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2014 寒假补习专用

§ 1.1.1 正弦定理
学习目标
1. 掌握正弦定理的内容; 2. 掌握正弦定理的证明方法; 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题.

学习过程
一、课前准备 试验:固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着顶点 C 转动. 思考: ? C 的大小与它的对边

AB 的长度之间有怎样的数量关系?

显然,边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而 精确地表示出来?

.能否用一个等式把这种关系

二、新课导学 ※ 学习探究 探究 1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边 的等式关系. 如图,在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, a b c 有 ? sin A , ? sin B ,又 sin C ? 1 ? , c c c a b c 从而在直角三角形 ABC 中, . ? ? sin A sin B sin C
( 探究 2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的定义, a b 有 CD= a sin B ? b sin A ,则 , ? sin A sin B c b 同理可得 , ? sin C sin B a b c 从而 . ? ? sin A sin B sin C 类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.请你试试导.

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新知:正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 a b c . ? ? sin A sin B sin C

的比相等,即

试试: (1)在 ?ABC 中,一定成立的等式是( ) . A. a sin A ? b sin B B. a cos A ? b cos B C. a sin B ? b sin A D. a cos B ? b cos A (2)已知△ABC 中,a=4,b=8,∠A=30°,则∠B 等于



[理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即 存在正数 k 使 a ? k sin A , , c ? k sin C ; a b c c b a c (2) 等价于 , , . ? ? ? ? sin A sin B sin C sin C sin B sin A sin C (3)正弦定理的基本作用为: b sin A ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ? ;b ? . sin B ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值, a 如 sin A ? sin B ; sin C ? . b (4)一般地,已知三角形的某些边和角,求其它的边和角的过程叫作解三角形.

※ 典型例题
例 1. 在 ?ABC 中,已知 A ? 45? , B ? 60? , a ? 42 cm,解三角形.

变式:在 ?ABC 中,已知 B ? 45? , C ? 60? , a ? 12 cm,解三角形.

例 2. 在 ?ABC中,c ? 6, A ? 45? , a ? 2, 求b和B, C .

变式:在 ?ABC中,b ? 3, B ? 60? , c ? 1, 求a 和A, C .

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三、总结提升 ※ 学习小结
a b c ? ? sin A sin B sin C 2. 正弦定理的证明方法:①三角函数的定义, 还有 ②等积法,③外接圆法,④向量法. 3.应用正弦定理解三角形: ①已知两角和一边; ②已知两边和其中一边的对角.

1. 正弦定理:

※ 知识拓展 a b c ? ? ? 2R ,其中 2R 为外接圆直径. sin A sin B sin C

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: cos A b 1. 在 ?ABC 中,若 ). ? ,则 ?ABC 是( cos B a A.等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 2. 已知△ABC 中,A∶B∶C=1∶1∶4, 则 a∶b∶c 等于( ). A.1∶1∶4 B.1∶1∶2 D.2∶2∶ 3 3. 在△ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A 与 B 的大小关系为( A. A ? B B. A ? B C. A ≥ B D. A 、 B 的大小关系不能确定 4. 已知 ? ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 1: 2 : 3 ,则 a : b : c = 5. 已知 ? ABC 中, ? A ? 60? , a ? 3 ,则 a?b?c = . sin A ? sin B ? sin C

C.1∶1∶ 3 ).



课后作业
1. 已知△ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B= 120? ,解此三角形.

2. 已知△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=k∶(k+1)∶2k (k≠0),求实数 k 的取值范围为.

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§ 1.1.2 余弦定理
学习目标
1. 掌握余弦定理的两种表示形式; 2. 证明余弦定理的向量方法; 3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.

学习过程
一、课前准备 复习 1 :在一个三角形中,各 = . 和它所对角的 的 相等,即 =

复习 2:在△ABC 中,已知 c ? 10 ,A=45?,C=30?,解此三角形.

思考:已知两边及夹角,如何解此三角形呢?

二、新课导学 ※ 探究新知 问题:在 ?ABC 中, AB 、 BC 、 CA 的长分别为 c 、 a 、 b . ???? C ∵ AC ? , ???? ???? b a ∴ AC ? AC ?
A c B

同理可得:

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2 bc co s , A 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cos C .

新知: 余弦定理: 三角形中任何一边的 夹角的 的积的两倍.

