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湖北省黄冈市高三年级质量检测数学试题(理科


湖北省黄冈市高三年级质量检测数学试题(理科) 湖北省黄冈市高三年级质量检测数学试题(理科)
黄冈市教育科学研究院命制

第 I 卷(选择题

共 50 分)

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请把所选项前的字母填在答题卷的

表格内) 1. 命题 p : x < 1 ,命题 q : x + x ? 6 < 0 ,则 ?p 是 ?q 成立的(
2

) D 既不充分也不必要条

A 件

充分不必要条件

B

必要不充分条件

C 充要条件

2. 设复数 z = A

?2i

1+ i + (1 ? i )2 ,则 (1 + z )7 展开式的第五项是( 1? i B ?21i C 35

) D

?35i

3. 在等比数列 {an } 中, Sn 为其前 n 项和,已知 a5 = 2 S 4 + 3 ,a6 = 2 S5 + 3 ,则此数列的公比 q 为( A 2 ) B 3 C 4 D 5

4. 设 α 、 β 、 γ 是三个不重合的平面, m 、 n 是直线,给出下列命题: ①若 α ⊥ β , β ⊥ γ ,则 α ⊥ γ ;②若 m ∥ α , n ∥ β , α ⊥ β ,则 m ⊥ n ; ③若 α ∥ β , γ ∥ β ,则 α ∥ γ ; ④若 m 、 n 在 γ 内的射影互相垂直,则 m ⊥ n 其中错误命题的个数为( ) .. A 0 B 1 C 2 D 3 5.一组数据中的每一个数据都乘以 2 ,再都减去 80 ,得一组新数据,若求得新数据的平均数是 1.2 ,方差是 4.4 ,则原来数据的平均数和方差分别是( ) A

40.6,1.1

B

48.8, 4.4

C

81.2, 44.4

D

78.8, 75.6

6.已知集合 A = {( x, y ) x 2 + y 2 = 1} , B = {( x, y ) kx ? y ≤ 2} ,其中 x, y ∈ R 。若 A ? B ,则 实数 k 的取值范围是( A ?0, 3 ? ) B ? ? 3, 0 ?

?

?

?

?

C

? ? 3, 3 ? ? ?

D

[? 3, +∞)

7 . 已 知 函 数 f ( x ) = π sin

x , 如 果 存 在 实 数 x1 、 x2 , 使 得 对 任 意 的 实 数 x , 都 有 4


f ( x1 ) ≤ f ( x) ≤ f ( x2 ) ,则 x1 ? x2 的最小值是(

A



B



C



D

π

8. 平面向量的集合 A 到 A 的映射 f 由 f ( x ) = x ? 2( x ? a )a 确定, 其中 a 为常向量. 若映射 f 满 足 f ( x ) ? f ( y ) = x ? y 对任意 x 、 y ∈ A 恒成立,则 a 的坐标可能是( )

A (

5 1 ,? ) 2 2

B

(

2 2 , ) 4 4

C

3 1 ( , ) 4 4

D (?

1 3 , ) 2 2

x2 y2 9. 椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的中心、 右焦点、 右顶点及右准线与轴的交点依次为 O 、F 、G 、 a b
H ,则

FG OH

的最大值为(



A

1 2

B

1 3

C

1 4

D 不确定

10. 已知 a1 = 0 , a2 = a1 + 1 , a3 = a2 + 1 ,…, an = an ?1 + 1 ,则 a1 + a2 + a3 + a4 的最小 值为( A )

0

B

?1

C ?2

D ?4

第 II 卷(非选择题 共 70 分)
一、 填空题( 小题, 填空题(本大题共 5 小题,每题 5 分,共 25 分) 象限。

11.已知点 P (tan α , cos α ) 在第三象限, 则角 α 的终边在第

12.甲乙两人进行乒乓球单打决赛,采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军) ,对于每局比赛,

2 1 ,乙获胜的概率为 ,则爆出次冷门(乙获冠军)的概率为 。 3 3 uuu r r uuu r r r r r 13.已知 a = ( ?1, 3) , OA = a ? b , OB = a + b ,若△ AOB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三
甲获胜的概率为 角形,则△ AOB 的面积为 。 14.一个五位数中只有2、4、6这三个不同的数字,则这样的五位数共有 个。

15 . 已 知 f1 ( x) = sin x + cos x , 记 f 2 ( x ) = f1′( x ) , f 3 ( x) = f 2′( x ) , … , f n ( x ) = f n′?1 ( x ) ( n ∈ N ? , n ≥ 2 )则 f 4 ( x ) = ; f1 ( ) + f 2 ( ) + L f 2007 ( ) = _________ .

