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全国高中数学联赛预赛模拟试题解答


全国高中数学联赛预赛模拟试题解答 考生注意:1、本试卷共三大题(15 个小题),全卷满分 150 分. 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 3、解题书写不要超出装订线. 4、不能使用计算器. 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)本题共有 6 小题,每小题均给出 A,B,C,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的 括号内。 每小题选

对得 6 分; 不选、 选错或选出的代表字母超过一个 (不论是否写在括号内) , 一律得 0 分。 1.设 f ( x) ? lg 1? x x3 ? 3x ,| x |? 1, 则 f ( ) 等于( 1? x 1 ? 3x 2 ). (A) f 2 ( x) (B) f 3 ( x) (C) 2 f ( x) (D) 3 f ( x) 答:D. x3 ? 3x 1? x3 ? 3x 1 ? 3x 2 ) ? lg(1 ? x )3 ? 3 f ( x) . 解: f ( ) ? lg( x3 ? 3x 1 ? 3x 2 1? x 1? 2 1 ? 3x 3? , 2? ), 若 a tan? ? btan? ? 1 ,则成立的是( 2. a , b 是不等于 1 的正数, ? ? ( 2 (A) a ? b ? 1 (B) a ? b ? 1 (C) b ? a ? 1 (D) b ? a ? 1 答:B. 解: ? tan ? ? 0, 由 ( ) ). 1 1 1 ? ( ) ? tan ? ? 1 ,知 ? ? 1,? a ? b ? 1 . b a b B C B 2 A ? sin 2 ? sin 2 ? cos 2 成立 3. ?ABC 中, BC ? a, AC ? b, AB ? c, 则使等式 sin 2 2 2 2 ? tan ? 1 a 的充要条件是( (A) a ? b ? 2c 答:C. 解:由题设知, ). (B) b ? c ? 2a (C) c ? a ? 2b (D) c ? a ? b 2 1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cos C 1 ? cos B B A?C ? ? ? ? 2sin ? cos 2 2 2 2 2 2 ? 2sin B ? sin A ? sin C, ? a ? c ? 2b, 反之也成立。 4. 抛物线顶点在原点,对称轴为 x 轴, 焦点在直线 3x ? 4 y ? 12 上, 则抛物线方程为 ( (A) y ? ?12 x (B) y ? 12 x (C) y ? ?16 x (D) y ? 16 x 2 2 2 2 ) . 答:D. 解: 由顶点在原点,对称轴为 x 轴知, 抛物线方程为 y 2 ? ?2 px, 在 3x ? 4 y ? 12 中令 y ? 0, 知焦点为(4,0),? p ? 8,? y 2 ? 16 x. 5.设 k ? 3, k ? 0, 则二次曲线 x2 y2 x2 y 2 ? ? 1与 ? ? 1 必有( 3? k k 5 2 ). (A)不同的顶点 (B)不同的准线 (C)相同的焦点 (D)相同的离心率 答:C. 解: 当 0 ? k ? 3, 则 0 ? 3 ? k ? 3,? x2 y2 ? ? 1 表实轴为 x 轴的双曲线,a 2 ? b2 ? 3 ? c 2 . 3? k k ? 二曲线有相同焦点;当 k ? 0 时, ?k ? 0, 且 3 ? k ? ?k , ? x2 y2 ? ?1 表 焦 点 在

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