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陕西省西工大附中2013届高三上学期第四次适应性训练(期末)数学文试题


2013 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第四次适应性训练

数 学(文科)
第Ⅰ卷
A. ?1, 2,3, 4,6? 2.设复数 z ? 1 ? B. ?1, 2,3, 4,5?

选择题(共 50 分)
) C. ?1, 2,5? D. ?1, 2? )

一、选择题: (本大题

共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设全集 U ? ?1,2,3,4,5,6?, 集合 P ? ?1, 2,3, 4?, Q ? ?3,4, ,则 P ? (CU Q) =( 集合 5?

2 (其中 i 为虚数单位),则 z 的共轭复数 z 等于( i A.1+ 2i B. 1 ? 2i C. ? 2i D. 2i 1 3.已知条件p: x ? 1 ,条件q: ? 1 ,则p是q的( ) x
A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件

4.如右图的程序框图所示,若输入 a ? 3, b ? 2 ,则输出的值是( A.

)

1 2

B.1

C.

1 3

D. 2 )

5.若抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P 到 y 轴的距离为 3,则点 P 到抛物线的焦点 F 的距离为( A.3 B.4 C.5 D.7 6.公差不为零的等差数列第 2,3,6 项构成等比数列,则这三项的公比为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

7.已知 | a |? 2, b 是单位向量,且 a与b 夹角为 60° ,则 a ? (a ? b) 等于( A.1 B. 2 ? 3 C.3 D. 4 ? 3

?

?

? ?

? ? ?



8.已知函数 f ? x ? 对任意 x ? R ,有 f ? x ? ? f ? ?x ? ? 0 ,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? ln ? x ?1? ,则函数

f ? x ? 的大致图象为(



9.设函数 f ( x) ? ?

,则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( ? x ? 6, x ? 0 A. (?3, 1) ? (3, ? ?) B. (?3, 1) ? (2, ? ?) C. (?1, 1) ? (3, ? ?) D. (??, ? 3) ? (1, 3) 10.一个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形, 则这个几何体的体积为( ) A. 1 3 B. 3 C.1 D.

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0



3 3

第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)
.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分,把答案填写在答题卡相应的位置) 11.若函数 y ? f ( x) 的图象在 x ? 4 处的切线方程是 y ? ?2 x ? 9 ,则 f (4) ? f ?(4) ?

12.若椭圆的短轴为 AB ,它的一个焦点为 F ,则满足 ?ABF 为等边三角形的椭圆的离心率 是 .

?y ? 2 ? 13.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?
14.若 tan ? ? 2, 则 sin ? cos ? ? ;



15.选做题(请考生在以下三个小题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分) ? A ( 选 修 4—4 坐 标 系 与 参 数 方 程 ) 已 知 点 A 是 曲 线 ? ? 2 sin 上 任 意 一 点 , 则 点 A 到 直 线

? sin(? ? ? ) ? 4 的距离的最小值是 3



B(选修 4—5 不等式选讲)已知 x, y ? R,3x2 ? y 2 ? 3, 则 2 x ? 3 y 的最大值 是 .; C(选修 4—1 几何证明选讲)如图,?ABC 内接于 ? O , AB ? AC ,直线 MN 切 ? O 于 点 C , BE // MN 交 AC 于 点 E . 若 AB ? 6, BC ? 4, 则 AE 的 长 为 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名电视观众,相关的数据如下表所示:
w_w*w.k_ s_5 u.c*o*m

. k#s5_u.c

(Ⅰ)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名,大于 40 岁的观众应该抽取几名? (Ⅱ)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名,求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率.
w_w*w

17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a ,b,c,且满足 a sin C ? 3c cos A ,

??? ??? ? ? AB ? AC ? 2 . (Ⅰ)求 ?ABC 的面积; (Ⅱ)若 b ? 1 ,求边 c 与 a 的值.