π

π

π

4

4

4

三、解答题 16. (本题满分 12 分) 一个袋子中装有 m 个红球和 n 个白球( m > n ≥ 4 ) ,它们除颜色不同外,其余都相同,现从

中任取两个球。 ⑴若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍,求证: m 必为奇数; ⑵若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个球颜色不同的概率,求满足 m + n ≤ 20 的所有数组

( m, n ) 。

17. (本题满分 12 分) 已知 A, B, C 为 ?ABC 的三个内角,向量 a = (

r

r 3 65 A+ B A? B sin , cos ) ,且 a = 5。 5 2 2 5

(1)求 tan A tan B 的值; (2)求 C 的最大值,并判断此时 ?ABC 的形状。

18 ( 本 题 满 分 12 分 ) 如 图 已 知 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 是 正 方 形 , PA ⊥ 底面ABCD ,

PA = AD = 2 ,点 M 、 N 分别在棱 PD 、 PC 上,且 PC ⊥ 底面AMN
⑴求证: AM ⊥ PD ; ⑵求二面角 P ? AM ? N 的大小; ⑶求直线 CD 与平面 AMN 所成的角的大小。

P

N

M

D

B

C

19.(本题满分 12 分)某公司用 480 万元购得某种产品的生产技术后,再次投入资金 1520 万元购 买生产设备,进行该产品的生产加工.已知生产这种产品每件还需成本费 40 元,经过市场调 研发现:该产品的销售单价定在 100 元到 300 元之间较为合理。当销售单价定为 100 元时,年

销售量为 20 万件;当销售单价超过 100 元,但不超过 200 元时,每件产品的销售价格每增加 10 元,年销售量将减小 0.8 万件;当销售单价超过 200 元,但不超过 300 元时,每件产品的销 售价格每增加 10 元,年销售量将减小 1 万件.设销售单价为 x (元) ,年销售量为 y (万件) , 年获得为 w (万元) . ⑴直接写出 y 与 x 之间的函数关系式; ⑵求第一年的年获利 w 与 x 之间的函数关系式,并说明投资的第一年,该公司是赢利还是 亏损?若赢利,最大利润是多少?若亏损,最少亏损是多少?

20(本题满分13分)过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点 F 作直线 l 与抛物线交于 A 、 B . ⑴求证:△ AOB 不是直角三角形;

1 时,抛物线上是否存在点 C ,使△ ABC 为直角三角形且 B 为直角? B 在 x 轴 2 下方)? 若存在,求出所有的点 C ;若不存在,说明理由.
⑵当 l 的斜率为

21 . 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 数 列 {an } , a1 = (

2 1 1 , 且 an +1 = (1 + n ) an + 2 (n ≥ 1, n ∈ N ? ) , 3 2 n

bn = (1 + n) n (n ∈ N ? )

1

⑴当 n ≥ 2 时,求证: an ≥ 2 ; ⑵求证:当 x > 0 时 ln(1 + x ) < x ,且 bn < e ; ⑶在⑵条件下,求证: an ≤

2 2 e 3

参考答案
1—5 BCBCA 6---10 CBDC C

11. 二

12.

17 81

13 . 4

14. 150

15. sin x ? cos x, 0 (前面 3 分,后面 2 分)

16.解: ⑴设“取出两个红球”为事件 A, “取出一红一白两个球”为事件 B,则

P ( A) =

Cm 2 C 1C 1 , P( B) = m n Cm + n 2 Cm + n 2

…………………………………… 2 分

由题意得 P ( A) = kP ( B )( k ∈ N ? ) 则有 Cm = kCm Cn
2 1 1

,可得 m = 2kn + 1 …………………………………… 4 分

Q k , n ∈ N ? ,∴ m 为奇数。…………………………………… 6 分
⑵设“取出两个白球”为事件 C,则 P (C ) =
2

Cn 2 ………………………………… 7 分 Cm + n 2
2 1 1

由题意知 P ( A) + P (C ) = P ( B ) ,即有 Cm + Cn = Cm Cn

可得到 m + n = ( m ? n) ,从而 m + n 为完全平方数………………………………9 分
2

又 m > n ≥ 4 及 m + n ≤ 20 得 9 ≤ m + n ≤ 20 得到方程组: ?

?m + n = 9 ?m + n = 16 ;? ?m ? n = 3 ?m ? n = 4

解得: ?

