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用样本的频率估计总体的分布


2.2用样本估计总体

复习回顾
1、什么是简单随机抽样?什么样的总体 适宜简单随机抽样?

2、什么是系统抽样?什么样的总体适宜 系统抽样?
3、什么是分层抽样?什么样的总体适宜 分层抽样?

方法 类别

共同 特点

抽样特征

互联系

适应范围

简单随 机抽样
系统 抽样 抽样过 程中每 个个体 被抽取 的概率 相等

从总体中 逐个不放 回抽取 将总体分成 均衡几部分, 按规则关联 抽取 将总体分 成几层, 按比例分 层抽取 用简单随 机抽样抽 取起始号 码 用简单随 机抽样或 系统抽样 对各层抽 样

总体中 的个体 数较少 总体中 的个体 数较多 总体由 差异明 显的几 部分组 成

分层 抽样

通过图、表、计算来分析样本数据,找出数 据中的规律,就可以对总体作出相应的估计.
用样本去估计总体,是研究统计问题的一 个基本思想. 这种估计一般分成两种: ①是用样本的频率分布估计总体的分布. ②是用样本的数字特征(如平均数、标准差 等)估计总体的数字特征.
初中时我们学习过样本的频率分布,包括频数、频 率的概念,频率分布表和频率分布直方图的制作.

频率分布
样本中某数据(或数据组)的频数和样本 容量的比,叫做该数据(数据组)的频率. 所有数据(或数据组)的频数的分布变化 规律叫做样本数据的频率分布. 频率分布的表示形式有: ①样本频率分布表 ②样本频率分布条形图 ③样本频率分布直方图

2.2.1用样本的频率分布 估计总体分布(1)

我国是世界上严重缺水的国家之一, 城市缺水问题较为突出。

2000年全国主要城市中缺 水情况排在前10位的城市

探究:某市政府为了节约生活用水,计划在本 市试行居民生活用水定额管理,即确定一个 居民月用水量标准a , 用水量不超过a 的部分 按平价收费,超过a 的部分按议价收费。 ①如果希望大部分居民的日常生活不受影响, 那么标准a 定为多少比较合理呢? ②为了较合理地确定这个标准,你认为需要做 哪些工作?

由于城市居民比较多,因此采用抽样调查的方式,通过 分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况.下面是 通过抽样得到的. 100 位居民某年的月均用水量: 根据这些数 3.1据你能得出 2.5 2 2 1.5 1 1.6 1.8 1.9 1.6 3.4用水量其他 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 3.2 信息吗 2.7 2.3 ? 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3 2.5 2.6 2.5 2.8 2.9 2.8 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3 2.4 2.3 2.2 2.4 2.3 2.1 2.1 2 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.3 1.3 1.4 1 1 1.4 1.3 1.2 1 1.2 1.8 1.6 1.5 1.7 1.8 0.7 0.9 0.5 0.8 0.6 2 2.3 2.4 2.4 2.2

4.列频率分布表

显示了样本数据落在各个小组的比例大小!

100位居民月均用水量的频率分布表 频数 频率= 样本容量

5.画频率分布直方图
频率 ?长方形的面积= ? 组距 ? 频率 频率 组距 组距

0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.5

小长方形的 面积=? 小长方形的面 积等于其相应 组距上的频率.
月均用水量 /t 4.5

1 1.5 2 2.5 3

3.5 4

一般地,作频率分布直方图的方法为: 把横轴分成若干段,每一段对应一个 组的组距,以此线段为底作矩形,高 等于该组的频率/组距, 这样得到一系 列矩形,每一个矩形的面积恰好是该 组上的频率,这些矩形构成了频率分 布直方图.

5.画频率分布直方图
频率

组距

小长方形的 面积总和=?

0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 月均用水量 /t 4.5

0.5

1 1.5 2 2.5 3

3.5 4

5.画频率分布直方图
频率

组距

0.50 0.40 0.30 0.20 0.10

月均用水量 最多的在那 个区间?

