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初高中数学衔接知识点专题(二)


初高中数学衔接知识点专题(二)
★ 专题二 【要点回顾】 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及 各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能. 因式分解的方法较多, 除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外, 还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等. 1.公式法

常用的乘法公式: [1]平方差公式: [2]完全平方和公式: [3]完全平方差公式: [4] (a ? b ? c)2 ? [5] a3 ? b3 ? [6] a3 ? b3 ? (立方和公式) (立方差公式) ; ; . 因式分解

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,运用上述公式可以进行 因式分解. 2.分组分解法 从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多 项式, 如 ma ? mb ? na ? nb 既没有公式可用, 也没有公因式可以提取. 因此, 可以先将多项式分组处理. 这 种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组. 常见题型:(1)分组后能提取公因式 (2)分组后能直接运用公式 3.十字相乘法 (1) x2 ? ( p ? q) x ? pq 型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:①二次项系数是 1;②常数项是两个数之积;③ 一次项 系数是常数项的两个因数之和. ∵ x2 ? ( p ? q) x ? pq ? x2 ? px ? qx ? pq ? x( x ? p) ? q( x ? p) ? ( x ? p)( x ? q) , ∴ x2 ? ( p ? q) x ? pq ? ( x ? p)( x ? q) 运用这个公式,可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式. (2)一般二次三项式 ax ? bx ? c 型的因式分解
2

由 a1a2 x ? (a1c2 ? a2c1 ) x ? c1c2 ? (a1x ? c1 )(a2 x ? c2 ) 我们发现,二次项系数 a 分解成 a1a2 ,常数项 c
2

分解成 c1c2 ,把 a1 , a2 , c1 , c2 写成 a2 ?c2 ,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到 a1c2 ? a2c1 ,如果它正好
a1 c1

等于 ax ? bx ? c 的一次项系数 b ,那么 ax ? bx ? c 就可以分解成 (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) ,其中 a1 , c1 位于上
2 2

一行, a2 , c2 位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十 字相乘法. 必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三 项式能否用十字相乘法分解. 4.其它因式分解的方法 其他常用的因式分解的方法: (1)配方法 (2)拆、添项法

-1-

【例题选讲】 例 1 (公式法)分解因式:(1) 3a b ? 81b ;(2) a ? ab
3 4 7 6

例 2 (分组分解法)分解因式: (1) ab(c2 ? d 2 ) ? (a2 ? b2 )cd

(2) 2 x2 ? 4 xy ? 2 y 2 ? 8z 2

例 3 (十字相乘法)把下列各式因式分解:(1) x ? 5 x ? 24
2

(2) x ? 2 x ? 15
2

(3) x2 ? xy ? 6 y 2

(4) ( x2 ? x)2 ? 8( x2 ? x) ? 12

例 4 (十字相乘法)把下列各式因式分解:(1) 12 x ? 5x ? 2 ;(2) 5x2 ? 6 xy ? 8 y 2
2

例 5 (拆项法)分解因式 x ? 3x ? 4
3 2

-2-

【巩固练习】 1.把下列各式分解因式: (1) ab(c2 ? d 2 ) ? cd (a2 ? b2 ) (2) x ? 4mx ? 8mn ? 4n
2 2

(3) x ? 64
4

(4) x ? 11x ? 31x ? 21
3 2

(5) x ? 4 xy ? 2 x y ? 8 y
3 2 2

3

2.已知 a ? b ?

2 , ab ? 2 ,求代数式 a 2b ? 2a 2b2 ? ab2 的值. 3

3.现给出三个多项式, 结果因式分解.