?m = 6 ?m = 10 , (不合题意舍去) ? …………………………… 11 分 ?n = 3 ?n = 6

故满足条件的数组 (m, n) 只有一组(10,6)…………………………… 12 分

3 13 A+ B A? B 9 5 ∴ sin 2 + cos 2 = ,…………………(2 分) 5 5 2 2 5 13 1 ? cos( A + B ) 1 + cos( A ? B ) 9 即 + = 5 2 2 5
17. 解: (1)∵ a =

r

即 13cos( A + B ) = 5cos( A ? B ),∴ 4 cos A cos B = 9sin A sin B …………………(4 分) 由于 cos A cos B ≠ 0 ,故 tan A tan B = (2)由 tan A tan B = 分)
tan C = ? tan[π ? ( A + B)] = ? tan( A + B) = ? ≤? 9 12 tan A tan B = ? 5 5 tan A + tan B 9 = ? (tan A + tan B) 1 ? tan A tan B 5 …………………(10 分)

4 …………………(6 分) 9

4 > 0 知, tan A > 0, tan B > 0 , tan A + tan B ≥ 2 tan A tan B = 12 ………(8 9 5

当且仅当 tan A = tan B ,即 A=B 时, tan C 取得最大值 ? 所以 C 的最大值为 π ? arctan

12 。 5

12 ,此时 ?ABC 为等腰三角形。…………………(12 分) 5

18. (1)∵四边形 ABCD 是正方形,∴CD⊥AD,又因 PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥CD, 故 CD⊥平面 PAD。 …………………(2 分) 又 AM ? 平面 PAD,则 CD⊥AM,而 PC⊥平面 AMN,有 PC⊥AM,则 AM⊥平面 PCD, 故 AM⊥PD。 …………………(4 分) (2)∵AM⊥平面 PCD(已证) ,∴AM⊥PM,AM⊥NM, 故∠PMN 为二面角的 P ? AM ? N 平面角…………………(5 分) 又因 PN⊥平面 AMN,∴PN⊥NM。 在 Rt△PCD 中,CD=2,PD= 2 2 ,则 PC= 2 3 , ∵PA=AD,AM⊥PD,∴M 为 PD 的中点,则 PM =

1 PD = 2 , 2

由 Rt PMN ∽ Rt PCD ,得 MN = 则 cos ∠PMN =

CD PM ,…………………(6 分) PC

MN CD 2 3 = = = , PM PC 2 3 3
3 3 ,则二面角 P ? AM ? N 为 arccos 。…………………(8 分) 3 3

故 ∠PMN = arccos

(3)延长 NM、CD 交于点 E,∵PC⊥平面 AMN,∴NE 为 CE 在平面 AMN 内的射影, ∴∠CEN 为 CD(即 CE)与平面 AMN 所成的角,…………………(10 分) P 又 CD⊥PD,EN⊥PN,则有∠CEN=∠MPN, 在 Rt△PMN 中,∵ sin ∠MPN =

MN 3 π = ,且 ∠MPN ∈ (0, ) PM 3 2

N

M

∴ ∠MPN = arcsin

3 3 3 。…………………(12 分) 3

A

D

故 CD 与平面 AMN 所成的角为 arcsin

B

C

? 2 ?? 25 x + 28(100 ≤ x ≤ 200) ? 19.解: (1) y = ? …………………………………………(4 分) ?? 1 x + 32(200 < x ≤ 300) ? 10 ?
(2)当 100 ≤ x ≤ 200 时, w = xy ? 40 y ? (480 + 1520) 将y=?

2 x + 28 代入上式得: 25 2 2 2 w = x(? x + 28) ? 40(? x + 28) ? 2000 = ? ( x ? 195)2 ? 78 ……………………(6分) 25 25 25 1 2 当 200 < x ≤ 300 时,同理可得: w = ? ( x ? 180) ? 40 ……………………(8分) 10

2 ? 2 ? w = ? 25 ( x ? 195) ? 78(100 ≤ x ≤ 200) ? 故w= ? ……………………(9分) ?? 1 ( x ? 180) 2 ? 40(200 < x ≤ 300) ? 10 ?
若 100 ≤ x ≤ 200 ,当 x = 195 时, wmax = ?78 …………………(10分) 若 200 < x ≤ 300 , wmax < ?80 …………………(11分)

故投资的第一年公司是亏损的,最少亏损为78万元…………………(12分)

20 解: (1)∵焦点 F 为(1,0) ,过点 F 且与抛物线交于点 A、B 的所有直线可设为 ky = x ? 1 , 代入抛物线 y = 4 x 得: y ? 4ky ? 4 = 0 ,则有 y A yB = ?4 ,…………………(2 分)
2 2

进而 x A xB =

y A 2 yB 2 = 1 .…………………(4 分) 4 4 uuu uuu r r 又 OA OB cos ∠AOB = OA OB = x A xB + y A yB = 1 ? 4 = ?3 < 0 ,