等于其他两边的

的和减去这两边与它们的

思考:这个式子中有几个量? 从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角? 从余弦定理,又可得到以下推论: b2 ? c 2 ? a 2 , , cos A ? 2bc . [理解定理] (1)若 C= 90? ,则 cos C ? ,这时 c2 ? a2 ? b2
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由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. (2)余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角. 试试: (1)△ABC 中, a ? 3 3 , c ? 2 , B ? 150? ,求 b .

(2)△ABC 中, a ? 2 , b ? 2 , c ? 3 ? 1 ,求 A .

※ 典型例题
例 1. 在△ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 2 , B ? 45? ,求 A, C 和 c .

变式:在△ABC 中,若 AB= 5 ,AC=5,且 cosC=

9 ,则 BC=________. 10

例 2. 在△ABC 中,已知三边长 a ? 3 , b ? 4 , c ? 37

,求三角形的最大内角.

变式:在 ? ABC 中,若 a2 ? b2 ? c2 ? bc ,求角 A.

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三、总结提升 ※ 学习小结 1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; 2. 余弦定理的应用范围: ① 已知三边,求三角; ② 已知两边及它们的夹角,求第三边. ※ 知识拓展 在△ABC 中, 若 a2 ? b2 ? c2 ,则角 C 是直角; 若 a2 ? b2 ? c2 ,则角 C 是钝角; 若 a2 ? b2 ? c2 ,则角 C 是锐角.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 已知 a= 3 ,c=2,B=150°,则边 b 的长为( A. ).

34 22 B. 34 C. D. 22 2 2 2. 已知三角形的三边长分别为 3、5、7,则最大角为( ). ? ? ? ? A. 60 B. 75 C. 120 D. 150 3. 已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( ). A. 5 ? x ? 13 B. 13 <x<5 C. 2<x< 5 D. 5 <x<5 ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? 4. 在△ABC 中,| AB |=3,| AC |=2, AB 与 AC 的夹角为 60°,则| AB - AC |=________. 5. 在△ABC 中,已知三边 a、b、c 满足 . b2 ? a2 ? c2 ? ab ,则∠C 等于

课后作业
1. 在△ABC 中,已知 a=7,b=8,cosC=
13 ,求最大角的余弦值. 14

??? ? ??? ? 2. 在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,求 AB ? BC 的值.

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§ 1.1 正弦定理和余弦定理(练习)
学习目标
1. 进一步熟悉正、余弦定理内容; 2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形.

学习过程
一、课前准备 复习 1:在解三角形时 已知三边求角,用 定理; 已知两边和夹角,求第三边,用 已知两角和一边,用 定理. 复习 2:在△ABC 中,已知 A=

定理;

? ,a=25 2 ,b=50 2 ,解此三角形. 6

二、新课导学 ※ 学习探究 探究:在△ABC 中,已知下列条件,解三角形. ? ① A= ,a=25,b=50 2 ; 6 50 6 ? ② A= ,a= ,b=50 2 ; 3 6 ? ③ A= ,a=50,b=50 2 . 6

思考:解的个数情况为何会发生变化? 新知:用如下图示分析解的情况(A 为锐角时) .

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已知边a,b和?A
C a A H a<CH=bsinA 无解 B a=CH=bsinA 仅有一个解 b a A b a B1 H a A B2 a?b H B C b C a

C b A

CH=bsinA<a<b 有两个解

仅有一个解

试试: 1. 用图示分析(A 为直角时)解的情况?

2.用图示分析(A 为钝角时)解的情况?

※ 典型例题 例 1. 在 ? ABC 中,已知 a ? 80 , b ? 100 , ?A ? 45? ,试判断此三角形的解的情况.

变式:在 ? ABC 中,若 a ? 1 , c ?

