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高中文科数列部分知识整理 有答案


高中文科数列部分知识整理 数列(一)
等差数列
1.等差数列的概念:若数列{an}从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则 数列{an}叫等差数列.常数叫做公差。 2.等差中项:若 a、b、c 成等差数列,则 b 称 a 与 c 的等差中项,且 b= a、b、c 成等差数列是 2b=a+c 的充要条件. 3.通项公式:an=a1+(n-1)d, 推

广:an=am+(n-m)d.

a?c ; 2

a n ? a1 a ? am ,d= n . n ?1 n?m n(a1 ? a n ) n(n ? 1) 1 4.前 n 项和:Sn= =na1+ d=n·an- (n-1)nd. 2 2 2 a ? a n S n a1 ? a2 ? ? ? ? ? an d d 变式: 1 = = =a1+(n-1) · =an+(n-1)(- ). · n 2 2 2 n
变式:a1=an-(n-1)d,d=

【练习】 1.等差数列{an}中,已知 a1= A.48

1 ,a2+a5=4,an=33,则 n 是 3
C.50

( D.51



B.49

2.在等差数列{an}中,公差为

1 ,且 a1+a3+a5+…+a99=60,则 a2+a4+a6+…+a100=_________. 2

3.已知{an}为等差数列,前 10 项的和 S10=100,前 100 项的和 S100=10,求前 110 项的和 S110. 解:设{an}的首项为 a1,公差为 d,则

4.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a10=30,a20=50. (1)求通项{an}; (2)若 Sn=242,求 n.

6.设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列{ 项和,求 Tn.

Sn }的前 n n

1

数列(二)
等比数列
1.定义数列{an}从第 2 项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列. 常数叫公比. 2.等比中项:若 a、b、c 成等比数列,则 b 为 a、c 的等比中项,且 b=± ac . 3.通项公式:an=a1qn 1, - 推广形式:an=amqn m.


?na1 (q ? 1), ? 4.前 n 项和 Sn= ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? 1? q ? 1? q ?

(q ? 0或q ? 1).
a n ?1 =常数; an a n ?1 a n ? 2 = . an a n ?1

5.证明等比数列的方法: (1)用定义:只需证

(2)用中项性质:只需 an+12=an·an+2 或

【例题】 1.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项 an=___________________.

2.数列{an}中,a1=1,an=

1 an-1+1(n≥2) ,求通项公式 an. 2

数列(三)
差比数列知识点归纳

一、等差数列 1、等差数列及等差中项定义 注:根据定义,当我们看到形如: a n ? a n?1 ? d 、 an 2 ? an?1 2 ? d 、 an ? an?1 ? d 、
a ? an?1 1 1 ? ? d 、 an ? n?1 、 S n ? S n ?1 ? d 时,应能从中得到相应的等差数列。 a n a n ?1 2

2

2、等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d 、 an ? ak ? (n ? k )d (其中 a1 为首项、 ak 为已知的第 k 项) 当 d ? 0 时, an 是关于 n 的一次式;当 d ? 0 时, an 是一个 常数。 3、等差数列的前 n 项和公式: S n ? 是关于 n 的正比例式。 4、等差数列 {an } 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq 5、等差数列 {an } 的公差为 d ,则任意连续 m 项的和构成的数列 S m 、 S2m ? Sm 、
n(a1 ? a n ) n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2 2 当 d ? 0 时, n 是关于 n 的二次式且常数项为 0; 当 d ? 0 时 a1 ? 0 ) Sn ? na1 ( , S

S3m ? S2m 、……仍为等差数列,公差为 m 2 d 。
6、等差数列 {an } 的公差为 d ,前 n 项和为 S n ,则数列 {
S S S d 。特别地 m 、 2 m 、 3m 组成等差数列。 2m 2 m 3m

Sn } 是等差数列,公差为 n

7、两个等差数列 {an } 与 {bn } 的公差分别为 d 1 和 d 2 ,则数列 { pan ? qbn } 为等差数 列,且公差为 pd1 ? qd 2 8、等差数列 {an } 的任意等距离的项(项数组成等差数列)构成的数列仍为等差 数列。如 a 1 、 a5 、 a 9 、… a4 n ?3 9、 {an } 为等差数列,公差为 d ,则数列 {c an } ( c ? 0 )是等比数列,公比为 c d 。 10、 在等差数列 {an } 中: ① 若项数为 2n ,则 S 偶 ? S 奇 ? nd

S偶 S奇

?

a n ?1 an

S 2n?1 ? 2n ?

a1 ? a2n ? n(a1 ? a2n ) 2 a1 ? a2n?1 ? (2n ? 1) ? an?1 2

② 若项数为 2n ? 1 ,则 S奇 ? S偶 ? an?1

S奇 S偶

?

n ?1 n

S 2n?1 ? (2n ? 1) ?

