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2013届高三理科数学高考专题训练1 集合、函数与导数 Word版含答案]


高考专题训练一

集合与常用逻辑用语
分值:75 分 总得分________

班级________ 姓名________ 时间:45 分钟

一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小 题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项填在答题卡上. 1.(2011· 福建)i 是虚数单位,

若集合 S={-1,0,1},则( A.i∈S B.i2∈S C.i3∈S 2 D. ∈S i )

解析:i2=-1∈S,故选 B. 答案:B 2.(2011· 辽宁)已知 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M、N 不 相等,若 N∩?IM=?,则 M∪N=( A.M C.I ) B.N D.?

解析:用韦恩图可知 N M,∴M∪N=M.

答案:A 3.(2011· 广东)设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果?a,b∈S, 有 ab∈S,则称 S 关于数的乘法是封闭的,若 T,V 是 Z 的两个不相 交的非空子集,T∪V=Z 且?a,b,c∈T,有 abc∈T;?x,y,z ∈V,有 xyz∈V,则下列结论恒成立的是( A.T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B.T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的 )

C.T,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D.T,V 中每一个关于乘法都是封闭的 解析:取 T={x|x=2n-1,n∈Z},V={x|x=2n,n∈Z} 则此时 T,V 对乘法均封闭且满足条件 取 T={x|x=2n-1,n∈Z 且 n≠0,n≠1}, V={x|x=-1 或 x=1 或 x=2n,n∈Z} 则此时 T,V 均满足条件,但 T 对乘法封闭,V 对乘法不封闭. 由此可知,V、T 中至少有一个关于乘法封闭. 答案:A 4.(2011· 陕西)设 a,b 是向量,命题“若 a=-b,则|a|=|b|”的 逆命题是( )

A.若 a≠-b,则|a|≠|b| B.若 a=-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则 a≠-b D.若|a|=|b|,则 a=-b 解析:由互逆命题的关系知,选 D. 答案:D 5.(2011· 湖北)若实数 a,b 满足 a≥0,b≥0,且 ab=0,则称 a 与 b 互补,记 φ(a,b)= a2+b2-a-b,那么 φ(a,b)=0 是 a 与 b 互补的( )

A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:φ(a,b)= a2+b2-a-b=0

即 a2+b2=a+b,则 a2+b2=a2+b2+2ab, ∴ab=0,∴a≥0,b≥0,且 a 与 b 互补. 答案:C 6.已知下列各组命题,其中 p 是 q 的充分必要条件的是( )

A.p:m≤-2 或 m≥6;q:y=x2+mx+m+3 有两个不同的零 点 B.p: f?-x? =1;q:y=f(x)是偶函数 f?x?

C.p:cosα=cosβ;q:tanα=tanβ D.p:A∩B=A;q:A?U,B?U,?UB??UA 解析:对于 A,由 y=x2+mx+m+3 有两个不同的零点,可得 Δ =m2-4(m+3)>0,从而可得 m<-2 或 m>6.所以 p 是 q 的必要不充 分条件; 对于 B,由 f?-x? =1?f(-x)=f(x)?y=f(x)是偶函数,但由 y= f?x? f?-x? =1,例如函数 f(x)=0,所以 p 是 q 的充 f?x?

f(x)是偶函数不能推出 分不必要条件;

对于 C,当 cosα=cosβ=0 时,不存在 tanα=tanβ,反之也不成 立,所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件; 对于 D,由 A∩B=A,知 A?B,所以?UB??UA;反之,由?UB ??UA,知 A?B,即 A∩B=A.所以 p?q. 综上所述,p 是 q 的充分必要条件的是 D,故选 D. 答案:D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案 填在题中横线上.

7.(2011· 上海)若全集 U=R,集合 A={x|x≥1}∪{x|x≤0},则?
UA=________.

解析:∵U=R,A={x|x≥1}∪{x|x≤0}={x|x≤0 或 x≥1}∴?UA ={x|0<x<1}. 答案:{x|0<x<1} 5 8.设集合 M={(x,y)|x=(y+3)· |y-1|+(y+3),- ≤y≤3},若 2 (a,b)∈M 且对 M 中的其他元素(c,d),总有 c≥a,则 a=________. 解析: 读懂并能揭示问题中的数学实质, 将是解决该问题的突破 口.怎样理解“对 M 中的其他元素(c,d),总有 c≥a”?M 中的元 素又有什么特点?依题可知,本题等价于求函数 x=f(y)=(y+3)· |y- 5 1|+(x+3)在- ≤y≤3 时的最小值. 2 5 (1)当- ≤y≤1 时,x=(y+3)· |y-1|+(y+3)=-y2-y+6=- 2
? 1? 25 5 9 ?y+ ?2+ ,y=- 时,xmin= . 2? 4 2 4 ? ? 3? 9 (2)当 1≤y≤3 时, x=(y+3)(y-1)+(y+3)=y2+3y=?y+2?2- , 4 ? ?

