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【金版学案】2015高考数学(理)二轮专题复习作业:专题三 第二讲 数列求和及综合应用]


数学(理科) 班级:__________________ 姓名:__________________

第一部分

知识复习专题

专题三
第二讲





数列求和及综合应用

题号 答案

1


2

3

4

5

6

一、选择题 1.已知等差数列{an}前 n 项和为 Sn,若 a1+a2 012=1,a2 013=- 1 006,则使 Sn 取最值时 n 的值为( A.1 005 B.1 006 C.1 007 D.1 006 或 1 007 )

答案:D

2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a3+a7=-6, 则当 Sn 取最小值时,n=( )

A.9 B.8 C.7 D.6

答案:D

3. 等比数列{an}前 n 项的积为 Tn, 若 a3a6a18 是一个确定的常数, 那么数列 T10,T13,T17,T25 中也是常数的项是( A.T10 B.T13 C.T17 D.T25 解析:∵a3a6a18=a1q2·a1q5·a1q17=(a1q8)3=(a9)3 为定值. ∴T17=a1a2…a17=(a1q8)17=(a9)17 也是定值. 答案:C )

4.已知等比数列{an}满足 an>0,n=1,2,…,且 a5·a2n-5= 22n(n≥3),则当 n≥1 时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=( A.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n-1)2
2n 解析: 由 a5· a2n-5=22n(n≥3)得 a2 an>0, 则 an=2n, log2a1 n=2 ,

)

+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+…+(2n-1)=n2.故选 C. 答案:C

5.公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项, S8=32,则 S10=( A.18 B.24 C.60 D.90
2 解析:由 a4 =a3a7,得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),得 2a1+3d

)

=0,再由 S8=8a1+ 所以 S10=10a1+ 答案:C

56 d=32,得 2a1+7d=8,则 d=2,a1=-3, 2

90 d=60.故选 C. 2

?2x-1,x≤0, 6.已知函数 f(x)=? 把函数 g(x)=f(x)-x ?f(x-1)+1,x>0,
的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为 ( ) A.an= n(n-1) B.an=n-1 2

C.an=n(n-1) D.an=2n-2 解析:若 0<x≤1,则-1<x-1<0,得 f(x)=f(x-1)+1=2x-1, 若 1<x≤2,则 0<x-1≤1,得 f(x)=f(x-1)+1=2x-2+1, 若 2<x≤3,则 1<x-1≤2,得 f(x)=f(x-1)+1=2x-3+2, 若 3<x≤4,则 2<x-1<3,得 f(x)=f(x-1)+1=2x-4+3. 以此类推,若 n<x≤n+1(其中 n∈N),则 f(x)=f(x-1)+1=2x-
n-1

+n, 下面分析函数 f(x)=2x 的图象与直线 y=x+1 的交点. 很显然,它们有两个交点(0,1)和(1,2), 由于指数函数 f(x)=2x 为增函数且图象下凸,故它们只有这两个

交点. ①将函数 f(x)=2x 和 y=x+1 的图象同时向下平移一个单位即得 到函数 f(x)=2x-1 和 y=x 的图象,

取 x≤0 的部分,可见它们有且仅有一个交点(0,0). 即当 x≤0 时,方程 f(x)-x=0 有且仅有一个根 x=0. ②取①中函数 f(x)=2x-1 和 y=x 图象-1<x≤0 的部分,再同 时向上和向右各平移一个单位, 即得 f(x)=2x-1 和 y=x 在 0<x≤1 上的图象,显然,此时它们仍 然只有一个交点(1,1). 即当 0<x≤1 时,方程 f(x)-x=0 有且仅有一个根 x=1. ③取②中函数 f(x)=2x-1 和 y=x 在 0<x≤1 上的图象,继续按照 上述步骤进行, 即得到 f(x)=2x-2+1 和 y=x 在 1<x≤2 上的图象,显然,此时 它们仍然只有一个交点(2,2). 即当 1<x≤2 时,方程 f(x)-x=0 有且仅有一个根 x=2. ④以此类推,函数 y=f(x)与 y=x 在(2,3],(3,4],…,(n,n +1]上的交点依次为(3,3),(4,4),…,(n+1,n+1). 即方程 f(x)-x=0 在(2,3],(3,4],…,(n,n+1]上的根依次 为 3,4,…,n+1. 综上所述方程 f(x)-x=0 的根按从小到大的顺序排列所得数列 为 0,1,2,3,4,…,n+1, 其通项公式为 an=n-1.故选 B. 答案:B

二、填空题 7.对正整数 n,设曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线与 y 轴交
? ? an ? ? ?的前 n 项和是________. 点的纵坐标为 an,则? ? ?n+1? ?

