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2015年全国高考理科数学试题及答案-湖北卷


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)


注意事项:

学(理工类)

本试题卷共 6 页,22 题,其中第 15、16 题为选考题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。

1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴 在答题卡

上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑,再在答题卡上 对应的答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. i 为虚数单位, i 607 的共轭 复数 为 .. .. A. i B. ?i C .1 D. ?1

2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为 A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石

3.已知 (1 ? x) n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为 A. 212 B. 211 C. 210 D. 2 9

2 4.设 X ~ N (?1 , ?12 ) , Y ~ N (?2 , ? 2 ) ,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是

A. P(Y ? ?2 ) ? P(Y ? ?1 ) B . P ( X ? ? 2 ) ? P( X ? ? 1 ) C.对任意正数 t , P( X ? t ) ? P(Y ? t ) D.对任意正数 t , P( X ? t ) ? P(Y ? t )

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5.设 a1 , a2 ,?, an ? R , n ? 3 . 若 p: a1 , a2 ,?, an 成等比数列;
2 2 2 2 2 2 q: (a12 ? a2 ? ? ? an ?1 )(a2 ? a3 ? ? ? an ) ? (a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an ?1an ) ,则

A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件
?1, x ? 0, ? 6.已知符号函数 sgn x ? ?0, x ? 0, ? ?1, x ? 0. ?
f ( x) 是 R 上的增函数, g ( x) ? f ( x) ? f (ax) (a ? 1) ,则

A. sgn[ g ( x)] ? sgn x C. sgn[ g ( x)] ? sgn[ f ( x)]

B. sgn[ g ( x)] ? ? sgn x D. sgn[ g ( x)] ? ? sgn[ f ( x)]

7.在区间 [0, 1] 上随机取两个数 x, y ,记 p1 为事件“ x ? y ? 的概率, p3 为事件“ xy ? A. p1 ? p2 ? p3 C. p3 ? p1 ? p2

1 1 ”的概率, p2 为事件“ | x ? y |? ” 2 2

1 ”的概率,则 2
B. p2 ? p3 ? p1 D. p3 ? p2 ? p1

8.将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a ? b) 同时增加 m (m ? 0) 个单位长度,得 到离心率为 e2 的双曲线 C2 ,则 A.对任意的 a, b , e1 ? e2 C.对任意的 a, b , e1 ? e2 B.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2 D.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2

9 . 已 知 集 合 A ? {( x, y) x2 ? y2 ? 1, x, y ? Z} , B ? {( x, y) | x |? 2 , | y |? 2, x, y ? Z} , 定 义 集 合
A ? B ? {( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ( x1 , y1 ) ? A, ( x2 , y2 ) ? B} ,则 A ? B 中元素的个数为

A.77

B.49

C.45

D.30

10.设 x ? R , [ x] 表示不超过 x 的最大整数. 若存在实数 t ,使得 [t ] ? 1 , [t 2 ] ? 2 ,?, [t n ] ? n 同 . 时成立 ,则正整数 n 的最大值是 ... A.3 B.4 C.5 D.6

二、填空题:本大题共 6 小题,考生需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡 ... 对应题号 的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. .... (一)必考题(11—14 题)

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??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 11.已知向量 OA ? AB , | OA |? 3 ,则 OA ? OB ?

. .

x π 12.函数 f ( x) ? 4cos 2 cos( ? x) ? 2sin x?| ln( x ?1) | 的零点个数为 2 2

13. 如图, 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶, 到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30? 的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75? 的方向上,仰角为 30? ,则此山的 高度 CD ? m.

14.如图,圆 C 与 x 轴相切于点 T (1, 0) ,与 y 轴正半轴交于两点 A, B (B 在 A 的上方) , 且 AB ? 2 . (Ⅰ)圆 C 的标准 方程为 .. ;

(Ⅱ)过点 A 任作一条直线与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 相交于 M , N 两点,下列三个结论: ①
NA NB ? MA MB

; ②

NB NA

?

MA MB

?2;



NB NA

?

MA MB

?2 2.

其中正确结论的序号是

. (写出所有正确结论的序号)

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目 序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分. ) 15. (选修 4-1:几何证明选讲) 如图, PA 是圆的切线, A 为切点, PBC 是圆的割线,且
BC ? 3PB ,则

AB ? AC

.

16. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 l 的极坐标

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1 ? x?t? , ? ? t 方程为 ? (sin ? ? 3cos? ) ? 0 , 曲线 C 的参数方程为 ? ? y ?t ?1 ? t ?

( t 为参数) , l 与 C 相交于 A , B

两点,则 | AB |?

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 11 分)

π 某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(?x ? ?) (? ? 0, | ? | ? ) 在某一个周期内的图象 2
时,列表并填入了部分数据,如下表:

?x ? ?

0

x
A sin(? x ? ? )

π 2 π 3
5

π

3π 2 5π 6
?5



0

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上 相应位置 ,并直接写出函数 f ( x) 的解 ....... .... 析式; (Ⅱ)将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动 ? (? ? 0) 个单位长度,得到 y ? g ( x) 的图 象. 若 y ? g ( x) 图象的一个对称中心为 ( 18. (本小题满分 12 分) 设等差数列 {an } 的公差为 d,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 的公比为 q.已知 b1 ? a1 , b2 ? 2 ,
q ? d , S10 ? 100 .

5π , 0) ,求 ? 的最小值. 12

(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)当 d ? 1 时,记 cn ? 19. (本小题满分 12 分) 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的 四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为 鳖臑.如图,在阳马 P ? ABCD 中,侧棱 PD ? 底面 ABCD ,且
PD ? CD ,过棱 PC 的中点 E ,作 EF ? PB 交 PB 于点 F ,连

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

接 DE, DF , BD, BE.

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(Ⅰ)证明: PB ? 平面DEF .试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角 (只需写出结论) ;若不是,说明理由; (Ⅱ)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 20. (本小题满分 12 分) 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A, B 两种奶制品.生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨,使用设 备 1 小时, 获利 1000 元; 生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨, 使用设备 1.5 小时, 获利 1200 元. 要 求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的 2 倍, 设备每天生产 A, B 两种产品时间之和不超过 12 小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量 W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为 W P 12 0.3 15 0.5 18 0.2

π DC ,求 的值. 3 BC

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产, 使其获利最大,因此每天的最大获利 Z (单位: 元)是一个随机变量. (Ⅰ)求 Z 的分布列和均值; (Ⅱ)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的 概率. 21. (本小题满分 14 分) 一种作图工具如图 1 所示. O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN ? ON ? 1 , MN ? 3 .当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 ,M 处的笔尖画出的 ..N 绕 O 转动一周(D 不动时,N 也不动) 曲线记为 C.以 O 为原点, AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与两定直线 l1 : x ? 2 y ? 0 和 l2 : x ? 2 y ? 0 分别交于 P, Q 两点.若直线 l 总与曲线
C 有且只有一个公共点, 试探究: △OPQ 的面积是否存在最小值?若存在, 求出该最小值;

若不存在,说明理由.

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22. (本小题满分 14 分)

1 已知数列 {an } 的各项均为正数, bn ? n (1 ? )n an (n ? N? ) ,e 为自然对数的底数. n

1 (Ⅰ)求函数 f ( x) ? 1 ? x ? e x 的单调区间,并比较 (1 ? )n 与 e 的大小; n
(Ⅱ)计算
b1 bb bb b b b ? bn , 1 2 , 1 2 3 ,由此推测计算 1 2 的公式,并给出证明; a1 a1a2 a1a2 a3 a1a2 ? an
1

(Ⅲ)令 cn ? (a1a2 ? an ) n ,数列 {an } , {cn } 的前 n 项和分别记为 Sn , Tn , 证明: Tn ? eSn .

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绝密★启用前

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

数学(理工类)试题参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.A 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.D 9.C 10.B

二、填空题(本大题共 6 小题,考生需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.9 12.2 13. 100 6 15.

14. (Ⅰ) ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 ; (Ⅱ)①②③ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 17. (11 分)

1 2

16. 2 5

π (Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? . 数据补全如下表: 6

?x ? ?

0

x
A sin(? x ? ? )

π 12
0

π 2 π 3
5

π
7π 12
0

3π 2 5π 6
?5



13 π 12
0

π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) 6
π π (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ,得 g ( x) ? 5sin(2x ? 2? ? ) . 6 6 因为 y ? sin x 的对称中心为 (kπ, 0) , k ? Z .
令 2 x ? 2? ?

