤ x≤ ) 的最小 6 2

π

π
8

,且 ? ∈ (0, π ) ,则 ? =_____.

π

4

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