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高二双曲线练习题[1]


高二数学双曲线同步练习
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.到两定点 F1 ?? 3,0? 、F2 ?3,0? 的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹 ( A.椭圆 B.线段 C.双曲线 D.两条射线 2 2 x y 2.方程 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 1? k 1? k ( ) A. ?1 ? k ? 1 B

. k ? 0 C. k ? 0 D. k ? 1 或 k ? ?1 2 2 x y 3. 双曲线 2 ? ? 1 的焦距是 m ? 12 4 ? m2 ( ) )

A.4 B. 2 2 C .8 D.与 m 有关 2 4.已知 m,n 为两个不相等的非零实数,则方程 mx-y+n=0 与 nx +my2=mn 所表示的曲线可 能是 y y y y ( o x o x o x o x )

A B C D 5. 双曲线的两条准线将实轴三等分,则它的离心率为 ( ) 3 4 A. B.3 C. D. 3 2 3 x2 6 . 焦 点 为 ?0,6? , 且 与 双 曲 线 ? y2 ? 1 有 相 同 的 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 是 2 ( )
y x y x x y C. D. ? ?1 ? ?1 ? ?1 12 24 24 12 24 12 x2 y2 x2 y2 7.若 0 ? k ? a ,双曲线 2 ? 2 ? 1 与双曲线 2 ? 2 ? 1 有 a ?k b ?k a b ( ) A.相同的虚轴 B.相同的实轴 C.相同的渐近线 D. 相同的焦点

A.

x y ? ?1 12 24

2

2

2

2

2

2

2

2

B.

8.过双曲线

x2 y2 ? ? 1 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6,则 ?ABF2 (F2 为右焦点)的周长是 16 9
1



) A.28

B.22

C.14

D.12

2 9.已知双曲线方程为 x 2 ? y ? 1 ,过 P(1,0)的直线 L 与双曲线只有一个公共点,则 L 4

的 ( ) A.4 条

条 B.3 条

数 C.2 条
2

共 D.1 条
2



10.给出下列曲线:①4x+2y-1=0; ②x2+y2=3; ③

x x ? y2 ?1 ④ ? y 2 ? 1 ,其中与直线 2 2

y=-2x-3 有交点的所有曲线是 ( ) A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④ 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) x2 y2 11.双曲线 ? ? 1 的右焦点到右准线的距离为__________________________. 9 7 10 x2 y2 12.与椭圆 ? ? 1 有相同的焦点,且两准线间的距离为 的双曲线方程为 3 16 25 ____________. x2 y2 13.直线 y ? x ? 1 与双曲线 ? ? 1 相交于 A, B 两点,则 AB =__________________. 2 3 x2 4.过点 M (3,?1) 且被点M平分的双曲线 . ? y 2 ? 1 的弦所在直线方程为 4 三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15.求一条渐近线方程是 3x ? 4 y ? 0 ,一个焦点是 ?4,0? 的双曲线标准方程,并求此双曲线 的离心率. (12 分)

16.双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 ?a ? 0? 的两个焦点分别为 F1 , F2 , P 为双曲线上任意一点,求证:
PF PO、 PF2 1、

成等比数列( O 为坐标原点) . (12 分)

2

17.已知动点 P 与双曲线 x2-y2=1 的两个焦点 F1,F2 的距离之和为定值,且 cos∠ F1PF2 1 的最小值为- . 3 (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)设 M(0,-1),若斜率为 k(k≠0)的直线 l 与 P 点的轨迹交于不同的两点 A、B, 若要使|MA|=|MB|,试求 k 的取值范围. (12 分)

18.已知不论 b 取何实数,直线 y=kx+b 与双曲线 x 2 ? 2 y 2 ? 1 总有公共点,试求实数 k 的取值范围.(12 分)

3

19.设双曲线 C1 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,A、B 为其左、右两个顶点,P 是 a2 b2

双曲线 C1 上的任意一点,引 QB⊥PB,QA⊥PA,AQ 与 BQ 交于点 Q. (1)求 Q 点的轨迹方程; (2)设(1)中所求轨迹为 C2,C1、C2 的离心率分别为 e1、e2,当 e1 ?

2 时,e2 的取值范围(14 分)

20.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时 听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中 心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s : 相关各点均在同一平面上).(14 分)

4

参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 C 5 B 6 B 7 D 8 A 9 B 10 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.

7 4

12.

y2 x2 ? ?1 5 4

13. 4 6

14. 3 x ? 4 y ? 5 ? 0

三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15. (12 分)[解析]:设双曲线方程为: 9 x 2 ? 16y 2 ? ? ,∵双曲线有一个焦点为(4,0) ,?? ? 0
2 2 2 双曲线方程化为: x ? y ? 1 ? ? ? ? ? 16 ? ? ? 48 , ? ? 9 16 25 9 16 2 2 ∴双曲线方程为: x ? y ? 1 ∴e ? 4 ? 5 . 256 144 16 4 25 25 5

16. (12 分)[解析]:易知 b ? a, c ? 2a, e ? 2 ,准线方程: x ? ? 则
PF 1 ? 2(x ? a 2 )

a ,设 P?x, y ? , 2

PO ? x2 ? y2



PF2 ?