11、两个等差数列 {an } 与 {bn } 的前 n 项和分别为 S n 、 Tn ,则

an S 2 n?1 ? bn T2 n?1

二、等比数列 1、等比数列及等比中项定义: 注:根据定义,当我们看到形如: an ? qan?1 、 (an?1 ? an ) ? q(an ? an?1 ) 、

an ? an?1an?1 、 (an?1 ? t ) ? q(an ? t ) 、 S n ? qSn?1 应能从中得到相应的等差数列。
2

3

2、等比数列的通项公式: an ? a1q n?1 知的第 k 项, an ? 0 ) 关于等比数列 {an } 的单调性: 当 q ? 1 时, {an } 为常数列

an ? ak qn?k

(其中 a1 为首项、 ak 为已

当 q ? 0 时, {an } 为摆动数列;

当 q ? 1 且 a1 ? 0 时, {an } 为递增数列; 当 q ? 1 且 a1 ? 0 时, {an } 为递减数列; 当 0 ? q ? 1 且 a1 ? 0 时, {an } 为递增数列; 当 0 ? q ? 1 且 a1 ? 0 时, {an } 为递减数列; 3、等比数列的前 n 项和公式:当 q ? 1 时, Sn ? na1 (是关于 n 的正比例式);

a1 (1 ? q n ) 当 q ? 1 时, S n ? 1? q
4、等比数列 {an } 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq

Sn ?

a1 ? a n q 1? q

5、等比数列 {an } 的公比为 q ,且 S n ? 0 ,则任意连续 m 项的和构成的数列 S m 、

S2m ? Sm 、 S3m ? S2m 、……仍为等比数列,公比为 q m 。

?a ? ? 1 ? 6、两个等比数列 {an } 与 {bn } 的公比分别为 p 和 q ,则数列 {an ? bn } 、? n ? 、? ? ? bn ? ? bn ?
仍为等比数列,公比分别为 pq 、
1 p 、 。 q q

7、等比数列 {an } 的任意等距离的项(项数组成等差数列)构成的数列仍为等比 数列。如 a 1 、 a5 、 a 9 、… a4 n ?3 8、 等比数列 {a n } 的公比为 q , an ? 0 , {og 且 则l 公比为 logc q 。 9、在等比数列 {an } 中: ① 若项数为 2n ,则 ② 若数为 2n ? 1 则,
c

bn } ( c ? 0 且 c ? 1 ) 是等差数列,

S偶 S奇 S偶

?q ?q

S 奇 ? a1

数列专题讲练
1. 等差数列的证明方法: (1)定义法: an?1 ? an ? d (常数) (2)等差中项法: an?1 ? an?1 ? 2an (n ? 2)

4

2.等比数列的证明方法: (1)定义法:

an ?1 ? q (常数) an

(2)等比中项法: an?1 ? n?1 ? an 2 (n ? 2) a

二.通项公式的求法 (1)利用等差等比的通项公式 (2)累加法: an?1 ? an ? f (n) 【例】已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 , 解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则
an ? ( an ? a?1 )? ( an1? n ?
? n2

a ??? )

(? a 3

a) ? 2

(a ?2

?1 ) a

1

a 1 1) 1

? [ 2 n ? 1 ) ? ] n ? ( ? 2 )? ? ] ? ? ( 2 2? 1 ) ?( 2 ( ? 1 [2 ? 1 ? ? ? 2 [ n ? 1 ) n ? ? ? ? ? 2? n ] ( ( ? ( 2) 1? ? 1) 1 (n ? 1 n ) ? ( ? 1? n ) 2 ? (n ? 1 )n ? 1 ) 1 ( ? ?2 ? n2 1

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 。

(3)构造等差或等比 an?1 ? pan ? q 或 an?1 ? pan ? f (n) 【例】已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公式; 解:? an?1 ? 2an ? 1(n ? N ),
*

?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。

? an ? 1 ? 2n.


an ? 2n ?1(n ? N * ).
1 1 an ? ( ) n ?1 ,求 an . 2 2

【例】已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? 解:在 an ?1 ?

