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10杨浦一模试卷


杨浦区 2009 学年度高三学科测试

数学试卷
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号.
2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

2010.1.21

3.本试卷为文、理合卷,题首标有文科考生做、理科考生做的题目,没有标记的是“文” 、 “理”考生共

同做的题目.

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若集合 A ? x x ? 1 > 2
3

?

? , U ? R ,则 ?
3

U

A?
.

.

2.命题“若 a ? b ,则 a ? b ”的逆命题是_____ 3.两直角边之和为 4 的直角三角形面积最大值等于 4.设函数 f ? x ? ?

. .

? x ? 1?? x ? a ? 为奇函数,则实数 a ?
x
.

5.计算: lim

2 Cn ? n ?? 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n

?1 3 5? 6.若线性方程组的增广矩阵为 ? ? ,则该线性方程组的解是 ? 2 4 6?



7.某公司有 25 名雇员,他们的工资情况如下表所示: 年薪(千元) 135.0 人数 1 95.0 1 80.0 2 70.0 1 60.0 3 52.0 4 40.0 1 31.0 12

(文科考生做)他们年薪的中位数是 (理科考生做)职工年薪的标准差是

(千元) . (结果精确到 0.1) (千元) . (结果精确到 0.1)

--1--

8.根据右边的框图,建立所打印数列的递推公式 9.若 (ax ? 1)5 的展开式中 x 3 的系数是 80,则实数 a 的值 是 .



10. ?ABC 中三内角 A 、 B、 C 所对边为 a 、 b、 c .若行列式

b a ? b sin B ? ? 0 ,且角 A ? ,则 3 c c b



11.设函数 f ? x ? ? a x?1 ? 2 ( a > 1 )的反函数为 y ? f ?1 ? x ? , (文科考生做)则 f ?1 ? ?1? ? . .

(理科考生做) 若函数 y ? f ?1 ? x ? 的图像不经过第二象限 , 则 a 的取值范围

12 .若将一颗质地均匀的骰子,先后抛掷两次,出现向上的点数分别为 a 、b ,设复数

z ? a ? bi ,则使复数 z 2 为纯虚数的概率是

.

13. 在体积为 4 3? 的球的表面上有 A 、B 、C 三点, AB ? 1 , BC ? 2 , A 、C 两点的球

面距离为

3 ?. 3

(文科考生做)则 AB ? BC ? _________. (理科考生做)则球心到平面 ABC 的距离为_________. 14.设 a1 , a2 , a3 , ???, an 是各项均不为零的等差数列 (n ? 4) ,且公差 d ? 0 ,若将此数列删 去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列,则

a1 的所有可能值是 d



--2--

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答案纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分。 15.幂函数 y ? f ( x) 的图像经过点 (4, ) ,则 f ( ) 的值为

1 2

1 4

(

).

? A?
16. “? ?

1

?B?

2

?C?

3

?D?

4
( ).

2? ?? ? ”是“ tan ? ? 2cos ? ? ? ? ”的 3 ?2 ?

? A ? 充分非必要条件 ? C ? 充要条件
2

? B ? 必要非充分条件

? D ? 即非充分也非必要条件
( ).

17.若 z 是实系数方程 x ? 2x ? p ? 0 的一个虚根,且 z ? 2 ,则 p ?

? A?

2

?B?

3

?C?

4

?D?

5

18.设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义,对于给定的正数 K , 定义函数:

? f ( x), f ( x) ? K , f K ( x) ? ? ? K , f ( x) ? K .

取函数 f ? x ? ? a

?x

( a >1) .当 K ?

1 时, a
( ).

函数 f K ( x) 在下列区间上单调递减的是

? A ? (??, 0)

? B ? ? ? a ,? ? ?

?C?

(??, ?1)

?D?

(1, ??)

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分) 设函数 f

? x ? ? ln ? x 2 ? x ? 6 ? 的定义域为集合 A ,集合 B ? ? x
?

?

? 5 >1 ? . x ?1 ?

请你写出一个一元二次不等式,使它的解集为 A ? B ,并说明理由.