2 (x ?

a 2

)



2 ? PF 1 ? PF 2 ? 2( x ?

a2 ) ? 2 x2 ? a2 2
2

? x2 ? ( x2 ? a2 ) ? x2 ? y2 ? PO

? PF PO、 PF2 成等比数列. 1、

17. (12 分) [解析]:(1)∵ x2-y2=1,∴c= 2.设|PF1|+|PF2|=2a(常数 a>0),2a>2c=2 2,∴a> 2 |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 (|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-|F1F2|2 2a2-4 由余弦定理有 cos∠F1PF2= = = - 2|PF1||PF2| 2|PF1||PF2| |PF1||PF2| 1 |PF1|+|PF2| 2 ∵|PF1||PF2|≤( ) =a2,∴当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1||PF2|取得最大值 a2. 2 2a2-4 2a2-4 1 此 时 cos∠F1PF2 取 得 最 小 值 -1,由题意 - 1 = - , 解 得 a2 = 3 , a2 a2 3 x2 ∴P 点的轨迹方程为 +y2=1. 3

?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ? 2 ? 1

? x2 2 ? ? y ?1 (2)设 l: y=kx+m(k≠0), 则由, ?3 ? y ? kx ? m ?

① ②

将②代入①得: (1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0

(*)

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB 中点 Q(x0,y0)的坐标满足:x0=

x1+x2 -3km m = ,y =kx0+m= 2 1+3k2 0 1+3k2

3km m 即 Q(- , ) ∵|MA|=|MB|,∴M 在 AB 的中垂线上, 1+3k2 1+3k2 5

m +1 1+3k2 1+3k2 ∴klkAB=k· =-1 ,解得 m= …③ 又由于(*)式有两个实数根,知△>0, 3km 2 - 2 1+3k 2 即 (6km) -4(1+3k2)[3(m2-1)]=12(1+3k2-m2)>0 ④ ,将③代入④得 1+3k2 2 12[1+3k2-( ) ]>0,解得-1<k<1,由 k≠0,∴k 的取值范围是 k∈(-1,0)∪(0,1). 2 ? y ? kx ? b ? 2 x ? 2y2 ?1 18. (12 分)[解析]:联立方程组 ? 消去 y 得(2k2-1)x2+4kbx+(2b2+1)=0, 当 1 ? 2k 2 ? 0, 即k ? ?
2 2 若 b=0,则 k ? ? ;若 b ? 0 ? x ? ? 2b ? 1 ,不合题意. 时, 2 2 2b

2 2 当 1 ? 2k 2 ? 0, 即k ? ? 2 时, 依题意有△=(4kb)2-4(2k2-1)(2b2+1)>0, ? 2k ? 2b ? 1 对所有实

2

数 b 恒成立,?2k 2 ? (2b 2 ? 1) min ∴2k2<1,得 ? 19. (14 分)[解析]: (1)解法一:设 P(x0,y0), Q(x ,y )

2 2 ?k? 2 2

Q
.

? A(?a,0), B (a,0), QB ? PB, QA ? PA y ? y0 ? x ? a ? x ? a ? ?1?? (1) ? 0 ?? ? y0 ? y ? ?1?? (2) ? ? x0 ? a x ? a
由(1) ? (2)得 : y2 0 x2 ? a2 x2 ? a2 0 ? y2

? 1?? (3)

?

x2 0 a2

?

y2 0 b2

? 1,?

y2 0 x2 ? a2 0

?

b2 a2

代入(3)得b 2 y 2 ? x 2 a 2 ? a 4 , 即a 2 x 2 ? b 2 y 2 ? a 4
经检验点 (?a,0), (a,0) 不合,因此 Q 点的轨迹方程为:a2x2-b2y2=a4(除点(-a,0),(a,0)外). 解法二:设 P(x0,y0), Q(x,y), ∵PA⊥QA ∴

y0 y ? ? ?1 ……(1)连接 PQ,取 PQ 中点 R, x0 ? a x ? a

? PA ? QA, QB ? PB,?| RA |?

1 1 | PQ |, | RB |? | PQ |,?| RA |?| RB |,? R点在y轴上 2 2 x0 ? x y y x2 ? a2 ? ? 0, 即x 0 ? ? x ?? (2), 把(2)代入(1)得 : 2 0 2 ? ?1,? y 0 ? 0 ?? (3) 2 y a ?x 把(2)(3)代入
2 x0

a2

?

2 y0

b2

? 1, 得

x2 a2

?

(x 2 ? a 2 ) 2 y 2b 2

? 1.? x ? ? a时, 不合题意,? x 2 ? a 2 ? 0

整理得 : a 2 x 2 ? b 2 y 2 ? a 4 ,? Q点轨迹方程为a 2 x 2 ? b 2 y 2 ? a 4 (除去点(?a,0), (a,0)外)
(2)解 :由(1)得C 2的方程为 x
2

a2

?

y

2

a2 ? ? 1, e2 ?

a4 b2

2 2 1 b 2 ? 1? a ? 1? a ? 1? 2 2 2 2 a b c ? a2 e ?1

a4

? 2, ?1 ? e ? 2 ( 2 ) 2 ?1 20. (14 分)[解析]:以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系.设 A、 B、C 分别是西、东、北观测点,则 A(-1020,0) ,B(1020,0) ,C(0,1020) 6

? e1 ? 2 ,

2 ? e2 ? 1?

1

设 P(x,y)为巨响为生点,由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上, PO 的方程为 y=-x,因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故|PB|- |PA|=340×4=1360 2 2 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 x ? y ? 1 上, 依题意得 a=680, c=1020, a2 b2
2 ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 10202 ? 6802 ? 5 ? 3402 , 故双曲线方程为 : x 2 ?

y2 5 ? 3402

680

?1

用 y=-x 代入上式,得 x ? ?680 5 ,∵|PB|>|PA|, ? x ? ?680 5 , y ? 680 5 ,

即P(?680 5,680 5 ), 故PO ? 680 10 ,答:巨响发生在接报中心的西偏北 45°距中心 680 10m 处.

7


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