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抛物线的简单几何性质


抛物线的简单几何性质(一)

有一颗彗星绕地球运行,轨道是一抛物线,地球恰好位于这个抛物线轨道 的焦点处,当此彗星离地球为d(万千米)时(如图所示的位置),经过地球 和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30°.求这颗彗星与地球的最短距离.

y

· P
· F
30°

O

/>
x

类比椭圆和双曲线的几何性质,以抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 为例,来探究抛物线的简单几何性质:

1 范围:

x ? 0, y ? R

2 对称性: 关于 x 轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴

? 0, 0? 3 顶点:
4 离心率: e

抛物线与轴的交点,叫做抛物线的顶点

?1

y

H
O

M · · F
x

图 形
y
l O F

方程

焦点 准线 范围 顶点 对称轴
p x?? 2

e

y2 = 2px p F ( ,0 ) x (p>0) 2
l

x≥0 y∈R x≤0

(0,0)

x轴

1

y
F

O

x

y2 = -2px p p F ( ? , 0 ) x? (p>0) 2
2

y∈R
y≥0 x∈R y≤0

(0,0)

x轴

1

y
O

F

l

x2 = 2py p p F (0, ) y ? ? (p>0) 2 2 x

(0,0)

y轴

1

y
O

F

x

2 = -2py x l p F ( 0 , ? ) y? p (p>0)

2

2

x∈R

(0,0)

y轴

例:已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且 经过点M(2, - 2 2 ),求它的标准方程。
y

y ? 4x
2

0

2

x

-2 2

M

·

-2 2

练习:M是抛物线y2 = 2px(p>0)上一点,若点M 的横
坐标为x0,则点M到焦点的距离是 焦半径: 连接抛物线任 意一点与焦点 的线段
O F

|MF|=x0+p/2
y
M

x

例.斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F,且与 抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.

y2 = 4x

法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);

法三 :设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长.

A’

y

A O F B
x

B’

例.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长. 解法一:由已知得抛物线的焦点 为F(1,0),所以直线AB的方程为 y=x-1
y

A’

A O F B
x

代入方程y 2 ? 4 x, 得( x ? 1)2 ? 4 x, 2 化简得x ? 6 x ? 1 ? 0. ? x1 ? x2 ? 6 ? ? B’ ? x1 ? x2 ? 1
? AB ? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 8

所以,线段 AB的长是8。

例:斜率为1的直线L经过抛物线y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长. 解法二:由题意可知, p p ? 2, ? 1, 准线l : x ? ?1. 2
y

A’

A O F B
x

设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), A, B到 准线l的距离分别为 d A , dB .
由抛物线的定义可知 AF ? d A ? x1 ? 1, BF ? d B ? x2 ? 1,

B’

所以 AB ? AF ? BF ? x1 ? x2 ? 2 ? 8

y

A ( x1 , y1 )
F

焦点弦:

通过焦点的直线,与抛物
O

线相交于两点,连接这两点的 线段叫做抛物线的焦点弦。 焦点弦长公式: p ? x1 ? x2

B ( x 2 , y2 )

x

通径:过焦点而垂直于对称轴的弦,称为抛物线的通径 通径长为2p

拓展: 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m, 交这抛物线于A、B两点,求证:以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切.
y

C H D E F A

B O

x


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