π kπ π ? kπ ,解得 x ? ? ?? , k ? Z . 6 2 12 5π kπ π 5π , , 0) 成中心对称,令 ? ? ? ? 12 2 12 12

由于函数 y ? g ( x) 的图象关于点 ( 解得 ? ? 18. (12 分)

kπ π π ? , k ? Z . 由 ? ? 0 可知,当 k ? 1 时, ? 取得最小值 2 3 6

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?10a ? 45d ? 100, ?2a ? 9d ? 20, (Ⅰ)由题意有, ? 1 即? 1 ?a1d ? 2, ?a1d ? 2,
1 ? a ? (2n ? 79), ? a1 ? 9, ? ? a1 ? 1, ? n 9 ?an ? 2n ? 1, ? ? 解得 ? 或? 或? 2 故? n ?1 d? . ? ? d ? 2, ?b ? 9 ? ( 2 ) n ?1 . ?bn ? 2 . ? 9 ? ? n 9 ?

(Ⅱ)由 d ? 1 ,知 an ? 2n ? 1 , bn ? 2n?1 ,故 cn ?

2n ? 1 ,于是 2n?1
① ②

Tn ? 1 ?

3 5 7 9 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 , 2 2 2 2 2

1 1 3 5 7 9 2n ? 1 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n . 2 2 2 2 2 2 2
①-②可得

1 1 1 1 2n ? 1 2n ? 3 Tn ? 2 ? ? 2 ? ? ? n?2 ? n ? 3 ? n , 2 2 2 2 2 2
故 Tn ? 6 ? 19. (12 分) (解法 1) (Ⅰ)因为 PD ? 底面 ABCD ,所以 PD ? BC , 由底面 ABCD 为长方形,有 BC ? CD ,而 PD ? CD ? D , 所以 BC ? 平面PCD . 而 DE ? 平面PCD ,所以 BC ? DE . 又因为 PD ? CD ,点 E 是 PC 的中点,所以 DE ? PC . 而 PC ? BC ? C ,所以 DE ? 平面 PBC . 而 PB ? 平面PBC ,所以 PB ? DE . 又 PB ? EF , DE ? EF ? E ,所以 PB ? 平面 DEF . 由 DE ? 平面 PBC , PB ? 平面 DEF ,可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形,
?EFB,?DFB . 即四面体 BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为 ?DEB,?DEF,

2n ? 3 . 2n ?1

(Ⅱ)如图 1,在面 PBC 内,延长 BC 与 FE 交于点 G ,则 DG 是平面 DEF 与平面 ABCD 的交线. 由(Ⅰ)知, PB ? 平面DEF ,所以 PB ? DG . 又因为 PD ? 底面 ABCD ,所以 PD ? DG . 而 PD ? PB ? P ,所以 DG ? 平面PBD . 故 ?BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角, 设 PD ? DC ? 1 , BC ? ? ,有 BD ? 1 ? ? 2 ,

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在 Rt△PDB 中, 由 DF ? PB , 得 ?DPF ? ?FDB ? 则 tan

π , 3

π BD ? tan ?DPF ? ? 1 ? ? 2 ? 3 , 解得 ? ? 2 . 3 PD

所以

DC 1 2 ? ? . BC ? 2 DC 2 π ? 时, . BC 2 3

故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为

(解法 2) (Ⅰ)如图 2,以 D 为原点,射线 DA, DC , DP 分别为 x, y, z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 设 ??? ? PD ? DC ? 1 , BC ? ? ,则 D(0,0,0), (0,0,1 P ), ( ,1 B ,0), ? (0,1 ,0) C , PB ? (? ,1, ?1) ,点 E 是 PC 的中点,所以 E (0,

???? 1 1 1 1 , ) , DE ? (0, , ) , 2 2 2 2

??? ? ???? 于是 PB ? DE ? 0 ,即 PB ? DE .

又已知 EF ? PB ,而 DE ? EF ? E ,所以 PB ? 平面DEF . ???? ??? ? ??? ? 因 PC ? (0, 1, ?1) , DE ? PC ? 0 , 则 DE ? PC , 所以 DE ? 平面PBC . 由 DE ? 平面 PBC , PB ? 平面 DEF ,可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形,
?EFB,?DFB . 即四面体 BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为 ?DEB,?DEF,

??? ? (Ⅱ)由 PD ? 平面ABCD ,所以 DP ? (0, 0, 1) 是平面 ABCD 的一个法向量; ??? ? 由(Ⅰ)知, PB ? 平面DEF ,所以 BP ? (??, ?1, 1) 是平面 DEF 的一个法向量.
若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为

π , 3

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??? ? ??? ? π BP ? DP ? ??? ? ? 则 cos ? ??? 3 | BP | ? | DP |
解得 ? ? 2 . 所以

1

? ?2
2

?

