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2013年高中数学联赛江苏省初赛参考答案


⒛ 13年 全国高中数学联赛江苏赛 区 初赛参 考答案与评分细则
-、 填空题 (本 题满分 ⒛ 分 ,每 小题

7分 )

1.设 方程
'-2″

苈+'-1=o的 根 大 于 -2,且 小于 4,则 实数 昭 的范 围是____'

答案 :-1(坳

(3. 解 :方 程

'-2彻

+99c2-1=0的 两根 为 :汕 =昭 -1,砀 =昭 +1.
2’

由题设得

∶ {篇 ∶∶ 「

解之得 -1<昭 <3。 。

2.从 6双 不 同号码 的鞋 中取 出 4只 ,至 少配成 一双 的概率为

案 答 :菇 。 雠P=
3.设 实数 艿 ,`满 足
答案 :8。

菇?
Hir+'+3=0,则
'—

'+'的

最大值与最小值之差是~。

解 :由 题意知 ,点 α,,/,J在 圆

C:← 一勾2+`2=1上 ,'+`2表 示 圆 C上 的点到原点距离
1.因 此
最大值与最小值之差为 8。

的平方 ,其 最大值为 9,最 小值 为

4.若 存 在 正 实数 c,3满 足 ⒄+3i)刀 =@~3i)刁 C是 虚数 单 位 ,刀 ∈NV,则
是 答案 :3. 。

'+'的

刀 的最 小值

=1,2时 ,经 计算 ,不 存在正实数 c,D,满 足 @+3i)刀 =@_3i)刀 解 :当 刀
=3时 ,取 当刀

.

c=:,3=誓 ,使 得 o+D◆ 刀 ~吖 =刊 =⒄
3.



故 刀的最 小值 是

5.若 三 角形 刀 r的 三 边 '锣 ,BC,'C成

等 差数 列 ,则 Z'的 取值 范 围是 ____。

案 答 :⑩ ,争 。
,3,c。 解 :令 A/BC的 角 ×,B,C所 对 的边 分 别 为 夕
筐 口 由余 弦 定 理 矢 壳蒜 F茎 =骅 因为 由题 意 知 勿 =D+c.

3c 3° _c)2+劬 c ? 83c
号成 立 当且仅 当 3=⒍

D,c是 正 实数 ,所 以 co“ ≥;等

0(彳 0(彳 口 詈 由 (‰ 矢 ≤。
⒛ 13年 全 国高中数学联赛初赛参考答案 第

1页



5页

~1)⒄ +1一 饧 6.若 数列 彻刀 足 %=9,@刀 +1^曰 刀 刀 刀 0⒄ ∈Nxl,则 满足条件 的 臼 的所有可 )± )满
能值之积是~。 答案 :0。


:由

⒄ ″+1— c刀

ˉ

1)(9,z+1-3c刃 )=0知

四 刀饲

~C刀

ˉ

1=0或

c刀

刀=0。

"-3四

因为 %=9,所 以 臼 可 能为 3。 同理 饧 可 能为

1,从 而推知 c1可 能为 0.

因此 ,符 合条件 的一 个数列 的前 四项可 以是 0,1,3,4。 故满足条件 的 饵 的所有可 能值之积是 0.

7.已 知 ='-9⒋ +⒛ 13,则 炯
答案 :364.

,o=30

笈∝ o+Ⅸ oD=_____.

解 :灭 3⑴ =93,灭 31)=60,灭 3㈥ =29丿 灭33)=0.

=34,35,… ,ω 时,灭 ⑷(0。 当刀
3+ω 以笈 刀 )D=2× 臼 +29)=364。 所 99=30 ∝)+|灭 ″ 8.设 炳
`∈

m,刎 ,且 满 足 ⒉血 c唧 +s血 +c唧 =一 去

贝苋 刂 +`的 最 大值 为___=

答:驾宀 案 :由 血 解 厶 cov+sim+cov=— :,得
F9f以 血

(2⒍ 1hˉ +1)(2∞

V+1)=0.

J=—

:, J或

cOEv=—

:。

所 以 F窘 或戋吕 此 时

`可

以取 山,刎 内的任意值

;

或 厂≠争 瞥 ,此 时 艿可 以取 p,刎 内的任意隹 琵

+`的 最大值为爿笋+2冗 =气| 所 以豸
9.已 知正 四面体 力KD的 棱长为 9,点 P是 面



的距离成等差数列 ,则

P到 面 Dα 距离 的最大值是~。

'BC上

的一 个动点 ,满 足 P到 面 Ω锣 ,DBC,

答 :2雨 。 案
解:记 点P到 面D'侣 ,DBC,DG4的 距离分别为 砒,此 ,呢 则
'I+饧 '1,饧
,

+叱 为正四面体彳 D的 高 hR B‘ ,吨 成等差数列,故 P到 面 Dα 距离的最大值为 纳R



2013年 全 国高中数学联赛初赛参考答案 第 2页 共 5页

10.将 小王与小孙现 在 的年龄按从左 至右 的顺序排列得 到 一 个 四位数 ,这 个数 为完全平方
数 .再 过 31年 ,将 他们俩 的年龄 以同样方式排列又得到 一 个 四位数 ,这 个数仍为完全 平方数 。小 王 现在 的年龄是~. 答案 :12。

,小 孙现在 的年龄是 3。 解 :设 小 王 现在 的年龄是 日
设 ε 昭 个数字 ,D有 刀个数字 ,由 已知 得 勿+刀 =4。 有 ≥ 如果 庇<2,那 么 刀 3,但 在 31年 后 ,¢ 是 2位 数 ,这 与题意不符 由对称性 ,知 刀也不小于 2,从 而 昭=刀 =2。 设按照题 中要求顺序排 列 的平方数依次为
.

