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含绝对值的不等式知识点


含绝对值的不等式
1.绝对值的意义是: x ? ?

?x ( x ? 0) . ?? x ( x ? 0)

2.|x|<a(a>0)的解集是{x|-a<x<a} . |x|>a(a>0)的解集是{x|x<-a 或 x>a} . 【思考导学】 1.|ax+b|<b(b>0)转化成-b<ax+b<b 的根据是什么? 答:含绝对值的

不等式|ax+b|<b 转化-b<ax+b<b 的根据是由绝对值的意义确定. 2.解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么? 答:解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不 等式,而后,其解法就与解一般不等式或不等式组相同. 【典例剖析】 [例 1]解不等式 2<|2x-5|≤7.

?| 2 x ? 5 |? 2 解法一:原不等式等价于 ? ?| 2 x ? 5 |? 7
7 3 ? ?2 x ? 5 | 2或2 x ? 5 ? ?2 ? x ? 或x ? ∴? 即? 2 2 ?? 7 ? 2 x ? 5 |? 7 ? ? 1 ? x ? 6 ?
∴原不等式的解集为{x|-1≤x<

3 7 或 <x≤6} 2 2

解法二:原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集

?2 x ? 5 ? 0 (Ⅰ) ? ?2 ? 2 x ? 5 ? 7 ?2 x ? 5 ? 0 (Ⅱ) ? ?2 ? 5 ? 2 x ? 7

7 <x≤6} 2 3 不等式组(Ⅱ)的解集是{x|-1≤x< } 2 3 7 ∴原不等式的解集是{x|-1≤x< 或 <x≤6} 2 2
不等式组(Ⅰ)的解集为{x| 解法三:原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集. (Ⅰ)2<2x-5≤7 (Ⅱ)2<5-2x≤7

7 <x≤6} 2 3 不等式(Ⅱ)的解集是{x|-1≤x< } 2 3 7 ∴原不等式的解集是{x|-1≤x< 或 <x≤6} . 2 2
不等式(Ⅰ)的解集为{x| 点评:含绝对值的双向不等式的解法,关键是去绝对值号.其方法一是转 化为单向不等式组如解法一,再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三.

[例 2]解关于 x 的不等式: (1)|2x+3|-1<a(a∈R); (2)|2x+1|>x+1. 解:(1)原不等式可化为|2x+3|<a+1 当 a+1>0,即 a>-1 时,由原不等式得-(a+1)<2x+3<a+1

a?4 a?2 <x< 2 2 当 a+1≤0,即 a≤-1 时,原不等式的解集为 ? , a?4 a?2 } 综上,当 a>-1 时,原不等式的解集是{x|- < x< 2 2 当 a≤-1 时,原不等式的解集是 ? .
- (2)原不等式可化为下面两个不等式组来解

?2 x ? 1 ? 0 ?2 x ? 1 ? 0 (Ⅰ) ? 或(Ⅱ) ? ?2 x ? 1 ? x ? 1 ?? (2 x ? 1) ? x ? 1
不等式组(Ⅰ)的解为 x>0 不等式组(Ⅱ)的解为 x<-

2 3

2 或 x>0} 3 点评:由于无论 x 取何值, 关于 x 的代数式的绝对值均大于或等于 0, 即不可能小于 0, 故|f(x)|<a(a ≤0)的解集为 ? .
∴原不等式的解集为{x|x<- 解不等式分情况讨论时,一定要注意是对参数分类还是对变量分类,对参数分类的解集一般不合并,如 (1)对变量分类,解集必须合并如(2). 例 3]解不等式|x-|2x+1||>1. 解:∵由|x-|2x+1||>1 等价于(x-|2x+1|)>1 或 x-|2x+1|<-1 (1)由 x-|2x+1|>1 得|2x+1|<x-1

?2 x ? 1 ? 0 ?2 x ? 1 ? 0 ∴? 或? ?2 x ? 1 ? x ? 1 ?? (2 x ? 1) ? x ? 1
1 1 ? ? ?x ? ?x ? ? 即? 2 或? 2 均无解 ? ? x ? ? 2 x ? 0 ? ?
(2)由 x-|2x+1|<-1 得|2x+1|>x+1

?2 x ? 1 ? 0 ?2 x ? 1 ? 0 ∴? 或? ?2 x ? 1 ? x ? 1 ?? (2 x ? 1) ? x ? 1

1 ? 1 ?x ? ? ? 2 ?x ? ? ? 2 即? ,∴x>0 或 x<- 2 或? 3 ? ?x ? ? 2 ?x ? 0 ? 3 ?
综上讨论,原不等式的解集为{x|x<-

2 或 x>0}. 3

点评:这是含多重绝对值符号的不等式,可以从“外”向“里” ,反复应用解答绝对值基本不等式类型的 方法,去掉绝对值的符号,逐次化解. 【随堂训练】 1.不等式|8-3x|>0 的解集是( ) A. ? B.R

C.{x|x≠

8 ,x∈R} 3

D. {

8 } 3

答案: C 2.下列不等式中,解集为 R 的是( ) A.|x+2|>1 B.|x+2|+1>1 2 2 C.(x-78) >- 1 D.(x+78) -1>0 答案: C 3.在数轴上与原点距离不大于 2 的点的坐标的集合是( A. {x|-2<x<2 } B. {x|0<x≤2 } C. {x|-2≤x≤2} D. {x|x≥2 或 x≤-2} 解析: 所求点的集合即不等式|x|≤2 的解集. 答案: C 4.不等式|1-2x|<3 的解集是( ) A. {x|x<1 } B. {x|-1<x<2 }

)

