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3 甘肃省兰州市2014届高三第一次诊断考试数学(理)试题


兰州市 2014 高三第一次诊断考试数学(理科)试卷
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第 II 卷用 0.5 毫 米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答案无效。 第Ⅰ卷 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求) 1. 已知集合 P ? { x | x( x ? 3) ? 0 } , Q ? { x || x |? 2 } ,则 P ? Q ? ( ) A. ( ? 2 , 0 ) 答案 B 解析 ? P ? {x | 0 ? x ? 3}, Q ? {x | ?2 ? x ? 2},? P ? Q ? (0,2) . 2. i 是虚数单位,复数 A. 2 ? i 答案 A 解析 ? B. ( 0 , 2 ) C. ( 2 , 3 ) D. ( ? 2 , 3 )

3?i = ( 1? i
B. 1 ? 2 i

) C. 1 ? 2i D. 2 ? i

3 ? i (1 ? i )(3 ? i ) ? ? 2?i. 1 ? i (1 ? i )(1 ? i )

3.将函数 y ? sin( x ?

?
6

)(x ? R ) 的图象上所有的点向左平移

? 个单位长度,再把图象上各 4

点的横坐标扩大到原来的 2 倍,则所得的图象的解析式为( A. y ? sin(2 x ? C. y ? sin( ? 答案 B 解析 将函数 y ? sin(x ?



x ? )( x ? R) 2 12

5? )( x ? R) 12

B. y ? sin( ?

x 5? )( x ? R) 2 12 x 5? D. y ? sin( ? )( x ? R) 2 24

?
6

)(x ? R )的图象上所有的点向左平移

? 5? ? ) ? sin( x ? ) 的图象, 再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍得函 4 6 12 1 5? )( x ? R ) . 数, y ?? sin( x ? 2 12
y ? sin( x ?
4.

?

? 个单位长度的函数 4

-1-

如图为一个几何体的三视图,尺寸如图所示,则该几何体的体积为 ( A. 3 ? 答案 D 解 析

) D. 3 3 ?

?
6

B. 3 ?

4 ? 3

C. 3 3 ?

4 ? 3

?
6

依题 意,原 几 何体 是 一个 三棱 柱 上面 放 一个 球题 , 其体 积

1 4 1 ? ? 2 ? 2 ? sin 60 ? ? ? ? ( ) 3 ? 3 ? . 2 3 2 6 5.设 a=log3 2,b=log2 3,c= log 1 5 ,则( V?
2

) C. c ? a ? b D. b ? c ? a

A. c ? b ? a 答案 C

B. a ? c ? b

解析 ? 0 ? log3 2 ? 1 , log2 3 ? 1 , log1 5 ? ? log2 5 ? log2
2

1 ? 0 ,? c ? a ? b . 5

6. 已知 ? , ? 是两个不同的平面, m , n 是两条不同的直线,给出下列命题: ①若 m ? ? , m ? ?,则? ? ? ; ②若 m ? ? , n ? ? , m // ?,n // ? , 则? // ? ;

n与? 相交; ③如果 m ? ? , n ? ? , m、n是异面直线,那么
④若 ? ? ? ? m, n // m,且n ? ? , n ? ?,则n // ?且n // ? . 其中正确的命题是 ( A.①② 答案 D 解析 ① 由平面与平面垂直的判定定理知,是真命题;② 当直线 m , n 平行时,? 与 ? 不一 定平行,是假命题;③ 直线 n 与平面 ? 可能平行,假命题;④ 真命题. 故正确的命题是①④. 7.某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人), 其中甲和乙不同去, 甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有( A.150 答案 C 解析 分两步,第一步,先选 4 名教师,又分两类: 第一类,甲去,则丙一定去,乙一定不去,有 C5 ? 10 种不同的方法,
2

) B.②③ C.③④ D.①④

)种. D.900

B.300

C.600

第二类,甲不去,则丙一定去,乙可能去也可能不去,有 C6 ? 15 种不同的方法,
4

-2-

? 不同的选法有 10 ? 15 ? 25 种.
4 第二步,四名教师去 4 个边远地区支教,有 A4 ? 24 种方法,

最后由乘法原理,共有 25 ? 24 ? 600 种不同的方法. 8.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,以 | F1 F2 | 为直径的 a 2 b2