/,0(艿 (`, '和

贝 刂 o=θ o+D=31× 101. 0(豸 <`,故 =101,于 是推得 又 '='+3131,即 =31且
`=艿 因此 和

←,D=(35,甾 ). '+艿 56,从 而推得小王是 12岁 ,小 孙是 犭 岁
.

'=侣 二 、解 答题 (本 题满分 gO分 ,每 小题 ⒛ 分 )
⒒ 设庀 为娥 κ 【 ⒍ 椭圆 廴 呷 巾 与椭 圆 砀● 喾+'剖 交于点 批

'=12乃

。 B‘ £ 左顶点为B,马 的右顶点为D臼 口 ).若 四边形 ⒕ D是 芷方形,求 实数 佬 图 1的
'

@

武 ×
(第 11题 图 )



由 甲

+'剖 与喾勹 饪 △ 得←艹
'点
的纵 坐标 为

′钊 ,解 叫
丧∶


… … … … … … … ¨ 10分

将 其 代 入喾 +'=L得

Z.

因为 四边 形 刀 CD为 正方 形 ,根 据 对称 性 知 BD='C。 又 义 -3+庀 ,⑴ ,D(3,⑴ ,则 刚 ← 仁 」互 ≡黾 手
Fx,ls/c一

'=立

BD=6一 庀 ;'C=v瓦 =7.


¨ ¨ ¨ … 叫 5分 ¨ ¨ … …



0扎

=∝ 舍 去 )或 庀 =管 解得 庀

.

以=管 所庀 。
⒛ 13年 全 国高中数学联赛初赛参考答案 第

………叩 ………分
3页


5页

⒓。如图,梯 形 屈CD中 ,B、

D关 于对角线 彳 称 的点分别是 卩、P,'、 C关 于对角线 C对

BD对 称的点分别是
'∫

、C′ 。证 明:四 边形 彳 CD′ 是梯形 。 罗

证 明 :如 图 ,B、 则

D关 于对 角 线 /C对 称 的点分 别 是 刀、罗
'C的
交点
@。

(第 12题 图 )
,

BD与 BP交 于 BD和

…… … … 5分

由对 称 得 BB∥ DD1所 以 篙 又 Z、

=g箦
,

C关 于对 角 线 BD对 称 的点分 别 是 彳′ 、卩

理 同嚅孓篇。
因为梯 形 中 BC〃 加 ,贝

… … … … … … … …… … 10分

吒膏

=肜 =箬 ≠ L

z

⒈ 所篝=篇 ≠ 以
所 以 B甲 ∥
'D′

,且 尸σ≠彳D′
'9CD∫
是梯 形 。

,

所 以 四边形

… ……………………………? 20分

13.设 实数 c,3满 足 ∝勒 铹 连D≤ 1,证 明:绨 一⑶≤c∝ 昭 —cos砧
证 明:设 炯
=ztˉ

.

+∞ s硝 ,欲 证不等式转化为灭D丫顶伤 ).
.

由于/伽)=2— 鹏in砑 ,/″ ⑺ =~′ ∞sπ
当 艿∈ ⑩ ,勃 时

,/″ ⑺ =_'GOs庥

(o,当

艿∈

61)时

,/″ ⑺ =_'cos砑

>o,

姒 徇 在鲫 ⒍
因 为 /【⑴ 瓦 巛

:u调

庇 枢 吒 川 lLg调 氍
丌 0, 阝

1)=2和 /0=2一

以α 所在 存和
', 0<α
因为 胭 亻

(:<'(19
¨………………… 10分

∈ 使得 rKα )r`⒀ =o,r勹⑺ (0当 且仅 当 艿 臼,o?

于是 函数 舟 )在 区 间 lO,洌 和 r,刂 上 单调增 ,在 区间 h,用 上 单调减 。

0亻



=L故
.

∈ ∈ 对于 艿 m,尝 有 炯 ≥ L对 于 豸 珐,刂 有 们 ≤⒈
… … … … … … … …⒛ 分

特别地, r(D)≤

1≤

√(Θ

2013年 全 国高中数学联赛初赛参考答案 第

4页



5页

14.正 100边 形

''/3? 恰为某等腰梯形的顶点 。

? 100的 每个顶点染红、 、 三色之一 。 明:必 存在四个同色点 证 以 黄 蓝

,

叨 证 明:记 正 100边 形 ///3? ? 100的 外接圆半径为 把顶点分为 乃 个点集 :弘
4屠

r。

3,亻 4庀

2,Z伊 1,彳
,

4钅

),乃 =1,2,…

,乃 。

每个点集中 4点 染 3色 ,至 少有两点同色

¨ … … 此两点为端点的劣弧弧长分别为簧 ,哿 ,瓷艮 一 ? … … ¨ … … 10分 弧长为筘 驾孓 哿

,且 两端同色的弧共有 9种 。

前 10个 点集中至少存在 10段 此类弧 。 故总有两段弧 “ ” 同种 ,且 均在某直径一侧
,

所 以此两段弧四个端点构成的四边形为等腰梯形 。

¨…………………zO分

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