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人教版高三物理第一轮复习教学案(全部)


第一章

运动的描述 匀变速直线运动的研究

第 1 单元 直线运动的基本概念 1、 机械运动:一个物体相对于另一物体位置的改变(平动、转动、直线、曲线、圆周) 参考系、质点、时间和时刻、位移和路程 速度、速率、平均速度 加速度 直线运动的条件:a、v0 共线 运动的描述 直 线 运 动 匀速直线运动 s= v t ,s-t 图,(a=0)

1 vt ? v0 ? at , s ? v 0 t ? at 2 典型的直线运动 匀变速直线运动 规律 v-t图 特例
2 vt2 ? v0 ? 2as , s ?

2

v 0 ? vt t 2

自由落体(a=g) 竖直上抛 (a=g)

参考系:假定为不动的物体 (1) 参考系可以任意选取,一般以地面为参考系 (2) 同一个物体,选择不同的参考系,观察的结果可能不同 (3) 一切物体都在运动,运动是绝对的,而静止是相对的 2、 质点:在研究物体时,不考虑物体的大小和形状,而把物体看成是有质量的点,或者说 用一个有质量的点来代替整个物体,这个点叫做质点。 (1) 质点忽略了无关因素和次要因素,是简化出来的理想的、抽象的模型,客观上 不存在。 (2) 大的物体不一定不能看成质点,小的物体不一定就能看成质点。 (3) 转动的物体不一定不能看成质点,平动的物体不一定总能看成质点。 (4) 某个物体能否看成质点要看它的大小和形状是否能被忽略以及要求的精确程 度。 3、时刻:表示时间坐标轴上的点即为时刻。例如几秒初,几秒末。 时间:前后两时刻之差。时间坐标轴线段表示时间,第 n 秒至第 n+3 秒的时间为 3 秒 (对应于坐标系中的线段) 4、位移:由起点指向终点的有向线段,位移是末位置与始位置之差,是矢量。 路程:物体运动轨迹之长,是标量。路程不等于位移大小 (坐标系中的点、线段和曲线的长度) 5、速度:描述物体运动快慢和运动方向的物理量, 是矢量。 平均速度:在变速直线运动中,运动物体的位移和所用时间的比值,υ =s/t(方向为位 移的方向) 平均速率:为质点运动的路程与时间之比 ,它的大小与相应的平均速度之值可能不相同 (粗略描述运动的快慢) 即时速度: 对应于某一时刻 (或位置) 的速度, 方向为物体的运动方向。 ( v ? lim

?s ) ?t ?0 ?t

即时速率:即时速度的大小即为速率; 【例 1】物体 M 从 A 运动到 B,前半程平均速度为 v1,后半程平均速度为 v2,那么全
1

程的平均速度是:( D A.(v1+v2)/2

) B. v1 ? v2 C.
2 v12 ? v2 v1 ? v2

D.

2v1v 2 v1 ? v 2

【例 2】某人划船逆流而上,当船经过一桥时,船上一小木块掉在河水里,但一直航行 至上游某处时此人才发现,便立即返航追赶,当他返航经过 1 小时追上小木块时,发现小木 块距离桥有 5400 米远,若此人向上和向下航行时船在静水中前进速率相等。试求河水的流 速为多大? 解析:选水为参考系,小木块是静止的;相对水,船以恒定不变的速度运动,到船“追 上”小木块,船往返运动的时间相等,各为 1 小时;小桥相对水向上游运动,到船“追上” 小木块,小桥向上游运动了位移 5400m,时间为 2 小时。易得水的速度为 0.75m/s。 6、平动:物体各部分运动情况都相同。 转动:物体各部分都绕圆心作圆周运动。 7、加速度:描述物体速度变化快慢的物理量,a=△v/△t (又叫速度的变化率),是矢量。 a 的方向只与△v 的方向相同(即与合外力方向相同)。 (1)加速度与速度没有直接关系:加速度很大,速度可以很小、可以很大、也可以为 零(某瞬时);加速度很小,速度可以很小、可以很大、也可以为零(某瞬时); (2)加速度与速度的变化量没有直接关系:加速度很大,速度变化量可以很小、也可 以很大;加速度很小,速度变化量可以很大、也可以很小。加速度是“变化率”——表示变 化的快慢,不表示变化的大小。 (3)当加速度方向与速度方向相同时,物体作加速运动,速度增大;若加速度增大, 速度增大得越来越快;若加速度减小,速度增大得越来越慢(仍然增大)。当加速度方向与 速度方向相反时,物体作减速运动,速度减小;若加速度增大,速度减小得越来越快;若加 速度减小,速度减小得越来越慢(仍然减小)。 8 匀速直线运动和匀变速直线运动 【例 3】 一物体做匀变速直线运动, 某时刻速度大小为 4m/s, 经过 1s 后的速度的大小为 10m/s, 那么在这 1s 内,物体的加速度的大小可能为 (6m/s 或 14m/s) 【例 4】关于速度和加速度的关系,下列说法中正确的是(B) A.速度变化越大,加速度就越大 B.速度变化越快,加速度越大 C.加速度大小不变,速度方向也保持不变 D.加速度大小不断变小,速度大小也不断变小 9 、匀速直线运动: v ?

s ,即在任意相等的时间内物体的位移相 t

等.它是速度为恒矢量的运动,加速度为零的直线运动. 匀速 s - t 图像为一直线:图线的斜率在数值上等于物体的速度。 第 2 单元 匀变速直线运动规律 匀变速直线运动公式 1.常用公式有以下四个

vt ? v0 ? at

s ? v0 t ?

1 2 at 2

2 vt2 ? v0 ? 2as

s?

v 0 ? vt t 2

2.匀变速直线运动中几个常用的结论 ①Δ s=aT 2,即任意相邻相等时间内的位移之差相等。可以推广到 sm-sn=(m-n)aT 2 ② vt / 2 ?

v0 ? vt s ? ,某段时间的中间时刻的即时速度等于该段时间内的平均速度。 2 t

2

vs / 2 ?
速度)。

2 v0 ? vt2 ,某段位移的中间位置的即时速度公式(不等于该段位移内的平均 2

可以证明,无论匀加速还是匀减速,都有 vt / 2

? vs / 2 。
v t 2

3.初速度为零(或末速度为零)的匀变速直线运动 做匀变速直线运动的物体,如果初速度为零,或者末速度为零,那么公式都可简化为:

v ? gt ,

s?

1 2 at , 2

v 2 ? 2as ,

s?

4.初速为零的匀变速直线运动 ①前 1 秒、前 2 秒、前 3 秒??内的位移之比为 1∶4∶9∶?? ②第 1 秒、第 2 秒、第 3 秒??内的位移之比为 1∶3∶5∶?? ③前 1 米、前 2 米、前 3 米??所用的时间之比为 1∶ 2 ∶ 3 ∶?? ④第 1 米、第 2 米、第 3 米??所用的时间之比为 1∶ 2 ?1 ∶( 3 ? 2 )∶?? 对末速为零的匀变速直线运动,可以相应的运用这些规律。 5.一种典型的运动 经常会遇到这样的问题: 物体由静止开始先做匀加速直线运动, 紧接着又做匀减速直线 运动到静止。用右图描述该过程,可以得出以下结论:

?

?

①s?

a1、s1、t1 a2、s2、t2 6、解题方法指导: 解题步骤: A B C (1)确定研究对象。(2)明确物体作什么运动, 并且画出运动示意图。(3)分析研究对象的运动过程及特点,合理选择公式,注意多个运 动过程的联系。(4)确定正方向,列方程求解。(5)对结果进行讨论、验算。 解题方法: (1)公式解析法:假设未知数,建立方程组。本章公式多,且相互联系,一题常有多 种解法。要熟记每个公式的特点及相关物理量。 (2)图象法:如用 v—t 图可以求出某段时间的位移大小、可以比较 vt/2 与 vS/2,以及追及问 题。用 s—t 图可求出任意时间内的平均速度。 (3)比例法:用已知的讨论,用比例的性质求解。 (4)极值法:用二次函数配方求极值,追赶问题用得多。 (5)逆向思维法:如匀减速直线运动可视为反方向的匀加速直线运动来求解。 综合应用例析 【例 1】在光滑的水平面上静止一物体,现以水平 恒力甲推此物体, 作用一段时间后换成相反方向的水平 恒力乙推物体, 当恒力乙作用时间与恒力甲的作用时间 相同时,物体恰好回到原处,此时物体的速度为 v2,若 撤去恒力甲的瞬间物体的速度为 v1,则 v2∶v1=? 【解析】

1 1 ,t ? , s ? t a a

② v1 ? v 2 ? v ?

vB 2

s ? ? s ? ,而 s ?

v1 v ? ( ?v 2 ) t , ? s? ? 1 t 2 2

得 v2∶v1=2∶1

思考:在例 1 中,F1、F2 大小之比为多少?(答案:1∶3) 【例 2】一辆汽车沿平直公路从甲站开往乙站,起动加速度为 2m/s2,加速行驶 5 秒, 后匀速行驶 2 分钟, 然后刹车, 滑行 50m, 正好到达乙站, 求汽车从甲站到乙站的平均速度? 解析:起动阶段行驶位移为: 匀加速 匀速 匀减速 1 2 s s s3 1 2 s1= at1 ??(1)

2



t1

t2

t3 乙
3

匀速行驶的速度为: v= at1 匀速行驶的位移为: s2 =vt2 刹车段的时间为: s3 =

??(2) ??(3) ??(4)

v t3 2

汽车从甲站到乙站的平均速度为:

v=

s1 ? s 2 ? s3 25 ? 1200? 50 1275 ? m/ s ? m / s ? 9.44m / s t1 ? t 2 ? t 3 5 ? 120 ? 10 135

【例 3】一物体由斜面顶端由静止开始匀加速下滑,最初的 3 秒内的位移为 s1,最后 3 秒内的位移为 s2,若 s2-s1=6 米,s1∶s2=3∶7,求斜面的长度为多少? 解析:设斜面长为 s,加速度为 a,沿斜面下滑的总时间为 t 。则: 斜面长: s=

1 2 at 2

??

( 1) (t-3)s 3s

1 2 ??(2) 前 3 秒内的位移:s1 = at1 2 1 后 3 秒内的位移: s2 =s - a (t-3)2 ?? (3) 2
s2-s1=6 ?? (4) s1∶s2 = 3∶7 ?? (5) 解(1)—(5)得:a=1m/s2 t= 5s s=12 . 5m 【例 4】物块以 v0=4 米/秒的速度滑上光滑的斜面,途经 A、B 两点,已知在 A 点时的速度是 B 点时的速度的 2 倍, 由 B 点再经 0.5 秒物块滑到斜面顶点 C 速度变为零,A、B 相距 0.75 米,求斜面的长度及物体由 D 运动到 B 的时间? 解析:物块匀减速直线运动。设 A 点速度为 VA、B 点速 度 VB,加速度为 a,斜面长为 S。 A 到 B: vB2 ? vA2 =2asAB ……(1) vA = 2vB … …(2) B 到 C: 0=vB + at0 ……..(3) 解(1)(2)(3)得:v =1m/s a= ?2m/s2
2 B

C

D

D到C 0 ? v0 =2as (4) s= 4m 从 D 运动到 B 的时间: D 到 B: vB =v0+ at1 t1=1.5 秒 D 到 C 再回到 B:t2 = t1+2t0=1.5+2?0.5=2.5(s) 【例 5】一质点沿 AD 直线作匀加速直线运动,如图,测得它在 AB、BC、CD 三段的时 间均为 t,测得位移 AC=L1,BD=L2,试求质点的加速度? 解:设 AB=s1、BC=s2、CD=s3 则: A B C D s2?s1=at2 s3?s2=at2 2 两式相加:s3?s1=2at 由图可知:L2?L1=(s3+s2)?(s2+s1)=s3?s1 则:a =

L2 ? L1 2t 2

【例 6】一质点由 A 点出发沿直线 AB 运动,行程的第一部分是加速度为 a1 的匀加速运 动,接着做加速度为 a2 的匀减速直线运动,抵达 B 点时恰好静止,如果 AB 的总长度为 s, 试求质点走完 AB 全程所用的时间 t? 解:设质点的最大速度为 v,前、后两段运动过程及全过程的平均速度相等,均为 全过程: s=

v 。 2

v t 2

??(1) 匀减速过程:v = a2t2 ??(3)

匀加速过程:v = a1t1 ??(2)

4

由(2)(3)得:t1= s=

v a1
s=

t2 ?

v 代入(1)得: a2

v v v ( ? ) 2 a1 a 2

2sa1a2 a1 ? a2
2s 2 sa1 a 2 a1 ? a 2 ? 2 s (a1 ? a 2 ) a1 a 2

将 v 代入(1)得: t =

2s ? v

【例 7】一个做匀加速直线运动的物体,连续通过两段长为 s 的位移所用的时间分别为 t1、t2,求物体的加速度? 解:方法(1):设前段位移的初速度为 v0,加速度为 a,则: 前一段 s: s=v0t1 + 全过程 2s: 消去 v0 得:

1 2 at1 2

??(1) ??(2)

2s=v0(t1+t2)+

1 a (t 1 ? t 2 ) 2 2 2s(t1 ? t 2 ) a= t1t 2 (t1 ? t 2 )

方法(2):设前一段时间 t1 的中间时刻的瞬时速度为 v1,后一段时间 t2 的中间时刻的瞬 时速度为 v2。所以: v1=

s ??(1) t1

v2=

s t2

??(2)v2=v1+a(

t1 t 2 ? ) ??(3) 2 2

解(1)(2)(3)得相同结果。 方法(3):设前一段位移的初速度为 v0,末速度为 v,加速度为 a。 前一段 s: 后一段 s: s=v0t1 + s=vt2 +

1 2 at1 2

??(1) ??(2) v = v0 + at ??(3)

1 2 at 2 2

解(1)(2)(3)得相同结果。 例 8.某航空公司的一架客机,在正常航线上做水平飞行时,突然受到强大的垂直气流 的作用,使飞机在 10 s 内下降高度为 1800 m,造成众多乘客和机组人员的伤害事故,如果 只研究在竖直方向上的运动,且假设这一运动是匀变速直线运动. (1)求飞机在竖直方向上产生的加速度多大? (2)试估算成年乘客所系安全带必须提供多大拉力才能使乘客不脱离座椅. 解:由 s=

1 2 2 s 2 ? 1800 at 及:a= 2 ? m/s2=36 m/s2. 2 1000 t

由牛顿第二定律: F+mg=ma 得 F=m(a-g)=1560 N,成年乘客的质量可取 45 kg~65 kg,因此, F 相应的值为 1170 N~1690 N

第 3 单元

自由落体与竖直上抛运动

1、 自由落体运动:物体仅在重力作用下由静止开始下落的运动 重快轻慢”――非也 亚里斯多德――Y 伽利略――――N
5

(1)特点:只受重力作用,即υ 0=0、a=g(由赤道向两极,g 增加由地面向高空,g 减小一 般认为 g 不变) (2)运动规律: V = g t H = g t2. / 2 V2 = 2 g H 对于自由落体运动,物体下落的时间仅与高度有关,与物体受的重力无关。 (3)符合初速度为零的匀加速直线运动的比例规律 2、 竖直上抛运动:物体上获得竖直向上的初速度υ 0 后仅在重力作用下的运动。 特点:只受重力作用且与初速度方向反向,以初速方向为正方向则---a=-g 运动规律: (1) V=V0-g t t=V0 / g 2 (2) H=V0 t-g t / 2 (3) V02-V2=2gH H=V02 / 2g (4)

v = ( V0 +V) / 2

?

例:竖直上抛,V0=100m / s 忽略空气阻力 (1)、多长时间到达最高点? 0=V0-g t t=V0 / g=10 秒 500 米 理解加速度 (2)、最高能上升多高?(最大高度) 0-V02=-2g H H= V02/2g=500 米 (3)、回到抛出点用多长时间? H=g t2. / 2 t=10 秒 时间对称性 (4)、回到抛出点时速度=? V=g t V=100m / s 方向向下 速度大小对称性 (5)、接着下落 10 秒,速度=? v=100+10?10=200m/s 方向向下 (6)、此时的位置? s=100?10+0.5?10?102=1500 米 (7)、理解前 10 秒、20 秒 v(m/s) 30 秒 内的位移 100 0 10 20 30 t (s)

100m/s

-100

-200 结论:时间对称性 速度大小对称性 注意: 若物体在上升或下落中还受有恒空气阻力, 则物体的运动不再是自由落体和竖直上抛
6

运动,分别计算上升 a 上与下降 a 下的加速度,利用匀变速公式问题同样可以得到解决。 例题分析: 例1、 从距地面 125 米的高处,每隔相同的时间由静止释放一个小球队,不计空气阻力, 2 g=10 米/秒 ,当第 11 个小球刚刚释放时,第 1 个小球恰好落地,试求:(1)相邻 的两个小球开始下落的时间间隔为多大?(2)当第 1 个小球恰好落地时,第 3 个小 球与第 5 个小球相距多远? (拓展)将小球改为长为 5 米的棒的自由落体,棒在下落过程中不能当质点来处理,但可选 棒上某点来研究。 例2、 在距地面 25 米处竖直上抛一球, 第 1 秒末及第 3 秒末先后经过抛出点上方 15 米处, 试求:(1)上抛的初速度,距地面的最大高度和第 3 秒末的速度;(2)从抛出到 落地所需的时间(g=10m/s2) 例3、 一竖直发射的火箭在火药燃烧的 2S 内具有 3g 的竖直向上加速度,当它从地面点燃 发射后,它具有的最大速度为多少?它能上升的最大高度为多少?从发射开始到上 升的最大高度所用的时间为多少?(不计空气阻力。G=10m/s2)

第 4 单元

直线运动的图象

知识要点: 1、 匀速直线运动 对应于实际运动 1、 位移~时间图象,某一时刻的位移 S=v t ⑴截距的意义:出发点距离标准点的距离和方向 ⑵图象水平表示物体静止 斜率绝对值 = v 的大小 ⑶,交叉点表示两个物体相遇 2、 速度~时间图象,某一时刻的速度

S V ? t
阴影面积 = 位移数值(大小)上正下负 2、 匀变速直线运动的速度——时间图象(υ—t 图)

V(某时刻的快慢)

t

a?
Vt VO 0

vt ? v 0 ? vt ? v0 ? at t
α

△V t

(1) 截距表示初速度 (2) 比较速度变化的快慢,即加速度 (3) 交叉点表示速度相等 (4) 面积 = 位移 上正下负 v 【例 1】 一个固定在水平面上的光 v q o q p tq tp t B

p

A
7

C

滑物块,其左侧面是斜面 AB,右侧面是曲面 AC。已知 AB 和 AC 的长度相同。两个小球 p、 q 同时从 A 点分别沿 AB 和 AC 由静止开始下滑,比较它们到达水平面所用的时间 A.p 小球先到 B.q 小球先到 C.两小球同时到 D.无法确定 解:可以利用 v-t 图象(这里的 v 是速率,曲线下的面积表示路程 s)定性地进行比较。在 同一个 v-t 图象中做出 p、q 的速率图线,显然开始时 q 的加速度较大,斜率较大;由于机 械能守恒,末速率相同,即曲线末端在同一水平图线上。为使路程相同(曲线和横轴所围的 面积相同),显然 q 用的时间较少。 【例 2】 两支完全相同的光滑直角弯管(如图所示)现有两 a’ a 只相同小球 a 和 a/ 同时从管口由静止滑下,问谁先从下端的出 l2 v2 口掉出?(假设通过拐角处时无机械能损失) l1 解析: 首先由机械能守恒可以确定拐角处 v1> v2, 而两小球 l1 到达出口时的速率 v 相等。又由题薏可知两球经历的总路程 s v1 相等。由牛顿第二定律,小球的加速度大小 a=gsinα ,小球 a 第一阶段的加速度跟小球 a/第二阶段的加速度大小相同(设为 l2 v v a1);小球 a 第二阶段的加速度跟小球 a/第一阶段的加速度大 v 小相同(设为 a2),根据图中管的倾斜程度,显然有 a1> a2。 m 根据这些物理量大小的分析, 在同一个 v-t 图象中两球速度曲线 下所围的面积应该相同,且末状态速度大小也相同(纵坐标相 同)。开始时 a 球曲线的斜率大。由于两球两阶段加速度对应 相等,如果同时到达(经历时间为 t1)则必然有 s1>s2,显然不 o t t1 t2 合理。考虑到两球末速度大小相等(图中 vm),球 a/ 的速度图 象只能如蓝线所示。因此有 t1< t2,即 a 球先到。 【例 3】一物体做加速直线运动,依次通过 A、B、C 三点,AB=BC。物体在 AB 段加速 度为 a1,在 BC 段加速度为 a2,且物体在 B 点的速度为 v B ? A.a1> a2 B.a1= a2 C.a1< a2 D.不能确定 解析:依题意作出物体的 v-t 图象,如图所示。图线 下方所围成的面积表示物体的位移,由几何知识知图线 ②、③不满足 AB=BC。只能是①这种情况。因为斜率表 示加速度,所以 a1<a2,选项 C 正确。 【例 4】蚂蚁离开巢沿直线爬行,它的速度与到蚁巢 中心的距离成反比,当蚂蚁爬到距巢中心的距离 L1=1m 的 A 点处时,速度是 v1=2cm/s。试问蚂蚁从 A 点爬到距巢中心的距离 L2=2m 的 B 点所需的 时间为多少? 解析:本题若采用将 AB 无限分割,每一等分可看作匀速直线运动,然后求和,这一办 法原则上可行,实际上很难计算。 题中有一关键条件:蚂蚁运动的速度 v 与蚂蚁离巢的距离 1 1 x 成反比,即 ? x ,作出 ? x 图象如图示,为一条通过原点 v v 的直线。从图上可以看出梯形 ABCD 的面积,就是蚂蚁从 A 到 B 的时间: T ?
2 L2 ? L1 1 1 1 ( ? )(L2 ? L1 ) ? 2 ? 75 s 2 v1 v2 2L1v1

v A ? vC ,则 2

第二章 相互作用 第 1 单元 力 重力和弹力 摩擦力
一、力:是物体对物体的作用
8

(1) (2) (3) (4) (5)

(6) (7)

施力物体与受力物体是同时存在、同时消失的;力是相互的 力是矢量(什么叫矢量——满足平行四边形定则) 力的大小、方向、作用点称为力的三要素 力的图示和示意图 力的分类:根据产生力的原因即根据力的性质命名有重力、弹力、分子力、电场力、磁场力等; 根据力的作用效果命名即效果力如拉力、压力、向心力、回复力等。(提问:效果相同,性质一定 相同吗?性质相同效果一定相同吗?大小方向相同的两个力效果一定相同吗?) 力的效果:1、加速度或改变运动状态 2、形变 力的拓展:1、改变运动状态的原因 2、产生加速度 3、牛顿第二定律 4、牛顿第三定律

二、常见的三种力 1 重力
(1) (2) (3) 产生:由于地球的吸引而使物体受到的力,是万有引力的一个分力 方向:竖直向下或垂直于水平面向下 大小:G=mg,可用弹簧秤测量 两极 引力 = 重力 (向心力为零) 赤道 引力 = 重力 + 向心力 (方向相同)

由两极到赤道重力 加速度减小,由地面到高空重力加 速度减小 (4) 作用点:重力作用点是重 心,是物体各部分所受重 力的合力的作用点。 重心 的测量方法:均匀规则几 何体的重心在其几何中 心,薄片物体重心用悬挂 法;重心不一定在物体上。

2、弹力
(1)产生:发生弹性形变的物体恢复原状,对跟它接触并使之发生形变的另一物体产生的力的作用。 (2)产生条件:两物体接触;有弹性形变。 (3)方向:弹力的方向与物体形变的方向相反,具体情况有:轻绳的弹力方向是沿着绳收缩的方向;支持 力或压力的方向垂直于接触面,指向被支撑或被压的物体;弹簧弹力方向与弹簧形变方向相反。 (4)大小:弹簧弹力大小 F=kx(其它弹力由平衡条件或动力学规律求解) 1、 K 是劲度系数,由弹簧本身的性质决定 2、 X 是相对于原长的形变量 3、 力与形变量成正比 (5) 作用点:接触面或重心 【例 1】如图所示,两物体重力分别为 G1、G2,两弹簧劲度系数分别为 k1、k2,弹簧两端与物体和地面相 连。用竖直向上的力缓慢向上拉 G2,最后平衡时拉力 F=G1+2G2,求该过程系统重力势能的增量。 解析:关键是搞清两个物体高度的增量 Δh1 和 Δh2 跟初、末状态两根弹簧的形变量 Δx1、Δx2、 FΔx1/、Δx2/ 间的关系。 G2 无拉力 F 时 Δx1=(G1+G2)/k1,Δx2= G2/k2,(Δx1、Δx2 为压缩量) Δ x2/ k2 加拉力 F 时 Δx1/=G2/k1,Δx2/= (G1+G2) /k2,(Δx1/、Δx2/为伸长量) G2 而 Δh1=Δx1+Δx1/,Δh2=(Δx1/+Δx2/)+(Δx1+Δx2) Δ x2 系统重力势能的增量 ΔEp= G1?Δh1+G2?Δh2 k2 G1 整理后可得: ?E P

? G1 ? G2 G2 ? ? ?G1 ? 2G2 ?? ? ? ? k k2 ? 1 ? ?

