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【一模】德州市2012届高三第一次模拟考试试题(数学理)


高中三年级模拟检测 数学试题(理科) 数学试题(理科)
2012.3 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1—2 页.第Ⅱ 卷 3—4 页。共 150 分,测试时间 l20 分钟。 第Ⅰ卷(共 60 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上. 2.选择题为四选一题目,每小题选出答案后,用铅笔

把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在测试卷 上. 一、选择题:本大题共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U 是实数集 R,若 ?U M = {x | x 2 > 4},N={x|1<x ≤ 3} ,则 M I N =( A. {x|-2 ≤ x < 1} C. {x|-2 ≤ x ≤ 2} B. {x|x < 2} D. {x|1<x ≤ 2} ) )

2.若复数 z = ( x 2 ? 1 ) + ( x ? 1 )i 为纯虚数,则实数 x 的值为( A. ?1 B.0 C.1 D. ?1 或 1 3.“p 且 q 是真命题”是“非 p 为假命题”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也木必要条件
1 1 4.若 a = log 2 0.9 ,b = 3 ,c = ( )2 则( 3
? 1 3

)

A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a 5.连续抛掷两枚骰子得到的点数分别是 m、n,则向量 a=(m,n)与向量 b=(1,1) 共线的概率是( ) 5 1 1 1 A. B. C. D. 12 3 6 2 6.已知函数 y = A sin( ω x + ? ) + m 的最大值为 4,最小值为 0,两个对称轴间的最短

π
距离为
2

,直线 x =

π
是其图象的一条对称轴,则符合条件的解析式是(
6 ) )+ 2

)

A. y = 4 sin( 2 x + C. y = ?2 sin( x +

π π
6 3

B. y = ?2 sin( 2 x + D. y = 2 sin( x +

π
6

)+ 2

π
3

)+ 2

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7.右图的程序框图输出结果 i =( A.3 B.4 C.5 D.6

)

8.对于直线 m,n 和平面 α , β ,γ ,有如下四个命题: (1)若 m∥ α ,m ⊥ n,则 n ⊥ α (2)若 m ⊥ α ,m ⊥ n,则 n∥ α (3)若 α ⊥ β , γ ⊥ β ,则 α ∥ γ (4)若 m ⊥ α ,m∥n,n ? β ,则 α ⊥ β 其中真命题的个数是( A.1 B.2 C.3 ) D.4

9 . 若 直 线 ax + by ? 1 = 0( a,b ∈ ( 0 , +∞ )) 平 分 圆
1 2 x 2 + y 2 ? 2 x ? 2 y ? 2 = 0 ,则 + 的最小值是( a b

)

A. 4 2

B. 3 + 2 2
2

C.2

D.5

x2 y2 10.已知抛物线 y = 4 px( p > 0 ) 与双曲线 2 ? 2 = 1( a > 0 ,b > 0 ) 有相同的焦点 F, a b

点 A 是两曲线的交点,且 AF ⊥ x 轴,则双曲线的离心率为( A.
5 +1 2

)

B. 2 + 1

C. 3 + 1

D.

2 2 +1 2

?x + y ? 5 ≤ 0 ? 11.已知在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ≥ x 确定,若 ? x ≥1 ?

uuu uuuu r r M ( x, y ) 为区域 D 上的动点, A 的坐标为(2, 则 z = OA? 点 3), OM 的最大值为(
A.5 B.10 C. 14 D.
25 2

)

12.若函数 y = f ( x )( x ∈ R ) 满足 f ( x + 1 ) = ? f ( x ) ,且 x ∈ [-1,1] 时 f ( x ) = 1 ? x 2 ,函
?lg x( x > 0 ) ? ,则函数 h( x ) = f ( x ) ? g( x ) 在区间[ ?5 , 4]内的零点的个数为 数 g( x ) = ? 1 ? ( x < 0) ? x ?

(

) A.7

B.8

C.9

D.10

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第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题纸的相应 位置. 13.设数列{ an }是公差不为 0 的等差数列, a1 =1 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则数 列{ an }的前 n 项和 Sn = 。

14.已知 ( x ? m )7 = a0 + a1 x + a2 x 2 + ...a7 x 7 的展开式中 x5 的系数是 189,则实数 m= .

15.不等式 | x + 3 | + | x ? 1 |≥ a 2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围 是 .

16.已知 a = ( m,n ),b = ( p,q ) ,定义 a ? b = mn ? pq ,下列等式中 ①a?a = 0; ②a ?b = b? a ; ③( a + b )? a = a ? a + b ? a ;

④ ( a ? b )2 + ( a ? b )2 = ( m 2 + q 2 )( n 2 + p 2 ) 一定成立的是 .(填上所有正确的序号) 三、解答题:共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 1 已知函数 f ( x ) = 3 sin x cos x ? cos 2 x + ( x ∈ R ) 2 π (I)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 [0, ] 上的值域; 2 A π 4 (Ⅱ)在 ? ABC 中, A、 C 所对的边分别是 a、 c, f ( + ) = ,b = 2 , ?ABC 角 B、 b、 又 2 3 5 的面积等于 3,求边长 a 的值.

18.(本小题满分 12 分) 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,满足 S n + 2n = 2an . (I)证明:数列{ an +2}是等比数列,并求数列{ an }的通项公式 an ; (Ⅱ)若数列{ bn }满足 bn = log 2 ( an + 2 ) ,求证:
1 1 1 + 2 + ... + 2 < 1 . 2 b1 b2 bn

19.(本小题满分 12 分) 如图, 矩形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, ⊥ CD, AD AB∥CD, AB=AD=1. CD=2,DE=3,M 为 CE 的中点. (I)求证:BM∥平面 ADEF: (Ⅱ)求直线 DB 与平面 BEC 所成角的正弦值;
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(Ⅲ)求平面 BEC 与平面 DEC 所成锐二面角的余弦值.

20.(本小题满分 l2 分) 已知暗箱中开始有 3 个红球,2 个白球.现每次从暗箱中取出 1 个球后,再将 此球和它同色的另外 5 个球一起放回箱中. (I)求第 2 次取出白球的概率; (Ⅱ)若取出白球得 2 分,取出红球得 3 分,设连续取球 2 次的得分值为 X,求 X 的分布列和数学期望.

21.(本小题满分 l2 分) 已知函数 f ( x ) = ax + ln x( a ∈ R ) . (I)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设 g( x ) = x 2 ? 2 x + 1 ,若对任意 x1 ∈ ( 0 , +∞ ) ,总存在 x2 ∈[0,1], 使得 f ( x1 ) < g( x2 ) ,求实数 a 的取值范围. 22.(本小题满分 l4 分) x2 y2 设椭圆 C: 2 + 2 = 1( a > b > 0 ) 的一个顶点与抛物线: x 2 = 4 2 y 的焦点重合, a b F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,离心率 e = C 交于 M、N 两点. (I)求椭圆 C 的方程;
3 ,过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 3

uuuu uuur r (Ⅱ)是否存在直线 l ,使得 OM ? ON = ?1 ,若存在,求出直线 l 的方程;若不存
在,说明理由; (Ⅲ)若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦,MN∥AB,求
3 | AB |2 的值. | MN |

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