1 , ?C ? 40? ,则符合题意的 b 的值有_____个. 2

例 2. 在 ? ABC 中, A ? 60? , b ? 1 , c ? 2 ,求

a?b?c 的值. sin A ? sin B ? sin C

1 变式:在 ? ABC 中,若 a ? 55 , b ? 16 ,且 ab sin C ? 220 3 ,求角 C. 2

三、总结提升
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※ 学习小结 1. 已知三角形两边及其夹角(用余弦定理解决) ; 2. 已知三角形三边问题(用余弦定理解决) ; 3. 已知三角形两角和一边问题(用正弦定理解决) ; 4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题(既可用正弦定理,也可用余弦定理,可能有一 解、两解和无解三种情况) . ※ 知识拓展 在 ? ABC 中,已知 a, b, A ,讨论三角形解的情况 :①当 A 为钝角或直角时,必须 a ? b 才 能有且只有一解;否则无解; ②当 A 为锐角时, 如果 a ≥ b ,那么只有一解; 如果 a ? b ,那么可以分下面三种情况来讨论: (1)若 a ? b sin A ,则有两解; (2)若 a ? b sin A ,则只有一解; (3)若 a ? b sin A ,则无解.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 已知 a、 b 为△ABC 的边, A、 B 分别是 a、 b 的对角, 且 A.
sin A 2 a?b 则 的值= ( ? , sin B 3 b

) .

1 2 4 5 B. C. D. 3 3 3 3 2. 已知在△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,那么这个三角形的最大角是( A.135° B.90° C.120° D.150° 3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度,则新三角形形状为( ). A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加长度决定 4. 在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=4:5:6,则 cosB= . 5. 已知△ABC 中, b cos C ? c cos B ,试判断△ABC 的形状 .

).

课后作业
1. 在 ? ABC 中, a ? xcm , b ? 2cm , ?B ? 45? ,如果利用正弦定理解三角形有两解,求 x 的取值范围.

1 a 2 ? b2 ? c 2 2. 在 ? ABC 中,其三边分别为 a、b、c,且满足 ab sin C ? ,求角 C. 2 4
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§ 1.2 应用举例—①测量距离
学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题

学习过程
一、课前准备 复习 1:在△ABC 中,∠C=60°,a+b= 2 3 ? 2 ,c=2 2 ,则∠A 为 .

复习 2:在△ABC 中,sinA=

sin B ? sin C ,判断三角形的形状. cos B ? cos C

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1. 如图,设 A、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在 A 的同侧,在所 在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离是 55m, ? BAC= 51? , ? ACB= 75? . 求 A、B 两点 的距离(精确到 0.1m).

提问 1:? ABC 中, 根据已知的边和对应角, 运用哪个定理比较适当?

提问 2:运用该定理解题还需要那些边和角呢?
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分析:这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题 题目条件告诉了边 AB 的对角,AC 为已知边, 再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出 AC 的对角, 应用正弦定理算出 AB 边.

新知 1:基线 在测量上,根据测量需要适当确定的

叫基线.

例 2. 如图,A、B 两点都在河的对岸(不可到达) ,设计一种测量 A、B 两点间距离的方法. 分析: 这是例 1 的变式题, 研究的 量问题. 首先需要构造三角形, 所以需要 根据正弦定理中已知三角形的 边的方法,分别求出 AC 和 BC, 再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离. 是两个 的点之间的距离测

确定 C、D 两点. 任意两个内角与一边既可求出另两

变式: 若在河岸选取相距 40 米的 C、 D 两点, 测得 ? BCA=60°, ? ACD=30°, ? CDB=45°, ? BDA =60°.

练:两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30°, 灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60°,则 A、B 之间的距离为多少?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 解斜三角形应用题的一般步骤: (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图
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(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建 立一个解斜三角形的数学模型; (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解 (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解. 2.基线的选取: 测量过程中,要根据需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 水平地面上有一个球, 现用如下方法测量球的大小, 用锐角 45? 的等腰直角三角板的斜边 紧靠球面, P 为切点, 一条直角边 AC 紧靠地面, 并使三角板与地面垂直, 如果测得 PA=5cm, 则球的半径等于( ). A.5cm B. 5 2cm C. 5( 2 ? 1)cm D.6cm 2. 台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移 P 动,离台风中心 30 千米内的地区为危险区,城市 B 在 A 的 正东 40 千米处,B 城市处于危险区内的时间为( ). A C A.0.5 小时 B.1 小时 C.1.5 小时 D.2 小时 3. 在 ?ABC 中,已知 (a 2 ? b2 )sin( A ? B) ? (a 2 ? b2 )sin( A ? B) , 则 ?ABC 的形状( ). A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 4.在 ?ABC 中,已知 a ? 4 , b ? 6 , C ? 120? ,则 sin A 的值是 . 5. 一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60? ,行驶4h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15? ,这时船与灯塔的距离为 km.