Δ x1

G1 Δ x1/ k1

k1

练习
1.关于两物体之间的弹力和摩擦力,下列说法中正确的是( ) A.有摩擦力一定有弹力 B.摩擦力的大小与弹力成正比 C.有弹力一定有摩擦力 D.弹力是动力,摩擦力是阻力 2.如图,两本书 A、 B 逐页交叉后叠放在一起并平放在光滑的水平桌面 上,设每张书页的质量为 5g,每本书均是 200 张,纸与纸之间的动 摩擦因数为 0.3,问至少要用多大的水平力才能将它们拉开?(g 取 10 米 /秒 2) 3、弹簧秤的读数是它受到的合外力吗?

F

9

3、摩擦力
(1)产生:相互接触的粗糙的物体之间有相对运动(或相对运动趋势)时,在接触面产生的阻碍相对运动 (相对运动趋势)的力; (2)产生条件:接触面粗糙;有正压力;有相对运动(或相对运动趋势); (3)摩擦力种类:静摩擦力和滑动摩擦力。

静摩擦力
(1)产生:两个相互接触的物体,有相对滑动趋势时产生的摩擦力。 (2)作用效果:总是阻碍物体间的相对运动趋势。 (3)方向:与相对运动趋势的方向一定相反(**与物体的运动方向可能相反、可能相同、还可能成其它任 意夹角) (4)方向的判定:由静摩擦力方向跟接触面相切,跟相对运动趋势方向相反来判定;由物体的平衡条件来 确定静摩擦力的方向;由动力学规律来确定静摩擦力的方向。 V=2 (5) 作用点

滑动摩擦力

(1)产生:两个物体发生相对运动时产生的摩擦力。 (2)作用效果:总是阻碍物体间的相对运动。 (3)方向:与物体的相对运动方向一定相反(**与物体的运动方向可能相同;可能相反;也可能成其它任 意夹角) (4)大小:f=μ N(μ 是动摩擦因数,只与接触面的材料有关,与接触面积无关)

V=3

V f = μ mg
(5) 作用点

a f = μ (mg +ma) f = μ mg cosθ

【例 2】 小车向右做初速为零的匀加速运动,物体恰好沿车后壁匀速下滑。试分析下滑过程中物体所 受摩擦力的方向和物体速度方向的关系。 解析:物体受的滑动摩擦力始终和小车的后壁平行,方向竖直向上,而物体相对于地面的速度方向不 断改变(竖直分速度大小保持不变,水平分速度逐渐增大),所以摩擦力方向 和运动方向间的夹角可能取 90° 和 180° 间的任意值。 a v 相对 点评:无明显形变的弹力和静摩擦力都是被动力。就是说:弹力、静摩擦力的 大小和方向都无法由公式直接计算得出,而是由物体的受力情况和运动情况共 同决定的。

例题分析: 例 3、下面关于摩擦力的说法正确的是: D
A、阻碍物体运动的力称为摩擦力; B、滑动摩擦力方向总是与物体的运动方向相反; C、静摩擦力的方向不可能与运动方向垂直; D、接触面上的摩擦力总是与接触面平行。 例 4、如图所示,物体受水平力 F 作用,物体和放在水平面上的 斜面都处于静止,若水平力 F 增大一些,整个装置仍处于静止, 则:A A、 斜面对物体的弹力一定增大; B、 斜面与物体间的摩擦力一定增大; C、 水平面对斜面的摩擦力不一定增大; D、 水平面对斜面的弹力一定增大;

例 5、用一个水平推力 F=Kt(K 为恒量,t 为时间)把一重为 G 的物体压在竖直的足够高的平整墙上,如 图所示,从 t=0 开始物体所受的摩擦力 f 随时间 t 变化关系是哪一个?B 10

第 2 单元
一、标量和矢量

力的合成和分解

矢量:满足平行四边行定则(力、位移、速度、加速度、动量、冲量、电场强度、磁感应强度) 标量:不满足平行四边行定则(路程、时间、质量、体积、密度、功和功率、电势、能量、磁通量、 振幅) 1.矢量和标量的根本区别在于它们遵从不同的运算法则:标量用代数法;矢量用平行四边形定则或三 角形定则。 矢量的合成与分解都遵从平行四边形定则(可简化成三角形定则)。平行四边形定则实质上是一种等 效替换的方法。一个矢量(合矢量)的作用效果和另外几个矢量(分矢量)共同作用的效果相同,就可以 用这一个矢量代替那几个矢量,也可以用那几个矢量代替这一个矢量,而不改变原来的作用效果。 2.同一直线上矢量的合成可转为代数法,即规定某一方向为正方向。与正方向相同的物理量用正号代 入.相反的用负号代入,然后求代数和,最后结果的正、负体现了方向,但有些物理量虽也有正负之分, 运算法则也一样.但不能认为是矢量,最后结果的正负也不表示方向如:功、重力势能、电势能、电势等。

二、力的合成与分解
力的合成与分解体现了用等效的方法研究物理问题。 合成与分解是为了研究问题的方便而引人的一种方法.用合力来代替几个力时必须把合力与各分力脱 钩,即考虑合力则不能考虑分力,同理在力的分解时只考虑分力而不能同时考虑合力。

1.力的合成
(1)力的合成的本质就在于保证作用效果相同的前提下,用一个力的作用代替几个力的作用,这个力 就是那几个力的“等效力”(合力)。力的平行四边形定则是运用“等效”观点,通过实验总结出来的共 点力的合成法则,它给出了寻求这种“等效代换”所遵循的规律。 (2)平行四边形定则可简化成三角形定则。由三角形定则还可以得到一个有用的推论:如果 n 个力首 尾相接组成一个封闭多边形,则这 n 个力的 合力为零。 F F F1 (3)共点的两个力合力的大小范围是 F1 |F1-F2| ≤ F 合≤ F1+F2 (4) 共点的三个力合力的最大值为三 O O 个力的大小之和,最小值可能为零。 F2 F2 【例 1 物体受到互相垂直的两个力 F1 、 F2 的作用,若两力大小分别为 5 N,求这两个力的合力. 解析:根据平行四边形定则作出平行四边形,如图所示,由于 F1、F2 相互 所以作出的平行四边形为矩形,对角线分成的两个三角形为直角三角形,由勾 理得:

3 N、5

垂直, 股 定

F ? F1 ? F2 ? (5 3 ) 2 ? 5 2
合力的方向与 F1 的夹角θ 为:

2

2

N=10 N

tg? ?

F2 5 3 ? ? F1 5 3 3

θ =30°

2.力的分解
11

(1)力的分解遵循平行四边形法则,力的分解相当于已知对角线求邻边。 (2)两个力的合力惟一确定,一个力的两个分力在无附加条件时,从理论上讲可分解为无数组分力, 但在具体问题中,应根据力实际产生的效果来分解。 【例 2 将放在斜面上质量为 m 的物体的重力 mg 分解为下滑力 F1 和对斜面 的压力 F2,这种说法正确吗? 解析:将 mg 分解为下滑力 F1 这种说法是正确的,但是 mg 的另一个分力 F2 不是物体对斜面的压力,而是使物体压紧斜面的力,从力的性质上看,F2 是属 于重力的分力,而物体对斜面的压力属于弹力,所以这种说法不正确。 【例 3 将一个力分解为两个互相垂直的力,有几种分法? 解析:有无数种分法,只要在表示这个力的有向线段的一段任意画一条直 有向线段的另一端向这条直线做垂线,就是一种方法。如图所示。 (3)几种有条件的力的分解? ①已知两个分力的方向,求两个分力的大小时,有唯一解。 ②已知一个分力的大小和方向,求另一个分力的大小和方向时,有唯一解。 ③已知两个分力的大小,求两个分力的方向时,其分解不惟一。 ④已知一个分力的大小和另一个分力的方向,求这个分力的方向和另 一个分力的大小时,其分解方法可能惟一,也可能不惟一。 (4)用力的矢量三角形定则分析力最小值的规律: ①当已知合力 F 的大小、方向及一个分力 F1 的方向时,另一个分力 F2 取最小值的条件是两分力垂直。如图所示,F2 的最小值为:F2min=F sinα ②当已知合力 F 的方向及一个分力 F1 的大小、方向时,另一个分力 F2 取 最小值的条件是:所求分力 F2 与合力 F 垂直,如图所示,F2 的最小值为: F2min=F1sinα ? ③当已知合力 F 的大小及一个分力 F1 的大小时,另一个分力 F2 取最小值 的条件是:已知大小的分力 F1 与合力 F 同方向,F2 的最小值为|F-F1| (5)正交分解法:? 把一个力分解成两个互相垂直的分力,这种分解方法称为正交分解法。 用正交分解法求合力的步骤: ①首先建立平面直角坐标系,并确定正方向 ②把各个力向 x 轴、y 轴上投影,但应注意的是:与确定的正方向相同的力为正,与确定的正方向相 反的为负,这样,就用正、负号表示了被正交分解的力的分力的方向 ③求在 x 轴上的各分力的代数和 Fx 合和在 y 轴上的各分力的代数和 Fy 合 ④求合力的大小

线, 在

F ? ( Fx 合 ) 2 ? ( Fy 合 ) 2

合力的方向:tanα =

Fy 合 Fx合

(α 为合力 F 与 x 轴的夹角)

【例 4 质量为 m 的木块在推力 F 作用下,在水平地面上做匀速运动.已知木 块与地面间的动摩擦因数为 ?,那么木块受到的滑动摩擦力为下列各值的哪个? A.?mg B.?(mg+Fsinθ ) C.?(mg+Fsinθ ) D.Fcosθ 解析:木块匀速运动时受到四个力的作用:重力 mg、推力 F、支持力 FN、摩 擦力 F?.沿水平方向建立 x 轴,将 F 进行正交分解如图(这样建立坐标系只需分 解 F),由于木块做匀速直线运动,所以,在 x 轴上,向左的力等于向右的力(水 平方向二力平衡) ;在 y 轴上向上的力等于向下的力(竖直方向二力平衡) .即 Fcosθ =F? ① FN=mg+Fsinθ ② 又由于 F?=?FN ③ ∴F?=?(mg+Fsinθ ) 故B、D答案是正确的.

三、综合应用举例

12

【例 5 水平横粱的一端 A 插在墙壁内,另一端装有一小滑轮 B,一轻绳的一端 C 固定于墙上,另一端 跨过滑轮后悬挂一质量 m=10 kg 的重物,∟CBA=30°,如图甲所 2 示,则滑轮受到绳子的作用力为(g=10m/s ) A.50N B.50 3 N C.100N D.100 3 N 解析:取小滑轮作为研究对象,悬挂重物的绳中的弹力是 T= mg=10?10N=100 N,故小滑轮受绳的作用力沿 BC、BD 方向的大小 都是 100N,分析受力如图(乙)所示. ∟CBD=120°,∟CBF= ∟DBF,∴∟CBF=60°,⊿CBF 是等边三角形.故 F=100 N。选 C。 【例 6 已知质量为 m、电荷为 q 的小球,在匀强电场中由静止 释放后沿直线 OP 向斜下方运动(OP 和竖直方向成 θ 角),那么 所加匀强电场的场强 E 的最小值是多少? 解析:根据题意,释放后小球所受合力的方向必为 OP 方向。用三角形定则从 右图中不难看出: 重力矢量 OG 的大小方向确定后, 合力 F 的方向确定 (为 OP 方向) , 而电场力 Eq 的矢量起点必须在 G 点,终点必须在 OP 射线上。在图中画出一组可能 的电场力,不难看出,只有当电场力方向与 OP 方向垂直时 Eq 才会最小,所以 E 也 最小,有 E =

O
θ

Eq
mg

m g sin ? q

P

【例 7 轻绳 AB 总长 l,用轻滑轮悬挂重 G 的物体。绳能 承受的最大拉力是 2G,将 A 端固定,将 B 端缓慢向右移动 d 而使绳不断,求 d 的最大可能值。 解:以与滑轮接触的那一小段绳子为研究对象,在任何 一个平衡位置都在滑轮对它的压力(大小为 G)和绳的拉力 F1、F2 共同作用下静止。而同一根绳子上的拉力大小 F1、F2 总 是相等的,它们的合力 N 是压力 G 的平衡力,方向竖直向上。 因此以 F1、 F2 为分力做力的合成的平行四边形一定是菱形。 利 用菱形对角线互相垂直平分的性质, 结合相似形知识可得 d∶

A B
N F1 G F2

l = 15 ∶4,所以 d 最大为 15 l 4
【例 8 一根长 2m,重为 G 的不均匀直棒 AB,用两根细绳水平悬挂在天花板上,如图所示,求直棒重心

C 的位置。
解析:当一个物体受三个力作用而处于平衡状态,如果其中两 个力的作用线相交于一点. 则第三个力的作用线必通过前两个力作 用线的相交点, 把 O1A 和 O2B 延长相交于 O 点, 则重心 C 一定在过 O 点的竖直线上,如图所示由几何知识可知: BO=AB/2=1m BC=BO/2=0.5m 故重心应在距 B 端 0.5m 处。 【例 9 如图(甲)所示.质量为 m 的球放在倾角为 α 的光滑斜面上,试分析挡板 AO 与斜面间的倾角 β 为多大时,AO 所受压力最小? 解析:虽然题目问的是挡板 AO 的受力情况,但若直接以挡板为研究对象,因挡板所受力均为未知力, 将无法得出结论.以球为研究对象,球所受重力产生的效果有两个:对斜面产生的压力 N1、对挡板产生的 压力 N2, 根据重力产生的效果将重力分解, 如图 (乙) 所示, 当挡板与斜面的夹角 β 由图示位置变化时,N1 大小改变但方向不变,始终与斜面垂直, N2 的大小 和方向均改变,如图(乙)中虚线所示,由图可看 出挡板 AO 与斜面垂直时 β =90°时, 挡板 AO 所受压 力最小,最小压力 N2min =mgsinα 。

第 3 单元
一、物体的受力分析

共点力作用下物体的平衡

13

1.明确研究对象 在进行受力分析时,研究对象可以是某一个物体,也可以是保持相对静止的若干个物体。在解决比较 复杂的问题时,灵活地选取研究对象可以使问题简洁地得到解决。研究对象确定以后,只分析研究对象以 外的物体施予研究对象的力(即研究对象所受的外力),而不分析研究对象施予外界的力。 2.按顺序找力 先场力(重力、电场力、磁场力),后接触力;接触力中必须先弹力,后摩擦力(只有在有弹力的接 触面之间才可能有摩擦力)。 3.只画性质力,不画效果力 画受力图时,只能按力的性质分类画力,不能按作用效果(拉力、压力、向心力等)画力,否则将出 现重复。 4.需要合成或分解时,必须画出相应的平行四边形(或三角形)

二、物体的平衡
物体的平衡有两种情况:一是质点静止或做匀速直线运动,物体的加速度为零;二是物体不转动或匀 速转动(此时的物体不能看作质点)。 理解:对于共点力作用下物体的平衡,不要认为只有静止才是平衡状态,匀速直线运动也是物体的平 衡状态.因此,静止的物体一定平衡,但平衡的物体不一定静止.还需注意,不要把速度为零和静止状态 相混淆,静止状态是物体在一段时间内保持速度为零不变,其加速度为零,而物体速度为零可能是物体静 止,也可能是物体做变速运动中的一个状态,加速度不为零。由此可见,静止的物体速度一定为零,但速 度为零的物体不一定静止.因此,静止的物体一定处于平衡状态,但速度为零的物体不一定处于静止状态。 总之,共点力作用下的物体只要物体的加速度为零,它一定处于平衡状态,只要物体的加速度不为零, 它一定处于非平衡状态

三、共点力作用下物体的平衡
1.共点力——几个力作用于物体的同一点,或它们的作用线交于同一点(该点不一定在物体上),这 几个力叫共点力。 2.共点力的平衡条件 在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零,即 F 合=0 或 Fx 合=0,Fy 合=0 3.判定定理 物体在三个互不平行的力的作用下处于平衡,则这三个力必为共点力。(表示这三个力的矢量首尾相 接,恰能组成一个封闭三角形) 【例 1 如下图所示,木块在水平桌面上,受水平力 F1 =10N,F2 =3N 而静止, 当撤去 F1 后,木块仍静止,则此时木块受的合力为? A A.0 B.水平向右,3N C.水平向左,7N D.水平向右,7N 【例 2】氢气球重 10 N,空气对它的浮力为 16 N,用绳拴住,由于受水平 风力作用,绳子与竖直方向成 30°角,则绳子的拉力大小是_____,水平风 力的大小是____ (答案:4

3N

2

3 N)

四、综合应用举例 1.静平衡问题的分析方法
【例 3 如图甲所示, 一个半球形的碗放在桌面 上,碗口水平,O 点为其球心,碗的内表面及碗口 是光滑的。一根细线跨在碗口上,线的两端分别系 有质量为 m1 和 m2 的小球,当它们处于平衡状态时, 质量为 m1 的小球与 O 点的连线与水平线的夹角为α =60°。两小球的质量比 A.
3 3

m2 m1 为 A
C.
3 2

B.

2 3

D.

2 2

2.动态平衡类问题的分析方法
【例 4 重 G 的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡 板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置,在该过程 中,斜面和挡板对小球的弹力的大小 F1、F2 各如何变 化? (F1 逐渐变小,F2 先变小后变大。当 F2⊥F1,即挡 板与斜面垂直时,F2 最小)

F1 F2

F1

G

G

F2

14

【例 5 如图 7 所示整个装置静止时,绳与竖直方向的夹角为 30?。AB 连线与 OB 垂直。若使带电小球 A 的电量加倍,带电小球 B 重新稳定时绳的拉力多大? 【解析】AOB 与 FBT′围成的三角形相似,则有:AO/G=OB/T。说明系统处于不同的平衡状态时,拉 力 T 大小不变。由球 A 电量未加倍时这一特殊状态可以得到:T=Gcos30?。球 A 电量加倍平衡后,绳的拉 力仍是 Gcos30?。

3.平衡中的临界、极值问题
当某种物理现象(或物理状态)变为另一种物理现象(或另一物理状态)时的转折状态叫临界状态。 可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”。 极限分析法:通过恰当地选取某个物理量推向极端(“极大”、“极小”、“极左”、“极右”)从 而把比较隐蔽的临界现象(“各种可能性”)暴露出来,便于解答。 例题分析: 例 2、拉力 F 作用重量为 G 的物体上,使物体沿水平面匀速前进,如图 8-2 所示,若物体与地面的动摩擦因数为μ ,则拉最小时,力和地面的夹 角θ 为多大?最小拉力为多少? 2 1/2 2 1/2) (θ =arcCOS1/(1+μ ) 时,Fmin=μ G/(1+μ ) 例 6 如图 8-3 所示,半径为 R,重为 G 的均匀球靠竖直墙放置,左下有 厚为 h 的木块, 若不计摩擦, 用至少多大的水平推力 F 推木块才能使球 1/2 离开地面?(F=G[h(2R-h)] /(R-h))

【例 7 跨过定滑轮的轻绳两端,分别系着物体 A 和物体 B,物体 A 放在倾角为θ 的斜面上(如图 l—4-3(甲) 所示),已知物体 A 的质量为 m ,物体 A 与斜面的动摩 擦因数为μ (μ <tanθ ),滑轮的摩擦不计,要使物体 A 静止在斜面上,求物体 B 的质量的取值范围。 (物体 B 的质量的取值范围是:m(sinθ -μ cosθ )≤mB ≤m(sinθ +μ cosθ ))

【例 8 用与竖直方向成α =30°斜向右上方,大小为 F 的推力把一个重量为 G 的木块压在粗糙竖直墙上保持静止。求墙对木块的正压力大小 N 和墙对木 块的摩擦力大小 f。 解:当 F ?

2

3 G 时,f=0;当 F ? 2 G 时, f ? F ? G ,方向 2 3 3

G Fα

3 2 时, 竖直向下;当 F ? f ?G? F ,方向竖直向上。 G 2 3
4.整体法与隔离法的应用
对于连结体问题,如果能够运用整体法,我们优先采用整体法,这样涉及的研究对象少,未知量少,方 程少;不计物体间相互作用的内力,或物体系内的物体的运动状态相同,一般首先考虑整体法,对于大多 数动力学问题,单纯采用整体法并不一定能解决,通常采用整体法和隔离法相结合的方法。 隔离法:物体之间总是相互作用的,为了使研究的问题得到简化,常将研究对象从相互作用的物体中隔离 出来,而其它物体对研究对象的影响一律以力来表示的研究方法叫隔离法。 整体法:在研究连接体一类的问题时,常把几个相互作用的物体作为一 个整体看成一个研究对象的方法叫整体法。

O

P

A

【例 9 有一个直角支架 AOB,AO 水平放置,表面粗糙, OB 竖直向下, 表面光滑。AO 上套有小环 P,OB 上套有小环 Q,两环质量均为 m,两环 由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连,并在某一位置平衡(如图所 示)。现将 P 环向左移一小段距离,两环再次达到平衡,那么将移动后 的平衡状态和原来的平衡状态比较,AO 杆对 P 环的支持力 FN 和摩擦力 f 的变化情况是 B A.FN 不变,f 变大 B.FN 不变,f 变小 C.FN 变大,f 变大 D.FN 变大,f 变小

F Q B N mg
15

α

例 10 图 7-1 所示,两个完全相同重为 G 的球,两球与水平面间的动摩擦因数 都是μ ,一根轻绳两端固结在两个球上,在绳的中点施一个竖直向上的拉力, 当绳被拉直后, 两段绳间的夹角为θ 。 问当 F 至少多大时, 两球将发生滑动?

例 11 图 7-3 所示, 光滑的金属球 B 放在纵截面为等腰三角形的物体 A 与竖直墙壁之间,恰好匀速下滑,已知物体 A 的重力是 B 的重力的 6 倍,不计球跟斜面和墙壁之间摩擦,问:物体 A 与水平面之间的动摩 擦因数μ 是多少?

5.“稳态速度”类问题中的平衡
【例 12 物体从高空下落时,空气阻力随速度的增大而增大,因此经过一段距离后将匀速下落,这个速 度称为此物体下落的稳态速度。 已知球形物体速度不大时所受的空气阻力正比于速度 v, 且正比于球半径 r, -4 2 即 阻 力 f=krv , k 是 比 例 系 数 。 对 于 常 温 下 的 空 气 , 比 例 系 数 k=3.4?10 Ns/m 。 已 知 水 的 密 度 重力加速度为 g ? 10 m/s 。 求半径 r=0.10mm 的球形雨滴在无风情况下的稳态速度。 ? ? 1.0 ? 103 kg/m ,
3 2

解析:雨滴下落时受两个力作用:重力,方向向下;空气阻力,方向向上。当雨滴达到稳态速度后, 加速度为 0,二力平衡,用 m 表示雨滴质量,有 mg-krv=0, m ?

4?r 3 ? / 3 ,求得 v ? 4?r 2 ?g / 3k ,

v=1.2m/s。
6.绳中张力问题的求解
【例 13】重 G 的均匀绳两端悬于水平天花板 上的 A、B 两点。静止时绳两端的切线方向与 天花板成α 角。求绳的 A 端所受拉力 F1 和绳 中点 C 处的张力 F2。 解:以 AC 段绳为研究对象,根据判定定 理,虽然 AC 所受的三个力分别作用在不同的 点(如图中的 A、C、P 点),但它们必为共 点力。设它们延长线的交点为 O,用平行四边 形定则作图可得: F1

F1

F1 α

A α P
O

B C
F2

O G/2

G/2

?

G G , F2 ? 2 sin ? 2 tan ?

F2

7 解答平衡问题时常用的数学方法
根据平衡条件解答平衡问题, 往往要进行一定的数学运算才能求得结果, 在选择数学方法可针对如下几种情况进行: 1、物体受三力作用而平衡,且三力成一定的夹角,一般将三力平衡化为 二力平衡,对应数学方法: (1)正弦定理:如图 6-1 所示,则有 F1/sinα =F2/sinβ =F3/sinγ (2)三角形相似:这种方法应用广泛,具体应用时先画出力的 三角形,再寻找与力的三角形相似的空间三角形,(即具有物理 意义的三角形和具有几何意义的三角形相似)由相似三角形建立 比例关系求解。 2、多力合成时为了便于计算,往往把这些力先正交分解,根据:∑FX=0 ∑FY=0 求解。 3、动态平衡问题:解析法和图象法。 解析法:对研究对象形的任一状态进行受力分析,建立平衡方程,求出因变量与自变量的一般函数关系, 然后根据自变量变化情况而确定因变量的变化情况。 图象法:对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析,依据某一参量的变化,在同一图中作出 若干状态下的平衡图,再由边角变化关系确定某些力的大小及方向的变化情况。

16

【例 14】如图所示,在半径为 R 的光滑半球面正上方距球心 h 处悬挂 一定滑轮, 重为 G 的小球 A 用绕过滑轮的绳子被站在地面上的人拉住。 人 拉动绳子, 在与球面相切的某点缓慢运动到接近顶点的过程中, 试分析半 球对小球的支持力 N 和绳子拉力 F 如何变化。 解析:小球在重力 G,球面的支持力 N,绳子的拉力 F 作用下,处于动 态平衡。任选一状态,受力如图 4 所示。不难看出,力三角形Δ FAG’与 几何关系三角形Δ BAO 相似,从而有:

N R ? G' h



F L ? ' h G ? R G h

(其中 G’与 G 等大,L 为绳子 AB 的长度) 由于在拉动过程中,R、h 不变,绳长 L 在减小,可见:球面的支持力 N 大小不变,绳子的拉力 F

?

