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高中数学 4-3-1、2 空间直角坐标系和空间两点间的距离公式课件


第四章
圆的方程

第四章
4.3 空间直角坐标系

第四章
4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式

课前自主预习 课堂基础巩固 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答

课前自主预习

温故知新 1.平面直角坐标系

内的点的对称问题
P1(a,-b) (1)P(a,b)关于x轴的对称点____________; P2(-a,b) (2)P(a,b)关于y轴的对称点____________; P3(-a,-b) (3)P(a,b)关于原点的对称点____________.

2.平面直角坐标系内的中点坐标公式 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , 线 段 AB 的 中 点 M(x , y) , 则 ? x1+x2 ?x= , 2 ? ? ? y1+y2 ?y= 2 . ? 3.点到平面的距离:点 P 与它在平面 α 内的射影之间的 距离.

4.平面上两点间的距离公式 (1)公式:设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则 P1、P2 两点间的距 离
?x1-x2?2+?y1-y2?2 |P1P2|=_________________.

(2)公式推导:借助于直角三角形,应用勾股定理. 5.平面上的点到原点的距离

x2+y2 P(x,y)到原点的距离|OP|=______.

新课引入

飞机的飞行速度是很快的,即使是民航飞机,也有超音 速,这就说明有很多飞机的时速在1 000 km以上,全世界的飞 机非常多,这些飞机在天空中风驰电掣,速度是如此的快, 不是很容易撞机吗?我们如何确定一架飞机在空中的位置 呢?

自主预习 阅读教材P134~137,完成下列问题. 1.空间直角坐标系 以空间中两两______且相交于一点O的三条直线分 垂直 定 义 别为x轴、y轴、z轴,这时就说建立了空间直角坐
原点 标系Oxyz,其中点O叫做坐标_____,x轴、y轴、z 坐标轴 轴叫做________.通过每两个坐标轴的平面叫做 坐标平面 ________,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面

画法

在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般使 ∠xOy=_______,∠yOz=90° 135°

图示

本书建立的坐标系都是右手直角坐标系,即 说 明 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的 正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指 向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角 坐标系.

[破疑点]将空间直角坐标系画在纸上时, ①x轴与y轴成135° (或45° ),x轴与z轴成135° (或45° ); ②y轴垂直于z轴,y轴和z轴的单位长相等,x轴上的单位 1 长则等于y轴单位长的2.

空间直角坐标系中,三条坐标轴( A.两两垂直且相交于一点 B.两两平行 C.仅有两条不垂直 D.仅有两条垂直

)

[答案]

A

2.坐标

如图所示,设点M为空间直角坐标系中的一个定点,过点 M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的_______,依次交x轴、y轴和z 平面 轴于点P,Q和R.设点P,Q和R在x轴,y轴和z轴上的坐标分别
一一对应 是x,y和z,那么点M就和有序实数组(x,y,z)是__________ (x,y,z) 的关系,有序实数组__________叫做点M在此空间直角坐标系 M(x,y,z) 横坐标 中的坐标,记作__________,其中x叫做点M的________,y叫 纵坐标 竖坐标 做点M的_________,z叫做点M的________.

[拓展] 1.空间中两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),线段P1P2 的中点为P0(x0,y0,z0),则 x +x ? ?x0= 1 2, 2 ? ? y +y ?y0= 1 2, 2 ? ? z1+z2 ?z0= 2 . ?

这个公式称为空间直角坐标系中的中点

坐标公式,是平面直角坐标系中中点坐标公式的拓展.

点P(1,4,-3)与点Q(3,-2,5)的中点坐标是( A.(4,2,2) C.(2,1,1) B.(2,-1,2) D.(4,-1,2)

)

[答案] C

[解析]

根据空间中点坐标公式,可得中点坐标为

1+3 4-2 -3+5 ( 2 , 2 , 2 ),即(2,1,1).

