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第二章 集合和简易逻辑


第二章 集合和简易逻辑

一、集合的概念
通常把由某些确定的对象组成的整体叫做集合(简称集). 组成集合的对象叫做这个集合的元素.

一般采用大写英文字母A,B,C?表示集合,
小写英文字母a,b,c? 表示集合的元素.

集合的性质:确定性;互异性;无序性

元素与集合的关系



元素与集合

元素a是集合A
. 的元素,

元素a不是集合A
的元素, 记作a

记作a∈A, 读作a属于A.

?A,

读作a不属于A.

一些特殊的集合
有限集: 含有有限个元素的集合 无限集: 含有无限个元素的集合

不含任何元素的集合,记作 空集:
数集: 元素为数的集合

?

常用的数集
实数集: 全体实数组成的集合,用“ R ”表示;
全体有理数组成的集合,用“ Q ”表示; 有理数集: 整数集: 全体整数组成的集合,用“ Z ”表示; 正整数集:全体正整数组成的集合,用“ N * ”表示; 全体自然数组成的集合,用“ N ”表示 ; 自然数集:

(注:自然数包括0,故 0∈N ,自然数集为非负整数集)

用符号“? ”或“? ”填空:
0

?

N; 0.6 Q; 0

?

Z; π

?

R;

1 3

?

?

?.

元素a是集合A的元素,

元素a不是集合A的元素,

a∈A,属于

a

? A,不属于

二、集合的表示方法
列举法: 把集合的元素一一列举出来,写在大括号 内,元素之间用逗号隔开 .
例如:“不大于3的自然数”这个集合元素为:0、1、2、3,

描述法:大括号内画一条竖线,竖线的左侧为集合 用列举法可表示为: {0,1,2,3}

的代表元素,竖线的右侧为元素所具有的特征性质.
2 这里的代表元素一般用 x , y 表示,例如:“不大于3 的整数”这个集合的元素无法一一列举,但具有明显特 征:1、均为整数;2、均不大于3。故用描述法可表示 为: {x | x ? 3, x ? Z }

三、集合与集合的关系
1、包含关系
如果集合B的元素都是集合A的元素,那么称集合A包含集合 B,并把集合B叫做集合A的子集.

A ? B A包含B ; B ? A B包含于A

A

B

A? A

?? A

例 1 用符号“ ? ” 、 “?” 、 “ ? ”或“ ? ”填空: (1)

?a, b, c, d ? ? ?a, b? ;(2)

?

? ?1 , 2 ,? 3 ;

(3) N (5) d

?Q ;

(4) 0 (6)

?R ;
0? x ? ? 6.

??a, b, c? ;
.

?x | 3 ? x ? 5? ? ?x |

“ ? ” 与“ ? ”用来表示集合与集合之间关系的符号

“?”与“?”用来表示元素与集合之间关系的符号

2、真包含关系
如果集合B是集合A的子集,并且集合A中至少有一个元素不 属于集合B,那么把集合B叫做集合A的真子集.

A 蒈B A真包含B ; B

A B真包含于A

?? A (A非空)



写出集合{a,b,c}的所有子集,并指出真子集

解: {a,b,c}的所有子集是: 没有元素的集合:?; 只有一个元素的集合:?a?; ?b?; ?c?; 只有两个元素的集合:?a,b?; ?a,c?; ?b,c?; 只有三个元素的集合: ?a,b,c?.

?;?a?; ?b?; ?c?; 其中真子集为: ?a,b?; ?a,c?; ?b,c?;
即除了集合 ?a,b,c?(自身)之外所有子集

空集 ? 与 {?} 的区别于联系

3、相等关系
一般地,如果两个集合的元素完全相同,那么就说这两个 集合相等.

A? B

A等于B

如果 A ? B ,同时 B ? A ,那么集合 A = B

四、集合与集合的运算
1、集合的交集

一般地,对于两个给定的集合A、B,由集合A、B 的相同元素 所组成的集合叫做A与B的交集,记作A∩B (读作“A交B”).

A ? B ? ?x x ? A且x ? B?
.