--3--

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 研究人员发现某种特别物质的温度 y (单位:摄氏度)随时间 x (单位:分钟)的变化规 律是: y ? m 2x ? 21? x ( x ? 0 ,并且 m > 0 ) . (1) .如果 m ? 2 ,求经过多少时间,该温度为5摄氏度; (2) .若该物质的温度总不低于2摄氏度,求 m 的取值范围.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图, 过圆锥轴的截面为等腰直角三角形 SAB ,Q 为底面圆周上一点, 已知 BQ ? 2 3 , 圆锥体积为 ? ,点O为底面圆的圆心. (1) .求该圆锥的侧面积; (2) .设异面直线 SA 与 BQ 所成角的大小为 ? , 求 tan ? 的值.

8 3

S

A Q

O

B

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分.
2 已知函数 f ( x) ? 2sin? x cos? x ? 2 3 cos ? x ? 1?

3 (x ? R , ? > 0 ) 的最小正周期

是? . (1)求 ? 的值; (2) (文科考生做)求使 f ( x ) 取得最大值时 x 的集合; (理科考生做)求函数 f ( x ) 的单调增区间;

(3)若不等式

?? ? ? f ? x ? ? m < 2 在 ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?

--4--

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小 题满分 10 分. 已知 ?OAB , OA ? a , OB ? b , a ?

2 , b ? 3 , a ? b ? 1 ,边 AB 上一点 P1 ,这里

OA 的垂线 Q1R1 , R1 是 P1 异于 A 、 B .由 P1 引边 OB 的垂线 PQ 1 1, Q 1 是垂足,再由 Q 1 引边
垂 足 . 又 由 R1 引 边 AB 的 垂 线 R1 P2 , P 2 是垂足.同样的操作连续进行,得到点
? P n ? tn b ? a n 、Qn 、 Rn (n ? N ) . 设 AP

?

?

(0 < t n < 1 ) ,如图.

(1) .求 AB 的值; (2) .某同学对上述已知条件的研究发现如下结论: BQ1 ? ? 结论是否正确?并说明理由; (3) . (文科考生做)当 P 1 1R 1 的面积; 1 、P 2 重合时,求 ?PQ (理科考生做)用 t1 和 n 表示 t n .

2 ?1 ? t1 ? b ,问该同学这个 3

B Q1 P1 O R1
B Qn Pn Pn+1 A

A

O

Rn

--5--

杨浦区数学测试参考答案
一、填空题
1. x ? 1 ? x ? 3 4. ? 1 ;

?

?;

2.若 a ? b ,则 a ? b ;
3 3

3. 2 ;

5.1;

6. ?

? x ? ?1 ?y ? 2


;7.文 40.0;理 25.5 ;

8. ?

? ?a1 ? 3 ? ?an ? an ?1 ? an ?1 ? 1? ? 2 ? n ? 10 ?

9. 2

; 10.

3 2

11.文 ?1 ;理 a ? 2 ;12.

1 3 ; 13.文 0;理 ; 14. ?4 或 1 ; 6 2
17.C 18.D

二、选择题
15.B 16.A

三、解答题
19.解: 函数 f 解 得

? x ? ? ln ? x 2 ? x ? 6 ? 的定义域为 x2 ? x ? 6 >0,
x
> 3 或

x



?2

--------------------------------4



? A ? ? ?? , ? 2? ? ?3 , ? ?? ---------------------------6 分


5 > 1 ,得 x ?1

x?4 < 0 ,-------------------------7 分 x ?1

解得 ?1 < x < 4 ; B ? ? ?1 , 4? -------------------------8 分

? A ? B ? ?3 , 4?
2

-------------------------------------------10 分

故,一元二次不等式为 x ? 7 x ? 12 < 0 ,---------------12 分 20. (1)解 当 m ? 2 ,则 2 ?2 ? 2
x 1? x

?5 ----------------2 分解得 x ? 1 或 x ? ?1 ; 由

x ? 0 ,? x ? 1 -----------5 分
故,经过 1 时间,温度为5摄氏度;-------------------------------6 分

--6--

(2)解 由题意得 m 2x ? 21? x ? 2 对一切 x ? 0 恒成立,-------7 分 则 由 2 >0 ,得 m ?
x

2 2 ? x 2 ? 2 x ?2

---------------------9 分

令t ? 2

?x

则 0< t ? 1 ,
2

1? 1 ? f ? t ? ? ?2t 2 ? 2t ? ?2 ? x ? ? ? ------------------11 分 2? 2 ?
当t ?