L G 在减小。 h

例 15 图 6-2 所示,小圆环重 G,固定的竖直大环半径为 R,轻弹簧原长为 L(L ﹤R) 其倔强系数为 K, 接触面光滑, 求小环静止时弹簧与竖直方向的夹角θ ? 提示:可利用正弦定律求解或三角形相似法求解

例 34、如图 6-3 所示,一轻杆两端固结两个小物体 A、B,mA=4mB 跨过滑轮连接 A 和 B 的轻绳长为 L,求平衡时 OA 和 OB 分别多长?

针对训练
1.把重 20N 的物体放在倾角为 30°的粗糙斜面上,物体右端与固定在斜面 上的轻弹簧相连接,如图所示,若物体与斜面间的最大静摩擦力为 12 N,则弹 簧的弹力为( ) A.可以是 22N,方向沿斜面向上 B.可以是 2N.方向沿斜面向上 C.可以是 2N,方向沿斜面向下 D.可能为零 2 两个物体 A 和 B,质量分别为 M 和 m,用跨过定滑轮的轻绳相连, A 静止于 水平地面上,如图所示,不计摩擦力,A 对绳的作用力的大小与地面对 A 的作用 力的大小分别为() A.mg,(M-m)g B.mg,Mg C.(M-m)g, M g D.(M+m)g,(M-m)g 3 如图所示, 当倾角为 45°时物体 m 处于静止状态, 当倾角θ 再增 大一些,物体 m 仍然静止(绳子质量、滑轮摩擦不计)下列说法正确的 是( ) A.绳子受的拉力增大 B.物林 m 对斜面的正压力减小 C.物体 m 受到的静摩擦力可能增大 D.物体 m 受到的静摩擦力可能减小 4.如图所示,两光滑硬杆 AOB 成θ 角,在两杆上各套上轻环 P、Q,两 环用细绳相连,现用恒力 F 沿 OB 方向拉环 Q ,当两环稳定时细绳拉力为 ( ) A.Fsinθ B.F/sinθ C.Fcosθ D.F/cosθ 5. 如图所示, 一个本块 A 放在长木板 B 上, 长木板 B 放在水平地面上. 在 恒力 F 作用下,长木板 B 以速度 v 匀速运动,水平弹簧秤的示数为 T.下列 关于摩擦力正确的是( ) A.木块 A 受到的滑动摩擦力的大小等于 T B.木块 A 受到的静摩擦力的大小等于 T 17

C.若长木板 B 以 2v 的速度匀速运动时,木块 A 受到的摩擦力大小等于 2T D.若用 2F 的力作用在长木板上,木块 A 受到的摩擦力的大小等于 T

6.如图所示,玻璃管内活塞 P 下方封闭着空气,P 上有细线系住,线上端悬于 O 点,P 的上方有高 h 的水银柱,如不计水银、活塞 P 与玻璃管的摩擦,大气压强为 p0 保持不变,则当气体温度升高时(水银不溢出)( ) A.管内空气压强恒为(p0 十ρ gh)(ρ 为水银密度) B.管内空气压强将升高 C.细线上的拉力将减小 D.玻璃管位置降低

7. 如图 (甲) 所示, 将一条轻而柔软的细绳一端拴在天花板上的 A 点. 另 一端拴在竖直墙上的 B 点, A 和 B 到 O 点的距离相等, 绳的长度是 OA 的两倍。 图(乙)所示为一质量可忽略的动滑轮 K,滑轮下悬挂一质量为 m 的重物, 设摩擦力可忽略,现将动滑轮和重物一起挂到细绳上,在达到平衡时,绳所 受的拉力是多大?

8.长 L 的绳子,一端拴着半径为 r,重为 G 的球,另一端固定在倾角 为θ 的光滑斜面的 A 点上,如图所示,试求绳子中的张力

参考答案: 1.ABCD 7.

2.A

3.BCD 8. T

4.B

5.AD

6 .D

3 mg 3

?

G( L ? r ) sin ? L2 ? 2rL

第三章
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牛顿运动定律

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第 1 单元

牛顿运动三定律

一、牛顿第一定律(内容): (1)保持匀速直线运动或静止是物体的固有属性;物体的运动不需要用力来维持 (2)要使物体的运动状态(即速度包括大小和方向)改变,必须施加力的作用,力是 改变物体运动状态的原因 1.牛顿第一定律导出了力的概念 力是改变物体运动状态的原因。 (运动状态指物体的速度) 又根据加速度定义:a ? ?v ,
?t

有速度变化就一定有加速度,所以可以说:力是使物体产生加速度的原因。(不能说“力是 产生速度的原因”、“力是维持速度的原因”,也不能说“力是改变加速度的原因”。) 2.牛顿第一定律导出了惯性的概念 惯性:物体保持原来匀速直线运动状态或静止状态的性质。惯性应注意以下三点: (1)惯性是物体本身固有的属性,跟物体的运动状态无关,跟物体的受力无关,跟物 体所处的地理位置无关 (2)质量是物体惯性大小的量度,质量大则惯性大,其运动状态难以改变 (3)外力作用于物体上能使物体的运动状态改变,但不能认为克服了物体的惯性 3.牛顿第一定律描述的是理想化状态 牛顿第一定律描述的是物体在不受任何外力时的状态。而不受外力的物体是不存在的。 物体不受外力和物体所受合外力为零是有区别的, 所以不能把牛顿第一定律当成牛顿第二定 律在 F=0 时的特例。 4、不受力的物体是不存在的,牛顿第一定律不能用实验直接验证,但是建立在大量实验现 象的基础之上,通过思维的逻辑推理而发现的。它告诉了人们研究物理问题的另一种方法, 即通过大量的实验现象,利用人的逻辑思维,从大量现象中寻找事物的规律。 5、牛顿第一定律是牛顿第二定律的基础,不能简单地认为它是牛顿第二定律不受外力时的 特例, 牛顿第一定律定性地给出了力与运动的关系, 牛顿第二定律定量地给出力与运动的关 系。 【例 1】在一艘匀速向北行驶的轮船甲板上,一运动员做立定跳远,若向各个方向都用 相同的力,则 ( D ) A.向北跳最远 B.向南跳最远 C.向东向西跳一样远,但没有向南跳远 D.无论向哪个方向都一样远 【例 2】某人用力推原来静止在水平面上的小车,使小车开始运动,此后改用较小的力 就可以维持小车做匀速直线运动,可见( ) A.力是使物体产生运动的原因 B.力是维持物体运动速度的原因 C.力是使物体速度发生改变的原因 D.力是使物体惯性改变的原因 【例 3】如图中的甲图所示,重球系于线 DC 下端,重球下 再系一根同样的线 BA,下面说法中正确的是( ) A.在线的 A 端慢慢增加拉力,结果 CD 线拉断 B.在线的 A 端慢慢增加拉力,结果 AB 线拉断 C.在线的 A 端突然猛力一拉,结果 AB 线拉断 D.在线的 A 端突然猛力一拉,结果 CD 线拉断 解析:如图乙,在线的 A 端慢慢增加拉力,使得重球有足够的 时间发生向下的微小位移,以至拉力 T2 逐渐增大,这个过程进行得如此缓慢可以认为重球 始终处于受力平衡状态,即 T2=T1+mg,随着 T1 增大,T2 也增大,且总是上端绳先达到极 限程度,故 CD 绳被拉断,A 正确。若在 A 端突然猛力一拉,因为重球质量很大,力的作 用时间又极短,故重球向下的位移极小,以至于上端绳未来得及发生相应的伸长,T1 已先 达到极限强度,故 AB 绳先断,选项 C 也正确。 二、牛顿第三定律(12 个字——等值、反向、共线 同时、同性、两体、) 1.区分一对作用力反作用力和一对平衡力 一对作用力反作用力和一对平衡力的共同点有:大小相等、方向相反、作用在同一条直
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线上。不同点有:作用力反作用力作用在两个不同物体上,而平衡力作用在同一个物体上; 作用力反作用力一定是同种性质的力, 而平衡力可能是不同性质的力; 作用力反作用力一定 是同时产生同时消失的,而平衡力中的一个消失后,另一个可能仍然存在。 2.一对作用力和反作用力的冲量和功 一对作用力和反作用力在同一个过程中 (同一段时间或同一段位移) 的总冲量一定为零, 但作的总功可能为零、可能为正、也可能为负。这是因为作用力和反作用力的作用时间一定 是相同的,而位移大小、方向都可能是不同的。 3、效果不能相互抵消 【例 4】汽车拉着拖车在水平道路上沿直线加速行驶,根据牛顿运动定律可知(B C ) A.汽车拉拖车的力大于拖车拉汽车的力 B.汽车拉拖车的力等于拖车拉汽车的力 C.汽车拉拖车的力大于拖车受到的阻力 D.汽车拉拖车的力等于拖车受到的阻力 【例 5】甲、乙二人拔河,甲拉动乙向左运动,下面说法中正确的是 AC A.做匀速运动时,甲、乙二人对绳的拉力大小一定相等 B.不论做何种运动,根据牛顿第三定律,甲、乙二人对绳的拉力大小一定相等 C.绳的质量可以忽略不计时,甲乙二人对绳的拉力大小一定相等 D.绳的质量不能忽略不计时,甲对绳的拉力一定大于乙对绳的拉力 【例 6】物体静止在斜面上,以下几种分析中正确的是 D A.物体受到的静摩擦力的反作用力是重力沿斜面的分力 B.物体所受重力沿垂直于斜面的分力就是物体对斜面的压力 C.物体所受重力的反作用力就是斜面对它的静摩擦力和支持力这两个力的合力 D.物体受到的支持力的反作用力,就是物体对斜面的压力 【例 7】物体静止于水平桌面上,则 A.桌面对物体的支持力的大小等于物体的重力,这两个力是一对平衡力 B.物体所受的重力和桌面对它的支持力是一对作用力与反作用力 C.物体对桌面的压力就是物体的重力,这两个力是同一种性质的力 D.物体对桌面的压力和桌面对物体的支持力是一对平衡的力 三、牛顿第二定律 1.定律的表述 物体的加速度跟所受的外力的合力成正比, 跟物体的质量成反比, 加速度的方向跟合力 的方向相同,即 F=ma (其中的 F 和 m、a 必须相对应) 特别要注意表述的第三句话。 因为力和加速度都是矢量, 它们的关系除了数量大小的关 系外,还有方向之间的关系。明确力和加速度方向,也是正确列出方程的重要环节。 若 F 为物体受的合外力,那么 a 表示物体的实际加速度;若 F 为物体受的某一个方向 上的所有力的合力,那么 a 表示物体在该方向上的分加速度;若 F 为物体受的若干力中的 某一个力,那么 a 仅表示该力产生的加速度,不是物体的实际加速度。 2.对定律的理解: (1)瞬时性:加速度与合外力在每个瞬时都有大小、方向上的对应关系,这种对应关 系表现为:合外力恒定不变时,加速度也保持不变。合外力变化时加速度也随之变化。合外 力为零时,加速度也为零 (2)矢量性:牛顿第二定律公式是矢量式。公式 a ?

F 只表示加速度与合外力的大小 m

关系.矢量式的含义在于加速度的方向与合外力的方向始终一致. (3)同一性:加速度与合外力及质量的关系,是对同一个物体(或物体系)而言,即 F 与 a 均是对同一个研究对象而言. (4)相对性;牛顿第二定律只适用于惯性参照系 3.牛顿第二定律确立了力和运动的关系 牛顿第二定律明确了物体的受力情况和运动情况之间的定量关系。 联系物体的受力情况 和运动情况的桥梁或纽带就是加速度。
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4.应用牛顿第二定律解题的步骤 ①明确研究对象。可以以某一个物体为对象,也可以以几个物体组成的质点组为对象。 设每个质点的质量为 mi,对应的加速度为 ai,则有:F 合=m1a1+m2a2+m3a3+??+mnan 对这个结论可以这样理解:先分别以质点组中的每个物体为研究对象用牛顿第二定律: ∑F1=m1a1,∑F2=m2a2,??∑Fn=mnan,将以上各式等号左、右分别相加,其中左边所有 力中,凡属于系统内力的,总是成对出现并且大小相等方向相反的,其矢量和必为零,所以 最后得到的是该质点组所受的所有外力之和,即合外力 F。 ②对研究对象进行受力分析。 同时还应该分析研究对象的运动情况 (包括速度、 加速度) , 并把速度、加速度的方向在受力图旁边画出来。 ③若研究对象在不共线的两个力作用下做加速运动, 一般用平行四边形定则 (或三角形 定则)解题;若研究对象在不共线的三个以上的力作用下做加速运动,一般用正交分解法解 题(注意灵活选取坐标轴的方向,既可以分解力,也可以分解加速度)。 ④当研究对象在研究过程的不同阶段受力情况有变化时,那就必须分阶段进行受力分 析,分阶段列方程求解。 例 9:如图,质量 m=4kg 的物体与地面间的动摩擦因数为μ =0.5,在与水平成θ =37°角的 恒力 F 作用下,从静止起向右前进 t1=2.0s 后撤去 F, 又经过 t2=4.0s 物体刚好停下。 求:F 的大小、最大 F θ 速度 vm、总位移 s。 (54.5 20 60 ) 四、超重和失重问题 升降机中人 m =50kg,a=2 m/s 向上或向下,求秤的示数 N 1、 静止或匀速直线 N=mg 视重=重力 平衡 a = 0 2、 向上加速或向下减速,a 向上 N N-mg=ma a ∴N=mg+ma 视重>重力 超重 mg 3、 N 向下加速或向上减速,a 向下 mg-N=ma ∴N=mg-ma 视重<重力 失重 4, 如果 a=g 向下, 则 N=0 台秤无示数 完全失重 注意: ①、物体处于“超重”或“失重”状态,地球作用于物体的重力始终存在,大小也无变化; ②、发生“超重”或“失重”现象与物体速度方向无关,只决定于物体的加速度方向; ③、在完全失重状态,平常一切由重力产生的物理现象完全消失。如单摆停摆、浸在水中的 物体不受浮力等。

五、牛顿定律的适用范围: (1) 只适用于研究惯性系中运动与力的关系,不能用于非惯性系; (2) 只适用于解决宏观物体的低速运动问题,不能用来处理 高速运动问题; (3) 只适用于宏观物体,一般不适用微观粒子。 例 10、如图所示,升降机内质量为 m 的小球用轻弹簧系住,悬在升降
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机内,当升降机以 a=

g 加速度减速上升时,秤系数为( A ) 3

A、2mg/3 B、mg/3 C、4mg/3 D、mg 例 10、如图所示,电梯中有一桶水,水面上漂浮一木块,其质量为 m,静止时木块一部分浸 在水中,当电梯以 a 加速上升时,问木块浸在水中的深度如何变化?(不变) 注意: ①、电梯加速运动时,水也处在超重状态; ②、物体所受浮力是物体上、下表面受到的水的压力差 f=m(g ? a)V 排 ③、

第 2 单元

牛顿运动定律的应用

一、牛顿运动定律在动力学问题中的应用 1.运用牛顿运动定律解决的动力学问题常常可以分为两种类型 (1)已知受力情况,要求物体的运动情况.如物体运动的位移、速度及时间等. (2)已知运动情况,要求物体的受力情况(求力的大小和方向). 但不管哪种类型, 一般总是先根据已知条件求出物体运动的加速度, 然后再由此得出问 题 的 答 案 . 常 用 的 运 动 学 公 式 为 匀 变 速 直 线 运 动 公 式 ,

vt ? v0 ? at, s ? v0 t ?

1 2 2 s v ? vt 2 at , vt ? v0 ? 2as, v ? ? 0 ? v t / 2 等. 2 t 2

2.应用牛顿运动定律解题的一般步骤 (1)认真分析题意,明确已知条件和所求量,搞清所求问题的类型. (2) 选取研究对象.所选取的研究对象可以是一个物体, 也可以是几个物体组成的整体. 同一题目,根据题意和解题需要也可以先后选取不同的研究对象. (3)分析研究对象的受力情况和运动情况. (4)当研究对象所受的外力不在一条直线上时:如果物体只受两个力,可以用平行四 边形定则求其合力;如果物体受力较多,一般把它们正交分解到两个方向上去分别求合力; 如果物体做直线运动,一般把各个力分解到沿运动方向和垂直运动的方向上. (5)根据牛顿第二定律和运动学公式列方程,物体所受外力、加速度、速度等都可根 据规定的正方向按正、负值代入公式,按代数和进行运算. (6)求解方程,检验结果,必要时对结果进行讨论. 3.应用例析 【例 1】 一斜面 AB 长为 10m, 倾角为 30°, 一质量为 2kg 的小物体(大小不计)从斜面顶 2 端 A 点由静止开始下滑, 如图所示 (g 取 10 m/s ) 若斜面与物体间的动摩擦因数为 0.5,求小物 体下滑到斜面底端 B 点时的速度及所用时间. 【例 2】如图所示,一高度为 h=0.8m 粗糙的水平面在 B 点处与一倾角为θ =30°光滑的 斜面 BC 连接,一小滑块从水平面上的 A 点以 v0=3m/s 的速度在粗糙的水平面上向右运动。 运动到 B 点时小滑块恰能沿光滑斜面下滑。已知 AB 间的距离 s=5m,求: (1)小滑块与水平面间的动摩擦 因数; (2)小滑块从 A 点运动到地面所 需的时间;
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解析: (1)依题意得 vB1=0,设小滑块在水平面上运动的加速度大小为 a,则据牛顿第二
2 定律可得 f=μ mg=ma,所以 a=μ g,由运动学公式可得 v0 ? 2?gs 得 ? ? 0.09 ,t1=3.3s

(2)在斜面上运动的时间 t2=

2h ? 0.8s ,t=t1+t2=4.1s g sin 2 ?

【例 3】静止在水平地面上的物体的质量为 2 kg,在水平恒力 F 推动下开始运动,4 s 末它的速度达到 4m/s,此时将 F 撤去,又经 6 s 物体停下来,如果物体与地面的动摩擦因 数不变,求 F 的大小。 解析:物体的整个运动过程分为两段,前 4 s 物体做匀加速运动,后 6 s 物体做匀减速 运动。 前 4 s 内物体的加速度为 a1 ?

v?0 4 ? m / s 2 ? 1m / s 2 t1 4



设摩擦力为 F? ,由牛顿第二定律得 F ? F? ? ma 1 后 6 s 内物体的加速度为 a 2 ?



0?v ?4 2 ? m / s2 ? ? m / s2 t2 6 3



物体所受的摩擦力大小不变,由牛顿第二定律得 由②④可求得水平恒力 F 的大小为

? F? ? ma2



2 F ? m(a 1 ?a 2 ) ? 2 ? (1 ? ) N ? 3.3N 3

二、整体法与隔离法 1.整体法:在研究物理问题时,把所研究的对象作为一个整体来处理的方法称为整体 法。采用整体法时不仅可以把几个物体作为整体,也可以把几个物理过程作为一个整体,采 用整体法可以避免对整体内部进行繁锁的分析,常常使问题解答更简便、明了。 运用整体法解题的基本步骤: ①明确研究的系统或运动的全过程. ②画出系统的受力图和运动全过程的示意图. ③寻找未知量与已知量之间的关系,选择适当的物理规律列方程求解 2.隔离法:把所研究对象从整体中隔离出来进行研究,最终得出结论的方法称为隔离 法。可以把整个物体隔离成几个部分来处理,也可以把整个过程隔离成几个阶段来处理,还 可以对同一个物体, 同一过程中不同物理量的变化进行分别处理。 采用隔离物体法能排除与 研究对象无关的因素,使事物的特征明显地显示出来,从而进行有效的处理。 运用隔离法解题的基本步骤: ①明确研究对象或过程、状态,选择隔离对象.选择原则是:一要包含待求量,二是所 选隔离对象和所列方程数尽可能少. ②将研究对象从系统中隔离出来; 或将研究的某状态、 某过程从运动的全过程中隔离出 来. ③对隔离出的研究对象、过程、状态分析研究,画出某状态下的受力图或某阶段的运动
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过程示意图. ④寻找未知量与已知量之间的关系,选择适当的物理规律列方程求解. 3.整体和局部是相对统一的,相辅相成的。 隔离法与整体法,不是相互对立的,一般问题的求解中,随着研究对象的转化,往往两 种方法交叉运用,相辅相成. 4.应用例析 【例 4】如图所示,A、B 两木块的质量分别为 mA、mB,在水平推力 F 作用下沿光滑水平 面匀加速向右运动,求 A、B 间的弹力 FN。 解析:这里有 a、FN 两个未知数,需要要建立两个方程,要取两次研究对象。比较后可 知分别以 B 、 ( A+B )为对象较为简单(它们在水平方向上都只受到一个力作用) 。可得

FN ?

mB F m A ? mB

点评:这个结论还可以推广到水平面粗糙时(A、B 与水平 面间μ 相同);也可以推广到沿斜面方向推 A、B 向上加速的问题,有趣的是,答案是完全 一样的。 【例 5】如图所示,质量为 M 的木箱放在水平面上,木箱中的立杆上套着一个质量为 m 的小球,开始时小球在杆的顶端,由静止释放后,小球沿 杆下滑的加速度为重力加速度的

1 1 ,即 a= g,则小球在 2 2

下滑的过程中,木箱对地面的压力为多少? 解法一:(隔离法) mg-Ff=ma ① FN -Ff′-Mg=0 ② 且 Ff=Ff′ ③ 由①②③式得 FN=

2M ? m g 2

由牛顿第三定律知,木箱对地面的压力大小为 FN′=FN =

2M ? m g. 2

解法二:(整体法) 对于“一动一静”连接体,也可选取整体为研究对象,依牛顿第二定律列式: (mg+Mg)-FN = ma+M?0

2M ? m g,由牛顿第三定律知: 2 2M ? m 木箱对地面压力 FN′=FN= g. 2
故木箱所受支持力:FN=

第 3 单元

解析典型问题

问题 1:必须弄清牛顿第二定律的矢量性。 牛顿第二定律 F=ma 是矢量式, 加速度的方向与物体所受合外力的方向相同。 在解题时, 可以利用正交分解法进行求解。 例 1、 如图 1 所示, 电梯与水平面夹角为 300,当电梯加速向上运动 y 时, 人对梯面压力是其重力的 6/5, 则人与梯面间的摩擦力是其重力的 FN x Ff 多少倍? x a ay 24 mgx ax 300 图1

分析与解:对人受力分析,他受到重力 mg、支持力 FN 和摩擦力 Ff 作用,如图 1 所示. 取水平向右为 x 轴正向, 竖直向上为 y 轴正向, 此时只需分解加速度, 据牛顿第二定律可得: Ff=macos300, 因为 FN-mg=masin300

Ff FN 6 3 . ? ,解得 ? mg 5 mg 5
于斜 升, 箱的 y ay Gx

另例: 如图所示,在箱内倾角为α 的固定光滑斜面上用平行 面的细线固定一质量为 m 的木块。求:⑴箱以加速度 a 匀加速上 ⑵箱以加速度 a 向左匀加速运动时,线对木块的拉力 F1 和斜面对 压力 F2 各多大? α 解:⑴a 向上时,由于箱受的合外力竖直向上,重 F v 力竖直向下,所以 F1、F2 的合力 F 必然竖直向上。 F2 a 可先求 F, 再由 F1=Fsinα 和 F2=Fcosα 求解, 得到: F1 F1=m(g+a)sinα ,F2=m(g+a)cosα ax av 显然这种方法比正交分解法简单。 G