1、(2002成考题)设集合 A ? {1,2} ,集合 B ? {2,3,5} , 则 A ? B 等于( A ) {2,5} {1, 2,3,5} (C){1,3} (D) {2} (B) ( A)
01 , , 2? , 2、(2006成考题)设集合 M=??1, N= ?0,1 , 2, 3? ,则 集合 M ? N= ( B ) 01 , , 2, 3? 01 , (A) 1?(B) ??1, ? (D)??1, 1, 2? (C) ?0, ?0,

2、集合的并集

一般地,对于两个给定的集合A、B,由集合A、B的所有 元素组成的集合叫做集合A与集合B的并集,记作A∪B (读作

“A并B”).

A ? B ? ? x x ? A 或 x ? B?
.

1、(2008成考题)设集合 A ? {2, 4, 6} ,集合 B ? {1, 2,3} , 则 A ? B 等于( B ) {1,2,3,4,5,6} {2, 4,6} (D) {1,2,3} {4} (B) ( A) (C )
2 2 M ? ( x , y ) x ? y ?1 2、(2003成考题)设集合

N ? ( x, y) x 2 ? y 2 ? 2 ,则集合M与集合N的关系为( D)

?

?

?

? ,集合

(A)M ? N=M (C)N ? M

(B) M ? N=? (D) M ? N

1

交集和并集有什么区别?(含义和符号 )

2

集合交运算和并运算各自的特点是什么?

A∩B={ x | x ∈A 且 x ∈B} A . ∪B={ x | x ∈A 或 x ∈B} 交运算是要寻找两个集合相同元素;
并运算是将两个集合中所含的所有的元素进行合并.

1、(2001成考题)设集合 M ? {1, 2,3, 4,5}, N ? {2, 4, 6},

T={4,5,6} ,则 (M ? T ) ? N ? (

A



( A) {2, 4,5,6} (C ) {1,2,3,4,5,6}

(B){4,5,6} (D){2,4,6}

全集

如果一个集合含有我们所研究的各个集合的全部元素,
在研究过程中,可以将这个集合叫做全集,一般用U来表示,

所研究的各个集合都是这个集合的子集.
.

在研究数集时,常把实数集R作为全集.

补集

如果集合A是全集U子集,那么,由U中不属于A的所有元 素组成的集合叫做集合A在全集U中的补集.

? U A ? ? x x ? U 且 x ? A?
.

五、 简易逻辑
一个数学命题由条件和结论两部分组成, 条件与结论: 如果假设 A 是条件,B 是结论,那么命 题可表示为“如果 A 成立,那么 B 成立”

充分条件:

如果 A 成立,那么 B 成立,即 A ? B 则称 A 是 B 的充分条件

必要条件:
充要条件:

如果 B 成立,那么 A 成立,即 B ? A 则称 A 是 B 的必要条件

如果 A 既是 B 的充分条件又是 B 的必要条 件,即
A ? B 且 B ? A ,则称 A 是 B 的充

分必要条件,简称充要条件

条件 p,结论 q”

条件
p p q ?

结论

成立
.

成立

p 是 q 的充分条件 成立

p 是 q 的必要条件

?q

成立

p
成 立

?q

p 是 q 的充要条件

成 立

例 1 指出下列各组条件和结论中,条件 p 与结论 q 的关系. (1)p: x ? y ,q: x ? y ; (2) p : x ? 2 , q : x ? 0 .

x? y? x ? y
.



x? y? x ? y



x ? 2? ?x?0

x?2? x?0 ?

1、(2007成考题)若

x、 y 为实数,设甲: x2 ? y 2 ? 0 ;
D )

乙: x

? 0 ,y ? 0 ,则 (

(A)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件;

(B)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件;
(C)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件; (D)甲是乙的充分必要条件。

? 1 且 b ? 1 ;乙:直 线 y ? kx ? b 与直线 y ? x 平行,则 ( B )
1、(2003成考题)设甲:k

(A)甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件;

(B)甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件;
(C)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件; (D)甲是乙的充分必要条件。


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