18. (本小题满分 12 分)各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? a3 ? 6 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 通项公式; (Ⅱ)若等差数列 ?bn ? 满足 b1 ? a2 , b4 ? a4 ,求数列 ?anbn ? 的前 n 项和 Sn .

19. (本小题满分 12 分)已知 ABCD 是矩形, AD ? 2 AB , E , F 分别是线段 AB, BC 的中点, PA ? 平面 ABCD . (Ⅰ)求证: DF ? 平面 PAF ; (Ⅱ)在棱 PA 上找一点 G ,使 EG ∥平面 PFD ,并说明理由.
A E D P

B

F

C

20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? mx ?

m , g ( x) ? 2 ln x . x

(Ⅰ)当 m ? 2 时,求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 m ? 1 时,判断方程 f ( x) ? g ( x) 在区间 ?1, ?? ? 上有无实根. (Ⅲ)若 x ? ?1, e? 时,不等式 f ( x) ? g ( x) ? 2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

21.(本题满分 14 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ? 圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

3 ,且点 P(?2, 0) 在椭 2

(Ⅱ)已知 A 、 B 为椭圆 C 上的动点,当 PA ? PB 时,求证:直线 AB 恒过一个定点.并求出该定点的坐 标.

2013 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第四次适应性训练 数学(文科)参考答案与评分标准 一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 11.3
5 15.A ; 2

1 D

2 A

3 A

4 D

5 B

6 C

7 C

8 C

9 A

10 D

12.

3 2

13.11 C.
10 3

14.

2 5

B. 31 ;

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 【解】 在 100 名电视观众中,收看新闻的观众共有 45 人,其中 20 至 40 岁的观众有 18 人,大于 :
40 岁的观众共有 27 人。 故按分层抽样方法,在应在大于 40 岁的观众中中抽取

5 ? 27 ? 3 人. 45

……4 分

(2)抽取的 5 人中,年龄大于 40 岁的有 3 人,分别记作 1,2,3;20 岁至 40 岁的观众有 2 人,分 别高为 a, b ,若从 5 人中任取 2 名观众记作 ( x, y ) ,……6 分 则包含的总的基本事件有:(1,2), (1,3), (1, a), (1, b), (2,3), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (a, b) 共 10 个。…8 分 其中恰有 1 名观众的年龄为 20 岁至 40 岁包含的基本事件有:(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) 共 6 个. ……10 分 故 P (“恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁”)=

6 3 ? ; 10 5

……12 分

17. (本小题满分 12 分) 【解】(Ⅰ)由正弦定理得 sin Asin C ? 3sin C cos A ,……2 分 : sin A ? 3 cos A , tan A ? 3 , A ? 60? ,……6 分 ??? ??? ? ? 由 AB ? AC ? 2 得 b ? c ? 4 , ?ABC 的面积为 3 .……8 分 (Ⅱ)因 b ? 1 ,故 c ? 4 ,……10 分 由余弦定理得 a ? 13 ……12 分 18. (本小题满分 12 分)由条件知 q ? 0, q ? q2 ? 6?q ? 2 ……………………2 分

? an ? 2n?1

………… 4 分

(2)设数列 ?bn ? 公差为 d ,则 b1 ? 2, b1 ? 3d ? 8,?d ? 2 ,?bn ? 2n …………6 分

anbn ? n ? 2n

Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n 2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1
……………………8 分 ……………………10 分 ……………………12 分

??Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ??? 2n ? n ? 2n?1
? 2(2n ?1) ? n ? 2n?1

? S n ? (n ?1)2n?1 ? 2

19.(本小题满分 12 分) 【解】 证明:在矩形 ABCD 中,因为 AD=2AB,点 F 是 BC 的中点,所以∠AFB=∠DFC=45° : .
所以∠AFD=90° AF⊥FD. ……………………4 分 ,即 又 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥FD.所以 FD⊥平面 PAF. ……………………6 分 (Ⅱ)过 E 作 EH//FD 交 AD 于 H,
P