课后作业
1. 隔河可以看到两个目标,但不能到达,在岸边选取相距 3 km 的 C、D 两点,并测得∠ ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,A、B、C、D 在同一个平面, 求两目标 A、B 间的距离.

2. 某船在海面 A 处测得灯塔 C 与 A 相距 10 3 海里,且在北偏东 30? 方向;测得灯塔 B 与 A 相距 15 6 海里,且在北偏西 75? 方向. 船由 A 向正北方向航行到 D 处,测得灯塔 B 在南偏
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西 60? 方向. 这时灯塔 C 与 D 相距多少海里?

§ 1.2 应用举例—②测量高度
学习目标
1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量 的问题; 2. 测量中的有关名称.

学习过程
一、课前准备 复习 1:在 ? ABC 中,
cos A b 5 ? ? ,则 ? ABC 的形状是怎样? cos B a 3

复习 2: 在 ? ABC 中,a 、b、c 分别为 ? A、? B、? C 的对边, 若 a : b : c =1:1: 3 ,求 A:B:C 的值.

二、新课导学 ※ 学习探究 新知:坡度、仰角、俯角、方位角
方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角 ; 坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角; 仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时, 称为仰角; 当视线在水平线之下 时,称为俯角.

探究:AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高 度 AB 的方法.

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分析:选择基线 HG,使 H、G、B 三点共线, 要求 AB,先求 AE 在 ?ACE 中,可测得角 在 ?ACD 中,可测得角 故可求得 AC

,关键求 AC ,线段 ,又有 ?

※ 典型例题 例 1. 如图,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 ? =54 ?40? ,在塔底 C 处测得 A 处 的俯角 ? =50 ?1? . 已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m)

例 2. 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在东偏南 15 ? 的方向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25 ? 的方向上,仰角 为 8 ? ,求此山的高度 CD. 问题 1: 欲求出 CD,思考在哪个三角形中研究比较适合呢? 问题 2: 在 ? BCD 中,已知 BD 或 BC 都可求出 CD,根据条件,易计算出哪条边的长?

变式: 某人在山顶观察到地面上有相距 2500 米的 A、 B 两个目标, 测得目标 A 在南偏西 57°, 俯角是 60°,测得目标 B 在南偏东 78°,俯角是 45°,试求山高.

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三、总结提升 ※ 学习小结 利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的 背景资料中进行加工、抽取主要因素,进行适当的简化. ※ 知识拓展
sin(? ? ? ) 在湖面上高 h 处,测得云之仰角为 ? ,湖中云之影的俯角为 ? ,则云高为 h? . sin(? ? ? )

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在 ? ABC 中,下列关系中一定成立的是( ). A. a ? b sin A B. a ? b sin A C. a ? b sin A D. a ? b sin A 2. 在 ? ABC 中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则边 AC 上的高为( ). 3 2 3 3 3 A. B. C. D. 3 3 2 2 2 3. D、C、B 在地面同一直线上,DC=100 米,从 D、C 两地测得 A 的仰角分别为 30? 和 45? , 则 A 点离地面的高 AB 等于( )米. A.100 B. 50 3 C.50 ( 3 ? 1) D.50 ( 3 ? 1) 4. 在地面上 C 点,测得一塔塔顶 A 和塔基 B 的仰角分别是 60? 和 30? ,已知塔基 B 高出地面 20m ,则塔身 AB 的高为_________ m . 5. 在 ? ABC 中, b ? 2 2 , a ? 2 ,且三角形有两解,则 A 的取值范围是 .

课后作业
1. 为测某塔 AB 的高度, 在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30°, 测得塔基 B 的俯角为 45°,则塔 AB 的高度为多少 m?

2. 在平地上有 A、B 两点,A 在山的正东,B 在山的东南,且在 A 的南 25°西 300 米的地 方,在 A 侧山顶的仰角是 30°,求山高.
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§ 1.2 应用举例—③测量角度
学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.

学习过程
一、课前准备 复习 1:在 △ABC 中,已知 c ? 2 , C ?
? 1 ,且 ab sin C ? 3 ,求 a,b . 3 2

复习 2:设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A= 60? , c ? 3 ,求

a 的值. c

二、新课导学 ※ 典型例题
例 1. 如图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75 ? 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后 从 B 出发,沿北偏东 32 ? 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发 到达 C, 此船应该沿怎样的方向航行, 需要航行多少距离?(角度精确到 0.1 ? , 距离精确到 0.01n mile)

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分析: 首先由三角形的内角和定理求出角 ? ABC, 然后用余弦定理算出 AC 边, 再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角 ? CAB.