1 , 2

DC 1 2 ? ? . BC ? 2 DC 2 π ? 时, . BC 2 3

故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为

20. (12 分) (Ⅰ)设每天 A, B 两种产品的生产数量分别为 x, y ,相应的获利为 z ,则有
? 2 x ? 1.5 y ? W , ? x ? 1.5 y ? 12, ? ? ? 2 x ? y ? 0, ? ? x ? 0, y ? 0.

(1)

目标函数为

z ?1 0 0 0 x?

120 y 0 .

当W ? 12 时, (1)表示的平面区域如图 1,三个顶点分别为 A(0, 0), B(2.4, 4.8), C (6, 0) .

5 z 将 z ? 1000 x ? 1200 y 变形为 y ? ? x ? , 6 1200 5 z 当 x ? 2.4, y ? 4.8 时,直线 l : y ? ? x ? 在 y 轴上的截距最大, 6 1200
最大获利 Z ? zmax ? 2.4 ? 1000 ? 4.8 ? 1200 ? 8160 . 当W ? 15 时, (1)表示的平面区域如图 2,三个顶点分别为 A(0, 0), B(3, 6), C (7.5, 0) .

5 z 将 z ? 1000 x ? 1200 y 变形为 y ? ? x ? , 6 1200 5 z 当 x ? 3, y ? 6 时,直线 l : y ? ? x ? 在 y 轴上的截距最大, 6 1200 最大获利 Z ? zmax ? 3 ? 1000 ? 6 ? 1200 ? 10200 .
当 W ? 18 时, (1)表示的平面区域如图 3, 四个顶点分别为 A(0, 0), B(3, 6), C (6, 4), D(9, 0) .

5 z 将 z ? 1000 x ? 1200 y 变形为 y ? ? x ? , 6 1200
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5 z 当 x ? 6, y ? 4 时,直线 l : y ? ? x ? 在 y 轴上的截距最大, 6 1200 最大获利 Z ? zmax ? 6 ? 1000 ? 4 ? 1200 ? 10800 .
故最大获利 Z 的分布列为

Z P

8160 0.3

10200 0.5

10800 0.2

因此, E (Z ) ? 8160 ? 0.3 ? 10200 ? 0.5 ? 10800 ? 0.2 ? 9708. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,一天最大获利超过 10000 元的概率 p1 ? P(Z ? 10000) ? 0.5 ? 0.2 ? 0.7 , 由二项分布,3 天中至少有 1 天最大获利超过 10000 元的概率为

p ? 1 ? (1 ? p1 )3 ? 1 ? 0.33 ? 0.973.
21. (14 分) (Ⅰ)设点 D(t , 0) (| t |? 2) , N ( x0 , y0 ), M ( x, y) ,依题意, ???? ? ???? ???? ???? MD ? 2 DN ,且 | DN |?| ON |? 1 ,

2 2 ? ?( x ? t ) ? y0 ? 1, 所以 (t ? x, ? y) ? 2( x0 ? t , y0 ) ,且 ? 20 2 ? ? x0 ? y0 ? 1.

?t ? x ? 2 x0 ? 2t , 即? 且 t (t ? 2 x0 ) ? 0. ? y ? ?2 y0 .

由于当点 D 不动时,点 N 也不动,所以 t 不恒等于 0,

x2 y 2 x y 2 2 于是 t ? 2 x0 ,故 x0 ? , y0 ? ? ,代入 x0 ? y0 ? 1 ,可得 ? ?1, 4 2 16 4
即所求的曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 4

1 (Ⅱ) (1)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 为 x ? 4 或 x ? ?4 ,都有 S?OPQ ? ? 4 ? 4 ? 8 . 2 1 (2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l : y ? kx ? m (k ? ? ) , 2
? y ? kx ? m, 由? 2 2 ? x ? 4 y ? 16,

消去 y ,可得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 16 ? 0 .