圆与双曲线渐近线的一个交点为 (3, 4) ,则此双曲线的方程为(

A.

x2 y 2 ? ?1 16 9

B.

x2 y 2 ? ?1 3 4

C.

x2 y 2 ? ?1 9 16

D.

x2 y 2 ? ?1 4 3

答案 C

?c 2 ? 32 ? 4 2 ? x2 y 2 ?b 4 2 2 ? 解析 依题意, ? ,解得 a ? 9 , b ? 16 ,双曲线方程为 ? ? 1. 9 16 ?a 3 2 2 2 ? ?a ? b ? c
9.下列五个命题中正确命题的个数是( )
2

① 对于命题 p : ?x ? R, 使得x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ②m ? 3 是直线 (m ? 3) x ? m y ? 2 ? 0 与直线 mx ? 6 y ? 5 ? 0 互相垂直的充要条件

? =1.23x ③ 已知回归直线的斜率的估计值为 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为 y
+0.08 ④ 若实数 x, y ? ? ?1, 1? ,则满足 x ? y ? 1 的概率为
2 2

? 4
2

⑤ 曲线 y ? x 与 y ? x 所围成图形的面积是 S ?
2

? ( x ? x )dx
0

1

A.2 答案 A

B.3

C.4

D.5

2 解析 对① , 因为命题 p : ?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p :?x? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ,
2

故① 错误; 对② ,由于直线 (m ? 3) x ? m y ? 2 ? 0 与直线 m x ? 6 y ? 5 ? 0 垂直的充要条件是 m ? 3 或 0,故② 错误;

? ? 1.23x ? a , 由 于 样 本 点 的 坐 标 (4,5) 满 足 方 程 , 则 对 ③, 设 线 性 回 归 方 程 为 y

-3-

? ? 1.23x ? 0.08 ,故③ 5 ? 1.23 ? 4 ? a ,解得 a ? 0.08 ,? 回归直线方程为 y 正确;
对④ ,有几何概型知,所求概率为 P ?
2

2 ? 2 ? ? ?12 ? ? 1 ? ,故④ 错误; 2? 2 4

对⑤ ,曲线 y ? x 与 y ? x 所围成图形的面积是 故正确的是③ ⑤ ,共 2 个.

? ( x ? x )dx ,正确.
2 0

1

10. 执行如图所示的程序框图,那么输出的 S 为( A.3 4 B. 3 1 C. 2

) D.-2

答案 C 解析 由 S ? 3, k ? 1 ,第一次循环, S ? 2 ? 第二次循环, S ? 2 ?

2 4 ? , k ? 1?1 ? 2 ; 3 3

2 1 ? , k ? 2 ?1 ? 3 ; 4 2 3 2 第三次循环, S ? 2 ? ? ?2 , k ? 3 ? 1 ? 4 ; 1 2 2 ? 3 , k ? 4 ?1 ? 5 ; 第四次循环, S ? 2 ? ?2
???

4 ,满足进行循环的条件,第 2010 次循 3 1 1 环后, S ? , k ? 2011 ,不满足循环条件,故输出的 S 值为 . 2 2
则 S 的值以 4 呈周期性变化,当 k ? 2010 时, S ? 11.如图,矩形 An BnCn Dn 的一边 An Bn 在 x 轴上,另外两个顶点 Cn , Dn 在函数

1 f ( x) ? x ? ( x ? 0) 的图象上,若点 Bn 的坐标 (n,0)(n ? 2, n ? N* ) ,记矩形 An BnCn Dn 的 x
周长 an ,则 a2 ? a3 ? ? ? ? ? a10 ? ( )

-4-

A.208
y Dn Cn

B.216

C.212

D.220

O An

Bn

x

答案 B 解析 ? 点 Bn 的坐标为 (n,0) (n ? 2, n ? N* ) , 顶点 Cn 、Dn 在函数 f ( x ) ? x ? 图象上,? C n ( n, n ? ) ,依题意, Dn ( , n ? ) ,?| An Bn |? n ?