当 y=1 时,xmin=4. 9 5 9 9 而 4> ,因此当 y=- 时,x 有最小值 ,即 a= . 4 2 4 4 答案: 9 4
? ?

?1? 9. 已知 f(x)=x2, g(x)=?2?x-m, 若对?x1∈[-1,3], ?x2∈[0,2],

f(x1)≥g(x2),则实数 m 的取值范围是________. 1 解析:由已知可得 fmin(x1)≥gmin(x2),即 0≥ -m, 4

1 ∴m≥ . 4 1 答案:m≥ 4 10.(2011· 安徽“江南十校联考”)给出下列命题: ①y=1 是幂函数; ②函数 f(x)=2x-x2 的零点有 2 个;
? ? 1 ③?x+x+2?5 展开式的项数是 6 项; ? ?

④函数 y=sinx(x∈[-π,π])的图象与 x 轴围成的图形的面积是 S=?π sinxdx; ?- π ⑤若 ξ~N(1,σ2),且 P(0≤ξ≤1)=0.3,则 P(ξ≥2)=0.2. 其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的编号).

解析:y=1 不是幂函数,①是假命题;作出函数 y=2x、y=x2 的图象,知函数 f(x)=2x-x2 有 3 个零点(1 负 2 正,2 正分别是 2、
? 1 ? 4),②错误;?x+x+2?5 的展开式含有 x5、x4、?x-5 共 11 项,③错 ? ?

误;?π sinxdx=-cosx|π -π=0, ?- π ④显然错误,函数 y=sinx(x∈[-π,π])的图象与 x 轴围成的图 形的面积应为?π |sinx|dx;如图,P(0≤ξ≤1)表示 x=0、x=1 与正 ?- π 态密度曲线围成区域的面积,由正态密度曲线的对称性知:x=1、x

=2 与正态密度曲线围成区域的面积为 0.3, P(ξ≥2)表示 x≥2 与正态 密度曲线围成区域的面积, P(ξ≥2)= 答案:⑤ 三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 11. (12 分)已知 p: 方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的负根; q: 方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围. 解 : 若 方 程 x2 + mx + 1 = 0 有 两 个 不 相 等 的 负 根 , 则
?Δ=m2-4>0, ? ? 解得 m>2,即 p:m>2. ? ?m>0,

1-2×0.3 =0.2,⑤正确. 2

若方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根,则 Δ=16(m-2)2-16= 16(m2-4m+3)<0,解得 1<m<3,即 q:1<m<3.因 p 或 q 为真,所以 p、 q 至少有一个为真, 又 p 且 q 为假, 所以 p、 q 至少有一个为假. 因 此,p、q 两命题应一真一假,即 p 真 q 假,或 p 假 q 真.所以
? ? ?m>2, ?m≤2, ? 或? ? ? ?m≤1或m≥3, ?1<m<3,

解得 m≥3 或 1<m≤2. 12.(13 分)设 A,B 是两个非空集合,定义 A 与 B 的差集 A-B ={x|x∈A,且 x?B}. (1)试举出两个数集,求它们的差集; (2)差集 A-B 与 B-A 是否一定相等,说明你的理由; (3)已知 A={x|x>4},B={x||x|<6},求 A-(A-B)和 B-(B-A), 由此你可以得到什么结论?(不必证明).

解:(1)如 A={1,2,3},B={2,3,4},则 A-B={1}. (2)不一定相等,由(1)B-A={4},而 A-B={1},故 A-B≠B -A;又如,A=B={1,2,3}时,A-B=?,B-A=?,此时 A-B=B -A.故 A-B 与 B-A 不一定相等. (3)因为 A- B= {x|x≥6}, B- A= {x|- 6<x≤4}, A- (A- B)= {x|4<x<6},B-(B-A)={x|4<x<6},由此猜测一般对于两个集合 A、 B,有 A-(A-B)=B-(B-A).


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