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广东省梅州市五华县2013届高三第二次质检数学文试题PDF版


2012 年下期高三第二次质检试题

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数学(文科)参考答案
一、选择题:1-10:ABBAC CCADA 二、填空题:11、20 三、解答题: 16、解: (1)Q m ? n = 2 cos x + 2sin x cos x = cos 2 x + sin 2

x + 1
2

12、 x x ≤ ?3或x ≥ 1

{

}

13、 ±2

14、 3

15、2

ur r

π? ? = 2 sin ? 2 x + ? + 1 ……………………………3 分 4? ?
∵ m ⊥ n. ∴ m ? n =

ur

r

ur r

π? ? 2 sin ? 2 x + ? + 1 = 0, ……………………………4 分 4? ?

即 sin ? 2 x + ∴ 2x +

? ?

π?

2 ?=? 4? 2

<x<π , ∴ 2 x + ∵0
∴x =

π

? π 9π ? ∈ ? , ?, 4 ?4 4 ?

π
4

=

5π 7π 或 , 4 4

π
2



3π . ……………………………6 分 4

(2) f ( x ) = 令 2x +

π? ? 2 sin ? 2 x + ? + 1. 4? ? π
2 , k ∈ Z可得x = kπ π + , k ∈ Z. 2 8

π
4

= kπ +

kπ π + , k ∈ Z . ……………………………………9 分 2 8 kπ π π ? ,k ∈ Z, 令 2 x + = kπ , k ∈ Z 可得 x = 4 2 8
∴对称轴方程为 x = ∴对称中心为 ? 17、解: (1) 分组 [-3, -2) [-2, -1) (1,2] (2,3] (3,4] 合计 频数 频率 0.1

? kπ π ? ? ,1? , k ∈ Z ……………………………………12 分 ? 2 8 ?

5
8

0.16
0.5

25
10

2
50

0.2 0.04
1 ………6 分

(2)不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率为 0.5 + 0.2 = 0.7 ,

………………9 分

5000 。 ? 20 = 1980 (件) ………………………12 分 50 答: (2)不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率为 0.7 (3)合格品的件数为 1980 (件)…………………………………………13 分 18、证明: (1)连接 BD .
(3)合格品的件数为 20 × 因为四边形 ABCD 为菱形, ∠BAD = 60 ,
o

所以△ ABD 为正三角形.又 Q 为 AD 中点, 所以 AD ⊥ BQ .…………………………2 分 因为 PA = PD , Q 为 AD 的中点, 所以 AD ⊥ PQ .…………………………4 分 又 BQ I PQ = Q , 所以 AD ⊥ 平面 PQB . (2)当 t = 下面证明: 连接 AC 交 BQ 于 N ,连接 MN . 因为 AQ ∥ BC , 所以

?

P M

D Q A N B

C

………………………………………………5 分

1 时, PA ∥平面 MQB .…………………………………6 分 3

AN AQ 1 = = .…………………………………………………8 分 NC BC 2 PM 1 1 = .…………………………………10 分 因为 PM = PC ,所以 3 MC 2 PM AN 1 所以 = = ,所以 MN ∥ PA . MC NC 2
又 MN ? 平面 MQB , PA ? 平面 MQB , 所以 PA ∥平面 MQB . …………………………………………13 分

19、解:(1)由 Sn= 2n 2 + n ,得 当 n=1 时, a1 = S1 = 3 ; …………………………………………1 分

当 n ≥ 2 时, an = Sn ? S n ?1 = 2n + n ? ? 2( n ? 1) + ( n ? 1) ? = 4n ? 1 ,n∈N﹡. …………4 分 ? ?
2 2

经验证当 n=1 时,也符合 所以 an = 4n ? 1 ………………………………………………………………5 分 由 an = 4 log 2 (bn ) + 3 ,得 bn = 2
n ?1

, (n∈N﹡).…………………………7 分

(2)由(1)知 an bn = (4n ? 1) ? 2 n ?1 , (n∈N﹡)……………………………8 分 所以 Tn = 3 + 7 × 2 + 11× 2 + ... + ( 4n ? 1) ? 2
2 n ?1