0.5

1 1.5 2 2.5 3

3.5 4

月均用水量 /t 4.5

5.画频率分布直方图
频率

组距

0.50 0.40 0.30 0.20 0.10

请大家阅读第68 页,直方图有那 些优点和缺点?

0.5

1 1.5 2 2.5 3

3.5 4

月均用水量 /t 4.5

频率分布直方图的特征: (1)从频率分布直方图可以清楚的 看出数据分布的总体趋势. (2)从频率分布直方图得不出原始 的数据内容,把数据表示成直方图后, 原有的具体数据信息就被抹掉了.

应用举例: 分组 频数

频率

频率累计

例.[12,15) 一个容量为100 6的样本,数据的分组和各组的相 [15,18) 0.08 关信息如下表 ,试完成表中每一行的两个空格 .
[18,21) [21,24) [24,27) [27,30) [30,33) [33,36] 合计
18

0.30 21
0.06 8 0.06 0.14 0.16 0.21

0.69

16 0.10

16

0.51

1.00

100

0.18

1.00
0.85 0.95

0.16 10 5 0.05

练习 1: 分组 频数 频率 已知样本 5.5~7.5 10, 8, 6, 10, 2 8,13,11,10,12,7,8,9,12,9, 0.1 11,12,9,10,11,11, 那么频率为 0.2范围的是 ( D) 7.5~9.5 6 0.3 A. 5.5~7.5 9.5~11.5 8 B. 7.5~9.50.4 C. 9.5~11.5 4 D. 11.5~13.5 11.5~13.5 0.2 20 1.0 合计

练习2.观察新生婴儿的体重,其频率分布直 方图如图所示,则新生婴儿体重(2700,3000) 的频率为: 0.3 ; y

0.001

2400 2700 3000 3300 3600 3900

X

体重

(广东文 11 题 5 分) 4. 为了调查某厂工人生产某种产品的能力, 随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数 量 . 产 品 数 量 的 分 组 区 间 为 ?45,55? , 频率/组距 ?55,65? ,?65,75? ,

?75,85? , ?85,95? ,由此得

0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 45 55 65 75 85 图3 95 产品数量

到频率分布直方图如图 3,则这 20 名工人中一 天生产该产品数量在 ?55,75? 的 人 数 是 .

13

练习4:有一个容量为50的样本数据的分组的 频数如下: [12.5, 15.5) 3 [15.5, 18.5) 8 [18.5, 21.5) 9 [21.5, 24.5) 11 (1)列出样本的频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)根据频率分布直方图估计,数据落在 [15.5, 24.5)的百分比是多少? [24.5, 27.5) 10 [27.5, 30.5) 5 [30.5, 33.5) 4

解:组距为3
分组

列出频率分布表:

频数

频率

频率/ 组距

[12.5, [15.5, [18.5, [21.5, [24.5, [27.5, [30.5,

15.5) 3 18.5) 8 21.5) 9 24.5) 11 27.5) 10 30.5) 5 33.5) 4

0.06 0.16 0.18 0.22 0.20 0.10 0.08

0.020 0.053 0.060 0.073 0.067 0.033 0.027

所以,数据落在[15.5, 24.5)的百分比是56%.

频率分布直方图如下:
频率

组距
0.070 0.060 0.050 0.040 0.030 0.020

0.010
12.5 15.5 18.5 21.5 24.5 27.5 30.5 33.5

小结:
1.求极差

2.决定组距与组数
步骤 频率分布直方图 应用 3.将数据分组 4.列频率分布表

5.画频率分布直方图

频率分布直方图
频率

组距

连接频率分布直方图 中各小长方形上端的 中点,得到频率分布折 线图

0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 月均用水量 /t 4.5

0.5

1 1.5 2 2.5 3

3.5 4

利用样本频分布对总体分布进行相应估计
(1)上例的样本容量为100,如果增至1000, 其频率分布直方图的情况会有什么变化?假如增 至10000呢? (2)样本容量越大,这种估计越精确。
(3)当样本容量无限增大,组距无限缩小, 那么频率分布折线图就会无限接近于一条光滑 曲线——总体密度曲线。

(4)它能够精确地反映了总体在各个范围内取 值的百分比,它能给我们提供更加精细的信息 .

