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北京市10区2013届高三上学期期末数学(理)试题分类汇编:导数及应用


北京市 2013 届高三上学期期末数学试题分类汇编 导数及其应用
一、填空、选择题 1.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理】已知函数 f (x)= ln x ,则函数 g (x)=f (x) ? f '( x) 的零点所在的区间 是 A.(0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) .

2.【北京市东城区 2013 届高三上学期期末理】图中阴影部分的面积等于 3. 【北京市房山区 2013 届高三上学期期末理】 已知函数 f ( x) ? ?

?ln x, x ? 0, D 是由 x ?? x ? 1, x ? 0,

轴和曲线 y ? f ( x) 及该曲线在点 (1, 0) 处的切线所围成的封闭区域,则 z ? x ? 3 y 在 D 上的最大值为 A. 4 B. 3 C. D. ?1

4.【北京市房山区 2013 届高三上学期期末理】 二、解答题

?

1 0

( x ? 1)dx =

.

1.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理】已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 4 ( a ? R ).
3 2

(Ⅰ)若函数 y ? f (x) 的图象在点 P(1, f (1) )处的切线的倾斜角为 (Ⅱ)若存在 x 0 ? (0,??) ,使 f ( x 0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

? ,求 f ( x) 在 ? ?1,1? 上的最小值; 4

1 2.【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理】已知函数 f ( x) ? a( x ? ) ? 2 ln x (a ? R ) . x

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间;
a (Ⅲ)设函数 g ( x) ? ? .若至少存在一个 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值范围. x

3.【北京市东城区 2013 届高三上学期期末理】已知 a ? R ,函数 f ( x) ? (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? 0, e ? 上的最小值. 4.【北京市房山区 2013 届高三上学期期末理】知函数 f ( x) ? (Ⅰ)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值 2 ,求 a, b 的值; (Ⅱ)当 2b ? a ? 1 时,讨论函数 f ( x) 的单调性.
2

a ? ln x ? 1 . x

b ? ax . x2 ?1

.
1

5.【北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理】已知函数 f ( x) ? 点为-3 和 0. (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间;

ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的导函数 y ? f '( x) 的两个零 ex

(Ⅱ)若 f(x)的极小值为 ?e3 ,求 f(x)在区间 [?5, ??) 上的最大值. 6.【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末理】【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末理】(本小题满分 13 分)

已知函数

f ( x) ?

e ax . x ?1

(I) 当 a ? 1 时,求曲线 f ( x ) 在 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间. 7.【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理】【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理】(本小题共 13 分) 已知函数 f (x )= ln x ? ax +1,a ? R 是常数. (Ⅰ)求函数 y =f (x ) 的图象在点 P (1, f (1)) 处的切线的方程; (Ⅱ)证明函数 y =f (x )(x ? 1) 的图象在直线的下方; (Ⅲ)讨论函数 y =f (x ) 零点的个数. 8.【北京市顺义区 2013 届高三上学期期末理】设函数 f ? x ? ?

1 3 x ? ax?a ? 0 ?, g ? x ? ? bx 2 ? 2b ? 1 . 3

(I)若曲线 y ? f ? x ? 与曲线 y ? g ? x ? 在它们的交点 ?1, c ? 处具有公共切线,求 a, b 的值; (II)当 a ? 1 ? 2b 时,若函数 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ?? 2,0 ? 内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (III)当 a ? 1 ? 2b ? 1 时,求函数 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最大值 9.【北京市通州区 2013 届高三上学期期末理】【北京市通州区 2013 届高三上学期期末理】(本小题满分 13 分)已 知函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? a
3 2 2

? a, b ? R ? .

(Ⅰ)若函数 f ? x ? 在 x ? 1 处有极值为 10,求 b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 a ? ? ?4, ?? ? , f ? x ? 在 x ? ? 0, 2 ? 上单调递增,求 b 的最小值. 10.【北京市西城区 2013 届高三上学期期末理】 (Ⅰ)求 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)设 b ? 0 .若 ? x ? [ , ] ,使 f ( x) ? 1 ,求 b 的取值范围. 11.【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末理】(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,若 y ? 已知函数 f ( x) ?

x ,其中 b ? R . x ?b
2

1 3 4 4

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“一阶比增函数”;若 x

2

y?