1 1 时,取得最大值为 ;-------------------------12 分 2 2 1 2
x

?m ?

故的取值范围为 ?
1? x

?1 ? , ? ? ? ----------------14 分 ?2 ?
---------------10 分

另解: m 2 ? 2

? m 2x ? ,

2 ? 2 2m 2x

1 --------14 分 2 21.解(1)设底面圆的半径为 R ,则由题意得 R ? SO ,----1 分 1 8 ∵ ? R 2 R ? ? , ∴ R ? 2 ----------------------------------3 分 3 3
故,最小值为 2 2m

? 2 2m ? 2 , m ?

母线的长为 SA ?

R 2 ? R 2 ? 2 2 , ----------------------------4 分

所以,圆锥的侧面积为

? R ? SA ? 4 2 ? -------------------------6 分

(2)连接 QO 并延长交圆周于 C 点, (图略) 再连接 AC , AQ , BC , SC , --------------------------------------7 分 则 AO ? BO ? QO ? OC , 所以 四边形 AQBC 是平行四边形,

AC QB , ?SAC 的 大 小 为 异 面 直 线 SA 与 BQ 所 成 角 ? 的 大 小
----------------------------------------10 分 由(1)知,在 ?SAC 中, SA ? SC ? 2 2 , AC ? QB ? 2 3 ,
--7--

-------------------------------------------11 分 过点 S 作 SH ? AC 于点 H , 则 tan ? ?

SH SA2 ? AH 2 5 15 ? ? ? , AH AH 3 3
15 --------------------------------------------------14 分 3
1 ? cos 2? x ) ? sin 2? x ? 1 ? 3 ----2 分 2

? ? ? arctan

22 题(1) f ( x) ? ?2 3(

? sin 2? x ? 3 cos 2? x ? 1 ? 2sin(2? x ? ) ? 1 -------3 分 3 2? ? ? ,所以 ? ? 1 . ---------------------------4 分 由题设可得, 2?
(文科) 由(1)得 f ? x ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ?

?

? ?

π? ?, 3?

当 sin ? 2 x ? 即 2x ?

? ?

π? ? ? 1时,最大值为 3,------------------------------5 分 3?

π ? ? 2 k? ? ? k ? Z ? , -----------------------------------7 分 3 2 5? 所以 ? x x ? k? ? ? (k ? Z ) .-----------------------------10 分 12
(理科) 由(1)得 f ? x ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? 则有 2k? ? 即

? ?

π? ? ,由题意 3?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, (k ? Z ) ------------7 分

k? ?

?

12

? x? ? k?

5? (k ? Z ) 12

故 单调增区间为 ? k? ?

?

12

? x ? k? ?

5? 12

? , (k ? Z ) ----10 分

(3)∵ f ? x ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ?

? ?

π? ?π π? ? .又∵ x ? ? , ? , 3? ?4 2?

--8--

π π 2π ∴ ≤ 2x ? ≤ , ------------------------------------------11 分 6 3 3
即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ?

? ?

π? ? ≤ 3 ,----------------------------------13 分 3?

∴ f ( x)max ? 3 , f ( x)min ? 2 .
?π π? ∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? , ?4 2?
----------------------------------14 分

∴m ? f ( x)max ? 2 , m ? f ( x)min ? 2 , ∴1 ? m ? 4 ,
即 m 的取值范围是 (1 , 4) .---------------------------------------16 分

23.解: (1) 分 则 分

因为 ?OAB , OA ? a , OB ? b ,

a ? 2 , b ? 3 , a? b ? 1---------1

AB ? b ? a ? b ? a ? 2a ? b ? 3 ;所以, AB ? 3 ------------------4
( 2 )该同学的结论正确. --------------------------------------------------------------------------------5

2

2

2

2

分 (证 1)由(1)与已知,得 AB ?
2

3 , OB ? 3 , OA ? 2
2 2

由余弦定理

cos ?ABO ?

