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2009-2010学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试及答案


2009 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学
本试卷共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 班别_____________ 姓名________________ 学号_____________ 成绩__________ 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1.设集合 A ? ?0,

1,2? , B ? ?1,2,3? ,则 A ? B ? ( ) A. ?0,1,2,3? B. ?0, 3? C. ?1, 2? D. ? ) 2.若直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 2 x ? y ? 2 ? 0 平行,则实数 a 的值为 ( 1 1 A. 2 B. ?2 C. D. ? 2 2 3. 已知 tan ? ?

1 , 则 tan 2? ? ( ) A. 3 B. 4 C. 4 2 4 3 5 4. 已知向量 a , b 满足 a ? 1 , b =2, a ?b ? ?1 , 则 a 与 b 的夹角大小是 ( )
A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 5. 在一次射击训练中, 某一小组 10 名成员的成绩如下表: 环数 人数 7 环以下 0 7环 2 8环
? ? ? ?

D. 5
4

开始 输入 x

x

9环 3

10 环

y
) 是

已知该小组的平均成绩为 8.3 环, 则 xy 的值为 (

A. 0 B. 4 C. 5 D. 6 6. 某居民区的物业公司按月向居民收取卫生费, 每月收费方法 是:3 人和 3 人以下 的住户, 每户收取 5 元; 超过 3 人的住户, 每超出 1 人加收 1.2 元, 相应收 费系统的流程图如图所示, 则①处应填( ) A. y ? 5 ? 1.2 x B. y ? 15 ? 1.2 x C. y ? 5 ? 1.2 ? x ? 3?
x ?x

x ? 3?





y?5
输出 y 结束

D. y ? 15 ? 1.2 ? x ? 3? ) B.是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 )

7. 函数 f ? x ? ? e ? e (e 为自然对数的底数 ) ( A.是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数
2 2

8.圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 关于直线 x ? y ? 0 的对称圆的方程为( A. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

B. D.

C. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1 2 2 ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

? x ? 0, ? 9. 已知不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域为 D , 则区域 D 的面积为( ? ? y ? x ? 1, ?y ? 3? x ?
A. 1 B.

)

3 2

C.

5 2

D.

7 2

10. 某班运动队由足球运动员 18 人、篮球运动员 12 人、乒乓球运动员 6 人组成,现从这些运动 员中抽取 1 个容量为 n 的样本,若分别采用系统抽样和分层抽样,则都不用剔除个体;当样本容
1

量为 n ? 1 个时,若采用系统抽样,则需要剔除 1 个个体,那么样本容量 ) A. 5 B. 6 C. 12 D. 18 n 为( 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 已知等差数列 ?an ? 的首项为 1 ,公差为 2 ,则通项公式 an ? 12. 在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c , 1 已知 a ? 1, b ? 2,sin A ? ,则 sin B 的值为 . 3 13. 一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体的表面积为 ... 14.已知 a ? 0, b ? 0 ,且三点 A?1,1? , B ? a,0 ?, C ?0, b ? 共线, 则 a ? b 的最小值为 .

2 2

2

2 2

2

.
2 正视图

4 2 侧视图

4

.

俯视图

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin x, x ?R. (1) 求函数 f ? x ? 的最小正周期和最大值; (2) 若 ? 为第一象限的角, 且满足 f ?? ? ?

3 ? , 求 f ? ? ? ? 的值. ? ? 5 4? ?

16.(本小题满分 12 分) 有四条线段,其长度分别为 2,3,5,7 . (1)从这四条线段中任意取出两条,求所取出的两条线段的长度之和大于 7 的概率; (2)从这四条线段中任意取出三条,求所取出的三条线段能构成三角形的概率.

2

17.(本小题满分 14 分)在长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AD ? AA ? 1,截面 ABC1 D1 为正方形. 1 (1)求长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的体积; (2)求证: A1 D ? 平面 ABC1 D1 .

(1) 求 f ?1? 的值; (2)证明: 函数 f ? x ? 在 ? 0,??? 上单调递增; (3)求函数 f ? x ? 的零点.