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“二阶比增函数”. x2

我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 ?1 ,所有“二阶比增函数”组成的集合记为 ? 2 . (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x ? 2hx ? hx ,若 f ( x) ? ?1 , 且 f ( x) ? ? 2 ,求实数 h 的取值范围;
3 2

(Ⅱ)已知 0 ? a ? b ? c , f ( x ) ? ?1 且 f ( x ) 的部分函数值由下表给出,

x
f ( x)
求证: d (2d ? t ? 4) ? 0 ;

a
d

b
d

c

a?b?c
4

(Ⅲ)定义集合 ? ? f ( x ) | f ( x ) ? ? 2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x ) ? k , 请问:是否存在常数 M ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立?若存在,求出 M 的最小值; 若不存在,说明理由. 【答案】B 【答案】 1 【解析】根据积分应用可知所求面积为 【答案】B

?

?

? 3x dx ? x
2 0

1

3 1 0

? 1。

【答案】

3 2

【答案】解:(I) f ?( x) ? ?3 x ? 2ax.
2

?????? ???1 分 ???????3 分

根据题意, f ?(1) ? tan

? ? 1,??3 ? 2a ? 1, 即a ? 2. 4
3 2 2

此时, f ( x) ? ? x ? 2 x ? 4 ,则 f ?( x) ? ?3 x ? 4 x .

令 f '( x) ? 0,得x1 ? 0, x2 ?

4 . 3
(?1, 0)


x
f ?? x?
f ? x?

?1

0 0
?4

(0,1)
+ ↗

?7
?1

?3

??????????????????????????????????. 6 分 ∴当 x ? ? ?1,1? 时, f ? x ? 最小值为 f ? 0 ? ? ?4 . ?????????7 分

3

(II)? f ?( x) ? ?3 x( x ?

2a ). 3

①若 a ≤ 0, 当x ? 0时, f ?( x) ? 0,? f ( x)在(0, ??) 上单调递减. 又 f (0) ? ?4, 则当x ? 0时, f ( x) ? ?4.

?当a ≤ 0时, 不存在x0 ? 0, 使f ( x0 ) ? 0. ????????????????..10 分
②若 a ? 0, 则当0 ? x ?

2a 2a 时, f ?( x) ? 0;当x ? 时, f ?( x) ? 0. 3 3 2a 2a 从而 f (x) 在(0, 上单调递增,在( ,+ ?) 上单调递减. ) 3 3

?当x ? (0,??)时, f ( x) max ? f (

2a 8a 3 4a 3 4a 3 )?? ? ?4? ? 4. 3 27 9 27

根据题意,

4a 3 ? 4 ? 0, 即a 3 ? 27.? a ? 3. ?????.............................. 13 分 27
综上, a 的取值范围是 (3, ??) . 【答案】解:函数的定义域为 ? 0, ?? ? ,

1 2 ax 2 ? 2 x ? a )? ? . ???????????????????1 分 x2 x x2 1 (Ⅰ)当 a ? 2 时,函数 f ( x) ? 2( x ? ) ? 2 ln x , f (1) ? 0 , f ?(1) ? 2 . x f ?( x) ? a(1 ?
所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 0 ? 2( x ? 1) , 即 2 x ? y ? 2 ? 0 .???????????????????????????3 分 (Ⅱ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ?? ) . (1)当 a ? 0 时, h( x) ? ax 2 ? 2 x ? a ? 0 在 (0, ?? ) 上恒成立, 则 f ?( x) ? 0 在 (0, ?? ) 上恒成立,此时 f ( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递减. ?????4 分 (2)当 a ? 0 时, ? ? 4 ? 4a 2 , (ⅰ)若 0 ? a ? 1 , 由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x) ? 0 ,得 x ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x ? ; ??????5 分 a a

由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x) ? 0 ,得

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ?x? .?????????6 分 a a 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ) 和( , ??) , a a

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,

4

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , ). 单调递减区间为 ( a a

??????????????7 分

(ⅱ)若 a ? 1 , h( x) ? 0 在 (0, ?? ) 上恒成立,则 f ?( x) ? 0 在 (0, ?? ) 上恒成立,此时 f ( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递 增. ????????????????????????8 分 (Ⅲ))因为存在一个 x0 ? [1,e] 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , 则 ax0 ? 2 ln x0 ,等价于 a ?