1 ( x ? 0) 的 x

1 n

1 n

1 n

1 (n ? 2, n ? N * ) , n

1 1 ? an ? 2(n ? ) ? 2(n ? ) ? 4n ,? an?1 ? an ? 4 ,又 a1 ? 4 , n n

? 数列 {an } 数首项为 4,公差为 4 的等差数列,
(a2 ? a10 ) ? 9 (8 ? 40) ? 9 ? ? 216 . 2 2 12. 设 f ( x) 的定义域为 D ,若 f ( x) 满足下面两个条件,则称 f ( x) 为闭函数:① f ( x) 是 D ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a10 ?
上 单调函数;②存在 [a, b] ? D ,使 f ( x) 在 [a, b] 上值域为 [a, b] . 现已知 f ( x) ? 为闭函数,则 k 的取值范围是( A. ?1 ? k ? ? 答案 A 解析 ) C.

2x ?1 ? k

1 2

B. k ? 1

1 ? k ?1 2

D. k ? ?1

1 ? 函数 y ? 2x ? 1 是定义在 [ ? ,?? ) 上的增函数,? k 为常数, 2

1 ? 函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? k 在 [ ? ,?? ) 上的增函数, 2
因此函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? k 为闭函数,则存在区间 [a, b] ? D ,使 f ( x) 在 [a, b] 上的值域 为 [a, b] ,可得函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? x 相交于点 ( a, a ) 和 (b, b) ,

? 1 ? 2a ? 1 ? k ? a ?? ,即方程 k ? x ? 2 x ? 1 在 [ ? ,?? ) 上有两个不等的实数根 a 、 b , 2 ? ? 2b ? 1 ? k ? b
令t ?

2 x ? 1 ,则 x ?

t 2 ?1 ,设函数 h( x) ? x ? 2x ? 1 ? g (t ), t ? 0 , 2

即( g (t ) ?

1 2 1 t ?t ? , 2 2
-5-

1 ? 在 t ? [0,1] 时, g (t ) 为减函数,则 ? 1 ? g (t ) ? ? ; 2
在 t ?[1,??) 时, g (t ) 为增函数,则 g (t ) ? ?1 ,

1 有两个不等的 t 值使得 g (t ) ? k 成立, 相应地有两个不等的实数根 a 、 ? 当 ? 1 ? k ? ? 时, 2
b 满足 k ? x ? 2x ? 1 ,
故当 f ( x) ? 2x ? 1 ? k 为闭函数时,实数 k 的取值范围是 ? 1 ? k ? ? 第Ⅱ卷 (90 分) 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
? 1 ? 13.在 ? ? x?3 ? ? 的展开式中的常数项为 x? ?
5

1 . 2

.

答案 10 解析 由 Tr ?1 ? C5 ? ( x )
r 5? r

?(3

1 r ) ? C5r ? x x

5? r r ? 2 3

,?

5?r r ? ? 0 ,解得 r ? 3 ,? 所求的 2 3

3 展开式的常数项为 C5 ? 10 .

?x ? 0 ? 14.已知 x , y 满足约束条件 ?3x ? 4 y ? 4, 则x 2 ? y 2 的最小值是 ?y ? 0 ? 16 答案 25
解析
2 2

.

不等式组表示的平面区域是图中直线右上方的阴影部分, x ? y 的最小值为圆心

(0,0) 到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离 | OA |2 ,即 (

4 3 ?4
2 2

)?

16 . 25

15. 如图,过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及其准线于点 A、B、
2

C,

-6-

若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是

.

答案

y 2 ? 3x

解析 如图,分别过点 A 、 B 作准线的垂线,分别交准线于 D 、 E ,设 | BF |? a ,则由已 知得 | BC |? 2a ,由抛物线的定义知 | BD |? a ,故 ?BCD ? 30 ,
?

| AF |? 3, | AC |? 3 ? 3a , 在直角三角形 ACE 中,? ? 2 | AE |?| AC | ,? 3 ? 3a ? 6 ,即 a ? 3 ,
又 BD // FG ,?

3 1 2 ? ,即 p ? , 2 p 3
2

故所求抛物线方程为 y ? 3x .

16.数列 {an } 的首项为 1, 数列 {bn } 为等比数列且 bn ? 答案

an ?1 , 若b 则 a21 ? ?b ? 2 , 0 1 1 1 an

.