? 1 1? , 18. (本小题满分 14 分) 已知 a ?R, 函数 f ? x ? ? ? x ? ?? a ? 1? x ? 1, ?

x ? 0, x ? 0.

3

19. (本小题满分 14 分) 已知圆 M 经过三点 A? 2, 2? , B ? 2, 4? , C ?3, 3? ,从圆 M 外一点

P ? a, b ? 向该圆引切线 PT , T 为切点,且 PT ? PO ( O 为坐标原点).
(1) 求圆 M 的方程; (2)试判断点 P 是否总在某一定直线上,若是,求出该直线方程;若不是,请说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ? x ? ? x ? tx ?t ? 0? 在区间 ? ?1, 0? 上的最小值为 ?1 .
2

(1)求 t 的值;

(2)记 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, 且 a1 ? 1, an ? 0(n ? N ) ,点
*

?

Sn?1 ? Sn , 2an?1 在函数

?

f ? x ? 的图象上, 求 Sn 的表达式.

4

2009 年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试 数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 C 5 B 6 C 7 A 8 D 9 D 10 B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分. 11. 2n ? 1 12.

2 3

13. 11?

14. 4

三、解答题 15. 本小题主要考查三角函数和三角恒等变换等基本知识.满分 12 分. (2) ∵ f ?? ? ?

解: (1)∵ 函数 f ? x ? ? sin x, x ?R, ∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? , 最大值为 1.……4 分

3 , 5

∴ sin ? ?

3 . 5
2

……6 分

∵ ? 为第一象限角, ∴ f ?? ?

∴ cos ? ? 1 ? sin ? ?

4 . 5

……8 分

? ?

??

? ? ?? ? ……10 分 ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? cos 4 ? cos ? sin 4 4? 4? ? 3 2 4 2 2 . ……12 分 ? ? ? ? ?? 5 2 5 2 10

16. 本小题主要考查古典概型等基本知识.满分 12 分. 解: (1)从这四条线段中任意取出两条,共有 6 种不同的取法:

? 2,3? , ? 2,5? , ? 2,7? , ?3,5? , ?3,7 ? , ?5,7 ? , ? 2,7? , ?3,5? , ?3,7? , ?5,7 ? ,

……2 分

其中两条线段的长度之和大于 7 的共有 4 种取法: ……4 分

∴所取出的两条线段的长度之和大于 7 的概率为 P ?

(2)从这四条线段中任意取出三条,共有 3 种不同的取法: ? 2,3,5? , ? 2,3,7 ? , ? 2,5,7 ? , ?3,5,7 ? …8 分 其中能构成三角形的只有 1 种取法 ?3,5,7? , ∴所取出的三条线段能构成三角形的概率为 P ? ……10 分

4 2 ? . 6 3

……6 分

1 .……12 分 4 2 答: (1)所取出的两条线段的长度之和大于 7 的概率为 ; 3 1 (2)所取出的三条线段能构成三角形的概率 . 4
17. 本小题主要考查空间线面位置关系,几何体体积等基本知识,考查空间想象能力和推理论证 能力.满分 14 分. (1) 解: 在直角三角形 AA1 D1 中, AA ? 1 , A1 D1 ? AD ? 1 , 1
5

∴ AD1 ?

AA12 ? A1 D12 ? 2 .

……2 分

∵截面 ABC1 D1 为正方形,

∴ AB ? AD1 ?