2 ln x0 .???????????????????9 分 x0

令 F ( x) ?

2 ln x ,等价于“当 x ? ?1, e ? 时, a ? F ? x ?min ”. x
2(1 ? ln x) . x2
?????????????????10 分

对 F ( x) 求导,得 F ?( x) ?

因为当 x ? [1, e] 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在 [1, e] 上单调递增. ?????12 分 所以 F ( x) min ? F (1) ? 0 ,因此 a ? 0 . 另解:
设 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ax ? 2 ln x ,定义域为 ? 0, ?? ? , ????????????????13 分

F? ? x? ? a ?

2 ax ? 2 . ? x x

依题意,至少存在一个 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, 等价于当 x ? ?1, e ? 时, F ? x ?max ? 0 . (1)当 a ? 0 时, ???????????????9 分

F ? ? x ? ? 0 在 ?1, e ? 恒成立,所以 F ? x ? 在 ?1, e ? 单调递减,只要 F ? x ?max ? F ?1? ? a ? 0 ,
则不满足题意. ??????????????????????????10 分

(2)当 a ? 0 时,令 F ? ? x ? ? 0 得 x ? (ⅰ)当 0 ?

2 . a

2 ? 1 ,即 a ? 2 时, a

在 ?1, e ? 上 F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1, e ? 上单调递增, 所以 F ? x ?max ? F ? e ? ? ae ? 2 , 由 ae ? 2 ? 0 得, a ? 所以 a ? 2 . (ⅱ)当

2 , e

??????????????????????????11 分

2 2 ? e ,即 0 ? a ? 时, a e
5

在 ?1, e ? 上 F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1, e ? 单调递减, 所以 F ? x ?max ? F ?1? ? a ,

2 .?????????????????????????12 分 e 2 2 (ⅲ)当 1 ? ? e ,即 ? a ? 2 时, a e 2 2 在 [1, ) 上 F ? ? x ? ? 0 ,在 ( , e] 上 F ? ? x ? ? 0 , a a 2 2 所以 F ? x ? 在 [1, ) 单调递减,在 ( , e] 单调递增, a a
由a ? 0得0 ? a ?

F ? x ?max ? 0 ,等价于 F ?1? ? 0 或 F ? e ? ? 0 ,解得 a ? 0 ,
所以,

2 ?a?2. e
???????????????13 分

综上所述,实数 a 的取值范围为 (0, ??) . 【答案】解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 所以 f ?( x) ? ? 因此 f ?(2) ?

1 1 x ?1 ? ? 2 , x ? (0,??) .????????????2 分 x2 x x

1 ? ln x ? 1 , x ? (0,??) , x

1 . 4 1 . ??????????4 分 4

即曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线斜率为 又 f (2) ? ln 2 ?

1 , 2 1 2 1 ( x ? 2) , 4

所以曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? (ln 2 ? ) ?

即 x ? 4 y ? 4 ln 2 ? 4 ? 0 .?????????????????6 分 (Ⅱ)因为 f ( x) ?

a a 1 x?a ? ln x ? 1 ,所以 f ?( x) ? ? 2 ? ? 2 . x x x x

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a . ?????????????????8 分 ①若 a≤0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上单调递增,此时函数 f ( x) 无最小值. ②若 0 ? a ? e ,当 x ? ? 0, a ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, a ? 上单调递减, 当 x ? ? a, e ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? a, e ? 上单调递增, 所以当 x ? a 时,函数 f ( x) 取得最小值 ln a .????????????10 分 ③若 a≥e ,则当 x ? ? 0, e ? 时, f ?( x)≤0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上单调递减, 所以当 x ? e 时,函数 f ( x) 取得最小值

a .?????????????12 分 e

6

综上可知,当 a≤0 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上无最小值; 当 0 ? a ? e 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上的最小值为 ln a ; 当 a≥e 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上的最小值为

a .?????13 分 e

?a ( x 2 ? 1) ? 2 x(b ? ax) 解:(Ⅰ) f '( x) ? ( x 2 ? 1) 2 ? ax 2 ? 2bx ? a ( x 2 ? 1) 2
a ? 2b ? a ?0 (12 ? 1) 2

