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最新审定人教A版高中数学必修五:2.4.2 等比数列的性质(名校课件)


最新审定人教A版高中数学必修五优秀课件 等比数列的性质 【学习目标】 1.掌握等比数列的定义和通项公式. 2.探索发现等比数列的性质,并能应用性质灵活的解决一 些实际问题. 等比数列的性质 (1) 若 三 个 数 成 等 比 数 列,一 般 设 这 三 个 数 分 别 为 a ,a,aq q ____________; (2)①若{an} 为等比数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N*) ak· al=am· an; 则__________ ②若{an} 是等比数列,且 m +n =2k(k ,m ,n ∈N*) ,则 am· an=a2 ____________ k ; ③若{an}为等比数列,公比为 q,则{a2n}也是等比数列,公 2 q 比为________; ?an? ? ? { a b } ④若{an},{bn}是等比数列,则________ n n 和________ ?bn? 也是等 比数列. 【问题探究】 1.应用等比数列的性质ak· al=am· an时应注意什么条件? 答案:必须满足是等比数列且 k+l=m+n(k,l,m,n∈ N*). 2.数列{an}是等比数列,那么 λan 也为等比数列吗? 答案:不一定,只有当λ≠0 时该结论才成立. 题型 1 等比数列性质 【例 1】 在等比数列{an}中,若 a2=2,a6=162,求 a10. 思维突破:可利用通项公式或等比数列的性质来求. 解:方法一:∵a6=a2q4,a2=2,a6=162, ∴q4=81.∴a10=a6q4=162×81=13 122. 方法二:∵2,6,10三数成等差数列, ∴a2,a6,a10成等比数列. 1 2 2 ∴a6=a2a10.∴a10=162 ×2=13 122. 已知 a1 与 q,用 a1qn 1 可以求出等比数列的 - 任何一项,但不一定简单.如果避开求 a1 与 q,直接利用等比 数列的性质求解,那么问题将更加简单明了. 【变式与拓展】 1.在等比数列{an}中,若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25, 求 a3+a5 的值. 2 解:a2a4+2a3a5+a4a6=25,即 a2 + 2 a a + a 3 3 5 5=25, ∴(a3+a5)2=25. 又an>0,∴a3+a5=5. 题型 2 等比数列性质的应用 【例2】 在等比数列{an}中,若a5· a11=3,a3+a13=4,则 a15 a5 =( ) A.3 1 C.3 或3 1 B.3 1 D.-3 或-3 思维突破:利用等比数列性质:在等比数列中,若m+n =k+l(k,l,m,n∈N*),则有am· an=ak· al. 解析:∵a5· a11=a3· a13=3,a3+a13=4, ∴a3=1,a13=3或a3=3,a13=1. a15 a13 1 ∴ a = a =3 或3. 5 3 答案:C 【变式与拓展】 2.在等比数列{an}中,若 a2· a8=36,a3+a7=15,则公比 q 值的可能个数为( D ) A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 题型 3 等差、等比数列性质的综合应用 【例 3】 已知:数列{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和, 且 a2=3,4S2=S4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{ 2 an}是等比数列; (3)求使得 Sn+2>2Sn 成立的 n 的集合. (1)解:设数列{an}的首项为 a1


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