F2 F1 x

Gy G ⑵a 向左时, 箱受的三个力都不和加速度在一条直 线上,必须用正交分解法。可选择沿斜面方向和 垂直于斜面方向进行正交分解,(同时正交分解 a),然后分别沿 x、y 轴列方程求 F1、F2: F1=m(gsinα -acosα ),F2=m(gcosα +asinα ) 还应该注意到 F1 的表达式 F1=m(gsinα -acosα )显示其有可能得负值,这意味这绳对 木块的力是推力,这是不可能的。这里又有一个临界值的问题:当向左的加速度 a≤gtanα 时 F1=m(gsinα -acosα )沿绳向斜上方;当 a>gtanα 时木块和斜面不再保持相对静止,而是 相对于斜面向上滑动,绳子松弛,拉力为零。 问题 2:必须弄清牛顿第二定律的瞬时性。 牛顿第二定律是表示力的瞬时作用规律, 描述的是力的瞬时作用效果—产生加速度。 物 体在某一时刻加速度的大小和方向, 是由该物体在这一时刻所受到的合外力的大小和方向来 决定的。当物体所受到的合外力发生变化时,它的加速度随即也要发生变化,F=ma 对运动 过程的每一瞬间成立, 加速度与力是同一时刻的对应量, 即同时产生、 同时变化、 同时消失。 例 2、如图 2(a)所示,一质量为 m 的物体系于长度分别为 L1、L2 的两根细线上,L1 的一端悬挂在天花板上,与竖直方向夹角为θ ,L2 水平拉直,物体处于平衡状态。现将 L2 线剪断,求剪断瞬时物体的加速度。 (l)下面是某同学对该题的一种解法: 分析与解:设 L1 线上拉力为 T1,L2 线上拉力为 T2,重力为 L1 θ mg,物体在三力作用下保持平衡,有 L2 T1cosθ =mg, T1sinθ =T2, T2=mgtanθ 剪断线的瞬间, T2 突然消失, 物体即在 T2 反方向获得加速度。 图 2(a) 因为 mg tanθ =ma,所以加速度 a=g tanθ ,方向在 T2 反方向。 你认为这个结果正确吗?请对该解法作出评价并说明理由。 (2)若将图 2(a)中的细线 L1 改为长度相同、质量不计的 L1 轻弹簧,如图 2(b)所示,其他条件不变,求解的步骤和结果与 θ (l)完全相同,即 a=g tanθ ,你认为这个结果正确吗?请 L 2 说明理由。 分析与解:(1)错。因为 L2 被剪断的瞬间,L1 上的张力大 图 2(b) 小发生了变化。剪断瞬时物体的加速度 a=gsinθ .
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(2)对。因为 L2 被剪断的瞬间,弹簧 L1 的长度来不及发生变化,其大小和方向都不变。 问题 3:必须弄清牛顿第二定律的独立性。 当物体受到几个力的作用时, 各力将独立地产生与其对应的加速度 (力的独立作用原 理) ,而物体表现出来的实际加速度是物体所受各力产生加速度叠加的结果。那个方向的 力就产生那个方向的加速度。 m 例 3、如图 3 所示,一个劈形物体 M 放在固定的斜面上,上表 M 面水平,在水平面上放有光滑小球 m,劈形物体从静止开始释放, 则小球在碰到斜面前的运动轨迹是:C A.沿斜面向下的直线 B.抛物线 C.竖直向下的直线 D.无规则的曲线。 图3 问题 4:必须弄清牛顿第二定律的同体性。 加速度和合外力(还有质量)是同属一个物体的, 所以解 题时一定要把研究对象确定好, 把研究对象全过程的受力情 况都搞清楚。 例 4、一人在井下站在吊台上,用如图 4 所示的定滑轮 装置拉绳把吊台和自己提升上来。 图中跨过滑轮的两段绳都 认为是竖直的且不计摩擦。 吊台的质量 m=15kg,人的质量为 图4 M=55kg,起动时吊台向上的加速度是 a=0.2m/s2,求这时人对 吊台的压力。(g=9.8m/s2) 分析与解:选人和吊台组成的系统为研究对象,受力如图 5 所示,F 为绳的拉力,由牛顿第二定律有:2F-(m+M)g=(M+m)a 则拉力大小为: F ? F F

(m+M)g 图5 F FN a Mg 图6

( M ? m)( a ? g ) ? 350 N 2

再选人为研究对象,受力情况如图 6 所示,其中 FN 是吊台对人的支持力。由牛顿第二 定律得:F+FN-Mg=Ma,故 FN=M(a+g)-F=200N. 由牛顿第三定律知,人对吊台的压力与吊台对人的支持力大小相等,方向相反,因此人 对吊台的压力大小为 200N,方向竖直向下。 问题 5:必须弄清面接触物体分离的条件及应用。 相互接触的物体间可能存在弹力相互作用。 对于面接触的物体, 在接触面间弹力变为零 时,它们将要分离。 例 5、一根劲度系数为 k,质量不计的轻弹簧,上端固定,下端系一质量为 m 的物体,有一水平 板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。如图 7 所示。现让木板由静止开始以加速度 a(a<g =匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。 分析与解:设物体与平板一起向下运动的距离为 x 时,物体受重力 mg, 弹簧的弹力 F=kx 和平板的支持力 N 作用。据牛顿第二定律有: mg-kx-N=ma 得 N=mg-kx-ma 当 N=0 时,物体与平板分离,所以此时 x ?

m( g ? a ) k
图7

因为 x ?

1 2 at ,所以 t ? 2

2 m( g ? a ) 。 ka

F

例 6、一弹簧秤的秤盘质量 m1=1.5kg,盘内放一质量为 m2=10.5kg 的
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图9

物体 P,弹簧质量不计,其劲度系数为 k=800N/m,系统处于静止状态,如图 9 所示。现给 P 施加一个竖直向上的力 F,使 P 从静止开始向上做匀加速直线运动,已知在最初 0.2s 内 F 是变化的,在 0.2s 后是恒定的,求 F 的最大值和最小值各是多少?(g=10m/s2) 分析与解:因为在 t=0.2s 内 F 是变力,在 t=0.2s 以后 F 是恒力,所以在 t=0.2s 时,P 离 开秤盘。此时 P 受到盘的支持力为零,由于盘的质量 m1=1.5kg,所以此时弹簧不能处于原 长,这与例 2 轻盘不同。设在 0_____0.2s 这段时间内 P 向上运动的距离为 x,对物体 P 据牛顿 第二定律可得: F+N-m2g=m2a 对于盘和物体 P 整体应用牛顿第二定律可得:

? (m ? m2 ) g ? F ? k? 1 ? x? ? (m1 ? m2 ) g ? (m1 ? m2 )a k ? ?
令 N=0,并由述二式求得 x ?

m2 g ? m1 a 1 2 ,而 x ? at ,所以求得 a=6m/s2. 2 k

当 P 开始运动时拉力最小,此时对盘和物体 P 整体有 Fmin=(m1+m2)a=72N. 当 P 与盘分离时拉力 F 最大,Fmax=m2(a+g)=168N. 问题 6:必须会分析临界问题。 例 7、如图 10,在光滑水平面上放着紧靠在一起的AB 两物体,B的质量是A的 2 倍,B受到向右的恒力FB=2N, 图 10 A受到的水平力FA=(9-2t)N, (t 的单位是 s)。 从 t=0 开始计 时,则: A.A物体 3s 末时的加速度是初始时的 5/11 倍; B.t>4s 后,B物体做匀加速直线运动; C.t=4.5s 时,A物体的速度为零; D.t>4.5s 后,AB的加速度方向相反。 分析与解:对于 A、B 整体据牛顿第二定律有:FA+FB=(mA+mB)a,设 A、B 间的作用为 N,则对 B 据牛顿第二定律可得: N+FB=mBa 解得 N ? mB

FA ? FB 16 ? 4t ? FB ? N m A ? mB 3

当 t=4s 时 N=0,A、B 两物体开始分离,此后 B 做匀加速直线运动,而 A 做加速度逐 渐减小的加速运动,当 t=4.5s 时 A 物体的加速度为零而速度不为零。t>4.5s 后,A所受合外 力反向,即 A、B 的加速度方向相反。当 t<4s 时,A、B 的加速度均为 a ?

FA ? FB 。 m A ? mB

综上所述,选项 A、B、D 正确。 例 8、如图 11 所示,细线的一端固定于倾角为 450 的光滑楔形滑块 A 的顶端 P 处,细线 的另一端拴一质量为 m 的小球。当滑块至少以加速度 a= P 向左运动时,小球对滑块的压力等于零,当滑块以 a=2g 的加 速度向左运动时,线中拉力 T= 。 分析与解:当滑块具有向左的加速度 a 时,小球受重力 a A mg、绳的拉力 T 和斜面的支持力 N 作用,如图 12 所示。 450 T N 在水平方向有 Tcos450-Ncos450=ma; 在竖直方向有 0 11 图 45 a
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mg 图 12

Tsin450-Nsin450-mg=0. 由上述两式可解出: N ?

m( g ? a ) m( g ? a ) ,T ? 0 2 sin 45 2 cos 45 0

由此两式可看出,当加速度 a 增大时,球受支持力 N 减小,绳拉力 T 增加。当 a=g 时 , N=0 , 此 时 小 球 虽 与 斜 面 有 接 触 但 无 压 力 , 处 于 临 界 状 态 。 这 时 绳 的 拉 力 T=mg/cos450= 2mg . 当滑块加速度 a>g 时, 则小球将 “飘” 离斜面, 只受两力作用, 0 如图 13 所示,此时细线与水平方向间的夹角α <45 .由牛顿第二定
2 2 律得:Tcosα =ma,Tsinα =mg,解得 T ? m a ? g ?

T α a

5mg 。

mg 问题 7:必须会用整体法和隔离法解题。 图 13 在应用牛顿第二定律解题时, 有时为了方便, 可以取一组物体 (一组质点)为研究对象。这一组物体一般具有相同的速度和加速度,但也可以有不同的速 度和加速度。以质点组为研究对象的好处是可以不考虑组内各物体间的相互作用. 例 9、用质量为 m、长度为 L 的绳沿着光滑水平面拉动质量为 M 的物体,在绳的一端所 施加的水平拉力为 F, 如图 14 所示,求: M (1)物体与绳的加速度; F m (2)绳中各处张力的大小(假定绳的质量分布均匀,下 垂度可忽略不计。) 分析与解:(1)以物体和绳整体为研究对象,根据 图 14 牛顿第二定律可得:F=(M+m)a,解得 a=F/(M+m). M mx Fx (2)以物体和靠近物体 x 长的绳为研究对象,如图 15 所 示 。 根 据 牛 顿 第 二 定 律 可 得 : Fx=(M+mx/L)a=(M+

m F x) . L M ?m

图 15

由此式可以看出:绳中各处张力的大小是不同的,当 x=0 时,绳施于物体 M 的力的大 小为

M F。 M ?m

例 10、如图 16 所示,AB 为一光滑水平横杆,杆上套 A B θ 一轻环,环上系一长为 L 质量不计的细绳,绳的另一端拴 L m 一质量为 m 的小球,现将绳拉直,且与 AB 平行,由静止 释放小球,则当细绳与 AB 成θ 角时,小球速度的水平分 图 16 量和竖直分量的大小各是多少?轻环移动距离 d 是多少? 分析与解:本题是“轻环”模型问题。由于轻环是套在光滑水平横杆上的,在小球下落 过程中,由于轻环可以无摩擦地向右移动,故小球在落到最低点之前,绳子对小球始终没有 力的作用,小球在下落过程中只受到重力作用。因此,小球的运动轨迹是竖直向下的,这样 当绳子与横杆成θ 角时,小球的水平分速度为 Vx=0,小球的竖直分速度 V y ? 可求得轻环移动的距离是 d=L-Lcosθ . 例 11. 如图所示,mA=1kg,mB=2kg,A、B 间静摩擦力的最大值是 5N,水平面光滑。用水平力 F 拉 B,当拉力大小分别是 F=10N 和 F=20N 时,A、B 的加速度各多大?

2 gLsin ? 。

A B

F
28

解:先确定临界值,即刚好使 A、B 发生相对滑动的 F 值。当 A、B 间的静摩擦力达到 5N 时, 既可以认为它们仍然保持相对静止, 有共同的加速度, 又可以认为它们间已经发生了相对滑 2 动,A 在滑动摩擦力作用下加速运动。这时以 A 为对象得到 a =5m/s ;再以 A、B 系统为对 象得到 F =(mA+mB)a =15N ⑴当 F=10N<15N 时, A、B 一定仍相对静止,所以 a A ? a B ?

F ? 3.3m/s2 mA ? mB

⑵当 F=20N>15N 时, A 、 B 间一定发生了相对滑动,用质点组牛顿第二定律列方程:

F ? mA aA ? mB aB ,而 a

A

=5m/s ,于是可以得到 a

2

B

=7.5m/s

2

问题 8:必须会分析与斜面体有关的问题。(系统牛顿第二定律) 例 12. 如图,倾角为α 的斜面与水平面间、斜面与质量为 m 的木块间的动摩擦因数均为μ , 木块由静止开始沿斜面加速下滑时斜面始终保持静止。求水平面给斜面的摩擦力大小和方 向。 解:以斜面和木块整体为研究对象,水平方向仅受静摩擦力作 用,整体法: Ff ? mg(sin? ? ? cos? ) cos? α

FN=Mg+mg(cosα +μ sinα )sinα
例 13、(难)如图 17 所示,水平粗糙的地面上放置一质量为 M、倾角为θ 的斜面体, 斜面体表面也是粗糙的有一质量为 m 的小滑块以初速度 V0 由斜面底端滑上斜面上经过时间 t 到达某处速度为零,在小滑块上滑过程中斜面体保持不动。求此过程中水平地面对斜面体 的摩擦力与支持力各为多大? y 分析与解:取小滑块与斜面体组成的系统为研究对象,系统受到 V0 m 的外力有重力(m+M)g/地面对系统的支持力 N、静摩擦力 f(向下)。 建 M θ x 立如图 17 所示的坐标系,对系统在水平方向与竖直方向分别应用牛 顿第二定律得: 图 17 -f=0-mV0cosθ /t, [N-(m+M)g]=0-mV0sinθ /t 所以 f ?

m V0 cos? m V0 sin ? ,方向向左; N ? (m ? M ) g ? 。 t t

问题 9:必须会分析传送带有关的问题。 例 14、 如图 18 所示, 某工厂用水平传送带传送零件, 设两轮子圆心的距离为 S,传送带与零件间的动摩擦因数 为μ ,传送带的速度恒为 V,在 P 点轻放一质量为 m 的零 件,并使被传送到右边的 Q 处。设零件运动的后一段与传 送带之间无滑动,则传送所需时间为 ,摩擦力对零件做功为 . 分析与解: 由于 f=μ mg=ma,所以 a=μ g. 加速时 t1 ?

P V S 图 18

Q

V V ? a ?g

加速位移 S1 ?

1 2 1V2 at1 ? 2 2 ?g

29

通过余下距离所用时间

t2 ?

S ? S1 S V ? ? V V 2?g
摩擦力对零件做功


共用时间

t ? t1 ? t 2 ?

S V ? V 2?g

W ?

1 mV 2 2

例 15、(难)如图 19 所示,传送带与地面的倾角θ =37 ,从 A 到 B 的长度为 16m,传送 带以 V0=10m/s 的速度逆时针转动。在传送带上端无初速的放一个质量为 0.5 ㎏的物体,它 o 与传送带之间的动摩擦因数 μ =0.5 ,求物体从 A 运动到 B 所需的时间是多少? (sin37 o =0.6,cos37 =0.8) A N a1 分析与解:物 N 体放在传送带上 f2 后,开始阶段,传 B a2 送带的速度大于物 f1 体的速度,传送带 (a) (b) ω 图 19 mg mg 图 20 给物体一沿斜面向 下的滑动摩擦力, 物体由静止开始加速下滑,受力分析如图 20(a)所示;当物体加速至与传送带速度相等时, 由于μ <tanθ ,物体在重力作用下将继续加速,此后物体的速度大于传送带的速度,传送 带给物体沿传送带向上的滑动摩擦力,但合力沿传送带向下,物体继续加速下滑,受力分析 如图 20(b)所示。综上可知,滑动摩擦力的方向在获得共同速度的瞬间发生了“突变” 。 开始阶段由牛顿第二定律得:mgsinθ +μ mgcosθ =ma1; 2 所以:a1=gsinθ +?gcosθ =10m/s ; 物体加速至与传送带速度相等时需要的时间t1=v/a1=1s;发生的位移: 2 s=a1t1 /2=5m<16m;物体加速到 10m/s 时仍未到达 B 点。 2 第二阶段,有:mgsinθ -?mgcosθ =ma2 ;所以:a2=2m/s ;设第二阶段物体滑 2 / 动到 B 的时间为 t2 则:LAB-S=vt2+a2t2 /2 ;解得:t2=1s , t2 =-11s (舍去) 。 故物体经历的总时间t=t1+t 2 =2s .

第四章

机械能

30

第 1 单元

功和功率

一、功 1.功:力对空间积累效应,和位移相对应(也和时间相对应)。功等于力和沿该力方向上的 位移的乘积。求功必须指明是“哪个力”“在哪个过程中”做的 2、功的正负 0 ①0≦θ ≦90 时, W>0 正功 利于物体运动,动力 0 ②、 θ =90 时, W=0 零功 不做功 0 0 ③、 90 ≦θ ≦180 时 W<0 负功 阻碍物体运动,阻力 【例 1】质量为 m 的物体,受水平力 F 的作用,在粗糙的水平面上运动,下列说法中正确的 是(A、C、D ) [注意功是怎样改变能量的] A.如果物体做加速直线运动,F 一定做正功 B.如果物体做减速直线运动,F 一定做负功 C.如果物体做减速直线运动,F 可能做正功 D.如果物体做匀速直线运动,F 一定做正功 3、功是标量 符合代数相加法则, 功的正负不具有方向意义, 只能反映出该力是有利于物体运动, 还是阻碍物体运动,是动力还是阻力。 4、合力功的计算 ①w 合 = F 合?S COSθ ②w 合 = 各个力的功的代数和 ③用动能定理 W =Δ Ek 或功能关系 5、变力做功的计算 ①动能定理 ②用平均值代替公式中的 F。如果力随位移是均匀变化的,则平均值 F =

F1 ? F2 2

③F~S 图象中面积=功 ④W = Pt 【例 2】用力将重物竖直提起,先是从静止开始匀加速上升,紧接着匀速上升。如果前后两 过程的运动时间相同,不计空气阻力,则( D ) A.加速过程中拉力做的功比匀速过程中拉力做的功大 B.匀速过程中拉力做的功比加速过程中拉力做的功大 C.两过程中拉力做的功一样大 D.上述三种情况都有可能

1 1 W1 ? F1 ? s1 ? m( g ? a) ? at 2 ? m( g ? a ) at 2 2 2 解析:



W2 ? F2 s2 ? mgat2



比较①、②知:当 a>g 时, W1 ? W2 ;当 a=g 时, W1 ? W2 ;当 a<g 时, W1 ? W2 6.一对作用力和反作用力做功的特点
31

(1)一对作用力和反作用力在同一段时间内,可以都做正功、或者都做负功,或者一 个做正功、一个做负功,或者都不做功。 (2)一对作用力和反作用力在同一段时间内做总功可能为正、可能为负、可能为零。 (3)一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零(静摩擦力)、可能为负(滑动 摩擦力),但不可能为正。 拓展:作用力和反作用力在同一段时间内的冲量一定大小相等,方向相反,矢量和为零。 7.功的物理含义 关于功不仅要从定义式 W=Fs cos α 进行理解和计算, 还应理解它的物理含义. 功 是能量转化的量度,即:做功的过程是能量的一个转化过程,这个过程做了多少功,就有多 少能量发生了转化.对物体做正功,物体的能量增加.做了多少正功,物体的能量就增加了 多少;对物体做负功,也称物体克服阻力做功,物体的能量减少,做了多少负功,物体的能 量就减少多少. 因此功的正、 负表示能的转化情况, 表示物体是输入了能量还是输出了能量. 8、区别保守力和非保守力做功的不同:与路径有无关系 二、功率 ——功率是描述做功快慢的物理量。 ⑴功率的定义式: P ?
W ,所求出的功率是时间 t 内的平均功率。 t

⑵功率的计算式:P=Fvcosθ ,其中θ 是力与速度间的夹角。该公式有两种用法:①求 某一时刻的瞬时功率。这时 F 是该时刻的作用力大小,v 取瞬时值,对应的 P 为 F 在该时刻 的瞬时功率;②当 v 为某段位移(时间)内的平均速度时,则要求这段位移(时间)内 F 必须为恒力,对应的 P 为 F 在该段时间内的平均功率。P 的正负取决于 cosθ 的正负,即功 的正负 【例 3】 质量为 0.5kg 的物体从高处自由下落,在下落的前 2s 内重力对物体做的功是 多少?这 2s 内重力对物体做功的平均功率是多少?2s 末,重力对物体做功的即时功率是多 少?(g 取 10m / s )
2

1 2 1 gt ? ? 10 ? 2 2 ? 20 m, WG ? mgh ? 0.5 ?10? 20 ? 100J , 2 2 W v ? gt ? 10? 2m / s ? 20m / s , ? 50 W, 平均功率 P ? 2s 末速度 t t
解析:前 2s, h ? 2s 末即时功率 P ? mgv t ? 100W。 ⑶重力的功率可表示为 PG=mgvy, 即重力的瞬时功率等于重力和物体在该时刻的竖直 分速度之积。 ⑷汽车的两种加速问题。 当汽车从静止开始沿水平面加速运动时, 有两种不同的加速过 程,但分析时采用的基本公式都是 P=Fv 和 F-f = ma v ①恒定功率的加速。由公式 P=Fv 和 F-f=ma 知,由于 a P 恒定,随着 v 的增大,F 必将减小,a 也必将减小,汽车 f F 做加速度不断减小的加速运动,直到 F=f,a=0,这时 v 达 到最大值 v m ? Pm ? Pm 。可见恒定功率的加速一定不是匀 F f 加速。这种加速过程发动机做的功只能用 W=Pt 计算,不能用 W=Fs 计算(因为 F 为变力)。 ②恒定牵引力的加速。由公式 P=Fv 和 F-f=ma 知,由于 F 恒定,所以 a 恒定,汽车做匀 加速运动,而随着 v 的增大,P 也将不断增大,直到 P 达到额定功率 Pm,功率不能再增大了。
32

P P 这时匀加速运动结束,其最大速度为 v m ? ? m ? m ? v m ,此后汽车要想继续加速就只能 F f

做恒定功率的变加速运动了。 可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。 这种加速过程发动 机做的功只能用 W=F?s 计算,不能用 W=P?t 计算(因为 P 为变功率)。 要注意两种加速运动过程的最大速度的区别。 【例 4】质量为 m、额定功率为 P 的汽车在平直公路上行驶。若汽车行驶时所受阻力大小不 变,并以额定功率行驶,汽车最大速度为 v1,当汽车以速率 v2(v2<v1)行驶时,它的加速度 是多少? 解析:F-f=ma 其中 f ?

P P , F ? v1 v2



a?

P(v1 ? v2 ) P 1 1 ( ? )? m v1 v2 m v1v2

【例 5】 质量是 2000kg、 额定功率为 80kW 的汽车, 在平直公路上行驶中的最大速度为 20m/s。 2 若汽车从静止开始做匀加速直线运动,加速度大小为 2m/s ,运动中的阻力不变。求:①汽 车所受阻力的大小。②汽车做匀加速运动的时间。③3s 末汽车的瞬时功率。④汽车在匀加 速运动中牵引力所做的功。 解析:①所求的是运动中的阻力,若不注意“运动中的阻力不变”,则阻力不易求出。 以最大速度行驶时,根据 P =Fv,可求得 F =4000N。而此时牵引力和阻力大小相等。 ②设匀加速运动的时间为 t,则 t 时刻的速度为 v =a t =2t,这时汽车的功率为额定功 率。由 P =Fv,将 F =8000N 和 v =2 t 代入得 t =5s。 ③由于 3s 时的速度 v =at =6m/s,而牵引力由 F—Ff =m a 得 F = 8000N,故此时的功率 4 为 P = Fv = 4.8?10 W。 ④虽然功率在不断变化,但功率却与速度成正比,故平均功率为额定功率的一半,从而 5 得牵引力的功为 W = Pt = 40000?5J=2?10 J. 三、针对训练 1.一质量为 m 的木块静止在光滑的水平面上,从 t=0 开始,将一个大小为 F 的水平恒力作 用在该木块上,在 t=T 时刻 F 的功率是( B ) A.

F 2T 2 m

B.

F 2T m

C.

F 2T 2m

D.

F 2T 2 2m

2.火车从车站开出作匀加速运动,若阻力与速率成正比,则(ACD ) A.火车发动机的功率一定越来越大,牵引力也越来越大 B.火车发动机的功率恒定不变,牵引力也越来越小 C.当火车达到某一速率时,若要保持此速率作匀速运动,发动机的功率这时应减小 D.当火车达到某一速率时,若要保持此速率作匀速运动,则发动机的功率一定跟此时 速率的平方成正比 解析:A、C、D 根据 P=Fv,F-f=ma,f=kv,∴ P ? (kv ? ma)v ? kv ? mav。这表明,
2

在题设条件下,火车发动机的功率和牵引力都随速率 v 的增大而增大,∴A 正确。当火车达 到某一速率时,欲使火车作匀速运动,则 a=0,∴此时 P ? kv ,减小 mav,∴C、D 对。
2

3.同一恒力按同样方式施于物体上,使它分别沿着粗糙水平地面和光滑水平抛面移动相同 一段距离时,恒力的功和平均功率分别为 W1 、 P 1 和 W2 、 P 2 ,则二者的关系(B )

33

A. W1 ? W2 、 P 1 ? P 2 C. W1 ? W2 、 P 1 ? P 2

B. W1 ? W2 、 P 1 ? P 2 D. W1 ? W2 、 P 1 ? P 2 2kg 动,

4.如图甲所示,滑轮质量、摩擦均不计,质量为 的物体在 F 作用下由静止开始向上做匀加速运 其速度随时间的变化关系如图乙所示,由此可知 ( C ) 2 A.物体加速度大小为 2 m/s B.F 的大小为 21N C.4s 末 F 的功率大小为 42W D.4s 内 F 做功的平均功率为 42W

5.物体静止在光滑水平面上,先对物体施一水平向右的恒力 F1,经时间 t 后撤去 F1,立即 再对它施加一水平向左的恒力 F2,又经时间 t 后物体回到原出发点,在这一过程中,F1、F2 分别对物体做的功 W1、W2 之比为多少? 解:经 t 时间的位移 s ?