( x ? R)

?????1 分

依题意有, f '(1) ??

f (1) ?

b?a ?2 12 ? 1

??????3 分 ??????5 分

解得 b ? 0 , a ? ?4 经检验, a ? ?4, b ? 0 符合题意, 当 2b ? a ? 1 时, f '( x) ?
2

所以, a ? ?4, b ? 0

(Ⅱ)

ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? a (ax ? 1)( x ? a) ? ( x 2 ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2
解 f '( x ) ? 0 , 得 x ? 0

当 a ? 0 时, f '( x) ?

x ( x ? 1) 2
2

当 x ? (??, 0) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 所以减区间为 (??, 0) ,增区间为 (0, ??) . 当 a ? 0 时,解 f '( x) ? 0 , 得 x1 ? ? ??????7 分

1 , x2 ? a , a

??????9 分

当 a ? 0 时, ?

1 ?a a 1 a 1 , a ) 时, f '( x) ? 0 a
??????11 分

当 x ? (??, ? ) 或 x ? (a, ??) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? ( ?

所以增区间为 (??, ? ) , (a, ??) ,减区间为 (?

1 a

1 , a) . a

当 a ? 0 时, ?

1 ?a a 1 1 , ??) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (a, ? ) 时, f '( x) ? 0 a a 1 , ??) . a
7

当 x ? (??, a ) 或 x ? (?

所以增区间为 (a, ? ) ,减区间为 (??, a ) , (?

1 a

??????13 分

综上所述:当 a ? 0 时, f ( x) 减区间为 (??, 0) ,增区间为 (0, ??) ; 当 a ? 0 时, f ( x) 增区间为 (??, ? ) , (a, ??) ,减区间为 (?

1 a

1 , a) ; a

当 a ? 0 时, 增区间为 (a, ? ) ,减区间为 (??, a ) , (?

1 a

1 , ??) a

【答案】解:(Ⅰ) f ?( x) ?

(2ax ? b)e x ? (ax 2 ? bx ? c)e x ?ax 2 ? (2a ? b) x ? b ? c ? (e x ) 2 ex

令 g ( x) ? ? ax ? (2a ? b) x ? b ? c ,
2

因为 e x ? 0 ,所以 y ? f '( x) 的零点就是 g ( x) ? ? ax ? (2a ? b) x ? b ? c 的零点,且 f ?( x) 与 g ( x) 符号相同.
2

又因为 a ? 0 ,所以 ?3 ? x ? 0 时,g(x)>0,即 f ?( x) ? 0 , ?????????4 分 当 x ? ?3, x ? 0 时,g(x)<0 ,即 f ?( x) ? 0 , ????????????????6 分 所以 f ( x) 的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞).??7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, x =-3 是 f ( x) 的极小值点,所以有

? 9a ? 3b ? c ? ?e3 , ?3 ? e ? ?b ? c ? 0, ??9a ? 3(2a ? b) ? b ? c ? 0, ? ?
解得 a ? 1, b ? 5, c ? 5 , 所以 f ( x) ? ??????????????????????11 分

x2 ? 5x ? 5 . ex

? f ( x) 的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞), ? f (0) ? 5 为函数 f ( x) 的极大值, ???????????????????12 分 ? f ( x) 在区间 [?5, ??) 上的最大值取 f (?5) 和 f (0) 中的最大者. ?????.13 分
而 f (?5) ?