例 2. 某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 ? 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船,正沿南偏东 75 ? 的 方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以 14 海里/小时的速度沿着直线方向 追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多少时间才追赶上该走私船?

※ 动手试试
练 1. 甲、乙两船同时从 B 点出发,甲船以每小时 10( 3 +1)km 的速度向正东航行,乙船以 每小时 20km 的速度沿南 60°东的方向航行,1 小时后甲、乙两船分别到达 A、C 两点,求 A、C 两点的距离,以及在 A 点观察 C 点的方向角.

练 2. 某渔轮在 A 处测得在北 45°的 C 处有一鱼群, 离渔轮 9 海里, 并发现鱼群正沿南 75° 东的方向以每小时 10 海里的速度游去, 渔轮立即以每小时 14 海里的速度沿着直线方向追捕, 问渔轮应沿什么方向,需几小时才能追上鱼群?

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三、总结提升 ※ 学习小结 1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中,依次利用正弦定理或余弦定理解之.; 2.已知量与未知量涉及两个或几个三角形,这时需要选择条件足够的三角形优先研究,再 逐步在其余的三角形中求出问题的解. ※ 知识拓展 已知 ? ABC 的三边长均为有理数,A= 3? ,B= 2? ,则 cos5? 是有理数,还是无理数? 因为 C ? ? ? 5? ,由余弦定理知 a 2 ? b2 ? c 2 为有理数, cos C ? 2ab 所以 cos5? ? ? cos(? ? 5? ) ? ? cos C 为有理数.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 从 A 处望 B 处的仰角为 ? ,从 B 处望 A 处的俯角为 ? ,则 ? , ? 的关系为( A. ? ? ? B. ? = ?
C. ? + ? = 90? D. ? + ? = 180?

).

2. 已知两线段 a ? 2 ,b ? 2 2 ,若以 a 、b 为边作三角形,则边 a 所对的角 A 的取值范围是 ( ). A. ( , ) 6 3

? ?
?

B. (0, ] 6

?

C. (0, ) D. (0, ] 2 4 2 3. 关于 x 的方程 sin A?x ? 2sin B?x ? sin C ? 0 有相等实根,且 A、B、C 是 ? 的三个内角,则 三角形的三边 a、b、c 满足( ). A. b ? ac B. a ? bc C. c ? ab D. b2 ? ac 4. △ABC 中,已知 a:b:c=( 3 +1) :( 3 -1): 10 ,则此三角形中最大角的度数为 5. 在三角形中,已知:A,a,b 给出下列说法: (1)若 A≥90°,且 a≤b,则此三角形不存在 (2)若 A≥90°,则此三角形最多有一解 (3)若 A<90°,且 a=bsinA,则此三角形为直角三角形,且 B=90° (4)当 A<90°,a<b 时三角形一定存在 (5)当 A<90°,且 bsinA<a<b 时,三角形有两解 其中正确说法的序号是 . .

?

课后作业
1. 我舰在敌岛 A 南偏西 50? 相距 12 海里的 B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西 10? 的方向以 10 海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用 2 小时追上敌舰?

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2.

§ 1.2 应用举例—④解三角形
学习目标
1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题; 2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用; 3. 能证明三角形中的简单的恒等式.

学习过程
一、课前准备 复习 1:在 ? ABC 中 (1)若 a ? 1, b ? 3, B ? 120? ,则 A 等于 . (2)若 a ? 3 3 , b ? 2 , C ? 150? ,则 c ? _____.

复习 2: 在 ?ABC 中,a ? 3 3 ,b ? 2 ,C ? 150? ,则高 BD= ,三角形面积= .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究:在 ? ABC 中,边 BC 上的高分别记为 h a ,那么它如何用已知边和角表示? h a =bsinC=csinB 1 根据以前学过的三角形面积公式 S= ah, 2 1 代入可以推导出下面的三角形面积公式,S= absinC, 2
或 S= 同理 S= , .
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新知:三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半.

※ 典型例题
例 1. 在 ? ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S(精确到 0.1cm 2 ) : ? (1)已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ; (2)已知 B=62.7 ? ,C=65.8 ? ,b=3.16cm; (3)已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.