1024

解析 由 bn ?

an ?1 a ,且 a1 ? 1 ,得 b1 ? 2 ? a2 , an a1

b2 ?

a3 ,即 a3 ? a2b2 ? b1b2 , a2 a4 ,即 a4 ? a3b3 ? b1b2b3 , a3

b3 ?

-7-

???

? an ? b1b2b3 ? ? ? bn?1 ,?a21 ? b1b2b3 ? ? ? b20 ,

? 数列 {bn } 为等比数列,

?a21 ? (b1b20 ) ? (b2b19 ) ? ? ? (b10b11 ) ? (b10b11 )10 ? 210 ? 1024.
三、解答题:本大题共 5 小题,每小题 12 分,共 60 分 .解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 17.(本题满分 12 分)已知 ?ABC 的三内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a , b , c ,向量

m ? (cosB, cosC) , n ? (2a ? c, b) ,且 m ? n .
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ )若 b ?

3 ,求 a ? c 的范围.

解析 (Ⅰ)∵ m ? (cosB, cosC) , n ? (2a ? c, b) ,且 m ? n .

? cos B(2a ? c) ? b cosC ? 0 , ?cos B(2 sin A ? sin C ) ? sin B cosC ? 0 ,
2 cos B sin A ? cos B sin C ? sin B cos C ? 0 ,
即 2 cos B sin A ? ? sin(B ? C ) ? ? sin A ,

1 ? cos B ? ? ,而 0 ? B ? 180? , 2
故 B ? 120 .
?

(6 分)
2 2 2

( Ⅱ ) 由 余 弦 定 理 , 得 b ? a ? c ? 2ac cos

2 ? ? a 2 ? c 2 ? ac ? (a ? c) 2 ? ac 3

? (a ? c) 2 ? (

a?c 2 3 ) ? (a ? c) 2 , 当且仅当 a ? c 时,取等号. 2 4

? (a ? c) 2 ? 4 , a ? c ? 2 ,
又a?c ? b ?

3 , ? a ? c ? ( 3,2] .

(12 分)

18.(本题满分 12 分)某学校实施“十二五高中课程改革”计划,高三理科班学生的化学与物 理 水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分 A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级,设 x 、 y 分 别表示化学、物理成绩. 例如:表中化学成绩为 B 等级的共有 20+18+4=42 人.已知 x 与 y 均 为 B 等级的概率为 0.18.

-8-

x

y
A B C

A 7 9

B 20 18 4

C 5 6

a

b

(Ⅰ)求抽取的学生人数; (Ⅱ )若在该样本中,化学成绩的优秀率是 0.3,求 a , b 的值; (Ⅲ)物理成绩为 C 等级的学生中,已知 a ? 10 , 12 ? b ? 17 , 随机变量 ? ? a ? b , 求 ? 的分布列和数学期望. 解析 (Ⅰ)依题意, (Ⅱ)由

18 ? 0.18 ,得 n ? 100 . n

(2 分)

7?9?a ? 0.3 ,得 a ? 14 . 100
(5 分)

∵ 7 ? 9 ? a ? 20 ? 18 ? 4 ? 5 ? 6 ? b ? 100 ,∴ b ? 17 ,

(Ⅲ)由题意,知 a ? b ? 31 ,且 a ? 10, 12 ? b ? 17 , ∴满足条件的 (a, b) 有:(14,17),(15,16),(16,15),(17,14),(18,13),(19,12),共 6 组. ∵ ? ? a ? b ,∴ ? 的取值为 1,3,5,7.

P(? ? 1) ?

2 1 2 1 1 1 ? , P(? ? 3) ? ? , P (? ? 5) ? , P(? ? 7) ? . (8 分) 6 3 6 6 3 6

故 ? 的分布列为

?
P

1

3

5

7

1 6 1 1 1 1 10 ∴ E? ? 1 ? ? 3 ? ? 5 ? ? 7 ? ? . 3 3 6 6 3

1 3

1 3

1 6
(12 分)

19.(本题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PC

? 底面 ABCD , ABCD 是直角

梯形, AB ? AD , AB / / CD , AB ? 2 AD ? 2CD ? 2, E 是 PB 的中点. (Ⅰ)求证:平面 EAC ? 平面 PBC

-9-

(Ⅱ )若二面角 P ? AC ? E 的余弦值为 6 ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值.
3

(Ⅰ)证明:? PC ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD ,? AC ? PC ,

? AB ? 2, AD ? CD ? 2 ,? AC ? BC ? 2 ,
? AC2 ? BC2 ? AB2 ,则 AC ? BC ,
又 BC ? PC ? C ,? AC ? 平面 PBC ,

? AC ? 平面 EAC ,? 平面 EAC ? 平面 PBC .