因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点,

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所以 ? ? 64k 2 m2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4m2 ? 16) ? 0 ,即 m2 ? 16k 2 ? 4 .
? y ? kx ? m, 2m m ?2m m 又由 ? 可得 P( , ) ;同理可得 Q( , ). 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k ? x ? 2 y ? 0,



由原点 O 到直线 PQ 的距离为 d ?
S?OPQ ?

|m| 1? k
2

和 | PQ |? 1 ? k 2 | xP ? xQ | ,可得 ②

1 1 1 2m 2m 2m 2 . | PQ | ?d ? | m || xP ? xQ |? ? | m | ? ? 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 4k 2
4k 2 ? 1 2m 2 ? 8 . 1 ? 4k 2 4k 2 ? 1

将①代入②得, S ?OPQ ? 当 k2 ?

1 4k 2 ? 1 2 时, S?OPQ ? 8( 2 ) ? 8(1 ? 2 ) ? 8 ; 4 4k ? 1 4k ? 1
1 4k 2 ? 1 2 时, S?OPQ ? 8( ) ? 8(?1 ? ). 2 4 1 ? 4k 1 ? 4k 2
1 2 2 ,则 0 ? 1 ? 4k 2 ? 1 , ? 2 ,所以 S?OPQ ? 8(?1 ? )?8, 2 4 1 ? 4k 1 ? 4k 2

当 0 ? k2 ? 因 0 ? k2 ?

当且仅当 k ? 0 时取等号. 所以当 k ? 0 时, S?OPQ 的最小值为 8. 综合(1) (2)可知,当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值 8. 22. (14 分) (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (??, ??) , f ?( x) ? 1 ? e x . 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 0 时, f ( x) 单调递增; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 0 时, f ( x) 单调递减. 故 f ( x) 的单调递增区间为 (??,0) ,单调递减区间为 (0, ??) . 当 x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 1 ? x ? e x .
1 1 1 1 ,得 1 ? ? e n ,即 (1 ? )n ? e . ① n n n b bb b b 1 1 (Ⅱ) 1 ? 1 ? (1 ? )1 ? 1 ? 1 ? 2 ; 1 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2(1 ? ) 2 ? (2 ? 1) 2 ? 32 ; a1 1 a1a2 a1 a2 2

令x?

b1b2 b3 b1b2 b3 1 ? ? ? 32 ? 3(1 ? )3 ? (3 ? 1)3 ? 43 . a1a2 a3 a1a2 a3 3

由此推测:

b1b2 ? bn ? (n ? 1) n . a1a2 ? an



下面用数学归纳法证明②. (1)当 n ? 1 时,左边 ? 右边 ? 2 ,②成立.

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(2)假设当 n ? k 时,②成立,即 当 n ? k ? 1 时, bk ?1 ? (k ? 1)(1 ?

b1b2 ? bk ? (k ? 1) k . a1a2 ? ak

1 k ?1 ) ak ?1 ,由归纳假设可得 k ?1

b1b2 ? bk bk ?1 b1b2 ?bk bk ?1 1 k ?1 ? ? ? (k ? 1)k (k ? 1)(1 ? ) ? (k ? 2) k ?1 . a1a2 ? ak ak ?1 a1a2 ? ak ak ?1 k ?1

所以当 n ? k ? 1 时,②也成立. 根据(1) (2) ,可知②对一切正整数 n 都成立. (Ⅲ)由 c n 的定义,②,算术-几何平均不等式, bn 的定义及①得
Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? (a1 )1 ? (a1a2 ) 2 ? (a1a2 a3 ) 3 ? ? ? (a1a2 ? an ) n
1 1 1 1
1 1 1 1

(b b ?bn ) n (b )1 (b b ) 2 (b b b ) 3 ? 1 ? 1 2 ? 1 2 3 ??? 1 2 2 3 4 n ?1 b ? b ? ? ? bn b b ? b b ? b ? b3 ? 1 ? 1 2? 1 2 ??? 1 2 1? 2 2?3 3? 4 n(n ? 1)
1 1 1 1 1 1 1 ? b1[ ? ??? ] ? b2 [ ? ??? ] ? ? ? bn ? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 2 ? 3 3? 4 n( n ? 1) n( n ? 1)

? b1 (1 ? ?

1 1 1 1 1 ) ? b2 ( ? ) ? ? ? bn ( ? ) n ?1 2 n ?1 n n ?1

b b1 b2 1 1 1 ? ? ? ? n ? (1 ? )1 a1 ? (1 ? )2 a2 ? ? ? (1 ? )n an 1 2 n 1 2 n

? ea1 ? ea2 ? ? ? ean ? eS n .

即 Tn ? eSn .

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