得 ∠AOB 为钝角,故△ AOB 不是直角三角形。…………………(6 分) (2)由题意得 AB 的方程为 x ? 2 y ? 1 = 0 ,代入抛物线 y 2 = 4 x 求得 A(9 + 4 5, 4 + 2 5), B (9 ? 4 5, 4 ? 2 5) …………………(8 分)
2 ,使△ ABC 为直角三角形且 B 为直角, 假设抛物线上存在点 C( t , 2t )

此时,以 AC 为直径的圆的方程为 ( x ? x A )( x ? xC ) + ( y ? y A )( y ? yC ) = 0 ,将 A、B、C 三点的坐 标代入得: ( ?8 5)(9 ? 4 5 ? t 2 ) + ( ?4 5)(4 ? 2 5 ? 2t ) = 0 整理得: t 2 + t ? (11 ? 5 5) = 0 …………………(10 分) 解得 t1 = 2 ? 5 对应点 B , t2 = ?3 + 5 对应点 C ………………(12 分) 则存在 C (14 ? 6 5, ?6 + 2 5) 使△ ABC 为直角三角形。 故满足条件的点 C 有一个: C (14 ? 6 5, ?6 + 2 5) …………………(13 分) 21.解: (1)用数学归纳法证明: ①当 n = 2 时,有 a2 = (1 + ) a1 + 1 = 2 , an ≥ 2 成立。…………………(1 分) ②假设 n = k 时,有 ak ≥ 2 ,则当 n = k + 1 时,有 ak +1 = (1 + 由 ak ≥ 2 得, ak +1 = (1 +

1 2

1 1 ) ak + 2 k 2 k

1 1 2 1 )ak + 2 ≥ 2 + k + 2 > 2 ,所以 ak +1 ≥ 2 k 2 k 2 k

由①②可知:当 n ≥ 2 时,有 an ≥ 2 成立。…………………(4 分) (2)要证明 bn < e 成立,只须证 (1 + n) n < e ,即 ln(1 + n) < n
1

当 x > 0 时,考察函数 f ( x ) = ln( x + 1) ? x ,有 f ′( x ) =

1 ? 1 ,易知 f ′( x) < 0 1+ x

所以 f ( x ) = ln( x + 1) ? x 在 (0, +∞ ) 上是单调递减函数。∴ f ( x ) < f (0) = 0 …………………(6 分) 则有 ln( x + 1) ? x < 0 ,所以 ln( x + 1) < x 成立,此时有 ln( n + 1) < n , 则有 (1 + n) < e 得证,所以 bn < e …………………(8 分) (3) ∵ an ≥ 2 , 1 ≤ ∴
1 n

an 1 1 1 1 a 1 1 , an +1 = (1 + n )an + 2 ≤ (1 + n ) an + 2 n = (1 + n ) an + ∴ an 2 2 n 2 n 2 2 2n 2 1 1 1 1 ∴ an +1 ≤ (1 + n + )an ∴ ln an +1 ≤ ln(1 + n + 2 ) + ln an 2 2 2n 2 2n 1 1 ) …………………(10 分) 则有 ln an +1 ? ln an ≤ ln(1 + n + 2 2n 2 1 1 1 1 由(2)知,当 x > 0 时,有 ln( x + 1) < x 成立,则有 ln(1 + n + )≤ n + 2 2 2 2n 2 2n 1 1 ln an +1 ? ln an ≤ n + 2 ) ,所以有: 2 2n 1 1 ln a2 ? ln a1 ≤ + , 2 2 ×1 1 1 ln a3 ? ln a2 ≤ 2 + , 2 2 × 22 LL …………………(12 分) 1 1 ln an ? ln an ?1 ≤ n ?1 + ) 2 2(n ? 1)2 各式相加得 1 1 1 1 1 1 1 ln an ? ln a1 ≤ ( + 2 + L + n ?1 ) + [1 + 2 + 2 + L + ] 2 2 2 2 2 2 (n ? 1) 2 1 1 1 1 ∵ + 2 + L + n ?1 = 1 ? n ?1 , 2 2 2 2
且1 +

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 +L + < 1 + (1 ? ) + ( ? ) + L + ( ? ) = 2? 2 2 2 2 (n ? 1) 2 2 3 n ? 2 n ?1 n ?1 1 1 ? <3 n ?1 2 2(n ? 1) 2 2 + 2 = ln e 2 3 3

∴ ln an ? ln a1 ≤ 2 ?

即有 ln an ≤ ln a1 + 2 = ln 所以 an ≤

2 2 e …………………(14 分) 3

命题人: 命题人: 武穴中学 审稿人: 审稿人: 黄冈市教科院 红安县教研室

江文红 丁明忠 吴学红


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