1 2 1 2 a1t ? F1t / m ① 2 2

此时速度 v ? a1t ? F1t / m ,之后受恒力 F2 向左,与 v 方向相反,则物体做匀减速直线 运动:F2=ma2,加速度 a2=F2/m,经 t 时间又回到原出发点,此过程位移为 s,方向向左, 则力 F2 做正功。因位移与 v 的方向相反,则有 ? s ? vt ? 即 s?

1 a2t 2 2

1 1 F2 2 F1t a 2 t 2 ? vt ? t ? t ② 2 2 m m

②与①式联立可得 F2 ? 3F1 , 则力 F2 做的功 W2 ? 3W1 。 所以

W1 1 ? W2 3

6. 如图所示, 在光滑的水平面上, 物块在恒力 F=100N 作用下从 A 点运动到 B 点, 不计滑轮的大小, 不计绳、 滑轮间摩擦,H=2.4m,α =37°,β =53°,求拉力 F 所做的功 解: W ? Fs ? F (

H H ? ) ? 100 J sin ? sin ?

第 2 单元
一、动能

动能 势能

动能定理

34

1.动能:物体由于运动而具有的能,叫动能。其表达式为: E k ?

1 mv 2 。 2

2.对动能的理解 (1)动能是一个状态量,它与物体的运动状态对应.动能是标量.它只有大小,没有 方向,而且物体的动能总是大于等于零,不会出现负值. (2)动能是相对的,它与参照物的选取密切相关.如行驶中的汽车上的物品,对汽车 上的乘客,物品动能是零;但对路边的行人,物品的动能就不为零。 3.动能与动量的比较 (1)动能和动量都是由质量和速度共同决定的物理量,

Ek ?

1 p2 mv 2 = 2 2m



p ? 2m Ek

(2)动能是标量,动量是矢量。物体的动能变化,则其动量一定变化;物体的动量变 化,则其动量不一定变化。 (4)动能决定了物体克服一定的阻力能运动多么远;动量则决定着物体克服一定的阻 力能运动多长时间。 动能的变化决定于合外力对物体做多少功, 动量的变化决定于合外力对 物体施加的冲量。 二、势能(位能) 1、重力势能(Ep) ?举高。物体由于受到重力的作用,而具有的与其相对位置有关的能量 叫做重力势能。 Ep=m g h (h 是重心相对于零势能面的高度) (1)、相对性 ①“零高度”或“零势能面”,(大地或最低点) ②势能的正负和大小是相对于零势能面的 ③势能的正负和大小于零势能面的选取有关 (2)重力势能变化量的绝对性—— ①跟物体的初位置的高度和末位置的高度有 关,跟物体运动的路径无关。 ②重力势能改变量与零势能面的选取无关 ③重力势能的改变量与路径无关 (3)重力势能的改变——重力做正功,重力势能减 小,重力做负功,重力势能增大(等 值变化) 2、弹性势能(Ep) ?弹性形变 发生形变的物体,在恢复原状时能够对外做功,因而具有能量,叫弹性势能,跟物体 形变和材料有关。 三、动能定理 1. 动能定理的推导 物体只在一个恒力作用下,做直线运动 w=FS=m a ?

V22 ? V12 2a



w=

1 2 1 2 mv 2 ? mv1 2 2
w? 1 1 2 mv 2 ? mv 12 2 2
合力做正功动能增

推广: 物体在多个力的作用下、物体在做曲线运动、物体在变力的作用下 结论: 合力所做的功等于动能的增量

加,合力做负功动能减小 注:动能定理表达式是一个标量式,不能在某一个方向上应用动能定理。 【例 1】 一个质量为 m 的物体静止放在光滑水平面上,在互成 60°角的大小相等的两 个水平恒力作用下,经过一段时间,物体获得的速度为 v,在力的方向上获得的速度分别为 v1、v2,那么在这段时间内,其中一个力做的功为 A.

1 2 mv 6

B.

1 2 mv 4

C. mv

1 3

2

D.

1 2 mv 2

错解:在分力 F1 的方向上,由动动能定理得
35

W1 ?

1 1 v 1 2 mv1 ? m( ) 2 ? mv 2 ,故 A 正确。 2 2 2 cos 30? 6
1 2 mv ,某个分力的功为 2

正解:在合力 F 的方向上,由动动能定理得, W ? Fs ?

W1 ? F1 s cos 30? ?

F 1 1 s cos 30? ? Fs ? mv 2 ,故 B 正确。 2 cos 30? 2 4

2.对外力做功与动能变化关系的理解: 外力对物体做正功,物体的动能增加,这一外力有助于物体的运动,是动力;外力对物 体做负功,物体的动能减少,这一外力是阻碍物体的运动,是阻力,外力对物体做负功往往 又称物体克服阻力做功. 功是能量转化的量度,外力对物体做了多少功;就有多少动能与 其 它形 式的能 发生 了转化 .所 以外力 对物体 所做 的功 就等于 物体动 能的 变化 量.即 . 3.应用动能定理解题的步骤 (1)确定研究对象和研究过程。和动量定理不同,动能定理的研究对象只能是单个物 体,如果是系统,那么系统内的物体间不能有相对运动。(原因是:系统内所有内力的总冲 量一定是零,而系统内所有内力做的总功不一定是零)。 (2)对研究对象受力分析。(研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析,含重力)。 (3)写出该过程中合外力做的功,或分别写出各个力做的功(注意功的正负) (4)写出物体的初、末动能。按照动能定理列式求解。 【例 2】 将小球以初速度 v0 竖直上抛,在不计空气阻力的理想状况下,小球将上升到 某一最大高度。由于有空气阻力,小球实际上升的最大高度只有该理想高度的 80%。设空 气阻力大小恒定,求小球落回抛出点时的速度大小 v。 解:有空气阻力和无空气阻力两种情况下分别在上升过程对小球用动能定理:

mgH ?

1 1 1 2 2 mv 0 和 0.8?mg ? f ?H ? mv 0 ,可得 H=v02/2g, f ? mg 4 2 2
1 1 2 mv 0 ? mv 2 ,解得 v ? 2 2

再以小球为对象,在有空气阻力的情况下对上升和下落的全过程用动能定理。全过程 重力做的功为零,所以有: f ? 2 ? 0.8 H ?

3 v0 5

【例 3】如图所示,质量为 m 的钢珠从高出地面 h 处由静止自由下落,落到地面进入沙坑 h/10 停止,则 (1)钢珠在沙坑中受到的平均阻力是重力的多少倍? (2)若让钢珠进入沙坑 h/8,则钢珠在 h 处的动能应为多少?设钢珠在沙坑中所受平均 阻力大小不随深度改变。 解析:(1)取钢珠为研究对象,对它的整个运动过程, 由动 能定理得 W=WF+WG=△EK =0。取钢珠停止处所在水平面为重 力势 能的零参考平面, 则重力的功 WG= 代入得

11 1 mgh, 阻力的功 WF= ? 10 10

F f h,

11 1 mgh ? Ff h=0, 故有 Ff /mg=11。 即所求倍数为 11。 10 10

(2)设钢珠在 h 处的动能为 EK,则对钢珠的整个运动过 程, 由动能定理得 W=WF+WG=△EK =0,进一步展开为 9mgh/8—Ff h/8= —EK,得 EK=mgh/4。 【例 4】 质量为 M 的木块放在水平台面上,台面比水平地面高出 h=0.20m,木块离台的右 端 L=1.7m。质量为 m=0.10M 的子弹以 v0=180m/s 的速 度水平射向木块,并以 v=90m/s 的速度水平射出,木块 落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为
36

s=1.6m,求木块与台面间的动摩擦因数为μ 。 解:本题的物理过程可以分为三个阶段,在其中两个阶段中有机械能损失:子弹射穿木 块阶段和木块在台面上滑行阶段。所以本题必须分三个阶段列方程: 子弹射穿木块阶段,对系统用动量守恒,设木块末速度为 v1,mv0= mv+Mv1??① 木块在台面上滑行阶段对木块用动能定理,设木块离开台面时的速度为 v2, 有: ?MgL ?

1 1 2 Mv12 ? Mv 2 ??② 2 2

木块离开台面后平抛阶段, s ? v 2

2h g ?③ , 由①、②、③可得μ =0.50

四、动能定理的综合应用 1.应用动能定理巧求变力的功 如果我们所研究的问题中有多个力做功,其中只有一个力是变力,其余的都是恒力,而 且这些恒力所做的功比较容易计算, 研究对象本身的动能增量也比较容易计算时, 用动能定 理就可以求出这个变力所做的功。 【例 5】一辆车通过一根跨过定滑轮的 绳 PQ 提升井中质量为 m 的物体, 如图所示. 绳 的 P 端拴在车后的挂钩上,Q 端拴在物体上.设 绳的 总长不变, 绳的质量、 定滑轮的质量和尺寸、 滑轮 上的摩擦都忽略不计.开始时,车在 A 点, 左右 两侧绳都已绷紧并且是竖直的,左侧绳长为 H.提升时,车加速向左运动,沿水平方向 从 A 经过 B 驶向 C.设 A 到 B 的距离也为 H,车 过 B 点时的速度为 vB.求在车由 A 移到 B 的过 程 中,绳 Q 端的拉力对物体做的功. 解析:设绳的 P 端到达 B 处时,左边绳与水平地面所成夹角为 θ,物体从井底上升的高 度为 h,速度为 v,所求的功为 W,则据动能定理可得:

W ? mgh ?

1 mv 2 2

因绳总长不变,所以: h ?

H ?H sin ?

根据绳联物体的速度关系得:v=vBcosθ 由以上四式求得: W ?

由几何关系得: ? ?

?
4

1 2 mv B ? mg ( 2 ? 1) H 4

2.应用动能定理简解多过程问题。 物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的过程(如加速、减速的过程),此 时可以分段考虑,也可以对全过程考虑。 【例 7】 如图所示,斜面足够长,其倾角为 α,质量为 m 的滑块,距挡板 P 为 s0,以 初速度 v0 沿斜面上滑, 滑块与斜面间的动摩擦因数为 μ, 滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方 向的重力分力,若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失,求 滑块在斜面上经过的总路程为多少? 解析:滑块在滑动过程中,要克服摩擦力做功,其机械 能不断减少;又因为滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的 重力分力,所以最终会停在斜面底端。 在整个过程中,受重力、摩擦力和斜面支持力作用,其 中支持力不做功。设其经过和总路程为 L,对全过程,由动 能定理得:

mgS 0 sin ? ? ?mgL cos ? ? 0 ?

2 mgS0 sin ? ? 1 1 2 0 2 mv mv 0 得L ? 2 ?mg cos?

37

3.利用动能定理巧求动摩擦因数 【例 8】 如图所示,小滑块从斜面顶点 A 由静止滑至水平部分 C 点而停止。已知斜面 高为 h,滑块运动的整个水平距离为 s,设转角 B 处无动能损失,斜面和水平部分与小滑块 的动摩擦因数相同,求此动摩擦因数。 解析:滑块从 A 点滑到 C 点,只有重力和摩擦力做功,设滑块质量为 m,动摩擦因数 为 ? ,斜面倾角为 ? ,斜面底边长 s1,水平部分长 s2,由动能定理得:

m gh? ?m g cos? ?

s1 ? ?m gs2 ? 0 s1 ? s 2 ? s cos?

由以上两式得 ? ?

h s

从计算结果可以看出,只要测出斜面高和水平部分长度,即可计算出动摩擦因数。 4.利用动能定理巧求机车脱钩问题 【例 9】总质量为 M 的列车,沿水平直线轨道匀速前进,其末节车厢质量为 m,中途 脱节,司机发觉时,机车已行驶 L 的距离,于是立即关闭油门,除去牵引力。设运动的阻 力与质量成正比,机车的牵引力是恒定的。当列车的两部分都停止时,它们的距离是多少? 解:对车头,脱钩后的全过程用动能定 理得:

1 2 FL ? k ( M ? m) gs1 ? ? ( M ? m)v0 2
对车尾,脱钩后用动能定理得:

1 2 ? kmgs 2 ? ? mv 0 2 而 ?s ? s1 ? s2 ,由于原来列车匀速,所 ML 以 F=kMg,以上方程解得 ?s ? 。 M ?m
五、针对训练 1. 质量为 m 的物体, 在距地面 h 高处以 g/3 的加速度由静止竖直下落到地面.下列说法 中正确的是 B A.物体的重力势能减少 C.物体的机械能减少

1 mgh 3

B.物体的动能增加 D.重力做功

1 mgh 3

1 mgh 3

1 mgh 3

2.质量为 m 的小球用长度为 L 的轻绳系住,在竖直平面内做圆周运动,运动过程中小 球受空气阻力作用.已知小球经过最低点时轻绳受的拉力为 7mg,经过半周小球恰好能通过 最高点,则此过程中小球克服空气阻力做的功为 C A.mgL/4 B.mgL/3 C.mgL/2 D.mgL 3.如图所示,木板长为 l,板的 A 端放一质量为 m 的 小物 块,物块与板间的动摩擦因数为μ 。开始时板水平,在绕 O 点 缓慢转过一个小角度θ 的过程中,若物块始终保持与板相 对静 止。对于这个过程中各力做功的情况,下列说法正确的是 ( C ) A、摩擦力对物块所做的功为 mglsinθ (1-cosθ ) B、弹力对物块所做的功为 mglsinθ cosθ C、木板对物块所做的功为 mglsinθ D、合力对物块所做的功为 mgl cosθ 4.质量为 m 的飞机以水平速度 v0 飞离跑道后逐渐上升,若飞机在此过程中水平速度保持不 变,同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供,不含重力),今测得 当飞机在水平方向的位移为 l 时,它的上升高度为 h,求:(1)飞机受到的升力大小;?(2)从
38

起飞到上升至 h 高度的过程中升力所做的功及在高度 h 处飞机的动能. 解析: (1)飞机水平速度不变

1 2 2h at 即得 a= 2 2 l 2h 由牛顿第二定律 F=mg+ma=mg(1+ 2 v02) gl 2h (2)升力做功 W=Fh=mgh(1+ 2 v02) gl 2hv0 在 h 处 vt=at= 2ah ? l 1 1 4h 2 2 2 2 Ek= m(v0 +vt ) = mv0 (1+ 2 ) 2 2 l
l=v0t y 方向加速度恒定 h= 5.如图所示,质量 m=0.5kg 的小球从距地面高 H=5m 处自由下落,到达地面恰能沿凹陷于 地面的半圆形槽壁运动,半圆槽半径 R=0.4m。小球到达槽最低点时速率为 10m/s,并继续 沿槽壁运动直到从槽右端边缘飞出??,如此反复几次,设摩擦 力恒 定不变,求:(设小球与槽壁相碰时不损失能量) (1)小球第一次离槽上升的高度 h; (2)小球最多能飞出槽外的次数(取 g=10m/s2)。 解析:(1)小球落至槽底部的整个过程中,由动能定理得

1 2 1 mv 得 W f ? mg ( H ? R) ? mv 2 ? 2 J 2 2 由对称性知小球从槽底到槽左端口摩擦力的功也为 W f ? 2 J, 则小球第一次离槽上升的高度 mg ( H ? R) ? W f ?

1 2 mv ? W f ? mgR 1 2 2 h ? h,由 ? mg ( h ? R ) ? W f ? ? mv 得 =4.2m mg 2
(2)设小球飞出槽外 n 次,则由动能定理得

mgH ? n ? 2W f ? 0

∴n ?

m gH 25 ? ? 6.25 2W f 4

即小球最多能飞出槽外 6 次。

第 3 单元
一、机械能守恒定律 1、 条件

机械能守恒定律

⑴在只有重力做功的情形下,物体的动能和重力势能发生相互转化,但机械能的总量保持不变。 (和 只受到重力不同) ⑵只有系统内的弹力做功,动能和弹性势能相互转化,机械能的总量保持不变。 (3) 其它力的总功为零,机械能守恒(举例:木块压缩弹簧)

2、对机械能守恒定律的理解:
①“守恒”是时时刻刻都相等。 ② “守恒”是“进出相等” ③要分清“谁”、“什么时候”守恒 ④、是否守恒与系统的选择有关 ⑤、⑴机械能守恒定律的研究对象一定是系统,至少包括地球在内。 通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内,因为重力势能就是小球和地球所共有的。 另外小球的动能中所用的 v,也是相对于地面的速度。

3、机械能守恒定律的各种表达形式
⑴初状态 = 末状态 ⑵ 增加量 = 减少量 用⑴时,需要规定重力势能的参考平面。用⑵时则不必规定重力势能的参考平面,因为重力势能的改 变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用Δ E 增=Δ E 减,只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来, 方程自然就列出来了。

39

4、解题步骤
⑴确定研究对象和研究过程。⑵判断机械能是否守恒。⑶选定一种表达式,列式求解。

5、动能定理与机械能守恒的联系
1、 动能定理适用于任何物体(质点),机械能守恒定律适用于系统 2、 动能定理没有条件,机械能守恒定理有条件限制 3、 动能定理有时可改写成守恒定律

二、机械能守恒定律的综合应用 例 1、如图所示,质量分别为 2 m 和 3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端 A、B,直角尺的顶点 O 处有
光滑的固定转动轴。AO、BO 的长分别为 2L 和 L。开始时直角尺的 AO 部分处于 水平位置而 B 在 O 的正下方。让该系统由静止开始自由转动,求:⑴当 A 到达 最低点时,A 小球的速度大小 v;⑵ B 球能上升的最大高度 h;⑶开始转动后 B 球可能达到的最大速度 vm。 解析:以直角尺和两小球组成的系统为对象,由于转动过程不受摩擦和介 质阻力,所以该系统的机械能守恒。

O

B O θ A

v1/2

O

A α α

O

A

θ

B
v1 ⑴

B


B



⑴过程中 A 的重力势能减少, A、B 的动能和 B 的重力势能增加,A 的即时速度总是 B 的 2 倍。

2mg ? 2L ? 3mg ? L ?

1 1 ?v? ? 2m ? v 2 ? ? 3m? ? 2 2 ? 2?

2

,解得 v

?

8 gL 11

⑵B 球不可能到达 O 的正上方,它到达最大高度时速度一定为零,设该位置比 OA 竖直位置向左偏了α 角。2mg?2Lcosα =3mg?L(1+sinα ),此式可化简为 4cosα -3sinα =3,解得 sin(53°-α )=sin37°,α =16° ⑶B 球速度最大时就是系统动能最大时,而系统动能增大等于系统重力做的功 WG。设 OA 从开始转过θ 角时 B 球速度最大,

1 1 2 ? 2m ? ?2v ? ? ? 3m ? v 2 =2mg?2Lsinθ -3mg?L(1-cosθ ) 2 2 4 gL =mgL(4sinθ +3cosθ -3)≤2mg?L,解得 v m ? 11
例 2、如图所示,半径为 R 的光滑半圆上有两个小球 止开始无初速度自由释放,求小球

A、B ,质量分别为 m和M ,由细线挂着,今由静 A 升至最高点 C 时 A、B 两球的速度? 解析: A 球沿半圆弧运动,绳长不变, A、B 两球通过的路程相等, 2?R ?R A 上升的高度为 h ? R ; B 球下降的高度为 H ? ? ; 对于系 4 2

统,由机械能守恒定律得: ? ?E P

? ?E P ? ? Mg

?R

? ?E K



2 ?RMg ? 2m gR ? vc ? M ?m

? mgR ?

1 ( M ? m)v 2 2

例 3、如图所示,均匀铁链长为 L ,平放在距离地面高为 2 L 的光滑水平

40

1 悬垂于桌面下,从静止开始释放铁链,求铁链下端刚要着地时的速度? 5 1 4 1 L L 1 74 gL ) ? mg ? mv 2 得: v ? 解:选取地面为零势能面: mg 2 L ? mg ( 2 L ? 5 5 5 10 2 2
面上,其长度的 例 4、如图所示,粗细均匀的 U 形管内装有总长为 4L 的水。开始时阀门 K 闭合,左右支管内水面高度差为 L。打开阀门 K 后,左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大?(管的 内部横截面很小,摩擦忽略不计) K 解析:由于不考虑摩擦阻力,故整个水柱的机械能守恒。从初始状态 到左右支管水面相平为止,相当于有长 L/2 的水柱由左管移到右管。系统 的重力势能减少,动能增加。该过程中,整个水柱势能的减少量等效于高 L/2 的水柱降低 L/2 重力势能的减少。不妨设水柱总质量为 8m ,则

mg ?

L 1 ? ? 8m ? v 2 ,得 v ? 2 2

gL 。 8

点评:需要注意的是研究对象仍然是整个水柱,到两个支管水面相平 时,整个水柱中的每一小部分的速率都是相同的。 例 5、如图所示,游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为 L,圆形轨道半径为 R,(R 远大于一节车厢的 高度 h 和长度 l,但 L>2π R).已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动,在轨道 的任何地方都不能脱轨。试问:在没有任何动力的情况下,列车在水平轨道上应具有多大初速度 v0,才能 使列车通过圆形轨道而运动到右边的水平轨道上? 解析:当游乐车灌满整个圆形轨道时,游乐车的速度 最小,设此时速度为 v,游乐车的质量为 m,则据机械能 守恒定律得:

1 2 m 1 mv 0 ? 2?R gR ? mv 2 2 L 2

要游乐车能通过圆形轨道,则必有 v>0,所以有 v0

? 2R

?g
L

例 6、小球在外力作用下,由静止开始从 A 点出发做匀加速直线运动, 到 B 点时消除外力。 然后, 小球冲上竖直平面内半径为 R 的光滑半圆环, 恰能维持在圆环上做圆周运动, 到达最高点 C 后抛出, 最后落回到原来 的出发点 A 处,如图所示,试求小球在 AB 段运动的加速度为多大? 解析:要题的物理过程可分三段:从 A 到孤匀加速直线运动过程; 从 B 沿圆环运动到 C 的圆周运动, 且注意恰能维持在圆环上做圆周运动, 在最高点满足重力全部用来提供向心力;从 C 回到 A 的平抛运动。

mg ? m
根据题意,在 C 点时,满足

v2 R



1 1 2 mv 2 ? mv B 2 2 从 B 到 C 过程,由机械能守恒定律得 ② 1 2 R ? gt 2 v ? 5 gR 2 由①、②式得 B 从 C 回到 A 过程,满足 ③ ? mg 2 R ?
水平位移 s=vt,

v ? gR ④

由③、④式可得 s=2R

2 从 A 到 B 过程,满足 2as ? v B ⑤

a?


5 g 4

例 7、如图所示,半径分别为 R 和 r 的甲、乙两个光滑的圆形轨道 安置在同一竖直平面上,轨道之间有一条水平轨道 CD 相通,一小 球以一定的速度先滑上甲轨道,通过动摩擦因数为μ 的 CD 段,又 滑上乙轨道,最后离开两圆轨道。若小球在两圆轨道的最高点对轨 道压力都恰好为零,试求水平 CD 段的长度。 解析:(1)小球在光滑圆轨道上滑行时,机械能守恒,设小 球滑过 C 点时的速度为 ,通过甲环最高点速度为 v′,根据小 41

v? 2 mg ? m R ① 球对最高点压力为零,由圆周运动公式有 1 1 2 ? mv C ? mg 2 R ? mv ? 2 2 取轨道最低点为零势能点,由机械守恒定律 2 ②

v 由①、②两式消去 v′,可得 C
? ?mgl ?