,………………………………9 分

2Tn = 3 × 2 + 7 × 22 + 11× 23 + ... + ( 4n ? 1) ? 2n , 2Tn ? Tn = ( 4n ? 1) ? 2n ? [3 + 4(2 + 22 + ... + 2n ?1 )] = (4n ? 5)2n + 5 ………………13 分
(n∈N﹡). Tn = (4n ? 5)2n + 5 , …………………………………………14 分

20、解:(1)设 P ( x, y ) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3) , (0, 3) 为焦点, 长半轴为 2 的椭圆,它的短半轴 b = 故曲线 C 的方程为 x +
2

22 ? ( 3) 2 = 1 ,
………………………………………5 分

y2 =1 4

? 2 y2 =1 ?x + (2)设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,其坐标满足 ? 4 ? ? y = kx + 1
消去 y 并整理得 故 x1 + x2 = ? ∵ OA ⊥ OB
2

(k 2 + 4) x 2 + 2kx ? 3 = 0 ……………………………………7 分 x1 x2 = ? 3 k +4
2

2k , k +4
2

………………………………………9 分

uuu r

uuu r

∴ x1 x2 + y1 y2 = 0

∵ y1 y2 = k x1 x2 + k ( x1 + x2 ) + 1 ………………………………………………11 分 ∴ x1 x2 + y1 y2 = ?
2

3 3k 2 2k 2 ? 2 ? 2 +1 = 0 , k2 + 4 k + 4 k + 4 1 .……………………………………14 分 2
…………………1 分

化简得 ?4k + 1 = 0 ,所以 k = ±
x

21、解: (1) f ′( x) = e ? a, 令 f ′( x ) = 0得x = ln a .

当 x < ln a 时 f ′( x) < 0, f ( x) 单调递减; x > ln a 时 f ′( x) > 0, f ( x) 单调递增, 当 故当 x = ln a 时, f ( x) 取最小值 f (ln a ) = a ? a ln a. …………………3 分 ①

于是对一切 x ∈ R, f ( x) ≥ 1 恒成立,当且仅当 a ? a ln a ≥ 1 . 令 g (t ) = t ? t ln t , 则 g ′(t ) = ? ln t.

当 0 < t < 1 时, g ′(t ) > 0, g (t ) 单调递增;当 t > 1 时, g ′(t ) < 0, g (t ) 单调递减. 故当 t = 1 时, g (t ) 取最大值 g (1) = 1 .因此,当且仅当 a = 1 时,①式成立. 综上所述, a 的取值集合为 {1} .………………………………………………6 分

f ( x2 ) ? f ( x1 ) e x2 ? e x1 = ? a. (2)由题意知, k = x2 ? x1 x2 ? x1
令 ? ( x) = f ′( x) ? k = e ?
x

e x2 ? e x1 ,则 x2 ? x1

? ( x1 ) = ?

e x1 e x2 ?e x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 ) ? 1? , ? ( x2 ) = ? e x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1? . ? ? x2 ? x1 ? x2 ? x1 ?
t t

令 F (t ) = e ? t ? 1 ,则 F ′(t ) = e ? 1 .…………………………………………9 分 当 t < 0 时, F ′(t ) < 0, F (t ) 单调递减;当 t > 0 时, F ′(t ) > 0, F (t ) 单调递增. 故当 t = 0 , F (t ) > F (0) = 0, 即 e ? t ? 1 > 0. ………………………………11 分
t

从而 e

x2 ? x1

? ( x2 ? x1 ) ? 1 > 0 , e x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 > 0, 又

e x1 e x2 > 0, > 0, x2 ? x1 x2 ? x1

所以 ? ( x1 ) < 0, ? ( x2 ) > 0. 因为函数 y = ? ( x) 在区间 [ x1 , x2 ] 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在

x0 ∈ ( x1 , x2 ) 使 ? ( x0 ) = 0, 即 f ′( x0 ) = k 成立. …………………………………14 分


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