1 2 1 1 x ? x ? 1 , x 2 ? 3x ? 1 , x 2 ? x ,请你选择其中两个进行加法运算,并把 2 2 2

4.已知 a ? b ? c ? 0 ,求证: a ? a c ? b c ? abc ? b ? 0 .
3 2 2 3

-3-

专题二因式分解答案 例 1 分析:(1) 中应先提取公因式再进一步分解;(2) 中提取公因式后,括号内出现 a ? b ,可看着是
6 6

(a3 )2 ? (b3 )2 或 (a2 )3 ? (b2 )3 . 解:(1) 3a3b ? 81b4 ? 3b(a3 ? 27b3 ) ? 3b(a ? 3b)(a 2 ? 3ab ? 9b2 ) . (2) a7 ? ab6 ? a(a6 ? b6 ) ? a(a3 ? b3 )(a3 ? b3 ) ? a(a ? b)(a2 ? ab ? b2 )(a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a(a ? b)(a ? b)(a2 ? ab ? b2 )(a2 ? ab ? b2 )
例 2(1)分析:按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式. 解: ab(c ? d ) ? (a ? b )cd ? abc ? abd ? a cd ? b cd ? (abc ? a cd ) ? (b cd ? abd )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? ac(bc ? ad ) ? bd (bc ? ad ) ? (bc ? ad )(ac ? bd )
(2)分析:先将系数 2 提出后,得到 x ? 2 xy ? y ? 4 z ,其中前三项作为一组,它是一个完全平方式, 再和第四项形成平方差形式,可继续分解因式. 例3
2 2 2

解: 2 x ? 4 xy ? 2 y ? 8z ? 2( x ? 2 xy ? y ? 4 z ) ? 2[( x ? y) ? (2z) ] ? 2( x ? y ? 2 z)( x ? y ? 2z)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 解: (1)? ? 24 ? (?3) ? 8,(?3) ? 8 ? 5 ? x ? 5x ? 24 ? [ x ? (?3)]( x ? 8) ? ( x ? 3)( x ? 8) 2 (2) ? ? 15 ? (?5) ? 3,(?5) ? 3 ? ?2 ? x ? 2x ?15 ? [ x ? (?5)]( x ? 3) ? ( x ? 5)( x ? 3)

(3)分析:把 x ? xy ? 6 y 看成 x 的二次三项式,这时常数项是 ?6 y ,一次项系数是 y ,把 ?6 y 分
2 2 2 2

解成 3 y 与 ?2 y 的积,而 3 y ? (?2 y) ? y ,正好是一次项系数.
-4-

解: x2 ? xy ? 6 y 2 ? x2 ? yx ? 62 ? ( x ? 3 y)( x ? 2 y) (4) 由 换 元 思 想 , 只 要 把 x ? x 整 体 看 作 一 个 字 母 a , 可 不 必 写 出 , 只 当 作 分 解 二 次 三 项 式
2

a 2 ? 8a ? 12.解: ( x2 ? x)2 ? 8( x2 ? x) ? 12 ? ( x2 ? x ? 6)( x2 ? x ? 2) ? ( x ? 3)( x ? 2)( x ? 2)( x ? 1)
例 4 解:(1) 12 x2 ? 5x ? 2 ? (3x ? 2)(4 x ? 1) (2) 5x2 ? 6 xy ? 8 y 2 ? ( x ? 2 y)(5x ? 4 y)
3 ?2 4 1

?

1 2y 5 ?4 y

?

说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是 1 时较困难,具体分解时,为提高速 度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一次项系数,否则用 加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号. 例 5 解: x3 ? 3x2 ? 4 ? ( x3 ? 1) ? (3x2 ? 3) ? ( x ? 1)( x2 ? x ? 1) ? 3( x ? 1)( x ?1)

? ( x ? 1)[( x2 ? x ? 1) ? 3( x ?1)] ? ( x ? 1)( x2 ? 4x ? 4) ? ( x ? 1)( x ? 2)2
【巩固练习】 1. (1) (bc ? ad )(ac ? bd ) ; (2) ( x ? 4m ? 2n)( x ? 2n) ; (3) ( x2 ? 4 x ? 8)( x2 ? 4 x ? 8);

(4) ( x ?1)( x ? 3)( x ? 7) ; (5) ( x ? 2 y)2 ( x ? 2 y) . 28 2. ; 3 1 2 1 2 2 3. ( x ? x ? 1) ? ( x ? 3 x ? 1) ? x ? 4 x ? x( x ? 4) 2 2 1 2 1 2 2 其他情况如下: ( x ? x ? 1) ? ( x ? x) ? x ? 1 ? ( x ? 1)( x ? 1) ; 2 2 1 1 ( x 2 ? 3x ? 1) ? ( x 2 ? x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 . 2 2 3 2 2 3 2 2 4. a ? a c ? b c ? abc ? b ? (a ? ab ? b )(a ? b ? c)

-5-


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