? 5gR
? 5gr ,设 CD 段的长度为 l,对小球滑过 CD 段过程应用动能

v 同理可得小球滑过 D 点时的速度 D

1 1 2 2 mv D ? mv C 2 2 定理 , 5( R ? r ) l? v v 2? C D 将 、 代入,可得
三、针对训练
1.将一球竖直上抛,若该球所受的空气阻力大小不变,则其力大小不变,则其上升和下降两过程的时 间及损失的机械能的关系是( C ) A. t 上 > t 下 , ? E C. t 上 < t 下 , ? E


> ?E

下 下

B. t 上 < t 下 , ? E



< ?E

下 下

?E 上=

D. t 上 = t 下 , ? E

?E 上=

2 .如图所示,质量、初速度大小都相同的 A 、B 、C 三个小球,在同一水平面上,A 球竖直上抛,B 球以倾斜角 θ 斜和上抛,空气阻力不计,C 球沿倾角为θ 的光滑斜面 上滑, 它们上升的最大高度分别为 h A 、 则 ( C ) hB 、 hC ,

? hB ? hC C. hA ? hB ? hC
A. hA

? hB ? hC D.hA ? hB , hA ? hC
B. hA

3.质量相同的两个小球,分别用长为 l 和 2 l 的细绳悬挂在天花板上,如 图所示,分别拉起小球使线伸直呈水平状态,然后轻轻释放,当小球到达最低 位置时( CD ) A.两球运动的线速度相等 B.两球运动的角速度相等 C.两球运动的加速度相等 D.细绳对两球的拉力相等 4.一个人站在阳台上,以相同的速率 v0,分别把三个球竖直向上抛出,竖 直向下抛出,水平抛出,不计空气阻力,则三球落地时的速率( D ) A.上抛球最大 B.下抛球最大 C.平抛球最大 D.三球一样大 5.质量为 m 的人造地球卫星,在环绕地球的椭圆轨道上运行,在运行过程中它的速度最大值为 vm , 当卫星由远地点运行到近地点的过程中,地球引力对它做的功为 W,则卫星在近地点处的速度为________, 在远地点处的速度为______。( vm ,
2 vm ?

2W m



第 4 单元

功能关系

动量能量综合

一、功能关系 功是一种过程量,它和一段位移(一段时间)相对应;而能是一种状态量,它个一个时 刻相对应。两者的单位是相同的(都是 J),但不能说功就是能,也不能说“功变成了能”。 做功的过程是能量转化的过程,功是能量转化的量度。 ⑴物体动能的增量由外力做的总功来量度:W 外=Δ Ek,这就是动能定理。 ⑵物体重力势能的增量由重力做的功来量度:WG= -Δ EP,这就是势能定理。 ⑶物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度:W 其它=Δ E 机,(W 其它表示除
42

重力以外的其它力做的功),这就是机械能守恒定律。 ⑷物体电势能的改变由重力做的功来量度。 (5)弹性势能的改变由弹力做功来完成 (6) 一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功, 用来量度该过程系统由于摩擦而减小 的机械能,也就是系统增加的内能。f ?d=Q(d 为这两个物体间相对移动的路程)。 【例 1】 质量为 m 的物体在竖直向上的恒力 F 作用下减速上升了 H, 在这个过程中,下列说法中正确的有 A、C A.物体的重力势能增加了 mgH B.物体的动能减少了 FH C.物体的机械能增加了 FH D.物体重力势能的增加小于动能的减少 F

v a

G A B C

【例 2】 如图所示,一根轻弹簧下端固定,竖立在水平面上。其正上 方 A 位置有一只小球。小球从静止开始下落,在 B 位置接触弹簧的上端,在 C 位置小球所受弹力大小等于重力,在 D 位置小球速度减小到零。小球下降 阶段下列说法中正确的是(B、C、D) A.在 B 位置小球动能最大 B.在 C 位置小球动能最大 C.从 A→C 位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加 D.从 A→D 位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加 二、动量能量综合问题 我们已经复习了牛顿定律、动量定理和动量守恒、 abc 能定理和机械能守恒。它们分别反映了力的瞬时作用效 力的时间积累效应和力的空间积累效应。解决力学问题 不开这三种解题思路。 【例 3】 如图所示,a、b、c 三个相同的小球,a 光滑斜面顶端由静止开始自由下滑,同时 b、c 从同一 度分别开始自由下落和平抛。下列说法正确的有 A.它们同时到达同一水平面 B.重力对它们的冲量相同 C.它们的末动能相同 D.它们动量变化的大小相同 解析:b、c 飞行时间相同(都是

D

动 应、 离 从 高

2h );a 与 b 比较,两者平均速度大小相同(末动能 g

相同);但显然 a 的位移大,所以用的时间长,因此 A、B 都不对。由于机械能守恒,c 的机 械能最大(有初动能),到地面时末动能也大,因此 C 也不对。a、b 的初动量都是零,末动 量大小又相同,所以动量变化大小相同;b、c 所受冲量相同,所以动量变化大小也相同,故 D 正确。 【例 4】 海岸炮将炮弹水平射出。炮身质量(不含炮弹) 为 M, 每颗炮弹质量为 m。 当炮身固定时, 炮弹水平射程为 s, 那么当炮身不固定时, 发射同样的炮弹, 水平射程将是多少? 解析:两次发射转化为动能的化学能 E 是相同的。第一 次化学能全部转化为炮弹的动能; 第二次化学能转化为炮弹和

p2 知,在动量大 2m 小 相 同 的 情 况 下 , 物 体 的 动 能 和 质 量 成 反 比 , 炮 弹 的 动 能
炮身的动能,而炮弹和炮身水平动量守恒,由动能和动量的关系式 E K ?
E1 ? 1 1 M 2 2 mv 1 ? E , E 2 ? mv 2 ? E ,由于平抛射高相等,两次射程的比等于抛出时 2 2 M ?m

43

M M 初速度之比? s2 ? v2 ? ? s2 ? s s v1 M ?m M ?m 【例 5】 质量 M 的小车左端放有质量 m 的铁块,以共同速度 v v 沿光滑水平面向竖直墙运动,车与墙碰撞的时间极短,不计动 m 能损失。动摩擦因数μ ,车长 L,铁块不会到达车的右端。到最 终相对静止为止,摩擦生热多少? M 解析:车与墙碰后瞬间,小车的速度向左,大小是 v,而铁块的速度未变,仍是 v,方 向向左。根据动量守恒定律,车与铁块相对静止时的速度方向决定于 M 与 m 的大小关系: 当 M>m 时,相对静止是的共同速度必向左,不会再次与墙相碰,可求得摩擦生热是

Q?

2Mm v2 ;当 M=m 时,显然最终共同速度为零,当 M<m 时,相对静止时的共同速度必 M ?m

向右,再次与墙相碰,直到小车停在墙边,后两种情况的摩擦生热都等于系统的初动能

Q?

1 ?M ? m ?v 2 2

【例 6】 用轻弹簧相连的质量均为 2 kg 的 A、B 两物块都以 v= 6 m/s 的速度在 光滑的水平地面上运动,弹簧处于原长,质量 4 kg 的物块 C 静止在前方,如图所示.B 与 C 碰撞后二者粘在一起运动.求:在以后的运动中: (1)当弹簧的弹性势能最大时,物体 A 的速度多大? (2)弹性势能的最大值是多大? (3)A 的速度有可能向左吗?为什么? 解析:(1)当 A、B、C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大. 由于 A、B、C 三者组成的系统动量守恒,(mA+mB)v=(mA+mB+mC)vA′ 解得 vA′=

( 2 ? 2) ? 6 m/s=3 m/s 2?2?4

(2)B、C 碰撞时 B、C 系统动量守恒,设碰后瞬间 B、C 两者速度为 v′,则 mBv=(mB+mC)v′ v′=

2?6 =2 m/s 2?4

设物 A 速度为 vA′时弹簧的弹性势能最大为 Ep,

1 1 1 ?2 2 (mB+mC) v ? + mAv2- (mA+mB+mC) v A 2 2 2 1 1 1 = ?(2+4)?22+ ?2?62- ?(2+2+4)?32=12 J 2 2 2
根据能量守恒 Ep= (3)A 不可能向左运动 系统动量守恒,mAv+mBv=mAvA+(mB+mC)vB 设 A 向左,vA<0,vB>4 m/s 则作用后 A、B、C 动能之和

1 1 1 mAvA2+ (mB+mC)vB2> (mB+mC)vB2=48 J 2 2 2 1 ?2 实际上系统的机械能 E=Ep+ (mA+mB+mC)? v A =12+36=48 J 2 根据能量守恒定律, E ? >E 是不可能的
E′= 【例 7】 如图所示,滑块 A 的质量 m=0.01 kg,与水 平地面间的动摩擦因数μ =0.2,用细线悬挂的小球质 量均为 m=0.01 kg,沿 x 轴排列,A 与第 1 只小球及相 邻两小球间距离均为 s=2 m,线长分别为 L1、L2、L3? (图中只画出三只小球,且小球可视为质点),开始时,滑块以速度 v0=10 m/s 沿 x 轴正方
44

向运动, 设滑块与小球碰撞时不损失机械能, 碰撞后小球均恰能在竖直平面内完成完整的圆 周运动并再次与滑块正碰 (1)滑块能与几个小球碰撞? (2)求出碰撞中第 n 个小球悬线长 Ln 的表达式. 解析:(1)因滑块与小球质量相等且碰撞中机械能守恒,滑块与小球相碰撞会互换速 度,小球在竖直平面内转动,机械能守恒,设滑块滑行总距离为 s0,有

? ?mgs 0 ? 0 ?

1 2 mv 0 2

得 s0=25 m

n?

s0 ? 12 (个) s

(2)滑块与第 n 个球碰撞,设小球运动到最高点时速度为 vn′

1 1 2 ? 2 ? 2mgL n ① mv n ? mv n 对小球,有: 2 2 1 1 2 2 对滑块,有: ? ?mgns ? mv n ? mv 0 ③ 2 2 2 v0 ? 2?gsn 50 ? 4n 解 ①②③三式: Ln ? ? 5g 25

?2 vn mg ? m Ln



【例 8】 如图所示, 两个小球 A 和 B 质量分别是 mA=2.0 kg, mB=1.6 kg.球 A 静止在光滑水平面上的 M 点, 球 B 在水平面 上从远处沿两球的中心连线向着球 A 运动.假设两球相距 L ≤18 m 时存在着恒定的斥力 F,L>18 m 时无相互作用力. 当两球相距最近时,它们间的距离为 d=2 m,此时球 B 的 速度是 4 m/s.求: (1)球 B 的初速度;(2)两球之间的斥力大小; (3)两球从开始相互作用到相距最近时所经历的时间. 解析:(1)设两球之间的斥力大小是 F,两球从开始相互作用到两球相距最近时的时 间是 t0 当两球相距最近时球 B 的速度是 vB=4 m/s,此时球 A 的速度与球 B 的速度大小相等, vA=vB=4 m/s. 由动量守恒定律可得:mBvB0=mAvA+mBvB ① 代人数据解得 vB0=9 m/s(1 分) (2)两球从开始相互作用到它们之间距离最近时它们之间的相对位移Δ s=L-d 由功能关系可得:FΔ s=

1 1 1 mBvB02-( mAvA2+ mBvB2)② 代人数据解得 F=2.25 N 2 2 2 m v (3)根据动量定理,对 A 球有:Ft=mAvA-0 t= A A F 32 代入数值解得 t= s=3.56 s 9

三、针对训练 1.物体在恒定的合力作用下做直线运动,在时间Δ t1 内动能由 0 增大到 E1,在时间Δ t2 内动能由 E1 增大到 E2.设合力在Δ t1 内做的功是 W1、冲量是 I1;在Δ t2 内做的功是 W2、冲 量是 I2.那么 A A.I1>I2,W1=W2 C.I1<I2,W1<W2 B.I1<I2,W1=W2 D.I1=I2,W1<W2

2.如图所示,分别用两个恒力 F1 和 F2 先后两次将质量为 m 的物体从静止开始,沿着 同一个粗糙的固定斜面由底端推到顶端,第一次力 F1 的方向沿斜面向上,第二次力 F2 的方 向沿水平向右,两次所用时间相同.在这两个过程中 BD

45

A.F1 和 F2 所做功相同 C.F1 和 F2 对物体的冲量大小相同

B.物体的机械能变化相同 D.物体的加速度相同

3.一轻质弹簧,上端悬挂于天花板,下端系一质量为 M 的平板,处 在平衡状态.一质量为 m 的均匀环套在弹簧外,与平板的距离为 h,如图 所示,让环自由下落,撞击平板.已知碰后环与板以相同的速度向下运动, 使弹簧伸长 AC A.若碰撞时间极短,则碰撞过程中环与板的总动量守恒 B.若碰撞时间极短,则碰撞过程中环与板的总机械能守恒 C.环撞击板后,板的新的平衡位置与 h 的大小无关 D.在碰后板和环一起下落的过程中, 它们减少的动能等于克服弹簧力 所做的功 4.如图所示,质量均为 M 的木块 A、B 并排放在光滑水平 面上, A 上固定一根轻质细杆,轻杆上端的小钉(质量不计) O 上系一长度为 L 的细线,细线的另一端系一质量为 m 的小 球 C ,现将 C 球的细线拉至水平,由静止释放,求: (1)两木块刚分离时, A、B、C 速度各为多大? (2)两木块分离后,悬挂小球的细线与竖直方向的最大 夹角多少? 解: (1)A、B、C 三者组成的系统满足动量守恒和机械能守恒, 选取最低点 E P ? 0 ,

C 球到达最低点时 A、B 共同速度为 v A , C 速度 vc 为,规定向左为正方向:

0 ? mvc ? 2Mv A    (1)
解得: vC ? 2

mgL ?

MgL m   ;v A ? 2M ? m M (2)、从 C 球在最低点开始, C 与 A 组成一个系统满足动量守恒和机械能守恒,设摆 到最高处为 hx ,此时, A、C 共同速度为 v x : 1 1 1 2 2 mv c2 ? Mv A ? ( m ? M )v x ? mgh x    (2) mvc ? Mv A ? (m ? M )v x    (1) 2 2 2 m m MgL 2M ? m ? ? cos?1 解得: v x ?   ;hx ? L; 2(m ? M ) M 2M ? m 2(M ? m)

1 2 1 2 mv c ? 2Mv A    (2) 2 2 MgL 2M ? m

46

第五章 曲线运动 第 1 单元 运动的合成与分解 平抛物体的运动

一、曲线运动 1.曲线运动的条件:质点所受合外力的方向(或加速度方向)跟它的速度方向不在同 一直线上。物体能否做曲线运动要看力的方向,不是看力的大小。 2.曲线运动的特点:曲线运动的速度方向一定改变,所以是变速运动。 二、运动的合成与分解(猴爬杆) 1.从已知的分运动来求合运动,叫做运动的合成,包括位移、速度和加速度的合成, 由于它们都是矢量,所以遵循四边形定则。 2.求已知运动的分运动,叫运动的分解,解题按实际“效果”分解,或正交分解。 3.合运动与分运动的特征: ①运动的合成与分解符合平行四边形法则。分运动共线时 变成了代数相加减。——矢量性 ②合运动与分运动具有“同时性”——同时性 v1 v ③每个分运动都是独立的,不受其他运动的影响——独立性 a1 ④合运动的性质是由分运动决定的——相关性 a ⑤实际表现出来的运动是合运动 ⑥速度、时间、位移、加速度要一 一对应 o v2 ⑦运动的分解要根据力的作用效果(或正交分解) a2 4.两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动? 三、应用举例: 1. 过河问题 例 1、一条宽度为 L 的河流,水流速度为 Vs,已知船在静水中的速度为 Vc,那么: (1)怎样渡河时间最短? (2)若 Vc>Vs,怎样渡河位移最小? (3)若 Vc<Vs,怎样注河船漂下的距离最短? 分析与解:(1)如图 2 甲所示,设船上头斜向上游与河岸成任意角θ ,这时船速在 垂直于河岸方向的速度分量 V1=Vcsinθ ,渡河所需时间为: t ?

L . Vc sin ?

可以看出:L、Vc 一定时,t 随 sinθ 增大而减小;当θ =900 时,sinθ =1,所以,当船头与河 岸垂直时,渡河时间最短, t min ?

L . Vc

(2)如图 2 乙所示,渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于 L,必须使船的合速度 V 的方向与河岸垂直。这是船头应指向河的上游,并与河岸成一定的角度θ 。根据三角函数 关系有:Vccosθ ─Vs=0. 所以θ =arccosVs/Vc,因为 0≤cosθ ≤1,所以只有在 Vc>Vs 时,船 才有可能垂直于河岸横渡。

47

( 3)如果水流速 B E 度大于船上在静 Vc V c V1 V 水中的航行速度, V Vc 则不论船的航向 V V s s θ θ α θ Vs 如何, 总是被水冲 V2 A 向下游。 怎样才能 图2甲 图2乙 图2丙 使漂下的距离最 短呢?如图 2 丙 所示,设船头 Vc 与河岸成θ 角,合速度 V 与河岸成α 角。可以看出:α 角越大,船漂下的 距离 x 越短,那么,在什么条件下α 角最大呢?以 Vs 的矢尖为圆心,以 Vc 为半径画圆,当 V 与圆相切时,α 角最大,根据 cosθ =Vc/Vs,船头与 v1 甲 v1 河岸的夹角应为:θ =arccosVc/Vs. α 乙 v2 L 船漂的最短距离为: . xmin ? (Vs ? Vc cos? )

Vc sin ?

此时渡河的最短位移为: s ?

L V ? s L. cos? Vc

v1



v1 乙

α 2.连带运动问题 v2 【例 2】如图所示,汽车甲以速度 v1 拉汽车乙 前进,乙的速度为 v2,甲、乙都在水平面上运动, 求 v1∶v2 α 解析:甲、乙沿绳的速度分别为 v1 和 v2cosα , va 两者应该相等,所以有 v1∶v2=cosα ∶1 α 【例 3】两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。 上面分别穿有一个小球。小球 a、b 间用一细直棒相 连如图。当细直棒与竖直杆夹角为α 时,求两小球实际速度之比 va∶vb 解析:a、b 沿杆分速度分别为 vacosα 和 vbsinα ∴va∶vb= tanα ∶1

vb

3、会根据运动的合成与分解求解面接触物体的速度问题。 求相互接触物体的速度关联问题时,首先要明确两接触物体的速度,分析弹力的方向, 然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解, 令两物体沿弹力方向 的速度相等即可求出。 例 4、一个半径为 R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度 V0 匀速运动。在半圆柱体上搁 置一根竖直杆,此杆只能沿竖直方向运动,如图 7 所示。当杆与半圆柱体接触点 P 与柱心 的连线与竖直方向的夹角为θ ,求竖直杆运动的速度。 解: 设竖直杆运动的速度为 V1,方向竖直向上由于弹 力 V1 方向沿 OP 方向,所以 V0、V1 在 OP 方向的投影相等,即 有

V0 s i n ? ? V1 c o ? s ,解得 V1=V0.tgθ.
四、平抛运动 当物体初速度水平且仅受重力作用时的运动, 被称为 抛运动。其轨迹为抛物线,性质为匀变速运动。平抛运动 分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运

R θ P O 图7

V
0

平 可

48

动这两个分运动。广义地说,当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时,做类平抛运动。 1、 (合成与分解的角度)平抛运动基本规律 ① 速度: v x ? v0 , v y ? gt

合速度 v ?

vx ? v y

2

2

方向 :tanθ =

vy vx

?

gt vo
方向:tanα =

②位移 x=vot

y=

1 2 gt 2

2 2 合位移大小:s= x ? y

y g ? ?t x 2v o

③时间由 y=

1 2 2y gt 得 t= (由下落的高度 y 决定) 2 x

竖直方向自由落体运动,匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。 ④一个有用的推论 A O 平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长 v0 B 线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水 平位移的一半。 证明: 设时间 t 内物体的水平位移为 s, 竖直位 移为 h,则末速度的水平分量 vx=v0=s/t,而竖直分 量 vy=2h/t, tan? ?
vy vx ?

v0 vt
θ

h s 2h , 所以有 s ? ? ? tan ? 2 s

D vy

C

2、平抛运动是匀变速曲线运动 3、平抛中能量守恒 注意:两个分解(位移和速度)和两个物理量(角度和 时间) 4.应用举例 【例 5】 已知网高 H,半场长 L,扣球点高 h,扣球点离 网水平距离 s、求:水平扣球速度 v 的取值范围。 解析:假设运动员用速度 vmax 扣球时,球刚好不会出界, 用速度 vmin 扣球时,球刚好不触网,从图中数量关系可得:

v h s

H

L

vmax ? ?L ? s ? /

2h g ; ? ( L ? s) g 2h

O

vmin

2(h ? H ) g ? s/ ?s g 2(h ? H )

A

实际扣球速度应在这两个值之间。 例 6、如图 8 在倾角为 θ 的斜面顶端 A 处以速度 V0 水平抛出一小球,落在斜面上的某 一点 B 处,设空气阻力不计,求(1)小球从 A 运动到 B 处所需的时间;(2)从抛出开始 计时,经过多长时间小球离斜面的距离达到最大? 分析与解: (1)小球做平抛运动,同时受到斜面体的限制, V0 V0 A B θ Vy1 图8
49

设从小球从 A 运动到 B 处所需的时间为 t,则: 水平位移为 x=V0t 竖直位移为 y=

1 2 gt 2

数学关系得到:

2V tan? 1 2 gt ? (V0 t ) tan? , t ? 0 2 g V0 tan? 。 g

(2)从抛出开始计时,经过 t1 时间小球离斜面的距离达到最大,当小球的速度与斜面平 行时,小球离斜面的距离达到最大。因 Vy1=gt1=V0tanθ ,所以 t1 ?

第 2 单元
一、描述述圆周运动物理量: 1、线速度=

圆周运动

弧长 时间

v=

s t

矢量方向――切向

理解:单位时间内通过的弧长 匀速圆周运动不匀速,是角速度不变的运动 可理解为前面学过的即时速度 2、角速度=

角度 时间

??

?
t

矢量方向――不要求

单位:rad / s 弧度/ 秒

理解:单位时间内转过的角度 3 线速度和角速度是从两个不同的角度去描速同一个运动的快慢 3、周期和频率 周期(T)――物体运动一周所用的时间 频率(f)――单位时间内完成多少个圆周, 周期倒数(Hz S 1)


T?

1 f

转速(n)――单位时间内转过的圈数

(r/s r/min)

【例 1】如图所示装置中,三个轮的半径分别为 r、2r、4r,b 点到圆心的距离为 r,求 图中 a、b、c、d 各点的线速度之比、角速度之比、 加速度之比。 c 解析:va= vc,而 vb∶vc∶vd =1∶2∶4,所以 va∶ vb∶vc∶vd =2∶1∶2∶4;ω a∶ω b=2∶1,而 b a ω b=ω c=ω d ,所以ω a∶ω b∶ω c∶ω d =2∶1∶1∶ d 1; 再利用 a=vω , 可得 aa∶ab∶ac∶ad=4∶1∶2∶4 二、向心力和加速度 1、大小 F=m ω2 r

F ?m

v2 r
50

2、方向: 把力分工—切线方向, 改变速度大小 半径方向, 改变速度方向,充当向心力 注意:区分匀速圆周运动和非匀速圆周运动的力的不同 3、来源:一个力、某个力的分力、一些力的合力

v2 4? 2 2 ? ? r ? r ? 4? 2 f 2r 向心加速度 a:(1)大小:a = r T2
心,时刻变化 三、应用举例 (临界或动态分析问题) (3)物理意义:描述线速度方向改变的快慢。

(2)方向:总指向圆

提供的向心力 = > < =0

需要的向心力 m 圆周运动 近心运动 离心运动 切线运动

v2 r

1、火车转弯 如果车轮与铁轨间无挤压力,则向心力完全由重力和 持力提供 m g tan? ? m 支 挤

v2 外轨 ? v ? grtan? ,v 增加, r

压,如果 v 减小,内轨挤压 问题:飞机转弯的向心力的来源 2、汽车过拱桥

N

m g cos? ? N ? m
mg sinθ = f

v2 r

mg

51

如果在最高点,那么

mg? N ? m

v2 r

此时汽车不平衡,mg≠N

说明:F=mv2 / r 同样适用于变速圆周运动,F 和 v 具有瞬时意义,F 随 v 的变化而 变化。 补充 : N ? m g ? m 3、圆锥问题

v2 r

(抛体运动)

N

Nsin ? ? mg Nc o? s ? m? 2 r ? t a n ?? g

mg

? r
2

?? ?

g rt an ?

例:小球在半径为 R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动,试分析图中的θ (小球 与半球球心连线跟竖直方向的夹角)与线速度 v、周期 T 的关系。

m g tan? ?

m v2 ? m Rsin ?? 2 , R sin ?

