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4.1.1圆的标准方程导学案


4.1.1 圆的标准方程(人教 A 版数学新课标教材必修 2,P118-120)
一、学习目标:
1.正确掌握圆的标准方程及其推导过程; 2.会根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程以及从圆的标准方程熟 练地求出圆心和半径;由不同的已知条件求得圆的标准方程; 3.掌握点与圆位置关系的判定;

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二、学习内容

r />【方程推导】 在平面直角坐标系中,已知:圆心为 A(a,b), 半径长为 r,圆上的任意一 点 M(x,y)应该满足的关系式? 推到过程:

结论:以圆心 A(a,b), 半径长 r 的圆的标准方程为: 【结构分析】 圆的标准方程是一个____元____次方程.

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【练习强化】 1.写出下列圆的圆心坐标和半径.





圆心坐标





( x ? 4) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 6 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 9 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 8 x 2 ? y 2 ? (?3) 2 ( x ? a)2 ? y 2 ? a 2

总结: 特别地,当(a,b)=(0,0),r=1 时,圆的方程变为 2.根据下列条件,写出圆的标准方程. (1)圆心在 A(2,1),半径长为 4; (2)圆心在 A(-3,4),半径长为 5 ; (3)圆心在 A(-3,-2),半径长为 5; 【知识应用】 练习 1:判断下列各点是否在以 A(2,-3)为圆心,半径为 5 的圆上? (1) M1 (5,?7) (3) M 3 (?3,1) 分析:点在圆上,则点的坐标满足圆的方程; 反之,点的坐标满足圆的方程,则点在圆上. 解:以 A(2,-3)为圆心,半径为 5 的圆的标准方程是 将 M1 (5,?7) 的横纵坐标代入上述方程得 所以 将 M 2 (?2,?1) 的横纵坐标代入上述方程得 (2) M 2 (?2,?1)

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所以 将 M 3 (?3,1) 的横纵坐标代入上述方程得 所以 进一步探讨: M1A ? ____ r ;
M 2 A ? _____r ; M 3A ? _____r ;

归纳规律:坐标平面内的点 P0 ( x 0 , y0 ) 与圆 C: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系: ①点 P0 在圆 C 上 ? ②点 P0 在圆 C 内 ? ③点 P0 在圆 C 外 ? 练习 2:△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接 圆方程.

结论:求圆的标准方程的方法: 练习 3: 已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和 B(2,?2) , 且圆心 C 在直线 l : ? y ? 1 ? 0 x 上,求圆心为 C 的圆的标准方程.

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三、课堂小结 请同学们通过对照学习目标和学习过程中的思考内容回顾本课学习的知识 点、数学方法、数学思想,从以下方面进行小结: (1)圆的标准方程: (2)判断点与圆的位置关系: (3)求圆的标准方程的方法:①找圆心、半径;②待定系数法. 四、达标练习 1.写出下列圆的方程: (1)圆心在 C(-3,4),半径是 5 ; (2)圆心在 C(8,-3),且经过点 M(5,1).

2.判断下列各点是否在以原点为圆心,半径为 5 的圆上? (1)A(0,3) (2)(3,4) (3)(6,8)

3.已知△AOB 的顶点坐标分别是 A(4,0),B(0,3),O(0,0),求△AOB 外接圆的方程.

五、作业:习题 4.1A 组 2,3 题 六、带问题预习下一节: (1)把圆的标准方程平方项展开后是什么形式? (2)方程 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 20 ? 0 表示的曲线是什么样的?

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