2 . ……4 分

∴长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的体积为

V = S ABCD ? AA ? 1? 2 ?1 ? 2 . ……6 分 1
(2)证法一:∵ ABCD? A1 B1C1 D1 为长方体, ∴ AB ? 平面 AA1 D1 D . ∵ A1 D ? 平面 AA1 D1 D ,∴ AB ? A1 D .……8 分 ∵ AD ? AA , 1 ∴四边形 AA1 D1 D 为正方形. ∴ AD1 ? A1 D . ……12 分 ……14 分 ……10 分

∵ AB ? AD1 ? A, AB ? 平面 ABC1 D1 , AD1 ? 平面 ABC1 D1 , ∴ A1 D ? 平面 ABC1 D1 . 证法二: ∵ ABCD? A1 B1C1 D1 为长方体, ∴ AB ? 平面 AA1 D1 D . ∵ AB ? 平面 ABC1 D1 , ∴平面 ABC1 D1 ? 平面 AA1 D1 D .……8 分 ∵ AD ? AA , ∴四边形 AA1 D1 D 为正方形. ……10 分 1 ∴ AD1 ? A1 D . ∴ A1 D ? 平面 ABC1 D1 . ……12 分 ……14 分 ∵平面 ABC1 D1 ? 平面 AA1 D1 D ? AD1 , A1D ? 平面 AA1 D1 D ,

18.本小题主要考查函数的性质、函数的零点等基本知识,考查运算求解能力和推理论证能力. 满分 14 分.

1 1 (2)证明:在 ? 0,??? 上任取两个实数 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,
(1)解: 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 ? 则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ?1 ?

1 , x

∴ f ?1? ? 1 ? ? 0 .

……2 分 ……3 分

1? ? 1? ? ? ?1 ? ? ? x1 ? ? x2 ? x ?x 1 1 ? ? ? 1 2. x2 x1 x1 x2

?

……4 分 ……5 分

∵ 0 ? x1 ? x2 , ∴ x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 . ∴ ∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? .……7 分

∴函数 f ? x ? 在 ? 0,??? 上单调递增. ……8 分

x1 ? x2 ? 0 , 即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 . x1 x2

(3) (ⅰ)当 x ? 0 时, 令 f ? x ? ? 0 , 即 1 ? ∴ x ? 1 是函数 f ? x ? 的一个零点.

1 ? 0 , 解得 x ? 1 ? 0 . x
……9 分

(ⅱ)当 x ? 0 时, 令 f ? x ? ? 0 , 即 ? a ?1? x ?1 ? 0 .(※) ① 当 a ? 1 时, 由(※)得 x ?

② 当 a ? 1 时, 方程(※)无解;

1 1 ? 0, ∴x ? 是函数 f ? x ? 的一个零点; ……11 分 1? a 1? a
6

1 ? 0 ,(不合题意,舍去). 1? a 1 综上所述, 当 a ? 1 时, 函数 f ? x ? 的零点是 1 和 ; 1? a 当 a ? 1 时, 函数 f ? x ? 的零点是 1 .
③ 当 a ? 1 时, 由(※)得 x ?

……13 分

……14 分

19.本小题主要考查直线和圆等基本知识,考查运算求解能力和抽象概括能力.满分 14 分. (1)解法一:设圆 M 的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , ∵圆 M 经过三点 A? 2, 2? , B ? 2, 4? , C ?3, 3? , ……1 分

?22 ? 22 ? 2 D ? 2 E ? F ? 0, ? 2 2 ∴ ?2 ? 4 ? 2 D ? 4 E ? F ? 0, ?32 ? 32 ? 3D ? 3E ? F ? 0. ?
2
2

……4 分

? D ? ?4, ? 解得 ? E ? ?6, ? F ? 12. ?
……8 分

……7 分

∴ 圆 M 的方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 .
2
2

2 解法二:设圆 M 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ? r ? 0 ? ,

……1 分

∵圆 M 经过三点 A? 2, 2? , B ? 2, 4? , C ?3, 3? ,

?? 2 ? a ?2 ? ? 2 ? b ?2 ? r 2 , ? 2 2 ? 2 ∴ ?? 2 ? a ? ? ? 4 ? b ? ? r , ……4 分 ? 2 2 2 ?? 3 ? a ? ? ? 3 ? b ? ? r . ? 2 2 ∴ 圆 M 的方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 .

?a ? 2, ? 解得 ?b ? 3, ?r ? 1. ?
……8 分

……7 分

解法三:∵ A? 2, 2? , B ? 2, 4? ,∴线段 AB 的垂直平分线方程为 y ? 3 ,……2 分 ∵ A? 2, 2? , C ?3, 3? , ∴线段 AC 的垂直平分线方程为 y ? 由?