OB ? AB ? OA 2 OB AB

?

3?3? 2 2 ? ----------------------6 2? 3 ? 3 3

分 又

AP 3 t1 , 则 BP 3 ? 3 t1 1 ? t1 b ? a ? 1 ? AB ? AP 1 ?
2 2 3 ?1 ? t1 ? , 所以, BQ1 ? ? ?1 ? t1 ? b ------------8 3 3

则 BQ1 ? BP1 cos ?ABO ?

--9--


(证 2) 分 设 BQ1 该同学的结论正确. ---------------------------------------------------------------------------------5

? kb ,

PB ? AB ? AP 1 1 ? ?1 ? t1 ? b ? a ,

?

?

? PQ 1 1 ? PB 1 ? BQ 1 ? ?1 ? t1 ? b ? a ? kb ? ?1 ? t1 ? k ? b ? ?1 ? t1 ? a ,
又由 PQ 1 1 ?b ? 0 得 k ??

?

?

2 2 ?1 ? t1 ? ;所以, BQ1 ? ? ?1 ? t1 ? b -------------------8 3 3

分 注意:其它解法,可参考上述评分标准给分。 (3)文科(解 1)由已知得 分 (或用余弦定理求得,也可)

cos ?BOA ?

a ?b a b

?

1 1 ? 2? 3 6

--------------9

OB ? AB ? 3 , ? cos ?BAO ?

1 ; OR1 ? OQ1 cos ?BOA 6

? ? 1 2 3 1 ? OB ? BQ1 cos ?BOA ? ? 3 ? ?1 ? t1 ?? ? ? ?1 ? 2t1 ? -------------10 3 6 3 2 ? ?

?

?



AP 2 ? AR1 cos ?BAO ? ? OA ? OR1 ? cos ?BAO ? ? -------------------------------------------11 分 1 1 ? ? 1 ?? 2? ?1 ? 2t1 ?? ? ? 5 ? 2t1 ? 3 2 ? ? 6 6 3
所以

t2 ?

AP2 b?a

?

1 1 5 ? 5 ? 2t1 ? ? ? t1 ? ---------------------------------------------------------12 分 18 9 18
1 9 5 1 得 t1 ? ,---------------------------------13 分 18 4

当P 1 、P 2 重合时,有 t1 ? t 2 ,解 t1 ? ? t1 ? 此时 BQ1 ? ? b , ? BQ1 ?

1 2

1 3 1 2 OB ? , OR1 ? ? , 2 2 4 2 2

- - 10 - -

AP 1 ?

3 3 3 , , BP 1 ? 4 4 ? 5 2 S

R1 A ? 5 16

3 2 , 4
, S

R1 P 1 ? 3 5 32

15 , 4
, S

易求 S

OAB

OR1Q1

?

R1 AP 1

?

BQ1P 1

?

3 5 -------------17 分 16

故 S?PQ ?S 1 1R1 分 (解 2)

OAB

?S

OR1Q1

?S

R1 AP 1

?S

BQ1P 1

?

5 5 ---------------------------18 32

?5 1 ? R1 A ? a ? OR1 ? ? ? t1 ? a , AP2 =t2 b ? a ?6 3 ?

?

?
1 9 5 ,-------------------12 分 18

R1P 2 ?R 1 A ? AP 2
( 以下同解 1) 理科

由 R1 P2 ? b ? a ? 0 ,得 t2 ? ? t1 ?

?

?

(解 1)同文科(3)的解法,同理可得 tn ?1 ? ? tn ? 则 tn ?1 ?

1 9

5 ------------------------------------14 分 18

1 1? 1? ? ? ? tn ? ? 4 9? 4?
n ?1

-----------------------------------------------------------------------16 分

1 ? 1 ?? 1 ? 故 tn ? ? ? t1 ? ?? ? ? 4 ? 4 ?? 9 ?

? n ? 2 , n ? N ? -------------------------------------------------18 分
?

(解 2)同文科(3)的(解 2)同理可得。 注意:其它解法,可参考上述评分标准给分。

- - 11 - -

B
B

Q1 P1 O R1 A
O

Qn Pn Pn+1 A

Rn

- - 12 - -


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