5 ? 5e5 >5,所以函数 f(x)在区间 [?5, ??) 上的最大值是 5e5 ..?14 分 ?5 e

【答案】解:当 a ? 1 时, f ( x ) ? 又 f (0) ? ?1 , f '(0) ? ?2 ,

e x ( x ? 2) e ax , f '( x ) ? ( x ? 1) 2 x ?1

???2 分

所以 f ( x ) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? ?2 x ? 1

???4 分

8

(II) f '( x ) ?

e ax [ax ? ( a ? 1)] ( x ? 1) 2
?1 ?0 ( x ? 1) 2

当 a ? 0 时, f '( x ) ?

又函数的定义域为 {x | x ? 1} 所以 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ??,1),(1, ??) ???6 分

当 a ? 0 时,令 f '( x ) ? 0 ,即 ax ? ( a ? 1) ? 0 ,解得 x ?

a ?1 ???7 分 a

当 a ? 0 时, x ?

a ?1 ? 1, a

所以 f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表

x

( ??,1)
?
无定义

(1,

a ?1 ) a
?

a ?1 a
0 极小值

(

a ?1 , ??) a
?

f '( x) f ( x)

?
a ?1 ), a
????10 分

?

?

所以 f ( x) 的单调递减区间为 ( ??,1) , (1,

单调递增区间为 (

a ?1 , ??) a

当 a ? 0 时, x ?

a ?1 ?1 a

所以 f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x

( ??,

a ?1 ) a

a ?1 a
0 极大值

(

a ?1 ,1) a
?
无定义

(

a ?1 , ??) a
?

f '( x)
f ( x)
所以 f ( x) 的单调递增区间为 ( ??,

?

?
a ?1 ), a

?

?

单调递减区间为 (

a ?1 ,1) , (1, ??) a

?????13 分

9

【答案】(Ⅰ) f ?(x )=

1 ?a x

???????1 分

f (1)= ? a +1 , kl =f ?(1)=1 ? a ,所以切线 l 的方程为

y ? f (1)=kl (x ? 1) ,即 y =(1 ? a )x .
(Ⅱ)令 F ( x )=f (x ) ? (1-a )x =lnx ? x +1 ,x >0, F ?( x )= 则

???????3 分

1 1 ? 1= (1 ? x ) , 解F ?( x )=0得x =1. x x
(1 , ? ?)

x
F ?( x )

(0 , 1)

?


0
最大值

?


F (x)

???????6 分

F (1)<0 ,所以 ?x > 0 且 x ? 1 , F ( x )<0 , f ( x )<(1 ? a )x ,
即函数 y =f ( x ) (x ? 1) 的图像在直线 l 的下方. (Ⅲ)令 f (x )=lnx ? ax +1 =0 , a = ???????8 分

ln x +1 . x ln x +1 ln x +1 1 ? ( ln x +1) ln x 令 g (x )= , g ?(x )=( )?= =? 2 , 2 x x x x
则 g (x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1,+?) 上单调递减,

当 x =1 时, g (x ) 的最大值为 g (1)=1 . 所以若 a >1 ,则 f ( x ) 无零点;若 f ( x ) 有零点,则 a ? 1 .??????10 分 若 a =1 , f (x )=lnx ? ax +1 =0 ,由(Ⅰ)知 f ( x ) 有且仅有一个零点 x =1 . 若 a ? 0 , f (x )=lnx ? ax +1 单调递增,由幂函数与对数函数单调性比较,知 f ( x ) 有且仅有一个零点(或: 直线 y =ax ? 1 与曲线 y =lnx 有一个交点).

1 1 1 1 1 ? a =0 得 x = ,由函数的单调性得知 f ( x ) 在 x = 处取最大值, f ( ) =ln >0 , x a a a a 1 由幂函数与对数函数单调性比较知,当 x 充分大时 f ( x )<0 ,即 f ( x ) 在单调递减区间 ( ,+?) 有且仅有一个零点; a 1 a 1 又因为 f ( )= ? <0 ,所以 f ( x ) 在单调递增区间 (0, ) 有且仅有一个零点. e e a
若 0<a <1 ,解 f ?(x )= 综上所述,当 a >1 时, f ( x ) 无零点; 当 a =1 或 a ? 0 时, f ( x ) 有且仅有一个零点; 当 0<a <1 时, f ( x ) 有两个零点. 解:(I) f ?? x ? ? x ? a, g ?? x ? ? 2bx .
2