(4 分)

(Ⅱ )如图,以 C 为原点,取 AB 的中点 F ,以 CF 、 CD 、 CP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴 的正方向,建立空间直角坐标系,

则 C (0,0,0) , A(1,1,0) , B(1,?1,0) ,设,则 E ( ,?

1 1 a , ), 2 2 2 1 1 a CA ? (1,?1,0) , CP ? (0,0, a) , CE ? ( ,? , ) , 2 2 2

取 m ? (1,?1,0) ,则 m ? CA ? m ? CP ? 0 ,即 m 为平面 PAC 的一个法向量, 设 n ? ( x, y, z) 为平面 EAC 的一个法向量,则 m ? CA ? m ? CE ? 0 , 则?

?x ? y ? 0 ,取 x ? a ,? y ? ?a, z ? ?2 ,则 (a, a,?2) ? x ? y ? az ? 0

- 10 -

依题意, | cos ? m, n ?|?

m?n | m |?| n |

?

a a2 ? 2

?

6 ,? a ? 2 , 3

(10 分)

于是 n ? (2,?2,2) , PA ? (1,2,?2) , 设直线 PA 与平面 EAC 所成的角为 ? ,则 sin ? ?| cos ? PA, n ?|?

PA ? n | PA | ? | n |

?

2 , 3

故直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值 20.(本小题满分 l2 分)设椭圆
2

? . ?

(12 分)

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点分别为 F1 (?1,0) 、 F2 (1, 0) , a2 b2

直线 l : x ? a 交 x 轴于点 A ,且 AF1 ? 2 AF2 . (Ⅰ)试求椭圆的方程; (Ⅱ )过 F1 、 F2 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D 、 E 、 M 、 N 四点(如 图所示) 试求四边形 DMEN 面积的最大值和最小值.

解析 (Ⅰ)由题 意, | F1F2 | ? 2c ? 2,? A(a2 ,0), ? AF1 ? 2 AF2

? F2 为 AF1 的中点

? a 2 ? 3, b 2 ? 2

即:椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 3 2
a 3

(3 分)

2 (Ⅱ ) 当直线 DE 与 x 轴垂直时,| DE |? 2 b ? 4 , 此时 | MN |? 2a ? 2 3 , 四边形 DMEN

的 面积 S ? | DE | ? | MN | ? 4 .同理当 MN 与 x 轴垂直时,也有四边形 DMEN 的面积
2
S? | DE | ? | MN | ?4. 2

当直线 DE , MN 均与 x 轴不垂直时,设 DE : y ? k ( x ? 1) ,代入消去 y 得:

? ? 6k 2 x ? x ? , 1 2 ? (2 ? 3k ) x ? 6k x ? (3k ? 6) ? 0. 设 ? 2 ? 3k 2 D( x1 , y1 ), E ( x 2 , y 2 ),则? 2 ? x x ? 3k ? 6 , 1 2 ? 2 ? 3k 2 ?
2 2 2 2

(6 分)

- 11 -

4 3 (k 2 ? 1) 2 4 3 ? k 2 ?1 , 所以, 所以, , | DE | ? k ? 1 | x ? x | ? | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 2 2 ? 3k 2 3k 2 ? 2
同理
1 1 4 3[(? ) 2 ? 1] 4 3( 2 ? 1) k k | MN |? ? . 1 3 2 ? 3(? ) 2 2? 2 k k

(9 分)

所以四边形 的面积

| DE | ? | MN | 1 4 3 (k 2 ? 1) S? ? ? ? 2 2 2 ? 3k 2

4 3(

1 1 2 ? 1) 24(k ? 2 ? 2) 2 k k ? 1 3 2 6(k ? 2 ) ? 13 2? 2 k k

令 u ? k 2 ? 1 , 得S ? 24(2 ? u ) ? 4 ? 2
k 13 ? 6u
2 因为 u ? k ?

