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人教版高中数学必修一 第二章 基本初等函数知识点总结


人教版高中数学必修一第二章基本初等函 数知识点总结
第二章基本初等函数
一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念: 负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 =0。 注意:(1) ( n a )n ? a (2)当 n 是奇数时, a ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ?
n n

/>?a, a ? 0 ??a, a ? 0

2.分数指数幂 正数的正分数指数幂的意义,规定: a 正数的正分数指数幂的意义: a
_ m n

m n

? n a m (a ? 0, m, n ? N ? , 且n ? 1)
(a ? 0, m, n ? N ? , 且n ? 1)

?

1 a
m n

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1) ar a s ? ar ? s (a ? 0, r, s ? R) (2) (a ) ? a (a ? 0, r, s ? R)
r s rs

(3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? R)
r r r

注意:在化简过程中,偶数不能轻易约分;如 [(1 ? 2) ]2 ? 1 ? 2而应= 2 ? 1 (二)指数函数及其性质
2

1

1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a x 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域 为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1.即 a>0 且 a≠1 2、指数函数的图象和性质
0<a<1 a>1

图 像

定义域 R ,

值域(0,+∞)

(1)过定点(0,1),即 x=0 时,y=1

(2)在 R 上是减函数 性质 (3)当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1 图象特征 向 x 轴正负方向无限延伸 函数图象都在 x 轴上方 共性 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都过定点(0,1) 自左向右看,图象逐渐下降 在第一象限内的图象纵坐标都小于 1 0<a<1 在第二象限内的图象纵坐标都大于 1 图象上升趋势是越来越缓 自左向右看,图象逐渐上升 在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 a>1 在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 图象上升趋势是越来越陡

(2)在 R 上是增函数 (3)当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1 函数性质 函数的定义域为 R 函数的值域为 R+ 非奇非偶函数 过定点(0,1) 减函数 当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1 函数值开始减小极快, 到了某一值后减小速度较慢; 增函数 当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1 函数值开始增长较慢, 到了某一值后增长速度极快;

注意:指数增长模型:y=N(1+p)x 指数型函数: y=kax 3 考点: (1)ab=N, 当 b>0 时,a,N 在 1 的同侧;当 b<0 时,a,N 在 1 的异侧。 (2)指数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比 较幂的大小,同底找对应的指数函数,底数不同指数也不同插进 1(=a0)进行传递或者 利用(1)的知识。 (3)求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子,值域求法用单调性。 (4)分辨不同底的指数函数图象利用 a1=a,用 x=1 去截图象得到对应的底数。 (5)指数型函数:y=N(1+p)x 简写:y=kax 二、对数函数 (一)对数
x 1. 对数的概念: 一般地, 如果 a ? N , 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作: x ? log a N

( a—底数, N—真数, log a N —对数式) 说明:1. 注意底数的限制,a>0 且 a≠1;2. 真数 N>0 3. 注意对数的书写格式. 2、两个重要对数: (1)常用对数:以 10 为底的对数, log10 N记为lg N ; (2)自然对数:以无理数 e 为底的对数的对数 , loge N记为ln N . 3、对数式与指数式的互化

x ? loga N ? a x ? N
对数式指数式 对数底数← a →幂底数 对数← x →指数 真数← N →幂 结论: (1)负数和零没有对数 (2)logaa=1, loga1=0 特别地, lg10=1,lg1=0 ,lne=1,ln1=0

(3) 对数恒等式: a a ? N (二)对数的运算性质 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有: 1、 log( ? loga M ? loga N 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 a M ? N)
log N

M ? log a M ? log a N 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 N 3 、 loga M n ? n loga M 一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数 n 倍 (n ? R)
2 、 log a 说明: 1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”…… 2) 有时可逆向运用公式 3)真数的取值必须是(0,+∞) 4)特别注意: loga MN ? loga M ? loga N

loga ?M ? N ? ? loga M ? loga N log c b lg b 注意:换底公式 log a b ? ? ? a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0 ? log c a lg a
利用换底公式推导下面的结论 ① loga b ?

n 1 n ② loga b ? logb c ? logc d ? loga d ③ log a m b ? log a b m logb a

(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? log a x (a>0,且 a≠1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函 数的定义域是(0,+∞) . 注意: (1)对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 如: y ? loga

x ?1 , y ? loga x ? 2 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.

(2)对数函数对底数的限制:a>0,且 a≠1

2、对数函数的图像与性质:对数函数 y ? log a x (a>0,且 a≠1)
0 < a < 1 a > 1

y

y

图 像

0

(1,0)

x 0 (1,0) x

定义域:(0,+∞)值域:R 过点(1 ,0), 即当 x =1 时,y=0 性 质 在(0,+∞)上是减函数 当 x>1 时,y<0 当 x=1 时,y=0 在(0,+∞)上是增函数 当 x>1 时,y>0 当 x=1 时,y=0

当 0<x<1 时,y>0

当 0<x<1 时,y<0

重要结论: 在 log b 中, 当 a ,b 同在(0,1)或(1,+∞)内时, 有 log b>0; a a 当 a,b 不同在(0,1) 内,或不同在(1,+∞)内时,有 log b<0. a 口诀:底真同大于 0(底真不同小于 0). (其中,底指底数,真指真数,大于 0 指 log b 的值)3、如图,底 a 数 a 对函数 y ? loga x 的影响。 规律: 底大枝头低, 头低尾巴翘。 4 考点: Ⅰ、logab, 当 a,b 在 1 的同侧时, logab>0;当 a,b 在 1 的异侧时, logab<0 Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性 比较对数的大小,同底找对应的对数函数,底数不同真数也不同利用(1)的知识不 能解决的插进 1(=logaa)进行传递。 Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0,值域求法用单调性。 Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用 1=logaa,用 y=1 去截图象得到对应的底数。 Ⅴ、y=ax(a>0 且 a ≠1) 与 y=logax(a>0 且 a ≠1) 互为反函数,图象关于 y=x 对称。

5 比较两个幂的形式的数大小的方法: (1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.

(2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断. (3) 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用 1 和 0. 6 比较大小的方法 (1) 利用函数单调性(同底数);(2) 利用中间值(如:0,1.) ;(3) 变形后比较;(4) 作 差比较 (三)幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x? 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (2) α >0 时, 幂函数的图象通过原点, 并且在[0,+ ∞) 上是增函数. 特 别地,当α >1 时,幂函数的图象下凸;当 0<α <1 时,幂函数的图象 上凸; (3)α <0 时,幂函数的图象在(0,+∞)上是减函数.在第一象限 内, 当 x 从右边趋向原点时, 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴, 当 x 趋于+∞时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.


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