???????13 分

10

因为曲线 y ? f ? x ? 与曲线 y ? g ? x ? 在它们的交点 ?1, c ? 处具有公共切线,所以 f ?1? ? g ?1? ,且 f ??1? ? g ??1? ,

1 ? a ? b ? 2b ? 1 ,且 1 ? a ? 2b , 3 1 1 解得 a ? , b ? .??????????????????????3 分 3 3
即 (II)记 h? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,当 a ? 1 ? 2b 时,

h? x ? ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a , 3 2

h ?? x ? ? x 2 ? ?1 ? a ?x ? a ? ? x ? 1?? x ? a ? ,
令 h ?? x ? ? 0 ,得 x1 ? ?1, x 2 ? a ? 0 . 当 x 变化时, h ?? x ?, h? x ? 的变化情况如下表:

x
h ?? x ? h? x ?

?? ?,?1?
?


?1
0 极大值

?? 1, a ?
— ↘

a
0 极小值

?a,?? ?
?
↗ ; 单 调 递 减 区 间 为

所 以 函 数

h? x ? 的 单 调 递 增 区 间 为

?? ?,?1?, ?a,?? ?

?? 1, a ? ,?????????????????????????????6 分
故 h? x ? 在区间 ?? 2,?1? 内单调递增,在区间 ?? 1,0 ? 内单调递减, 从而函数 h? x ? 在区间 ?? 2,0 ? 内恰有两个零点,当且仅当

?h?? 2 ? ? 0, 1 ? ?h?? 1? ? 0, 解得 0 ? a ? , 3 ?h?0 ? ? 0 ?
所以 a 的取值范围是 ? 0,

? ?

1? ? .???????????????????9 分 3?

(III)记 h? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,当 a ? 1 ? 2b ? 1 时,

h? x ? ?

1 3 x ? x ? 1. 3

由(II)可知,函数 h? x ? 的单调递增区间为 ?? ?,?1?, ?1,?? ? ;单调递减区间为 ?? 1,1? . ① 当 t ? 3 ? ?1 时 , 即 t ? ?4 时 , h? x ? 在 区 间 ?t , t ? 3? 上 单 调 递 增 , 所 以 h? x ? 在 区 间 ?t , t ? 3? 上 的 最 大 值 为

11

h?t ? 3? ?

1 ?t ? 3?3 ? ?t ? 3? ? 1 ? 1 t 3 ? 3t 2 ? 8t ? 5 ; 3 3

②当 t ? ?1 且 ? 1 ? t ? 3 ? 1 ,即 ? 4 ? t ? ?2 时, h? x ? 在区间 ?t ,?1? 上单调递增,在区间 ?? 1, t ? 3? 上单调递减,所 以 h? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最大值为 h?? 1? ? ?

1 ; 3

当 t ? ?1 且 t ? 3 ? 1 , 即 ? 2 ? t ? ?1 时 , t+3<2 且 h(2)=h(-1) , 所 以 h? x ? 在 区 间 ?t , t ? 3? 上 的 最 大 值 为

h?? 1? ? ?

1 ; 3

③当 ? 1 ? t ? 1 时, t ? 3 ? 2 ? 1 ,

h? x ? 在区间 ?t ,1? 上单调递减,在区间 ?1, t ? 3? 上单调递增,而最大值为 h?t ? 与 h?t ? 3? 中的较大者.
由 h?t ? 3? ? h?t ? ? 3?t ? 1??t ? 2 ? 知,当 ? 1 ? t ? 1 时, h?t ? 3? ? h?t ? , 所以 h? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最大值为 h?t ? 3? ?

1 3 t ? 3t 2 ? 8t ? 5 ;??13 分 3

④ 当 t ? 1 时 , h? x ? 在 区 间 ?t , t ? 3? 上 单 调 递 增 , 所 以 h? x ? 在 区 间 ?t , t ? 3? 上 的 最 大 值 为

h?t ? 3? ?