5 5? ? ? ? ? x ? ? 即 x ? y ? 5 ? 0 ,……4分 2 2? ?
……6 分

? y ? 3, 解得圆心 M 的坐标为 ? 2,3? . ? x ? y ? 5 ? 0.

故圆 M 的半径 r ? AM ?
2

? 2 ? 2? ? ?3 ? 2?
2

2

?1 .
……8 分

∴ 圆 M 的方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 .
2

解法四:∵ AB ?

? 2 ? 2? ? ? 2 ? 4?
2

2

? 2 , AC ?

? 2 ? 3?

2

? ? 2 ? 3? ? 2 ,
2

BC ?
2

? 2 ? 3?
2

2

? ? 4 ? 3? ? 2 ,
2
2

……2 分

∴ AC ? BC ? 4 ? AB .

∴△ ABC 是直角三角形. ……4 分

∵圆 M 经过 A, B, C 三点, ∴圆 M 是 Rt△ ACB 的外接圆.……6 分 ∴圆 M 的圆心 M 的坐标为 AB 的中点 ? 2,3? ,半径 r ?
7

1 AB ? 1 . 2

∴ 圆 M 的方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 .
2 2

……8 分
2 2

(2)连接 PM ,则 PT ? ∵ PO ?

PM ? 12 ?
2

? a ? 2? ? ?b ? 3?

? 1 , ……10 分

a 2 ? b 2 ,且 PT ? PO ,

∴ a 2 ? b2 ?

? a ? 2? ? ? b ? 3?
2

2

? 1 , ……12 分

化简得 2a ? 3b ? 6 ? 0 .

∴点 P 总在定直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 上. ……14 分

20.本小题主要考查函数、数列等基本知识,考查运算求解能力和推理论证能力.满分 14 分. 解: (1) f ? x ? ? x2 ? tx ? ? x ? ① 若 ?1 ? ?

? ?

t ? t2 ? ? . 2? 4

2

……1 分

t t t2 ? 0 ,即 0 ? t ? 2 ,则当 x ? ? 时, f ? x ? 取得最小值 ? , 2 2 4 2 t ? ?1 ,解得 t ? 2 或 t ? ?2 (舍去). 依题意得 ? ……3 分 4 t ② 若 ? ? ?1 即 t ? 2 ,则当 x ? ?1 时, f ? x ? 取得最小值 1 ? t , 2 依题意得 1 ? t ? ?1 ,解得 t ? 2 (不合舍去). ……5 分 综合①、②得 t ? 2 . ……6 分
(2)由(1)得 f ? x ? ? x ? 2x ,
2

∵点 ∴

?

Sn?1 ? Sn , 2an?1 在函数 f ? x ? 的图象上,

? S ∴ 2 ? S ? S ? ? ? S ? S ?? S 即 2 ? S ? S ?? S ? S ? ? ?
2an?1 ?
n ?1

?

Sn?1 ? Sn
n ?1

? ?

2

?2
n

n ?1

? Sn .

?

n

n ?1

? Sn ? 2 , Sn?1 ? Sn

?

……8 分

n ?1

n

n ?1

n

??

Sn?1 ? Sn ? 2 .

?

∵ an ? 0 , ∴2

?

∴ Sn ? 0 ,则 Sn?1 ? Sn ? 0 .

Sn?1 ? Sn ?
n

∴ Sn ?1 ? 1 ? 3 ∴数列

?

Sn

? S ? 1? . ? 1? 是首项为

?

Sn?1 ? Sn ? 2 ,即 Sn?1 ? 3 Sn ? 2 . ……10 分

S1 ? 1 ? 2 ,公比为 3 的等比数列. ……12 分
∴ Sn ? 2 ? 3

∴ Sn ? 1 ? 2 ? 3n?1 .

?

n ?1

? 1? .
2

……14 分

8


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