变式:在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到 这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积是多少?(精确到 0.1cm 2 )

例 2. 在 ? ABC 中,求证: a2 ? b2 sin 2 A ? sin 2 B (1) ? ; c2 sin 2 C (2) a 2 + b 2 + c 2 =2(bccosA+cacosB+abcosC) .

小结: 证明三角形中恒等式方法: 应用正弦定理或余弦定理, “边” 化 “角” 或 “角” 化 “边” .

※ 动手试试
练 1. 在 ? ABC 中,已知 a ? 28cm , c ? 33cm , B ? 45? ,则 ? ABC 的面积是 .

练 2. 在 ? ABC 中,求证: c(a cos B ? b cos A) ? a 2 ? b2 .

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三、总结提升 ※ 学习小结 1. 三角形面积公式: 1 S= absinC= = . 2 2. 证明三角形中的简单的恒等式方法:应用正弦定理或余弦定理, “边”化“角”或“角” 化“边” . ※ 知识拓展
三角形面积 S ?
p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ,

1 这里 p ? (a ? b ? c) ,这就是著名的海伦公式. 2

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 在 ?ABC 中, a ? 2, b ? 3, C ? 60? ,则 S?ABC ? ( A. 2 3 B.
3 2

).

3 2 3 9 2. 三角形两边之差为 2,夹角的正弦值为 ,面积为 ,那么这个三角形的两边长分别是 2 5 ( ). A. 3 和 5 B. 4 和 6 C. 6 和 8 D. 5 和 7 3. 在 ?ABC 中,若 2cos B ? sin A ? sin C ,则 ?ABC 一定是( )三角形. A. 等腰 B. 直角 C. 等边 D. 等腰直角 4. ?ABC 三边长分别为 3, 4,6 ,它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是 . 5. 已 知 三 角 形 的 三 边 的 长 分 别 为 a ? 54cm , b ? 61cm , c ? 71cm , 则 ? ABC 的 面 积 是 .

C.

3

D.

课后作业
2. 已知在 ? ABC 中, ? B=30 ? ,b=6,c=6 3 ,求 a 及 ? ABC 的面积 S.

2. 在△ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ? (cos A ? cos B) ,试判断△ABC 的形状.

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§ 1.2 应用举例(练习)
学习目标
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量的实际问题; 2.三角形的面积及有关恒等式.

学习过程
一、课前准备 复习 1:解三角形应用题的关键:将实际问题转化为解三角形问题来解决. 复习 2:基本解题思路是: ①分析此题属于哪种类型(距离、高度、角度) ; ②依题意画出示意图,把已知量和未知量标在图中; ③确定用哪个定理转化,哪个定理求解; ④进行作答,并注意近似计算的要求.

二、新课导学 ※ 典型例题
例 1. 某观测站 C 在目标 A 的南偏西 25? 方向, 从 A 出发有一条南偏东 35? 走向的公路, 在C 处测得与 C 相距 31 km 的公路上有一人正沿着此公路向 A 走去,走 20 km 到达 D,此时测得 CD 距离为 21 km ,求此人在 D 处距 A 还有多远?

例 2. 在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ? ,沿 BE 方向前进 30m,至点 C 处测 得顶端 A 的仰角为 2 ? ,再继续前进 10 3 m 至 D 点,测得顶端 A 的仰角为 4 ? ,求 ? 的大 小和建筑物 AE 的高.
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例 3. 如图, 在四边形 ABCD 中, AC 平分∠DAB, ∠ABC=60°, AC=7, AD=6, S△ADC= 求 AB 的长.

15 3 , 2

D A 1 2

A
600

D

B

B

C

C

※ 动手试试 练 1. 为测某塔 AB 的高度, 在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30°, 测得塔基 B 的俯角为 45°,则塔 AB 的高度为多少 m?

练 2. 两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30°, 灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60°,则 A、B 之间的距离为多少?

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三、总结提升 ※ 学习小结 1. 解三角形应用题的基本思路,方法; 2.应用举例中测量问题的强化. ※ 知识拓展 秦九韶“三斜求积”公式:
1 ? 2 2 ? c 2 ? a 2 ? b2 ? ?c a ? ? S? ? 4? 2 ? ? ?
2

? ? ? ?

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 某人向正东方向走 x km 后,向右转 150? ,然后朝新方向走 3 km ,结果他离出发点恰好
3 km ,则 x 等于(

). )米.