1 3 t ? 3t 2 ? 8t ? 5 .??????????????????14 分 3
2

【答案】(Ⅰ) f ? ? x ? ? 3 x ? 2ax ? b , 于是,根据题设有

??????? 1 分

? f ? ?1? ? 3 ? 2a ? b ? 0 ? 2 ? f ?1? ? 1 ? a ? b ? a ? 10
解得 ?

?a ? 4 ?a ? ?3 或 ? ?b ? ?11 ?b ? 3

????????3 分

当?

?a ? 4 2 时, f ? ? x ? ? 3 x ? 8 x ? 11 , ? ? 64 ? 132 ? 0 ,所以函数有极值 b ? ?11 ?
????????????????????????4 分

点; 当?

?a ? ?3 2 时, f ? ? x ? ? 3 ? x ? 1? ? 0 ,所以函数无极值点.?????5 分 ?b ? 3

所以

b ? ?11 .????????????????????????6 分
2

(Ⅱ)法一: f ? ? x ? ? 3 x ? 2ax ? b ? 0 对任意 a ? ? ?4, ? ? , x ? ? 0, 2? 都成立,???7 分 所以 F ? a ? ? 2 xa ? 3 x ? b ? 0 对任意 a ? ? ?4, ? ? , x ? ? 0, 2? 都成立?8 分
2

因为 x ? 0 , 所以 F ? a ? 在 a ? ? ?4, ? ? 上为单调递增函数或为常数函数,
2

???9 分

所以 F ? a ?min ? F ? ?4 ? ? ?8 x ? 3 x ? b ? 0 对任意 x ? ? 0, 2? 都成立 ?10 分
12

即 b ? ?3 x ? 8 x
2

?

?

max

.
2

????????????????11 分

又 ?3 x 2 ? 8 x ? ?3 ? x ? 所以 当 x ? 所以 所以
2

? ?

4 ? 16 16 ? ? ? , 3? 3 3

4 16 时, ? ?3 x 2 ? 8 x ? ? ,????????????12 分 max 3 3

b?

16 , 3 16 . 3
????????????13 分

b 的最小值为

法二: f ? ? x ? ? 3 x ? 2ax ? b ? 0 对任意 a ? ? ?4, ? ? , x ? ? 0, 2? 都成立, ?????7 分 即 b ? ?3 x 2 ? 2ax 对任意 a ? ? ?4, ? ? , x ? ? 0, 2? 都成立, 即 b ? ?3 x ? 2ax
2

?

?

max



????????????????8 分
2

a ? a2 ? 令 F ? x ? ? ?3 x ? 2ax ? ?3 ? x ? ? ? ,????????????9 分 3? 3 ?
2

当 a ? 0 时, F ? x ?max ? F ? 0 ? ? 0 ,于是 b ? 0 ;??????????10 分 当 ?4 ? a ? 0 时, F ? x ?max ? F ? ?
2 a2 ? a? a ? ,于是, b ? .???11 分 ? 3 ? 3? 3

? a2 ? 16 16 又 ? ? ? ,所以 b ? . 3 ? 3 ?max 3
综上, b 的最小值为

????????????12 分

16 . 3

????????????13 分

【答案】(Ⅰ)解:① 当 b ? 0 时, f ( x) ?

1 . x
????1 分

故 f ( x) 的单调减区间为 (??, 0) , (0, ??) ;无单调增区间. ② 当 b ? 0 时, f ?( x) ?

b ? x2 . ( x 2 ? b) 2

????3 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? b , x2 ? ? b .

f ( x) 和 f ?( x) 的情况如下:
x

(??, ? b )
?