由此可得: v ? gR tan? sin ? , T ? 2? R cos? ? 2? h , g g

4、绳杆球

F G

F


N θ G F

G

这类问题的特点是:由于机械能守恒,物体做圆周运动的速率时刻在改变,物体在最 高点处的速率最小,在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上,而重力向下,所 以弹力必然向上且大于重力;而在最高点处,向心力向下,重力也向下,所以弹力的方向就 不能确定了,要分三种情况进行讨论。 ①弹力只可能向下,如绳拉球。这种情况下有 F ? m g ? 即 v ? gR ,否则不能通过最高点。

m v2 ? mg R

m v2 ? m g,? v ? gR , ②弹力只可能向上,如车过桥。在这种情况下有: m g ? F ? R
否则车将离开桥面,做平抛运动。 ③弹力既可能向上又可能向下,如管内转(或杆连球、环穿珠)。这种情况下,速度大 小 v 可以取任意值。但可以进一步讨论:①当 v ?

gR 时物体受到的弹力必然是向下的;
52

当v ?

gR 时物体受到的弹力必然是向上的;当 v ? gR 时物体受到的弹力恰好为零。②当

弹力大小 F<mg 时,向心力有两解:mg±F;当弹力大小 F>mg 时,向心力只有一解:F +mg; 当弹力 F=mg 时,向心力等于零。 四、牛顿运动定律在圆周运动中的应用(圆周运动动力学问题) 1.向心力 (1)大小: F ? m a 向 ? m

v2 4? 2 ? m? 2 R ? m 2 R ? m4? 2 f 2 R R T

(2)方向:总指向圆心,时刻变化 2.处理方法: 一般地说, 当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时, 可以将它沿半径方向和切线方 向正交分解,其沿半径方向的分力为向心力,只改变速度的方向,不改变速度的大小;其沿 切线方向的分力为切向力,只改变速度的大小,不改变速度的方向。分别与它们相应的向心 加速度描述速度方向变化的快慢,切向加速度描述速度大小变化的快慢。 做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律:Fn=man 在列 方程时,根据物体的受力分析,在方程左边写出外界给物体提供的合外力,右边写出物体需
2? ? 要的向心力(可选用 m v 或m? 2 R或m? ? ? R 等各种 R ? T ?
2 2

形式)。 【例 1】 如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑 的绝缘轨道,处于水平向右的匀强电场中,以带负电荷的 小球从高 h 的 A 处静止开始下滑, 沿轨道 ABC 运动后进入圆环内作圆周运动。 已知小球所受 到电场力是其重力的 3/4,圆滑半径为 R,斜面倾角为θ ,sBC=2R。若使小球在圆环内能作 完整的圆周运动,h 至少为多少? 解析:小球所受的重力和电场力都为恒力,故可两力等效为一个力 F,如图所示。可知 F=1.25mg,方向与竖直方向左偏下 37?,从图 6 中可知,能否作完 整 的圆周运动的临界点是能否通过 D 点,若恰好能通过 D 点,即达到 D 点 时球与环的弹力恰好为零。
2 vD 由圆周运动知识得: F ? m R 2 vD 即: 1.25m g ? m R

由动能定理: mg (h ? R ? R cos 37?) ?

3 1 2 mg ? (h cot ? ? 2 R ? R sin 37?) ? mv D 4 2

联立①、②可求出此时的高度 h。 五、综合应用例析 【例 2】如图所示,用细绳一端系着的质量为 M=0.6kg 的物体 A 静止 在水平转盘上,细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔 O 吊着质量为 m=0.3kg 的小球 B,A 的重心到 O 点的距离为 0.2m.若 A 与转盘间的最大 静摩擦力为 f=2N,为使小球 B 保持静止,求转盘绕中心 O 旋转的角速度ω 的取值范围. 解析:要使 B 静止,A 必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度.A 需要的向 心力由绳拉力和静摩擦力合成.角速度取最大值时,A 有离心趋势,静摩擦力指向圆心 O; 角速度取最小值时,A 有向心运动的趋势,静摩擦力背离圆心 O. 对于 B,T=mg 对于 A, T ? f ? Mr?1
2 2 T ? f ? Mr? 2

53

?1 ? 6.5 rad/s

? 2 ? 2.9 rad/s

所以

2.9 rad/s ? ? ? 6.5 rad/s

【例 3】一内壁光滑的环形细圆管,位于竖直平面内,环的半径为 R(比细管的半径大 得多).在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点).A 球的质量为 m1,B 球的质量为 m2.它们沿环形圆管顺时针运动,经过最低点时的速度都为 v0.设 A 球运动到最 低点时,B 球恰好运动到最高点,若要此时两球作用于圆管的合力为零,那么 m1、m2、R 与 v0 应满足的关系式是______. 解析:A 球通过圆管最低点时,圆管对球的压力竖直向 上, 所以球对圆管的压力竖直向下.若要此时两球作用于圆管的 合 力为零,B 球对圆管的压力一定是竖直向上的,所以圆管对 B 球 的压力一定是竖直向下的. 最高点时

1 1 2 m2 v 2 ? m2 g ? 2 R ? m2 v0 2 2
2 v0 R

根据牛顿运动定律 对于 A 球, N 1 ? m1 g ? m1 对于 B 球,

N 2 ? m2 g ? m2

v2 R
解得

又 N1=N2

(m1 ? m2 )

2 v0 ? (m1 ? 5m2 ) g ? 0 R

【例 5】如图所示,滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的 A 点由静止出发到 B 点时撤 去外力,又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动,且恰好通过轨道最高点 C,滑块脱离半圆形 轨道后又刚好落到原出发点 A,试求滑块在 AB 段运动过程中的 加速度.

v 解析:设圆周的半径为 R,则在 C 点:mg=m C R
离开 C 点,滑块做平抛运动,则 2R=gt /2 vCt=sAB ③ 2 2 由 B 到 C 过程: mvC /2+2mgR=mvB /2 ④ 2 由 A 到 B 运动过程: vB =2asAB ⑤ 由①②③④⑤式联立得到: a=5g/4
2

2

① ②

L V0

例 6、 如图所示, M 为悬挂在竖直平面内某一点的木质小球, 悬线长为 L, 质量为 m 的子弹以水平速度 V0 射入球中而未射出,要使小球能在竖直平 面内运动,且悬线不发生松驰,求子弹初速度 V0 应满足的条件。 分两种情况: (1)若小球能做完整的圆周运动,则在最高点满足: (m ? M ) g ? (m ? M )V2 / L
2

由机械能守定律得:

1 1 (m ? M )V22 ? (m ? M )V12 ? 2(m ? M ) gL 2 2

54

由以上各式解得: V0 ?

m?M m

5 gL .
m?M m

(2)若木球不能做完整的圆周运动,则上升的最大高度为 L 时满足:

1 (m ? M )V12 ? (m ? M ) gL 2
V0 ? m?M m 5 gL 或 V0 ? m?M m 2 gL

解得: V0 ?

2 gL .

所以,要使小球在竖直平面内做悬线不松驰的运动,V0 应满足的条件是:

第三单元

万有引力定律 人造卫星

一. 地心说和日心说 1、地心说的内容:地球是宇宙中心,其他星球围绕地球做匀速圆周运动,地球不动。 2、日心说的内容:太阳是宇宙的中心,其他行星围绕地球匀速圆周运动,太阳不动。 日心说是波兰科学家天文学家哥白尼创立的 二.开普勒三定律以及三定律出现的过程: (1)所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在所有椭圆的一个焦点上。 (2)任何一个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 (3)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。 3 2 即 R / T =k 最早由开普勒证实了天体不是在做匀速圆周运动。他是在研究丹麦天文学家第谷的资 料时产生的研究动机。 *开普勒是哪个国家的:德国 三.牛顿的万有引力定律 1.内容:自然界任何两个物体之间都存在着相互作用的引力,两物体间的引力的大小, 跟它们的质量的乘积成正比,跟它们的距离的平方成反比.? mm 表达式:F=G 1 2 2 r -11 2 其中 G=6.67?10 N?m 2 /kg , 叫万有引力常量, 卡文迪许在实验 室用扭秤装置,测出了引力常量.?(英)卡 文迪许扭秤 “能称出地球质量的人” (小球直径 2 英寸,大球直径 12 英寸) 2.适用条件: ①公式适用于质点间的相互作用, ②当两个物体间的距离远大于物体本身 的大小时,物体可视为质点. ③均匀球体可视为质点,r 为两球心间的距离.? 3.万有引力遵守牛顿第三定律,即它们之间的引力总是大小相等、方向相反. 四.用开普勒第三定律、向心力、牛顿第三定律推导牛顿的万有引力定律:

55

五.用万有引力定律推导开普勒第三定律:

六、用万有引力定律分析天体的运动 1.基本方法:把天体运动近似看作圆周运动,它所需要的向心力由万有引力提供,即

2? 2 v GMm F = mg = 2 = mr? 2 = m = mr ( ) T r r
2

g?

GM r2

2.估算天体的质量和密度? ① “T 、 r”法
Mm 4? 2 4? 2 r 3 = m 得: M = .即只要测出环绕星体 M 运转的一颗卫星运转的半 r r2 T2 Gt 2 径和周期,就可以计算出中心天体的质量.

由G

由ρ =

M 4 3?r 3 3 ,V= π R 得:ρ = .R 为中心天体的星体半径? V 3 GT 2 R 3 3? ,由此可以测量天体的密度. GT 2

当r=R时,即卫星绕天体 M 表面运行时,ρ = ②“g、R”法

g?

GM ?M ?? R2

【例 1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果,它的密度很大。现有一中子星,观测 到它的自转周期为 T=

1 s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定,不致因 30
?11

自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数 G=6.67 ? 10

m 3 /kg.s 2 )

解析: 设想中子星赤道处一小块物质, 只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所 需的向心力时,中子星才不会瓦解。 设中子星的密度为 ? ,质量为 M ,半径为 R,自转角速度为 ? ,位于赤道处的小物块 质量为 m,则有

GMm ? m? 2 R R2

??

2? T

4 M ? ?R 3 ? 3
56

由以上各式得 ? ?

3? GT
2

,代入数据解得: ? ? 1.27 ?1014 kg / m3 。

3.卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系?
GM Mm v2 得:v= .? ? m 2 r r r GM Mm 2 (2)由G 2 =mω r得:ω = r3 r

(1)由G

即轨道半径越大,绕行速度越小? 即轨道半径越大,绕行角度越小?

(3)由 G

Mm =4π r3



mR T 2 得:T=2π

R3 GM

即轨道半径越大,绕行周期越大.

例 2、如图所示,A、B 两质点绕同一圆心按顺时针方向作匀速圆周运动,A 的周期为 T1, B 的周期为 T2,且 T1<T2,在某时刻两质点相距最近,开始计时,问:(1)何时刻两质点相 距又最近?(2)何时刻两质点相距又最远? 分析:选取 B 为参照物。 (1)AB 相距最近,则 A 相对于 B 转了 n 转,其相对角度△Φ =2 πn 相对角速度为ω 相=ω 1-ω 2 经过时间: t=△Φ /ω 相=2π n/ω 1-ω 2=

nT1T2 (n=1、2、3?) T2 ? T1

(2)AB 相距最远,则 A 相对于 B 转了 n-1/2 转, 其相对角度△Φ =2π (n-

1 ) 2

经过时间:t=△Φ /ω 相=(2n-1)T1T2/2(T2-T1)(n=1、2、3?) 4.三种宇宙速度 (1)第一宇宙速度(环绕速度):v1=7.9 km/s 是人造地球卫星 的最小发射速度,最大绕行速度.?“飘”起来的速度 (2)第二宇宙速度(脱离速度):v2=11.2 km/s 是物体挣脱地球的引力束缚需要的 最小发射速度.? (3)第三宇宙速度(逃逸速度):v3=16.7 km/s 是物体挣脱太阳的引力束缚需要的 最小发射速度.? 5.地球同步卫星 所谓地球同步卫星是指相对于地面静止的人造卫星,它的周期 T=24h.要使卫星同步, 同步卫星只能位于赤道正上方某一确定高度 h. (高度、运行方向、加速度、角速度、线速 度大小相同,质量不同)

GMT Mm 4? 2 ? m 由G (R+h)得:?h= ( 2 2 ( R ? h) T 4? 2
R表示地球半径?

2

) ? R ? 3.6 ? 104 km=5.6R

1 3

在同步卫星的实际发射中,大多数国家采取“变轨发射” ,发射过程经历以下三个阶 段: ①发射卫星到达 200 Km —300 Km 的圆形轨道上,围绕地球做
57

圆周运动,这条轨道称为“停泊轨道” ; ②当卫星穿过赤道平面 A 点时,二级点火工作,使卫星沿一条较大的椭圆轨道运行, 地球作为椭圆的焦点, 当到达远地点 B 时, 恰为赤道上空 3600 Km 处, 这条轨道称为 “转 移轨道” ,沿轨道 1 和 2 分别经过 A 点时,加速度相同; ③当卫星到达远地点 B 时,开动卫星发动机进入同步轨道,并调整运行姿态从而实 现电磁通讯,这个轨道叫“静止轨道” 。 七、万有引力复习中应注意的几个问题 1、不同公式和问题中的 r,含义不同 万有引力定律公式 F ? G

m1 ? m 2 中的 r 指的是两个物体间的 r2

距离,对于相距很远因而可以看做质点的物体,指的是两个球心的距 离。而向心力公式 F ?

m ? v2 中的 r,对于椭圆轨道指的是曲率半径,对于圆轨道指的是圆 r r3 ? k 中的 r 指的是椭圆轨道的半长轴。因此,同一个 r 在不同公 T2

半径。开普勒第三定律

式中所具有的含义不同。 例 3、如图1所示,行星沿椭圆轨道绕太阳运行,且近日点 A 到太阳的距离为 a ,远 日点 B 到太阳的距离为 b ,求行星在 A、B 两点的运行速率之比? 解析:由椭圆轨道对称性可知, A、B 两点所处曲线的曲率半径相同,设为 R , 在 A 处: G
2 vA Mm ? m (1) R a2

;在 B 处: G

2 vB v Mm b ? m (2) ? A ? 2 R vB a b

2 2 vA vB vA Mm Mm b 出现的问题: G 2 ? m ; G 2 ? m    ? a b vB a a b

例 4 如图所示,两个靠得很近的恒星称为双星,这两颗星必须各以一定速度绕某一中心转 动才不至于因万有引力而吸引在一起,已知双星的质量分别为 m1 和 m2,相距为 L,万有引力 常量为 G, r m2 m1 解:①周期、角速度、频率、向心力相等 O ②

r2 m1 ? r1 m2

v1 r1 m2 ? ? ? p1 ? p2 v2 r2 m1

a1 m1 ? a 2 m2

③ m1

m2 L ? ? ? ?
Gm1 m2 ? m2? 2 r2 2 L

Gm1 m2 ? m1? 2 r1 2 L

r1 ? r2 ? L

联立三个方程解答

例 5 飞船沿半径为 R 的圆周绕地球运动, 其周期为 T, 如 果飞船要返回地面, 可在轨道上某一点 A 处将速率降低到适当
R B R0 A 58

数值,从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行,椭圆与地球表面在 B 点相切,如图所 示,求飞船由 A 点运动到 B 点所需要的时间。(已知地球半径为 R0) 解析:当飞船在圆周上绕地球运动时,有
3

R3 ? k ,当飞船进入椭圆轨道运动时,有 T2

? R ? R0 ? ? ? / T / 2 ? k ,由两式联立得飞船在椭圆轨道上运动的周期 T / ? ? 2 ?
故解得飞船由 A 运动到 B 点所需的时间为 t ? 2、万有引力、向心力和重力 对于赤道上的某一个物体 ,有

?R ? R0 ?3
8R 3

T,

1 2

?R ? R0 ?3
8R 3

T。

GMm v2 ? m g ? m r r2

当速度

增加时,重力减小,向心力增加,当速度 v ?

GM (即第一宇宙 r

速度)时,mg = 0,物体将“飘”起来,星球处于瓦解的临界状态。 例 6、某星球壳视为球体,自转周期为 T ,在它的两极处,用弹簧秤测得物体重为 P ,在 它的赤道上,用弹簧秤测得同一物体重为 0.9 P ,求星球的平均密度? 解析:设星球的半径为 R ,在两极和赤道上的重力及速度分别为 g 极、g 赤 两极: F万=mg极=P  ( 1 ) 赤道上: F万=m? R ? mg赤   ( 2)
2

Mm 4? 2 4? 2 R 3 G 2 ? m 2 R ? 0.9 P ? M ? R T 10GT 2

?? ?

?

3? 10GT 2

例 7、如果地球自转速度加快,地球上物体的重量将发生怎样的变化?地球自转角速度等于 多少时,在赤道上物体的重量为零?这时一昼夜将有多长?

(R地=6370Km, M 地=5. 98?1024 Kg )
解析:以赤道上的物体为研究对象,设转速为

n ,则:

F万=m? 2 R ? m g赤    ?G

Mm 4? 2 ? m R ? m g赤 ; R2 T2

? n ?? ? ?? m? 2 R ?? mg赤 ? ;设地球自转的角速度为 ?0 时, mg赤=0 ,则:

59

G

Mm 2 ? m? 0 R   ??0 ? 2 R

GM ? R2

6.67 ? 10 ?11 ? 5.98 ? 10 24 ? 1.24 ? 10 ?3 rad 3 3 s (6370 ? 10 )

T?

2?

?0

? 5067s

例 8 、已知物体从地球上的逃逸速度(第二宇宙速度)v=√2GME/RE,其中 G、ME、RE 分别是万 -11 2 2 8 有引力恒量、地球的质量和半径.已知 G=6.67?10 N?m /kg ,c=2.9979?10 m/s.求下列 问题: (1)逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞.设某黑洞的质量等于太阳的质量 M=1.98? 30 10 kg,求它的可能最大半径(这个半径叫 Schwarz—Child 半径); -27 3 (2)在目前天文观测范围内,物质的平均密度为 10 kg/m ,如果认为我们的宇宙是这样一 个均匀大球体,其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度 c,因此任何物体都不能脱 离宇宙,问宇宙的半径至少多大? 解:(1)由题目所提供的信息可知,任何天体均存在其所对应的逃逸速度 v=√2GM/R,其 中 M、R 为天体的质量和半径. 对于黑洞模型来说,其逃逸速度大于真空中的光速,即 v>c,也就是√2GM/R>c. 2 黑洞半径 R<2GM/c =2939m=2.94km. 30 即质量为 1.98?10 kg 的黑洞的最大半径为 2.94km. 3 (2)把宇宙视为一普通天体,则质量为 M=ρ ?V=ρ ?4π R /3 ① 其 中 R 为宇宙半径,ρ 为宇宙的密度,则宇宙所对应的逃逸速度 v=√2GM/R ② 由于题设中宇宙密度使得其逃逸速度大于真空中光速 c,即 v>c. ③ 则 2 26 由上述①②③式可解得宇宙半径 R>√3c /8π ρ G=4?10 m. 8 10 因 1 光年=365?24?3600?2.9979?10 m,所以 R>4.23?10 光年. 10 即宇宙半径至少为 4.23?10 光年.

3、人造卫星中的“超重”、“失重”: 人造卫星中在发射阶段,尚未进入预定轨道的加速阶段,具有竖直向上的加速度,卫星 内的所有物体处于超重状态, 卫星与物体具有相同的加速度, 由于高度 h 的增加, 使 r 增加, 导致 F万 减小,同时由于升力的变化,使上升加速度 a 是个变量,设某一时刻即时加速度为

a ,利用弹簧秤测量物体的重力的方法可间接求得距离地面的高度。
例 5、一物体在地球表面重 16 N ,它在以 5 m

s2

的加速度上升的火箭中的视重为 9 N ,

g ? 10 m

s2

,则此时火箭离地面的距离为地球半径的多少倍?

解析:以物体为对象分析如图所示,设距离地面高度为 h ,则: T ? F万=ma

T ?G

Mm Mm ? m a ; ?G ?1 2 ( R ? h) ( R ? h) 2
Mm ? mg ? 16 ;联立两式解得: h ? 3R R2
60

近地附近: G

卫星进入正常运行轨道,由相同的间距 r 决定各物体具有相同的运动状态

(a、v、?、T) 。卫星上的所有物体为什么处于完全失重状态,这是理解的一个难点,减
小学生理解难的方法就是采用反证法:假设卫星上所有物体还受到其它力的作用,则:

F合 ? F万 ? N ? Ma / , a / ? G

M N ? ? a ,假设不成立,因此,凡一切工作原理涉及 R2 m

到重力的有关仪器在卫星中都不能正常使用。

第十五章
知识网络:





第 1 单元

动量

冲量

动量定理

一、动量和冲量 1.动量——物体的质量和速度的乘积叫做动量:p = mv ⑴动量是描述物体运动状态的一个状态量,它与时刻相对应。 ⑵动量是矢量,它的方向和速度的方向相同。 ⑶动量的相对性: 由于物体的速度与参考系的选取有关, 所以物体的动量也与参考系选 取有关,因而动量具有相对性。题中没有特别说明的,一般取地面或相对地面静止的物体为 参考系。 (4)研究一条直线上的动量要选择正方向

2.动量的变化: ?p ? p ? p 由于动量为矢量,则求解动量的变化时,其运算遵循平行四边形定则。 A、若初末动量在同一直线上,则在选定正方向的前提下,可化矢量运算为代数运算。 B、若初末动量不在同一直线上,则运算遵循平行四边形定则。 【例 1】 一个质量为 m=40g 的乒乓球自高处落下,以速度 v =1m/s 碰地,竖直向上弹回, 碰撞时间极短,离地的速率为 v ? =0.5m/s。求在碰撞过程中,乒乓球动量变化为多少? 取竖直向下为正方向,乒乓球的初动量为:

?

p ? mv ? 0.04 ? 1kg ? m / s ? 0.04kg ? m / s
乒乓球的末动量为:

p? ?p
正方向

p? ? mv? ? 0.04 ? (?0.5)kg ? m / s ? ?0.02kg ? m / s

乒乓球动量的变化为: ?p ? p ? ? p = ? 0.02 ? 0.04kg ? m / s ? ?0.06kg ? m / s 负号表示 ?p 的方向与所取的正方向相反,即竖直向上。

p

61

2.冲量——力和力的作用时间的乘积叫做冲量:I = Ft ⑴冲量是描述力的时间积累效应的物理量,是过程量,它与时间相对应。 ⑵冲量是矢量,它的方向由力的方向决定。如果力的方向在作用时间内保持不变,那么 冲量的方向就和力的方向相同。如果力的方向在不断变化,如绳子拉物体做圆周运动,则绳 的拉力在时间 t 内的冲量,就不能说是力的方向就是冲量的方向。对于方向不断变化的力的 冲量,其方向可以通过动量变化的方向间接得出。 ⑶高中阶段只要求会用 I=Ft 计算恒力的冲量。 ⑷冲量和功不同。恒力在一段时间内可能不作功,但一定有冲量。 (5)必须清楚某个冲量是哪个力的冲量 (6)求合外力冲量的两种方法 A、求合外力,再求合外力的冲量 B、先求各个力的冲量,再求矢量和 【例 2】 质量为 m 的小球由高为 H 的光滑固定斜面顶端无初速滑到底端过程中, 重力、 弹力、合力的冲量各是多大? 解析:力的作用时间都是 t ?

2H 1 ? 2 g sin ? sin ?

2H ,力的大小 g
m

依次是 mg、mgcosα 和 mgsinα ,所以它们的冲量依次是:

IG ?

m 2 gH m 2 gH ,IN ? , I 合 ? m 2 gH sin ? tan?

