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2013年江苏省高中数学优秀课评比教案——对数第一课时


课题:2.2.2 对数函数(第一课时)教案
授课老师:李英 教材: 《普通高中课程标准实验教科书-数学(必修 1) 》江苏教育出版社 l.知识与技能 (1)理解对数的概念和意义. (2)能熟练地进行指数式与对数式的互化. (3)了解常用对数与自然对数以及这两种对数的记法. 2. 过程与方法 (1)通过探究使学生感受化归的数学思想。 (2)通过探究、思考、反思、完善,培养

学生理性思维能力。 3. 情感.态度与价值观 (1)通过学习使学生体会知识之间的有机联系,感受数学的整体性,激 发学生的学习兴趣 (2)通过阅读对数发展史,增强学生的数学素养。 教学重点:对数的概念; 对数式与指数式互化; 求对数式的值. 教学难点:对数概念的引入. 问题情境 问题 1:幂指数式中各个量的名称是什么? 设计说明 通过复习指数式, 利用这三个量已知 其中两个求第三个 的运算互为逆运算 引入本节课的内 容.

教学目标

重点与难点

a ? 0, 且 a ? 1
a
b

ab ? N
底数 指数 幂

N

通过两个问题引入 对数,让学生感受 如在:幂指数式 23 ? 8 中. 数的表示方法的扩 (1)23 ? x, x ? 8 ; (2)x3 ? 8, x ? 2 ; (3)2 x ? 8, x ? 3 . 充 既 是 数 学 内 部 (运算)发展的需 问题 3(1) :在(2)和(3)中,如果改为: 要,也是解决实际 (2) x3 ? 7, x ? 3 7 ;这里的“ 3 ”是一个符号, 3 7 表示一个实数, 问 题 的 需 要 . 设 置 疑点激发学生的求 这个实数的 3 次方等于 7,这样我们产生了根式运算. 知欲. (3) 3x ? 7, x ? ? .○ 1 问题 2:这三个量,你会已知其中两个求第三个吗? 问题 3(2) :某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过 1 年,这种 物质剩留的质量是原来的 84%.若这种物质最初的质量为 1, 充分发挥学生自己 主动性,参与课堂 则经过多少年该物质的剩留量为原来的一半? 教学,把课堂还给 生:设经过 x 年该物质的剩留量为原来的一半,则: 学生!

1

0.84x ? 0.5 ? x ? ?
问题 4:对于○(或○) 1 2 :

2 ○ 通过观察图像研究 函数性质是函数方 程思想的渗透.

(1)满足等式的 x 存在吗?如果存在, 有几个? (2)你能估计出 x 的大小吗? (3)这样的 x 如何表示呢? 学生活动: (1) 由函数 y ? 3 的值域为 ? 0, ?? ? ,可知,函数值为 7 时存
x

在满足题意的 x ;由函数 y ? 3 的单调性,这样的 x 只
x

有一个; (2) 由函数 y ? 3 在 R 上单调递增, 3 ? 7 ? 3 ,?1 ? x ? 2
x

1

2

同理可解决○式的前三个问题 2 (3)由函数 y ? 0.84 在 R 上单调递减, 0.84 ? 0.5 ? 0.84 ,
x

4

3

?3 ? x ? 4
构建数学 师:我们用前面学过的知识已经无法解决这个问题,需要引入新的运 通 过 数 学 史 的 介 算.古代苏格兰数学家纳皮尔首先创造了这种运算,叫对数运算, 绍,让学生喜欢数 也规定了用对数的写法。 学,提高数学修养.

3x ? 7 ? log3 7 ? x .
师: (1) log 是“对数”英文的前 3 个字母,3 的位置不变,但写在右 下角, x 和 7 交换一下位置, 把 读作 “以 3 为底, 的对数”. 7 (2) log 3 7 是一个整体符号.它表示一个实数,大小由“3 的这么 多次方等于 7”决定. 问题 5:解释符号 log 2 8 ? 3 . 学生回答○中的 x ? log 0.84 0.5 ,并解决问题 4. 2 今天我们又学习了一种新的数的表示方法,我们通过回忆孩提时 通过游戏带领学生 进一步的认识熟悉 对数.