4 13 ? 6u

1 ? 2, 当 k ? ?1时, u ? 2, S ? 96 ,且 S 是以 u 为自变量的增函数,所以 k2 25

96 ? S ? 4. 25

综上可知, 96 ? S ? 4 .故四边形 DMEN 面积的最大值为 4,最小值为 96 . (12 分) 25 25 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? ax ? bx ,其中 g ( x) 的函数图象在点 (1, g (1)) 处的
2

切线平行于 x 轴. (Ⅰ)确定 a 与 b 的关系; (Ⅱ )若 a ? 0 ,试讨论函数 g ( x) 的单调性; (Ⅲ)设斜率为 k 的直线与函数 f ( x) 的图象交于两点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 证明:

1 1 ?k? . x2 x1
2

解析 (Ⅰ)依题意得 g ( x) ? ln x ? ax ? bx ,则 g '( x) ?

1 ? 2ax ? b , x

由函数 g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处的切线平行于 x 轴得: g '(1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 . ∴ b ? ?2a ? 1 . (3 分)

2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) (Ⅱ )由(Ⅰ)得 g '( x) ? ? x x
∵函数 g ( x) 的定义域为 (0, ??)

- 12 -

∴当 a ? 0 时, g '( x) ? ?

x ?1 x

由 g '( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ,由 g '( x) ? 0 得 x ? 1 , 即函数 g ( x) 在(0,1)上单调递增,在 (1, ??) 单调递减; 当 a ? 0 时,令 g '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? 若

1 , 2a

1 1 1 1 ,由 g '( x) ? 0 得 ? 1 ,即 a ? 时,由 g '( x) ? 0 得 x ? 1 或 0 ? x ? ? x ?1, 2a 2 2a 2a 1 1 即函数 g ( x) 在 (0, ) , (1, ??) 上单调递增,在 ( ,1) 单调递减; 2a 2a 1 1 1 1 若 即 0 ? a ? 时, 由 g '( x) ? 0 得 x ? 或 0 ? x ? 1, 由 g '( x) ? 0 得 1 ? x ? , ? 1, 2a 2 2a 2a 1 1 即函数 g ( x) 在 (0,1) , ( , ??) 上单调递增,在 (1, ) 单 调递减; 2a 2a 1 1 若 ? 1 ,即 a ? 时,在 (0, ??) 上恒有 g '( x) ? 0 , 2a 2
即函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 综上所述:当 a ? 0 时,函数 g ( x) 在(0,1)上单调递增,在 (1, ??) 单调递减; 当0 ? a ? 增;

1 1 1 时,函数 g ( x) 在 (0,1) 单调递增,在 (1, ) 单调递减;在 ( , ??) 上单调递 2 2a 2a

1 时,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 2 1 1 1 当 a ? 时,函数 g ( x) 在 (0, ) 上单调递增, 在( ,1) 单调递减;在 (1, ??) 上单调递增. 2 2a 2a
当a ? (8 分) (Ⅲ)依题意得 k ?

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 , ? x2 ? x1 x2 ? x1



1 1 1 ln x2 ? ln x1 1 ? k ? ,即证 ? ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 x2 ? x1 x x ?x ? ln 2 ? 2 1 x2 x1 x1

因 x2 ? x1 ? 0 ,即证



x2 1 ? t ( t ? 1 ),即证 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ) t x1
1 t 1 1 t ?1 ? 2 ?0 t t2 t
- 13 -

令 h(t ) ? ln t ? ? 1 ( t ? 1 )则 h '(t ) ? ?

∴ h(t ) 在(1,+ ? )上单调递增, ∴ h(t ) ? h(1) =0,即 ln t ? 1 ? ( t ? 1 ). 令 u (t ) ? ln t ? t ? 1 , ∵ u ?(t ) ?