H

点评:特别要注意,该过程中弹力虽然不做功,但对物体有冲量。 二、动量定理 1.动量定理——物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化。既 I=Δ p ⑴动量定理表明冲量是使物体动量发生变化的原因, 冲量是物体动量变化的量度。 这里 所说的冲量是物体所受的合外力的冲量(或者说是物体所受各外力冲量的矢量和)。 ⑵动量定理给出了冲量(过程量)和动量变化(状态量)间的互求关系。 ⑶现代物理学把力定义为物体动量的变化率: F ? ?P (牛顿第二定律的动量形式)。
?t

动量定理和牛顿第二定律的联系与区别

m v2 ? m v1 ? m a 形式可以相互转化 t ?p ②、 F合= 动量的变化率,表示动量变化的快慢 ?t
①、 F合= ③、牛顿定律适用宏观低速,而动量定理适用于宏观微观高速低速 ④、都是以地面为参考系 ⑷动量定理表达式是矢量式。在一维情况下,各个矢量以同一个规定的方向为正。 (5)如果是变力,那么 F 表示平均值 (6)对比于动能定理 I = F t = mv2 - mv1 W = F s =

1 1 m v 22 - m v 21 2 2

【例 3】以初速度 v0 平抛出一个质量为 m 的物体,抛出后 t 秒内物体的动量变化是多少? 解析:因为合外力就是重力,所以Δ p = F t = m g t 2.动量定理的定性应用 【例 4】某同学要把压在木块下的纸抽出来。第一次他将纸迅速抽出,木块几乎不动;第二 次他将纸较慢地抽出,木块反而被拉动了。这是为什么? 解析:物体动量的改变不是取决于合力的大小,而是取决于合力冲量的大小。在水平方 向上,第一次木块受到的是滑动摩擦力,一般来说大于第二次受到的静摩擦力;但第一次力 的作用时间极短,摩擦力的冲量小,因此木块没有明显的动量变化,几乎不动。第二次摩擦 力虽然较小,但它的作用时间长,摩擦力的冲量反而大,因此木块会有明显的动量变化。
62

3.动量定理的定量计算 ⑴明确研究对象和研究过程。 研究对象可以是一个物体, 也可以是几个物体组成的质点 组。质点组内各物体可以是保持相对静止的,也可以是相对运动的。研究过程既可以是全过 程,也可以是全过程中的某一阶段。 ⑵进行受力分析。只分析研究对象以外的物体施给研究对象的力。 ⑶规定正方向。由于力、冲量、速度、动量都是矢量,在一维的情况下,列式前要先规 定一个正方向,和这个方向一致的矢量为正,反之为负。 ⑷写出初、 末动量和合外力的冲量 (或各外力在各个阶段的冲量的矢 A 量和)。 ⑸根据动量定理列式求解。 【例 5】质量为 m 的小球,从沙坑上方自由下落,经过时间 t1 到达沙 B 坑表面,又经过时间 t2 停在沙坑里。求:⑴沙对小球的平均阻力 F;⑵小 球在沙坑里下落过程所受的总冲量 I。 C 解析:设刚开始下落的位置为 A,刚好接触沙的位置为 B,在沙中到 达的最低点为 C。⑴在下落的全过程对小球用动量定理:重力作用时间为 t1+t2,而阻力作用时间仅为 t2,以竖直向下为正方向,有: m g ( t 1 + t 2 ) - F t 2 = 0 , 解得: F

?

m g?t1 ? t 2 ? t2

⑵仍然在下落的全过程对小球用动量定理:在 t1 时间内只有重力的冲量,在 t2 时间内 只有总冲量(已包括重力冲量在内),以竖直向下为正方向,有: mgt1-I=0, ∴ I=mgt1 点评:若本题目给出小球自由下落的高度,可先把高度转换成时间后再用动量定理。当 t1>> t2 时,F>>mg。 【例 6】 质量为 M 的汽 车带着质量为 m 的拖车在平 v0 v/ 直公路上以加速度 a 匀加速 m M 前进,当速度为 v0 时拖车突 然与汽车脱钩, 到拖车停下瞬 间司机才发现。 若汽车的牵引力一直未变, 车与路面的动摩擦因数为μ , 那么拖车刚停下时, 汽车的瞬时速度是多大? 解析:以汽车和拖车系统为研究对象,全过程系统受的合外力始终为 ?M ? m?a ,该过 程经历时间为 v0/μ g,末状态拖车的动量为零。全过程对系统用动量定理可得: ?M ? m?a ? v0 ? Mv? ? ?M ? m?v0 ,? v? ? ?M ? m??a ? ?g ? v0 ?g ?Mg 【例 7】 质量为 m=1kg 的小球由高 h1=0.45m 处自由下落,落到水平地 面后,反跳的最大高度为 h2=0.2m,从小球下落到反跳到最高点经历的时间 为Δ t=0.6s,取 g=10m/s2。求:小球撞击地面过程中,球对地面的平均压力 的大小 F。 解析:以小球为研究对象,从开始下落到反跳到最高点的全过程动量变 化为零, 根据下降、 上升高度可知其中下落、 上升分别用时 t1=0.3s 和 t2=0.2s, 因此与地面作用的时间必为 t3=0.1s。由动量定理得:mgΔ t-Ft3=0 ,F=60N 4.在 F-t 图中的冲量:F-t 图上的“面积”表示冲量的大小。 【例 11】(难)跳伞运动员从 2000m 高处跳下,开始下落过程未打开降落伞,假设初 速度为零,所受空气阻力与下落速度大小成正比,最大降落速度为 vm=50m/s。运动员降落 到离地面 s=200m 高处才打开降落伞,在 1s 内速度均匀减小到 v1=5.0m/s,然后匀速下落到 地面,试求运动员在空中运动的时间。 解析:整个过程中,先是变加速运动,接着匀减 速,最后匀速运动,作出 v—t 图线如图(1)所示。 由于第一段内作非匀变速直线运动,用常规方法很难
63

求得这 1800m 位移内的运动时间。 考虑动量定理, 将第一段的 v—t 图按比例转化成 f—t 图, 如图(2)所示,则可以巧妙地求得这段时间。 设变加速下落时间为 t1, mgt 1 ? I f ? mv m

I f ? ?f ? ?t ? ?kv ? ?t ? k?v ? ?t ? k ? s1
又:mg=kvm,得 k ? 所以: m gt 1 ?

mg vm

m gs 1 ? m vm vm

t1 ?

vm s1 50 1800 ? ? ? ? 41s g vm 10 50

第二段 1s 内: a 2 ? 5 ? 50 ? ?45m / s 2 1

s2 ?

2 v 2 ? vm ? 27.5m 2a 2

所以第三段时间 t 3 ?

s ? s 2 200 ? 27.5 ? ? 34.5s v 5

空中的总时间: t ? t1 ? t 2 ?t 3 ? 76.5s

三、针对训练 1.对于力的冲量的说法,正确的是 ( ) A.力越大,力的冲量就越大 B.作用在物体上的力大,力的冲量也不一定大 C. F1 与其作用时间 t1 的乘积 F1t1 等于 F2 与其作用时间 t2 的乘积 F2t2, 则这两个冲量相 同 D.静置于地面的物体受到水平推力 F 的作用,经时间 t 物体仍静止,则此推力的冲量 为零 2.下列关于动量的说法中,正确的是 A.物体的动量改变,其速度大小一定改变 B.物体的动量改变,其速度方向一定改变 C.物体运动速度的大小不变,其动量一定不变 D.物体的运动状态改变,其动量一定改变 ( )

3.如图所示为马车模型,马车质量为 m ,马的拉力 F 与水平方向成θ 角,在拉力 F 的拉力作用下匀速前进了时间 t,则在时间 t 内拉力、重力、阻力对物体的冲量大小分别为 ( ) A.Ft,0,Ftsinθ B.Ftcosθ ,0,Ftsinθ C.Ft,mgt,Ftcosθ D.Ftcosθ ,mgt ,Ftcosθ 4.一个质量为 m 的小钢球,以速度 v1 竖直向下射到质量较大的水平钢板上,碰撞后被 竖直向上弹出,速度大小为 v2,若 v1 = v2 = v,那么下列说法中正确的是 ( ) A.因为 v1 = v2,小钢球的动量没有变化 B.小钢球的动量变化了,大小是 2mv,方向竖直向上 C.小钢球的动量变化了,大小是 2mv,方向竖直向下 D.小钢球的动量变化了,大小是 mv,方向竖直向上 5.物体动量变化量的大小为 5kg?m/s,这说明 ( ) A.物体的动量在减小 B.物体的动量在增大
64

C.物体的动量大小也可能不变

D.物体的动量大小一定变化

6.初动量相同的 A、B 两滑冰者,在同样冰面上滑行,已知 A 的质量大于B的质量, 并且它们与冰面的动摩擦因数相同,则它们从开始到停止的滑行时间相比,应是( ) A.tA>tB B.tA=tB C.tA<tB D.不能确定 7.质量为 m 的钢球自高处落下,以速率 v1 碰地,竖直向上弹回,碰撞时间极短,离地 的速率为 v2。在碰撞过程中,地面对钢球的冲量方向和大小为 ( ) A.向下,m(v1-v2) B.向下,m(v1+v2) C.向上,m(v1-v2) D.向上,m(v1+v2) 8.某物体以-定初速度沿粗糙斜面向上滑,如果物体在上滑过程中受到的合冲量大小 为I上,下滑过程中受到的合冲量大小为I下,它们的大小相比较为( ) A.I 上> I 下 B.I 上<I 下 C.I 上=I 下 D.条件不足,无法判定 9.对下列几个物理现象的解释,正确的有( ) A.击钉时,不用橡皮锤仅仅是因为橡皮锤太轻 B.跳高时,在沙坑里填沙,是为了减小人落地时地面对人的冲量 C.在车内推车推不动,是因为外力冲量为零 D.初动量相同的两个物体受相同制动力作用,质量小的先停下来 10.质量相等的 A、B 两个物体,沿着倾角分别 和β 的两个光滑斜面,由静止从同一高度 h 2 开始下 同样的另一高度 h 1 的过程中(如图所示),A、B 物体相同的物理量是( ) A.所受重力的冲量 B.所受支持力的冲量 C.所受合力的冲量 D.动量改变量的大小 为α 滑到 两个

11.三颗水平飞行的质量相同的子弹 A、B、C 以相同速度分别射向甲、乙、丙三块竖 直固定的木板。A 能穿过甲木板,B 嵌入乙木板,C 被丙木板反向弹回。上述情况木板受到 的冲量最大的是 A.甲木板 B.乙木板 C.丙木板 D.三块一样大 13.以初速度 20m/s 竖直向上抛出一个质量为 0.5kg 的物体,不计空气阻力,g 取 10m/s2 .则抛出后第 1s 末物体的动量为 ______kg ? m/s ,抛出后第 3s 末物体的动量为 ____kg?m/s,抛出 3s 内该物体的动量变化量是_____kg?m/s.(设向上为正方向) 16.质量为1kg的物体沿直线运动,其 v-t 图象如图所示,则此物体前 4s 和后 4s 内 受到的合外力冲量分别为 __________和_____________。

17.科学家设想在未来的航天事业中用太阳帆来加速星际 宇宙飞船.按照近代光的粒子说,光由光子组成,飞船在太空 中张开太阳帆,使太阳光垂直射到太阳帆上,太阳帆面积为 S, 太阳帆对光的反射率为 100﹪,设太阳帆上每单位面积每秒到 达 n 个光子,每个光子的动量为 p,如飞船总 质量为 m,求飞 船加速度的表达式。如太阳帆面对阳光一面是黑色的,情况又如何?

65

18.如图所示,水力采煤时,用水枪在高压下喷出强力的水柱冲击煤层,设水柱直径为 d = 30cm,水速 v =50m/s,假设水柱射在煤层的表面上,冲击煤层后水的速度变为零,求水 柱对煤层的平均冲击力.(水的密度ρ = 1.0?103kg/m3) 19.震惊世界的“9.11” 事件中,从录像可以看到客机切入大厦及大厦的坐塌过程. (1)设飞机质量为 m、速度为 v,撞机经历时间为 t,写出飞机对大厦撞击力的表达式. (2) 撞击世贸大厦南楼的是波音 767 飞机, 波音 767 飞机总质量约 150 吨, 机身长度为 48.5m, 撞楼时速度约 150m/s,世贸大厦南楼宽 63m,飞机头部未从大楼穿出,可判断飞机在楼内 运动距离约为机身长度,设飞机在楼内作匀减速运动,估算撞机时间及飞机对大厦撞击力。 参考答案
1.B 2.D 3.C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.CD 9.A 10.C 11.D 13.5,-15 16.0,-8N?S 17. F ? t 12. C ; a2

? n[ P ? (?P)]st , F ? 2nPs ? ma1 , a1 ?

2nPs m

?

nPs m

18.设时间为 1s, ?m 19(1) F

d ? ?V ? ? ? vt ? ? ( ) 2 ,由 F?t=△P,得 F=1.77×105N 2

?

mv t

;(2)可认为飞机在楼内运动距离红为 50m, s

? vt ,得 t ?

2 s, 3

F=3.4?107N

第 2 单元

动量守恒定律及其应用

一、动量守恒定律 1.动量守恒定律的内容 一个系统不受外力或者受外力之和为零,这个系统的总动量保持不变。 ? ? m2 v2 ? 即: m1v1 ? m2 v2 ? m1v1 守恒是指整个过程任意时刻相等(时时相等,类 比匀速) 定律适用于宏观和微观高速和低速 2.动量守恒定律成立的条件 ⑴系统不受外力或者所受外力之和为零; ⑵系统受外力,但外力远小于内力,可以忽略不计; ⑶系统在某一个方向上所受的合外力为零,则该方向上动量守恒。 3.动量守恒定律的表达形式 ? ? m2 v2 ? ,即 p 1 + p 2 = p 1 / + p 2 / , (1) m1v1 ? m2 v2 ? m1v1 (2)Δ p1+Δ p2=0,Δ p1= -Δ p2 4、理解:①正方向②同参同系③微观和宏观都适用 5.动量守恒定律的重要意义 从现代物理学的理论高度来认识, 动量守恒定律是物理学中最基本的普适原理之一。 (另 一个最基本的普适原理就是能量守恒定律。)从科学实践的角度来看,迄今为止,人们尚未 发现动量守恒定律有任何例外。 5.应用动量守恒定律解决问题的基本思路和一般方法 (1)分析题意,明确研究对象.在分析相互作用的物体总动量是否守恒时,通常把这些 被研究的物体总称为系统. (2)要对各阶段所选系统内的物体进行受力分析,弄清哪些是系统内部物体之间相互 作用的内力,哪些是系统外物体对系统内物体作用的外力.在受力分析的基础上根据动量守 恒定律条件,判断能否应用动量守恒。 (3)明确所研究的相互作用过程,确定过程的始、末状态,即系统内各个物体的初动 量和末动量的量值或表达式。 注意:在研究地面上物体间相互作用的过程时,各物体的速度均应取地球为参考系。
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(4)确定好正方向建立动量守恒方程求解。 二、动量守恒定律的应用 1.碰撞 两 个物 体在极 短时 间内 v1/ v2/ v1 v 发生相互作用,这种情况称为 碰撞。由于作用时间极短,一 A A B A B A 般都满足内力远大于外力,所 B Ⅰ Ⅱ Ⅲ 以可以认为系统的动量守恒。 碰撞又分弹性碰撞、非弹性碰 撞、完全非弹性碰撞三种。 仔细分析一下碰撞的全过程:设光滑水平面上,质量为 m1 的物体 A 以速度 v1 向质量为 m2 的静止物体 B 运动,B 的左端连有轻弹簧。在Ⅰ位置 A、B 刚好接触,弹簧开始被压缩, A 开始减速,B 开始加速;到Ⅱ位置 A、B 速度刚好相等(设为 v),弹簧被压缩到最短; 再往后 A、B 开始远离,弹簧开始恢复原长,到Ⅲ位置弹簧刚好为原长,A、B 分开,这时 A、 ?和v2 ? 。全过程系统动量一定是守恒的;而机械能是否守恒就要看弹簧的 B 的速度分别为 v1 弹性如何了。 (1)弹簧是完全弹性的。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少全部转化为弹性势能,Ⅱ状态系统动能 最小而弹性势能最大; Ⅱ→Ⅲ弹性势能减少全部转化为动能; 因此Ⅰ、 Ⅲ状态系统动能相等。 这种碰撞叫做弹性碰撞。由动量守恒和能量守恒可以证明 A 、 B 的最终速度分别为:

?? v1

m1 ? m2 2m1 ? ? v1 , v 2 v1 。(这个结论最好背下来,以后经常要用到。) m1 ? m2 m1 ? m2

(2)弹簧不是完全弹性的。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少,一部分转化为弹性势能,一部分转 化为内能, Ⅱ状态系统动能仍和⑴相同, 弹性势能仍最大, 但比⑴小; Ⅱ→Ⅲ弹性势能减少, 部分转化为动能, 部分转化为内能; 因为全过程系统动能有损失 (一部分动能转化为内能) 。 这种碰撞叫非弹性碰撞。 (3)弹簧完全没有弹性。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少全部转化为内能,Ⅱ状态系统动能仍和 ⑴相同,但没有弹性势能;由于没有弹性,A、B 不再分开,而是共同运动,不再有Ⅱ→Ⅲ

? ? v2 ? ? 过程。 这种碰撞叫完全非弹性碰撞。 可以证明, A、 B 最终的共同速度为 v1
在完全非弹性碰撞过程中,系统的动能损失最大,为:

m1 v1 。 m1 ? m2

m1m2 v12 1 1 2 2 ? ?Ek ? m1v1 ? ?m1 ? m2 ?v ? 。 2 2 2?m1 ? m2 ?
【例 1】 质量为 M 的楔形物块上有圆弧轨道,静止在水平 v1 上。质量为 m 的小球以速度 v1 向物块运动。不计一切摩擦,圆 于 90°且足够长。 求小球能上升到的最大高度 H 和物块的最终 v。 解析:系统水平方向动量守恒,全过程机械能也守恒。 ? 小球上升过程中,由水平系统动量守恒得: m v 1 ? ?M ? m?v 面 弧小 速度

2 Mv1 1 1 2 2 ? ? ? mv ? M ? m v ? mgH H ? 1 由系统机械能守恒得: 2 解得 2 2?M ? m?g 2m v 全过程系统水平动量守恒,机械能守恒,得 v ? M ?m 1

【例 2】 动量分别为 5kg?m/s 和 6kg?m/s 的小球 A、B 沿光滑平面上的同一条直线同向 运动,A 追上 B 并发生碰撞后。若已知碰撞后 A 的动量减小了 2kg?m/s,而方向不变,那么
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A、B 质量之比的可能范围是什么? 解析:A 能追上 B,说明碰前 vA>vB,∴

5 6 ;碰后 A 的速度不大于 B 的速度, ? mA mB

3 8 52 62 32 8 2 ,由 ? ;又因为碰撞过程系统动能不会增加, ? ? ? mA mB 2m A 2mB 2m A 2mB 3 mA 4 以上不等式组解得: ? ? 8 mB 7
点评:此类碰撞问题要考虑三个因素:①碰撞中系统动量守恒;②碰撞过程中系统动能 不增加;③碰前碰后两个物体位置关系(不穿越)和速度大小应保证其顺序合理。

2.子弹打木块类问题 子弹打木块实际上是一种完全非弹性碰撞。作 为一 个典型,它的特点是:子弹以水平速度射向原来静 止的 v0 木块,并留在木块中跟木块共同运动。下面从动量、 能量 和牛顿运动定律等多个角度来分析这一过程。 s2 d 【例 3】 设质量为 m 的子弹以初速度 v0 射向静 止在 s1 光滑水平面上的质量为 M 的木块,并留在木块中不 再射 出,子弹钻入木块深度为 d。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。 解析:子弹和木块最后共同运动,相当于完全非弹性碰撞。 从动量的角度看,子弹射入木块过程中系统动量守恒: mv0 ? ?M ? m?v 从能量的角度看, 该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。 设平均阻力大小为 f, 设子弹、木块的位移大小分别为 s1、s2,如图所示,显然有 s1-s2=d 1 2 对子弹用动能定理: f ? s1 ? 1 mv 0 ??① ? mv 2 2 2 对木块用动能定理: f ? s 2 ? ①、②相减得: f ? d ?

1 Mv 2 2

??②

1 2 1 Mm 2 ??③ m v0 ? ?M ? m?v 2 ? v0 2 2 2?M ? m? 点评:这个式子的物理意义是:f?d 恰好等于系统动能的损失;根据能量守恒定律,系 统动能的损失应该等于系统内能的增加;可见 f ? d ? Q ,即两物体由于相对运动而摩擦产 生的热(机械能转化为内能),等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积(由于摩擦 力是耗散力,摩擦生热跟路径有关,所以这里应该用路程,而不是用位移)。 2 Mm v0 由上式不难求得平均阻力的大小: f ? 2?M ? m ?d m 至于木块前进的距离 s2,可以由以上②、③相比得出: s 2 ? d M ?m 从牛顿运动定律和运动学公式出发, 也可以得出同样的结论。 由于子弹和木块都在恒力 作用下做匀变速运动,位移与平均速度成正比: ?v ? v ? / 2 v0 ? v d v0 M ? m s2 ? d m ? 0 ? ,? ? ? , s2 ? d s2 v/2 v s2 v m M ?m 一般情况下 M ?? m ,所以 s2<<d。这说明,在子弹射入木块过程中,木块的位移很小, 可以忽略不计。这就为分阶段处理问题提供了依据。象这种运动物体与静止物体相互作用, Mm 2 动量守恒,最后共同运动的类型,全过程动能的损失量可用公式: ?E k ? 2?M ? m ? v 0 ? ④ 当子弹速度很大时,可能射穿木块,这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等,但穿 透过程中系统动量仍然守恒,系统动能损失仍然是Δ EK= f ?d(这里的 d 为木块的厚度),
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但由于末状态子弹和木块速度不相等,所以不能再用④式计算Δ EK 的大小。 3.反冲问题 在某些情况下, 原来系统内物体具有相同的速度, 发生相互作用后各部分的末速度不再 相同而分开。这类问题相互作用过程中系统的动能增大,有其它能向动能转化。可以把这类 问题统称为反冲。 【例 4】 质量为 m 的人站在质量为 M,长为 L 的静止小船的右端,小船的左端靠在岸 边。当他向左走到船的左端时,船左端离岸多远? 解析:先画出示意图。人、船系统动量守恒,总动量始终为零,所以人、船动量大小始 终相等。从图中可以看出,人、船的位移大小之和等于 L。设人、船位移大小分别为 l1、l2, 则: mv1=Mv2,两边同乘时间 t,ml1=Ml2,而 l1+l2=L, ∴ l2 ?

m L M ?m

点评:应该注意到:此结论与人在船上行走的速度 大 小无关。 不论是匀速行走还是变速行走, 甚至往返行走, 只 要人最终到达船的左端,那么结论都是相同的。 以上列举的人、船模型的前提是系统初动量为零。如果 发 生相互作用前系统就具有一定的动量,就不能再用 m2v2 m1v1=m2v2 这种形式列方程,而要用 (m1+m2)v0= m1v1+ 列式。 【例 5】 总质量为 M 的火箭模型 从飞机上释放时的速度为 v0,速度方向水平。火箭 向后以相对于地面的速率 u 喷出质量为 m 的燃气后,火箭本身的速度变为多大? 解析:火箭喷出燃气前后系统动量守恒。喷出燃气后火箭剩余质量变为 M-m,以 v0 方 向为正方向, Mv0 ? ?m u ? ?M ? m ?v ?, v ? ?

Mv0 ? m u M ?m

4.爆炸类问题 【例 6】 抛出的手雷在最高点时水平速度为 10m/s,这时突然炸成两块,其中大块质量 300g 仍按原方向飞行,其速度测得为 50m/s,另一小块质量为 200g,求它的速度的大小和 方向。 分析:手雷在空中爆炸时所受合外力应是它受到的重力 G=( m1+m2 )g,可见系统的动量 并不守恒。但在爆炸瞬间,内力远大于外力时,外力可以不计,系统动量近似守恒。 设手雷原飞行方向为正方向,则整体初速度 v0 ? 10m / s ;m1=0.3kg 的大块速度为

v1 ? 50 m/s、m2=0.2kg 的小块速度为 v 2 ,方向不清,暂设为正方向。 由动量守恒定律: (m1 ? m2 )v0 ? m1v1 ? m2 v2 (m ? m2 )v0 ? m1v1 (0.3 ? 0.2) ? 10 ? 0.3 ? 50 v2 ? 1 ? ? ?50 m/s m2 0.2
此结果表明,质量为 200 克的部分以 50m/s 的速度向反方向运动,其中负号表示与所设 正方向相反 5.某一方向上的动量守恒 【例 7】 如图所示,AB 为一光滑水平横杆,杆上套一 质量为 M 的小圆环,环上系一长为 L 质量不计的细绳,绳 的另一端拴一质量为 m 的小球, 现将绳拉直, 且与 AB 平行, 由静止释放小球,则当线绳与 A B 成θ 角时,圆环移动的距离是多少? 解析:虽然小球、细绳及圆环在运动过程中合外力不为零(杆的支持力与两圆环及小球 的重力之和不相等)系统动量不守恒,但是系统在水平方向不受外力,因而水平动量守恒。 设细绳与 AB 成θ 角时小球的水平速度为 v,圆环的水平速度为 V,则由水平动量守恒有: MV=mv 且在任意时刻或位置 V 与 v 均满足这一关系,加之时间相同,公式中的 V 和 v 可分别
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用其水平位移替代,则上式可写为: Md=m[(L-Lcosθ )-d] 解得圆环移动的距离: d=mL(1-cosθ )/(M+m) 6.物块与平板间的相对滑动 【例 8】 如图所示, 一质量为 M 的平板车 B 放在光滑水平面上, 在其右端放一质量为 m 的小木块 A,m<M,A、B 间动摩擦因数为μ ,现给 A 和 B 以大小相等、方向相反的初速度 v0,使 A 开始向左运动,B 开始向右运动,最后 A 不会滑离 B,求: (1)A、B 最后的速度大小和方向; (2)从地面上看,小木块向左运动到离出发点最远处时,平板车向右运动位移大小。 解析:(1)由 A、B 系统动量守恒定律得: Mv0-mv0=(M+m)v ① 所以 v=

M ?m v0 M ?m

方向向右

(2)A 向左运动速度减为零时,到达最远处,此时板车移动位移为 s,速度为 v′,则由 动量守恒定律得:Mv0-mv0=Mv′ ① 对板车应用动能定理得:

1 1 mv′2- mv02 ② 2 2 2M ? m 2 联立①②解得:s= v0 2 ?m g
-μ mgs= 【例 9】两块厚度相同的木块 A 和 B,紧靠着放在光滑的水平面上,其质量分别为

m A ? 0.5kg , mB ? 0.3kg ,它们的下底面光滑,上表面粗糙;另有一质量 mC ? 0.1kg 的
滑块 C(可视为质点),以 vC ? 25m / s 的速度恰好水平地滑到 A 的上表面,如图所示,由 于摩擦,滑块最后停在木块 B 上,B 和 C 的共同速度为 3.0m/s,求:

?。 (1)木块 A 的最终速度 v A ; (2)滑块 C 离开 A 时的速度 vC 解析:这是一个由 A、B、C 三个物体组成的系统,以这系统为研究对象,当 C 在 A、 B 上滑动时,A、B、C 三个物体间存在相互作用,但在水平方向不存在其他外力作用,因此 系统的动量守恒。 (1)当 C 滑上 A 后,由于有摩擦力作用,将带动 A 和 B 一起运动,直至 C 滑上 B 后,
A、B 两木块分离,分离时木块 A 的速度为 v A 。最后

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