解析:曲线 y=xn(1-x)=xn-xn+1,曲线导数为 y′=nxn-1-(n +1)xn,所以切线斜率为 k=n2n-1-(n+1)2n=-(n+2)2n-1,切点为 (2,-2n),所以切线方程为 y+2n=-(n+2)2n-1(x-2),令 x=0 得, y+2n=(n+2)2n, 即 y=(n+1)2n, 所以 an=(n+1)2n, 所以 an =2n, n+1

2(1-2n) 是以 2 为首项,q=2 为公比的等比数列,所以 Sn= =2n+ 1-2
1

-2. 答案:2n+1-2

8.等比数列{an}的公比 q>0, 已知 a2=1,an+2+an+1=6an,则 {an}的前 4 项和 S4=________. 解析: 由 an+2+an+1=6an 得:qn+1+qn=6qn-1,即 q2+q-6=0, 1 (1-24) 2 1 15 q>0,解得 q=2,又 a2=1,所以 a1= ,S4= = . 2 2 1-2 答案: 15 2

三、解答题 9.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2an=S2+Sn 对一切正整 数 n 都成立. (1)求 a1,a2 的值.
? 10a1? (2)设 a1>0,数列?lg a ?的前 n 项和为 Tn,当 n 为何值时,Tn ? n ?

最大?并求出 Tn 的最大值.

解析:(1)取 n=1,得 a2a1=S2+S1=2a1+a2,① 取 n=2,得 a2 2=2a1+2a2,② 由②-①,得 a2(a2-a1)=a2,③ 若 a2=0, 由①知 a1=0, 若 a2≠0,易知 a2-a1=1.④ 由①④得:a1= 2+1, a2=2+ 2或 a1=1- 2,a2=2- 2; 综上所述, a1=0, a2=0 或 a1=1+ 2, a2=2+ 2或 a1=1- 2, a2=2- 2. (2)当 a1>0 时,由(1)知, a1= 2+1,a2=2+ 2; 当 n≥2 时,有(2+ 2)an=S2+Sn, (2+ 2)an-1=S2+Sn-1. 两式相减得(1+ 2)an=(2+ 2)an-1. 所以 an= 2an-1(n≥2). 所以 an=a1( 2)n-1=( 2+1)×( 2)n-1. 10a1 1 100 令 bn=lg ,则 bn=1-lg( 2)n-1= lg n-1. an 2 2 100 ? 1? 100 1 又 b1=1,bn-bn-1= ?lg 2n-1-lg 2n-2?=- lg 2, 2? 2 ? 1 所以数列{bn}是以 1 为首项, - lg 2 为公差, 且单调递减的等差 2 数列. 10 则 b1>b2>…>b7=lg >lg 1=0. 8 1 100 1 当 n≥8 时,bn≤b8= lg < lg 1=0. 2 128 2

所以,n=7 时,Tn 取得最大值,且 Tn 的最大值为 T7= 7(b1+b7) 21 =7- lg 2. 2 2

1 10.已知数列 {an}满足:a1=1,a2= ,且[3+(-1)n]an+2-2an 2 +2[(-1)n-1]=0,n∈N*. (1)求 a3,a4,a5,a6 的值及数列{an}的通项公式; (2)设 bn=a2n-1·a2n,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 1 1 解析:(1)经计算 a3=3,a4= ,a5=5,a6= . 4 8 当 n 为奇数时,an+2=an+2,即数列{an}的奇数项成等差数列, ∴a2n-1=a1+(n-1)·2=2n-1. 1 当 n 为偶数,an+2= an,即数列{an}的偶数项成等比数列, 2
?1?n-1 ?1?n ∴a2n=a2·?2? =?2? . ? ? ? ?

因此,数列{an}的通项公式为 n,n为奇数, ? ? an=??1?n ?2,n为偶数. ? ?? ?2?
?1?n (2)∵bn=(2n-1)×?2? , ? ? ?1?2 ?1?3 ?1? n-1 1 ∴ Sn= 1× + 3×?2? + 5×?2? + …+ (2n- 3)×?2? + (2n- 2 ? ? ? ? ? ?

?1?n 1)×?2? .① ? ? ?1? 2 ?1? 3 ?1? 4 ?1? n 1 Sn = 1× ?2? + 3× ?2? + 5× ?2? + … + (2n - 3)× ?2? + (2n - 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1?n+1 1)×?2? .② ? ?

1 1 1 1 1 ①②两式相减,得 Sn= 1× + 2[( )2 + ( )3 + … + ( )n] - (2n - 2 2 2 2 2
?1?n+1 1)×?2? ? ?

1 ? ?1?n-1? ? ×?1-? ? ?1? n+1 3 ?1? 1 2 ? ?2? ? = + - (2n - 1)× ?2? = - (2n + 3)× ?2? 2 1 2 ? ? ? ? 1- 2 n+1 .
?1?n ∴Sn=3-(2n+3)×?2? . ? ?


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