A. 3 B. 2 3 C. 3 或 2 3 D.3 2.在 200 米的山上顶,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30? ,60? ,则塔高为(
200 3 400 3 200 400 B. C. D. 3 3 3 3 3. 在 ? ABC 中, ?A ? 60? , AC ? 16 ,面积为 220 3 ,那么 BC 的长度为(

A.

).

A. 25 B. 51 C. 49 3 D. 49 4. 从 200 米高的山顶 A 处测得地面上某两个景点 B、C 的俯角分别是 30?和 45?,且∠BAC =45?,则这两个景点 B、C 之间的距离 . 5. 一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°相距 20 里处,随后货轮按北偏西 30°的方向航行,半小时后,又测得灯塔在货轮的北偏东 45? ,则货轮的速度 .

课后作业
1. 3.5 米长的棒斜靠在石堤旁, 棒的一端在离堤足 1.2 米地面上, 另一端在沿堤上 2.8 米的地 方,求堤对地面的倾斜角.

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2. 已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3, ?1 ) ,n=(cosA, sinA). 若 m⊥n,且 acosB+bcosA=csinC,求角 B.

第一章 解三角形(复习)
学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题.

学习过程
一、课前准备 复习 1: 正弦定理和余弦定理 (1)用正弦定理: ①知两角及一边解三角形; ②知两边及其中一边所对的角解三角形(要讨论解的个数) . (2)用余弦定理: ①知三边求三角; ②知道两边及这两边的夹角解三角形. 复习 2:应用举例 ① 距离问题,②高度问题, ③ 角度问题,④计算问题. 练:有一长为 2 公里的斜坡,它的倾斜角为 30°,现要将倾斜角改为 45°,且高度不变. 则 斜坡长变为___ .

二、新课导学 ※ 典型例题
例 1. 在 ?ABC 中 tan( A ? B) ? 1 ,且最长边为 1, tan A ? tan B , tan B ? △ABC 最短边的长.
1 ,求角 C 的大小及 2

例 2. 如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等 待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ? ,相距 10 海里 C 处的乙
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船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精确到 1 ? )? 北

A 10 ?C

20

B ?

例 3. 在 ? ABC 中,设

tan A 2c ? b ? , 求 A 的值. tan B b

※ 动手试试 练 1. 如图,某海轮以 60 n mile/h 的速度航行,在 A 点测得海面上油井 P 在南偏东 60°, 向北航行 40 min 后到达 B 点, 测得油井 P 在南偏东 30°, 海轮改为北偏东 60°的航向再行 驶 80 min 到达 C 点,求 P、C 间的距离.

C

B

60°

30°

A
60°

P

练 2. 在△ABC 中,b=10,A=30°,问 a 取何值时,此三角形有一个解?两个解?无解?

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三、总结提升 ※ 学习小结 1. 应用正、余弦定理解三角形; 2. 利用正、余弦定理解决实际问题(测量距离、高度、角度等) ; 3.在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. (边角转化) . ※ 知识拓展 设在 ?ABC 中,已知三边 a , b , c ,那么用已知边表示外接圆半径 R 的公式是
R? abc p( p ? a)( p ? b)( p ? c)

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知△ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B= 120? ,则△ABC 的面积为( ). A.9 B.18 C.9 D.18 3 2 2 2 2.在△ABC 中,若 c ? a ? b ? ab ,则∠C=( ). A. 60° B. 90° C.150° D.120° 3. 在 ? ABC 中, a ? 80 , b ? 100 ,A=30°,则 B 的解的个数是( ). A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.不确定的 1 4. 在△ABC 中, a ? 3 2 , b ? 2 3 , cos C ? ,则 S△ABC ? _______ 3 5. 在 ? ABC 中,a 、 b、 c 分别为 ? A、? B、? C 的对边, 若 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc sin A , 则 A=___ ____.

课后作业
1. 已知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三内角,且其对边分别为 a 、 b 、 c ,若 1 cos B cos C ? sin B sin C ? . 2 (1)求 A ; (2)若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

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2. 在△ABC 中, a, b, c 分别为角 A、B、C 的对边, a 2 ? c2 ? b2 ? 积为 6, (1)求角 A 的正弦值; (2)求边 b、c.

8bc , a =3, △ABC 的面 5

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