1 t



1 1? t ?1 ? ,又∵ t ? 1 ,∴ u(t ) 在 (1,??) 单调递减, t t

∴ u (t ) ? u (1) ? 0 ∴ ln t ? t ? 1 ② 综①②得 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ),即 四、选做题: 22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ?ABC 是直角三角形, ?ABC ? 90 ? ,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E , 点 D 是 BC 边的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M . (Ⅰ)求证: O 、 B 、 D 、 E 四点共圆; (Ⅱ )求证: 2DE ? DM ? AC ? DM ? AB
2

1 t

1 1 ?k? . x2 x1

(12 分)

A E O M B D C

证明:(Ⅰ)连接 BE 、 OE ,则 BE ? EC 又 D 是 BC 的中点,所以 DE ? BD 又 OE ? OB , OD ? OD 所以 ?ODE ? ?ODB . 所以 ?OED ? ?OBD ? 90? 所以 O 、 B 、 D 、 E 四点共圆. (Ⅱ )延长 DO 交圆 O 于点 H
2 因为 DE ? DM ? DH ? DM ? ( DO ? OH ) ? DM ? DO ? DM ? OH .

(5 分)

所以 DE ? DM ? ( AC ) ? DM ? ( AB )
2

1 2

1 2

- 14 -

所以 2DE ? DM ? AC ? DM ? AB .
2

(5 分)

23.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,与直角坐标系 xoy 取相 同的长度单位,建立极坐标系,设曲线 C 参数方程为 ? 极坐标方程为 ? cos( ? ?

? x ? 3 cos? ( ? 为参数),直线 l 的 y ? sin ? ?

?
4

)?2 2.

(Ⅰ)写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ )求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离,并求出这个点的坐标. 解析

?? ( Ⅰ ) 由 ? cos(

?
4

) ? 2 2 得 ? (cos? ? sin ? ) ? 4 , 则 直 线 l 的 普 通 方 程 为
(5 分)

? x ? 3 cos? x2 ? y2 ? 1 . x ? y ? 4 ? 0 .由 ? 得曲线 C 的普通方程为 3 ? y ? sin ?
(Ⅱ )在 C :

x2 ? y 2 ? 1 上任取一点 P( 3 cos? , sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为 3

| 2 sin(? ? ) ? 4 | | 3 cos ? ? sin ? ? 4 | | ?2 ? 4 | 3 d? ? ? ?3 2 2 2 2

?



? 5 ? 当 sin(? ? ) ? ?1 ,即 ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z 时, dMax ? 3 2 , 3 6 3 1 此时点 P (? ,? ) . (10 分) 2 2
24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 (Ⅰ)已知 x 、 y 都是正实数,求证: x ? y ? x y ? xy ;
3 3 2 2

(Ⅱ ) 若不等式 a ? 1 ? 3 x ? 1 ? 3 y ? 1 ? 3 z ? 1 对满足 x ? y ? z ? 1 的一切正实数

x, y, z 恒成立,求实数 a 的取值范围.
解析 (Ⅰ)证明:由 ( x ? y ) ? ( x y ? xy ) ? x ( x ? y) ? y ( y ? x)
3 3 2 2 2 2

? ( x ? y)(x2 ? y 2 ) ? ( x ? y)2 ( x ? y) .
又 x 、 y 都是正实数,
2 3 3 2 2 所以 ( x ? y) ? 0 、 x ? y ? 0 ,即 ( x ? y ) ? ( x y ? xy ) ? 0

- 15 -

所以 x3 ? y3 ? x2 y ? xy2 . (Ⅱ )根据柯西不等式有

(5 分)

?

? ? ? ?1 ? 1 ? 1 ? ?? 3 x ? 1 ? ? ? 3 y ? 1 ? ? ? ? ?
3x ? 1 ? 3 y ? 1 ? 3z ? 1
2 2 2 2 2 2

? 1? 3x ? 1 ? 1? 3 y ? 1 ? 1? 3z ? 1

?

2

2 3z ? 1 ? ? 3 ? ? ?3 ? x ? y ? z ? ? 3 ? ? ? 3 ? 6 ? 18 ? ?

?

? 3x ? 1 ? 3 y ? 1 ? 3z ? 1 ? 3 2 .


a ? 1 ? 3x ? 1 ? 3 y ? 1 ? 3 z ? 1 恒成立,? a ? 1 ? 3 2 ,

? a ? 1 ? 3 2 或 a ? 1 ? ?3 2 ,即 a ? 3 2 ? 1 或 a ? 1 ? 3 2 ,
所以 a 的取值范围是 ??,1 ? 3 2 ?

?

?

?1 ? 3 2, ?? . ?

?

(5 分)

- 16 -


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