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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)备选练习:3.1.1数系的扩充与复数的概念]


选修 2-2
π A.2kπ- 4 π C.2kπ± 4 [答案] B

第三章

3.1

3.1.1
)

1.若 sin2θ-1+i( 2cosθ+1)是纯虚数,则 θ 的值为( π B.2kπ+ 4

kπ π D. + (以上 k∈Z) 2 4

/>
? 2 ?sin2θ-1=0 [解析] 由? 得? π ? 2cosθ+1≠0 ?θ≠2kπ+π±4,
π ∴θ=2kπ+ .选 B. 4

π 2θ=2kπ+ ,

(k∈Z).

2.已知 A={1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i},B={-1,3},A∩B={3},则实数 a 的值为________________. [答案] -1 [解析] 以 A∩B={3}为解题突破口,按题意 a2-3a-1+(a2-5a-6)i=3,
?a2-3a-1=3, ? ∴? 2 解得 a=-1. ? ?a -5a-6=0.

3.已知复数 z= 3x-1-x+(x2-4x+3)i>0,则实数 x=________. [答案] 1

? 3x-1-x>0, [解析] 复数 z 能与 0 比较大小,则复数一定是实数,由题意知? 2 解得 ?x -4x+3=0.
x=1. a2-7a+6 4.已知复数 z= 2 +(a2-5a-6)i(a∈R).实数 a 取什么值时,z 是(1)实数?(2) a -1 虚数?(3)纯虚数?
?a2-5a-6=0, ? [解析] (1)当 z 为实数时,则有? 2 ?a -1≠0, ? ?a=-1或a=6, ? 所以? ? 1. ?a≠±

所以当 a=6 时,z 为实数.
2 ? ?a -5a-6≠0, (2)当 z 为虚数时,则有? 2 ?a -1≠0, ?

? ?a≠-1且a≠6, 所以? ?a≠± 1. ?

即 a≠± 1 且 a≠6. 所以当 a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z 为虚数. a -5a-6≠0, ? ? 2 (3)当 z 为纯虚数时,则有?a -7a+6 =0. 2 ? ? a -1
? ?a≠-1且a≠6, 所以? ?a=6. ?
2

所以不存在实数 a 使得 z 为纯虚数. 4? ? 3? 5.已知 z1=? ?cosα-5?+i?sinα-5?,z2=cosβ+isinβ,且 z1=z2,求 cos(α-β)的值. [解析] 由复数相等的充要条件,知

?cosα-5=cosβ, ? 3 ?sinα-5=sinβ.

4

?cosα-cosβ=5, 即? 3 ?sinα-sinβ=5.

4

① ②

①2+②2 得 2-2(cosα· cosβ+sinα· sinβ)=1, 1 即 2-2cos(α-β)=1,所以 cos(α-β)= . 2


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