总体密度曲线
频率 组距

月均用 水量/t

a

b

(图中阴影部分的面积,表示总体在 某个区间 (a, b) 内取值的百分比)。

40

2. 在样本的频率分布直方图 1:3:3:1:2 中,共有 5 个小长方形,已 知中间一个小长方形面积是 其余 4 个小长方形面积之和 D 的 ,且中间一组的频 数为 10 ,则这个样本容量是 ______

0.2
1 3

3. 在求频率分布时,把数据 分为 5 组,若已知其中的前 四 组 频 率 分 别 为 0.1,0.3,0.3,0.1 , 则 第 五 组的频率是 _____, 这五组的

初中我们学过用平均数、众数和中位数反映总体的 水平,用方差考察稳定程度。

我们还有一种简易的方法,就是将这些数据有条理 的列出来,从中观察数据的分布情况,这种方法就 是茎叶图。
制作茎叶图的方法

将所有两位数的十位数字作为“茎”,个位数字作 为“叶”,茎相同者共用一个茎,茎按从小到大的 顺序从上向下列出,共茎的叶一般按从大到小(或 从小到大)的顺序同行列出。

例1:某篮球运动员在某赛季各场比赛的得 分情况如下:12,15,24,25,31,31,36, 36,37,39,44,49,50 茎叶图: 茎: 十位 数字
重复出现的数据要重复记录, 不能遗漏;特别是“叶”部分; 1 2

3
4 5

116679

25 45

49
0

叶:表 示个位 数字

例题:
某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原 始记录如下﹕
(1)甲运动员得分:

13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39;
(2) 乙运动员得分:

49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25, 36,39.

(1)甲运动员得分:13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39 (2)乙运动员得分: 49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39

茎叶图
甲 乙

8 4 8 9 6 6 3 3 3 8

0 1 2 4 1 9 5 5 1 6 7 6 9

2
3

4 1
5





(福建高考)某校开展“爱我海西、爱我家乡” 摄影比赛, 9 位评委为参赛作品 A 给出的分数如茎 叶图所示,记分员在去掉一个最高分和一个最低 分后,算得平均分为 91 ,复核员在核对时,发现 1 有一个数字(茎叶图中的x)无法看清,如记分员 计算无误,则数字 x 作品 A应该是______
8 8 9 2 9 3 9 X 2 1 4

茎叶图的特征
(1)优点: 1.从统计图上没有原始数据信息的损失, 所有数据信息都可以从茎叶图中得到
2.茎叶图中的数据可以随时记录,随时 添加,方便记录与表示

(2)缺点: 茎叶图只便于表示两位有效数字的数据, 而且茎叶图只方便记录两组的数据,两个 以上的数据虽然能够记录,但是没有表示 两个记录那么直观,清晰.

小结 图形 频率分布 直方图 2)直观地表明分布的情况 信息 优点 1)易表示大量数据 缺点 丢失一些

1)无信息损失
茎叶图

只能处理样本

2)随时记录方便记录和表示 容量较小数据

P71 练习3:
下表一组数据是某车间30名工人加工零件的个数, 设计一个 茎叶图表示这组数据,并说明这一车间的生产情况.

134 112 117 126 128 124 122 116 113 107 116 132 127 128 126 121 120 118 108 110 133 130 124 116 117 123 122 120 112 112 茎叶图:
频数 2 11 13 4 茎 10 11 12 13 叶 7 8 0 2 2 2 3 6 6 7 7 8 0 0 1 2 2 3 4 4 6 7 8 8 0 2 3 4


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