7 3 , 7, log3 7 为例. 3 7 7 (1) :表示一个数,这个数的 3 倍是 7, 2 ? ? 3 ; 3 3
代,回顾数的表示方法如何扩张的,以 (2) 3 7 :表示一个数,这个数的 3 次方是 7, 1 ? 3 7 ? 2 ;
2

(3) log 3 7 :表示一个数,而且是指数,3 的这个数次方是 7,

1 ? log3 7 ? 2 .
总结:数的表示方法的扩大是因为运算需要. 师:由前面讨论的问题可以看出数的表示方法的扩张是伴随着数学内 部运算和解决实际问题的需要而出现的. 请同学们把指数幂的一般式 改写成对数式. 生:

0 ? a ?1

ab ? N
指数 幂

b ? log a N
对数 真数 这里要强调对数的 读法和写法!

ab ? N

log a N ? b

a b N

底 数

师:在对数式中,a 仍然叫底数,N 叫做真数,b 叫对数. 师: 我们用英语的四线格规范对数的书写 问题 6:观察表格回答一下问题: (1) 三个字母的名称发生了怎样的变化? 注意:对数实际上就是指数,在指数式中 b 叫指数,在对数式中 b 叫对 数.就跟同学们一样,在家里爸爸妈妈喊你的小名,在学校老师喊你的 学名,无论是小名还是学名,其实都是你本人,只是在不同背景下对你 的不同称号.所以, a ? N 与 log a N ? b 两个等式所表示的是 a, b, N
b

这 3 个量之间的同一个关系. (2) 指数式和对数式如何互化? (3) 有个字母的取值有何要求? 数学运用 例 1 .将下列指数式改写成对数式:

1 ?1? a (1) 2 ? 16 ;(2) 3 ? ;(3) 5 ? 20 ;(4) ? ? ? 0.45 27 ?2?
4

b

?3

解: (1) log 2 16 ? 4 ;(2) log3 (4) log 1 0.45 ? b .
2

1 ? ?3 ;(3) log 5 20 ? a ; 27

例 2. 将下列对数式改写成指数式: (1) log 5 125 ? 3 ;(2) log
1 3

3 ? ?2 ;(3) log10 a ? ?1.699 ;
熟练进行指数式和 对数式的互化是理 解对数的关键,是 对数运算的基础.

(4) log e 6 ? 3(e=2.71828...)

3

解: (1) 53 ? 125 ;(2) ? (4) e ? 6 .
3

? 1 ? ?1.699 ?a; ? ? 3 ;(3) 10 ? 3?

?2

教师点评: 以 10 为底的对数称为 “常用对数” “ log10 N ” “ lg N ” ,即 记作 ; 如例 2(3) log10 d ? lg d ? 0.345 ; 以无理数 e(=2.718 28?)为底的对数称为“自然对数”,即 “ loge N ”记作“ ln N ”. 如例 2(4) log e 6 ? 3(e=2.71828...) 应写成 log e 6 ? ln 6 ? 3 . 小结:指数式与对数式如何互化:底数不变,指数(对数)和幂(真 数)互换. 当堂训练: 书 P74 练习 1 问题 7:观察练习 1,你能发现怎样的规律? 不光要会利用指数 式书写求解对数 式,还要会熟练利 用指数式口答对数 值.

log10 100 ? log3 3 ? 1

2 , log 25 5 ? ,

1 1 , log 2 ? ? 1 , log 5 1 ? 0 , 2 2 log 1 3 ? ? 1 , log a 1 ? 0 , log a a ? 1 .
3

若 a ? 0, a ? 1 ,则有: (1) log a 1 ? 0 ; (2) log a a ? 0 ; (3) log a

1 ? log 1 a ? ?1 . a a

例 3. 求下列各式的值: (1) log 2 64 ; (2) log 9 27

教师引导:怎样求对数值?为什么? 生:因为对数就是指数,我们只要回到指数式中就可以求出 对数的大小. 学生回答:? 教师板书第(2)题: 解:(2)设 x ? log 9 27 ,则根据对数的定义知

4

9 x ? 27 ,
即 得

32 x ? 33 ,

所以

2x ? 3 , 3 , x? 2 3 log 9 27 ? . 2
当堂训练

小结:求对数值的方法:回归到指数式中. 1. 将下列指数式改写成对数式: 通过课堂训练,了 解学生本节课的掌 握的情况,根据结 果及时调整课堂. 考查学生对数式与 对数式能否灵活互 化,利用指数式求 对数值.

1 ?1? x (1) 3 ? 243 ;(2) 2 ? ;(3) 2 ? 10 ;(4) ? ? ? 12 . 256 ?5?
5
?8

x

2. 将下列对数式改写成指数式: (1) log
1 2

(2) (3) 4 ? ?4 ; lg10000 ? 4 ; lg a ? 0.4771 ;(4) ln12 ? b .

3. 求下列各式的值: (1) log 4 64 ; (2) log 7 (4) log 1 9 ;
3

7 ;(3) log 2
(6) ln

1 ; 8
.

(5) lg1000 ;

1 e2

学习小结 1.对数的定义;指数式和对数式的互化; 2.求对数值的方法?体现的数学思想是什么? 3.特殊数的对数有哪些? 3.对数的产生给我们的启示是什么? 4.你想进一步探究对数的哪些问题? 课后作业 1.完成书后习题; 2.请同学们互相编题进行指数式和对数式的互化; 3.请同学们编对数式,使得对数值为“1”“2”“3” , , ,?“ n ”.

5


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