? b
0

(? b , b )
?

b
0

( b , ? ?)
?

f ?( x) f ( x)







故 f ( x) 的单调减区间为 (??, ? b ) , ( b , ??) ;单调增区间为 (? b , b ) . ???5 分

13

③ 当 b ? 0 时, f ( x) 的定义域为 D ? {x ? R | x ? ? ?b } . 因为 f ?( x) ?

b ? x2 ? 0 在 D 上恒成立, ( x 2 ? b) 2

故 f ( x) 的单调减区间为 (??, ? ?b ) , (? ?b , ?b ) , ( ?b , ??) ;无单调增区间. ???7 分 (Ⅱ)解:因为 b ? 0 , x ? [ , ] , 所以 f ( x) ? 1 等价于 b ? ? x 2 ? x ,其中 x ? [ , ] . 设 g ( x) ? ? x ? x , g ( x) 在区间 [ , ] 上的最大值为 g ( ) ?
2

1 3 4 4

1 3 4 4

????9 分

1 3 4 4

1 2

1 .? ??11 分 4

则“ ? x ? [ , ] ,使得 b ? ? x 2 ? x ”等价于 b ? 所以, b 的取值范围是 (0, ] . 【答案】解:(I)因为 f ( x) ? ?1 , 且 f ( x) ? ? 2 , 即 g ( x) ?

1 3 4 4

1 . 4
???13 分

1 4

f ( x) ? x 2 ? 2hx ? h 在 (0, ??) 是增函数,所以 h ? 0 x

??????1 分

而 h( x ) ?

f ( x) h h ? x ? ? 2h 在 (0, ??) 不是增函数,而 h '( x ) ? 1 ? 2 2 x x x

当 h ( x ) 是增函数时,有 h ? 0 ,所以当 h ( x ) 不是增函数时, h ? 0 综上,得 h ? 0 ?4 分

(Ⅱ) 因为 f ( x ) ? ?1 ,且 0 ? a ? b ? c ? a ? b ? c 所以

f (a ) f (a ? b ? c) 4 ? = , a a?b?c a?b?c 4a , a?b?c 4b 4c , f (c) ? t ? a?b?c a?b?c
4( a ? b ? c ) ? 4, a?b?c

所以 f ( a ) ? d ?

同理可证 f (b) ? d ?

三式相加得 f ( a ) ? f (b) ? f ( c ) ? 2d ? t ? 所以 2d ? t ? 4 ? 0 因为

????6 分

d d b?a ? , 所以 d ( ) ? 0, a b ab

而 0 ? a ? b , 所以 d ? 0

14

所以 d (2d ? t ? 4) ? 0 ???8 分 (Ⅲ) 因为集合 ? ? f ( x ) | f ( x ) ? ? 2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x ) ? k , 所以 ?f ( x) ? ? ,存在常数 k ,使得 f ( x ) ? k 对 x ? (0, ??) 成立 我们先证明 f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 假设 ?x0 ? (0, ??), 使得 f ( x0 ) ? 0 , 记
f ( x0 ) ?m?0 x0 2
f ( x) 是增函数. x2

?

?

因为 f ( x ) 是二阶比增函数,即 所以当 x ? x0 时,

f ( x ) f ( x0 ) ? ? m ,所以 f ( x ) ? mx 2 x2 x0 2

所以一定可以找到一个 x1 ? x0 ,使得 f ( x1 ) ? mx12 ? k 这与 f ( x ) ? k 对 x ? (0, ??) 成立矛盾 f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 ????11 分

所以 ?f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 下面我们证明 f ( x ) ? 0 在 (0, ??) 上无解 假设存在 x2 ? 0 ,使得 f ( x2 ) ? 0 , 则因为 f ( x ) 是二阶增函数,即 一定存在 x3 ? x2 ? 0 ,
f ( x) 是增函数 x2

f ( x3 ) f ( x2 ) ? ? 0 ,这与上面证明的结果矛盾 x32 x2 2

所以 f ( x ) ? 0 在 (0, ??) 上无解 综上,我们得到 ?f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 所以存在常数 M ? 0 ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立

1 又令 f ( x ) ? ? ( x ? 0) ,则 f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立, x f ( x ) ?1 ? 3 在 (0, ??) 上是增函数 ,所以 f ( x ) ? ? , x2 x 而任取常数 k ? 0 ,总可以找到一个 x0 ? 0 ,使得 x ? x0 时,有 f ( x ) ? k
又有 所以 M 的最小值 为 0 ?13 分

15



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