C. {x|x>2} D. {x|x<-1 或 x>2} 解析: 由|1-2x|<3 得-3<2x-1<3,∴-1<x<2 答案: B 5.不等式|x+4|>9 的解集是__________. 解析: 由原不等式得 x+4>9 或 x+4<-9,∴x>5 或 x<-13 答案: {x|x>5 或 x<-13 } 6.当 a>0 时,关于 x 的不等式|b-ax|<a 的解集是________. 解析: 由原不等式得|ax-b|<a,∴-a<ax-b<a

b b -1<x< +1 a a b b ∴{x| -1<x< +1 } a a b b 答案: {x| -1<x< +1} a a
∴ 【强化训练】 1.不等式|x+a|<1 的解集是( ) A. {x|-1+a<x<1+a B. {x|-1-a<x<1-a } C. {x|-1-|a|<x<1-|a| } D. {x|x<-1-|a|或 x>1-|a|} 解析: 由|x+a|<1 得-1<x+a<1 ∴-1-a<x<1-a 答案: B 2.不等式 1≤|x-3|≤6 的解集是( ) A. {x|-3≤x≤2 或 4≤x≤9} B. {x|-3≤x≤9} C. {x|-1≤x≤2} D. {x|4≤x≤9}

?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0 解析: 不等式等价于 ? 或? ?1 ? x ? 3 ? 6 ?1 ? 3 ? x ? 6
解得:4≤x≤9 或-3≤x≤2. 答案: A 3.下列不等式中,解集为{x|x<1 或 x>3}的不等式是( A.|x-2|>5 B.|2x-4|>3

)

x 1 -1|≤ 2 2 x 1 D.1-| -1|< 2 2 解析: A 中,由|x-2|>5 得 x-2>5 或 x-2<-5 ∴x>7 或 x<-3 7 同理,B 的解集为{x|x> 或 x<-1} 2 C 的解集为{x|x≤1 或 x≥3} D 的解集为{x|x<1 或 x>3}
C.1-| 答案: D 4.已知集合 A={x||x-1|<2},B={x||x-1|>1},则 A∩B 等于( ) A.{x|-1<x<3} B.{x|x<0 或 x>3} C.{x|-1<x<0} D.{x|-1<x<0 或 2<x<3} 解析: |x-1|<2 的解为-1<x<3,|x-1|>1 的解为 x<0 或 x>2. ∴A∩B={x|-1<x<0 或 2<x<3}. 答案: D 5.已知不等式|x-2|<a(a>0)的解集是{x|-1<x<b},则 a+2b= 解析: 不等式|x-2|<a 的解集为{x|2-a<x<2+a} 由题意知: {x|2-a<x<2+a}={x|-1<x<b}



?2 ? a ? ?1 ?a ? 3 ∴? ?? ?2 ? a ? c ?c ? 5
∴a+2b=3+2×5=13 答案: 13 6.不等式|x+2|>x+2 的解集是______. 解析: ∵当 x+2≥0 时,|x+2|=x+2,x+2>x+2 无解. 当 x+2<0 时,|x+2|=-(x+2)>0>x+2 ∴当 x<-2 时,|x+2|>x+2 答案: {x|x<-2} 7.解下列不等式: (1)|2-3x|≤2;(2)|3x-2|>2. 解:(1)由原不等式得-2≤2-3x≤2,各加上-2 得-4≤-3x≤0,各除以-3 得 ≤x≤

4 ≥x≥0,解集为{x|0 3

4 }. 3 4 4 ,故解集为{x|x<0 或 x> }. 3 3

(2)由原不等式得 3x-2<-2 或 3x-2>2,解得 x<0 或 x> 8.解下列不等式:(1)3≤|x-2|<9;(2)|3x-4|>1+2x.

解:(1)原不等式等价于不等式组

由①得 x≤-1 或 x≥5; 由②得-7<x<11,把①、②的解表示在数轴上(如图), ∴原不等式的解集为{x|-7<x≤-1 或 5≤x<11}. (2)原不等式等价于下面两个不等式组,即原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集:

?3x ? 4 ? 0, ?3x ? 4 ? 0, ①? ②? ?? (3x ? 4) ? 1 ? 2 x. ?3x ? 4 ? 1 ? 2 x;
由不等式组①解得 x>5;由不等式组②解得 x< ∴原不等式的解集为{x|x<

3 . 5

3 或 x>5}. 5 9.设 A={x||2x-1|≤3} ,B={x||x+2|<1} ,求集合 M,使其同时满足下列三个条件: (1)M ? [(A∪B)∩Z] ; (2)M 中有三个元素; (3)M∩B≠ ? 解:∵A={x||2x-1|≤3}={x|-1≤x≤2} B={x||x+2|<1}={x|-3<x<-1} ∴M ? [(A∪B)∩Z]={x|-1≤x≤2}∪{x|-3<x<-1}∩Z={x|-3<x≤2}∩Z={-2,-
1,0,1,2} 又∵M∩B≠ ? ,∴-2∈M. 又∵M 中有三个元素 ∴同时满足三个条件的 M 为: {-2,-1,0} , {-2,-1,1} , {-2,-1,2} , {-2,0,1} , {-2,0,2} , {-2,1,2} . 【学后反思】 解绝对值不等式,关键在于“转化” .根据绝对值的意义,把绝对值不等式转化为一次不等式(组). |x|<a 与|x|>a(a>0)型的不等式的解法及利用数轴表示其解集. 不 等 式 | x | < a(a > 0) 的 解 集 是 { x | - a < x < a } . 其 解 集 在 数 轴 上 表 示 为 ( 见 图 1 — 7) :

不等式|x|>a(a>0)的解集是{x|x>a 或 x<-a} ,其解集在数轴上表示为(见图 1—8): 把不等式|x|<a 与|x|>a(a>0)中的 x 替换成 ax+b,就可以得到|ax+b|<b 与|ax+b|>b(b >0)型的不等式的解法.


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