1 1 an ? ( ) n ?1 两边乘以 2 n ?1 得: 2n?1 ? an?1 ? (2n ? an ) ?1 2 2 bn n ? 1 ? n . 2n 2

令 bn ? 2n ? an , bn?1 ? bn ? 1 ,解之得:bn ? b1 ? n ? 1 ? n ? 1 ,所以 an ? 则
5

【练习】已知数列 {a n } 满足 a n ? 2a n ?1 ? 2 n ?(n ? 2) ,且 a 4 ? 81 。 1 (1)求 a 1,a 2,a 3 ; (2)求数列 {a n } 的通项公式。

(4)利用

an ?

?

S1 ( n?1)

Sn ? Sn?1 ( n ? 2)

【例】若 S n 和 Tn 分别表示数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和,对任意正整数
an ? ?2(n ? 1) , Tn ? 3Sn ? 4n .求数列 {bn } 的通项公式;
解:
? an ? ?2 ( n? 1 ) ? 1?? a 4 ?? d 2 nS ? 2? ? n 3n n ?3 S ? 4 ?? 32n 5 n ?T n ? n

时 1 1 当 n?1 ,T ?b ??3?5??8

, 当 n?2时 bn ?Tn ?Tn?1??6n?2

? n ??6n?2. b

【练习】已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列, 求数列{an}的通项 an
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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(5)累积法

an?1 ? f (n)an

转化为

an?1 ? f (n) ,逐商相乘. an

【例】已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 解:由条件知

2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

an?1 n ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式 ? an n ?1

累乘之,即

a a 1 2 3 n ?1 a2 a3 a4 1 ? ? ???????? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? n a1 n a1 a2 a3 an ?1 2 3 4
2 2 ,? a n ? 3 3n 3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2

又? a1 ?

【练习】1.已知 a1 ? 3 , a n ?1 ?

6

(6)倒数变形: an ?1 ?

an ,两边取倒数后换元转化为 an?1 ? pan ? q 。 pan ? q

【例】已知数列{an}满足: an ?

an?1 , a1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。 3 ? an?1 ? 1

解:取倒数:

1 3 ? an?1 ? 1 1 ? ? 3? an an?1 an?1

?1? 1 1 1 ? ? ? 是等差数列, ? ? (n ? 1) ? 3 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? a n ? 3n ? 2 an a1 ? an ?
【练习】已知数列{an}满足:a1= 求数列{an}的通项公式;

3 3na n-1 ,且 an= (n ? 2,n ? N?) 2 2a n-1+n- 1

三.数列求和 1、等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q 1? q ?
3、错位相减法求和{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. Sn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn 【例】 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 解:由题可知,设 S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ①

xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n …②(设制错位)
①-②得 (1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n (错位相减)再利用等比数列的求和公式得:

(1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ?
∴ Sn ?

1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 。 1? x

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2

7

【练习】 求数列 4、倒序相加法求和

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) , 再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) . 5、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 【例】求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a
将其每一项拆开再重新组合得

S n ? (1 ?

1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) (分组) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n 当 a=1 时, S n ? n ? = (分组求和) 2 2 1 1? n 1? n a ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a

6、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分 解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项) (1) ?an ? 为等差数列,

?1 1 1 ? 1 ?? ? ?? an an?1 ? an an?1 ? d
? n ?1 ? n

(2) a n ?

1 n ? n ?1

【例】求数列

1 1? 2

,

1 2? 3 1

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

解:设 a n ?

n ? n ?1 ? 1 2? 3

? n ? 1 ? n ,则 1 n ? n ?1
8

Sn ?

1 1? 2

? ??? ?

( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n )
= n ? 1 ?1

【例】在数列{an}中, an ? 前 n 项的和. 解:∵ a n ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的 n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

1 2 n n ? ? ??? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 2 2 1 1 ∴ bn ? ? 8( ? ) ? 数列{bn}的前 n 项和: n n ?1 n n ?1 ? 2 2 1 8n 1 1 1 1 1 1 1 ) = S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] = 8(1 ? n ?1 n ?1 2 2 3 3 4 n n ?1

【练习】1.已知数列{ an }的前 n 项和为 S n ,且满足 an 的通项公式;

1 ? Sn ? 1 2

。求数列{ an }

9


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