1 则 EH//平面 PFD,且 AH = AD. 4
再过 H 作 HG//PD 交 PA 于 G, ……………………9 分

G

1 所以 GH//平面 PFD,且 AG= PA. 4
所以平面 EHG//平面 PFD. 所以 EG//平面 PFD. 从而点 G 满足 AG= ……………………11 分
B

A H E

D

F

C

1 PA. 4

……………………12 分

20.(本小题满分 13 分) 【解】(1) m ? 2 时, f ? x ? ? 2 x ? :
2 2 , f ' ? x ? ? 2 ? 2 , f ' ?1? ? 4 ,切点坐标为 ?1,0? , x x

? 切线方程为 y ? 4 x ? 4 …………………… 3 分
(2) m ? 1 时,令 h? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ?
2

1 ? 2 ln x , x

1 2 ?x ? 1? h' ( x) ? 1 ? 2 ? ? ? 0 ,? h?x ? 在 ?0,??? 上为增函数…………………… 5 分 x x x2

又 h(1) ? 0 ,所以 f ( x) ? g ( x) 在 ?1, ?? ? 内无实数根 ……………………7 分 (3) mx ?

m ? 2 ln x ? 2 恒成立, 即 m x 2 ? 1 ? 2 x ? 2 x ln x 恒成立, x 2 x ? 2 x ln x 又 x 2 ? 1 ? 0 ,则当 x ? ?1, e? 时, m ? 恒成立,……………………9 分 x2 ?1 2 x ? 2 x ln x 令 G ?x ? ? ,只需 m 小于 G ?x ? 的最小值, x2 ?1

?

?

G' ?x ? ?

? 2( x 2 ln x ? ln x ? 2)

?x

2

?1

?

2

,…………………… 11 分

? 1 ? x ? e ,? ln x ? 0 ,? 当 x ? ?1, e? 时 G' ?x? ? 0 ,

? G?x ? 在 ?1, e? 上单调递减,? G?x ? 在 ?1, e? 的最小值为 G ?e ? ?
则 m 的取值范围是 ? ? ?,

4e , e ?1
2

? ?

4e ? ? ……………………13 分 e ?1?
2

21. (本小题满分 14 分)
【解】 :(1)椭圆 C 的方程是:

x2 ? y 2 ? 1 ??????????4 分 4

(2) 当直线 l 不垂直于 x 轴时,设 AB : y ? kx ? m

A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 )

? x2 ? 4 y2 ? 4 2 2 2 得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4(m ?1) ? 0 ?????????6 分 ? y ? kx ? m ? ??? ??? ? ? PA?PB ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (2 ? km)( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 4

? (1 ? k 2 )

4(m2 ? 1) ?8km ? (2 ? km) ? m2 ? 4 ? 0 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k


???????? 8 分

?12k 2 ? 5m2 ? 16km ? 0
当m ?

(6k ? 5m)(2k ? m) ? 0 ? m ?

6 k 或m ? 2k ?????10 分 5

6 6 6 k 时, AB : y ? kx ? k 恒过定点 ( ? , 0) 5 5 5
12 分

当 m ? 2 k 时, AB : y ? kx ? 2k 恒过定点 (?2, 0) ,不符合题意舍去? 当 直 线 l 垂 直 于 x 轴 时 , 若 直 线 AB : x ? ?

6 4 6 则 AB 与 椭 圆 C 相 交 于 A( ? , ? ) , 5 5 5 ??? ??? ? ? 4 4 4 4 6 4 4 4 4 B (? , ) ? PA?PB ? ( , ? )? , ) ? ( ) 2 ? ( ? )( ) ? 0 ,? PA ? PB ,满足题意 ( 5 5 5 5 5 5 5 5 5

综上可知,直线 AB 恒过定点,且定点坐标为 ( ?

6 , 0) ?????? 14 分 5


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