[知识拓展] 2.空间直角坐标系中特殊位置点的坐标 如下表所示

点的位置 原点 x轴上 y轴上 z轴上 xOy平面上 yOz平面上 xOz平面上

点的坐标形式 (0,0,0) (a,0,0) (0,b,0) (0,0,c) (a,b,0) (0,b,c) (a,0,c)

3.空间直角坐标系中特殊对称点的坐标 设点P(a,b,c)为空间直角坐标系中的点,则 对称轴(或中心或平面) 点P的对称点坐标 原点 x轴 y轴 z轴 (-a,-b,-c) (a,-b,-c) (-a,b,-c) (-a,-b,c)

xOy平面 yOz平面 xOz平面

(a,b,-c) (-a,b,c) (a,-b,c)

3.空间两点间的距离公式 空间中点P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)之间的距离是 |P1P2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2. [破疑点]空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公 式的推广,平面上两点间的距离公式又可看成是空间两点间 的距离公式的特例.

空间直角坐标系中,点A(-3,4,0)和点B(2,-1,6)的距离 是( ) A.2 43 C.9 B.2 21 D. 86

[答案] D

[解析]

|AB|= ?-3-2?2+?4+1?2+?0-6?2= 86.

思路方法技巧

命题方向

空间点的坐标及位置确定

[例1]

画一个正方体ABCD-A1B1C1D1,以A为坐标原

点,以棱AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴,取正方体的棱 长为单位长度,建立空间直角坐标系. (1)求各顶点的坐标; (2)求棱C1C中点的坐标; (3)求面AA1B1B对角线交点的坐标.

[解析]

如下图所示,

(1)各顶点的坐标分别是A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0), D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1);

1 (2)棱CC1的中点的坐标为M(1,1, ); 2 1 1 (3)面AA1B1B对角线交点的坐标为N(2,0,2). 规律总结:空间的中点坐标公式是:设A(x1,y1,z1), x1+x2 y1+y2 z1+z2 B(x2,y2,z2),则AB中点为P( 2 , 2 , 2 ).

如下图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=4,|AD|= 3,|AA1|=5,N为棱CC1的中点,分别以AB,AD,AA1所在的 直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.

(1)求点A,B,C,D,A1,BB1,C1,D1的坐标; (2)求点N的坐标.

[解析]

(1)显然A(0,0,0),

由于点B在x轴的正半轴上,且|OB|=4, 所以B(4,0,0). 同理,可得D(0,3,0),A1(0,0,5). 由于点C在坐标平面xOy内,BC⊥AB,CD⊥AD,则点 C(4,3,0). 同理,可得B1(4,0,5),D1(0,3,5),与C的坐标相比,点C1 的坐标中只有竖坐标不同,CC1=AA1=5,则点C1(4,3,5).

4+4 (2)由(1)知C(4,3,0),C1(4,3,5),则C1C的中点为( , 2 3+3 0+5 5 , ),即N(4,3, ). 2 2 2 总结评述:确定空间直角坐标系中任一点P的坐标的步 骤是:①过P作PC⊥z轴于点C;②过P作PM⊥平面xOy于点 M,过M作MA⊥x轴于点A,过M作MB⊥y轴于点B;③设P(x, y,z),则|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|.当点A,B,C分别在 x,y,z轴的正半轴上时,则x,y,z的符号为正;当点A,B, C分别在x,y,z轴的负半轴上时,则x,y,z的符号为负;当 点A,B,C与原点重合时,则x,y,z的值均为0.

命题方向

空间两点间距离公式

[例2]

(1)已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,- )

1,4),则△ABC的形状是( A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

(2)点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影,则|OB|等于 ( ) A. 14 C.2 3 B. 13 D. 11

[解析] (1)|AB|= ?4-1?2+?2+2?2+?3-11?2 = 89, |BC|= ?6-4?2+?-1-2?2+?4-3?2= 14, |AC|= ?6-1?2+?-1+2?2+?4-11?2 = 75. ∵|BC|2+|AC|2=|AB|2, ∴△ABC为直角三角形.∴应选C.

(2)B点坐标为(0,2,3), ∴|OB|= 02+22+32= 13.∴应选B.

给定空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点 P0(4,1,2)的距离为 30,则点P坐标为________.
[答案] (9,0,0)或(-1,0,0)

[解析]

设P(x,0,0),由题意,|P0P|= 30,

即 ?x-4?2+12+22= 30, ∴(x-4)2=25.∴x=9或x=-1. ∴P点坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).

命题方向

空间两点间距离公式的应用

[例3]

如图所示,在长方体OABC-O1A1B1C1中,|OA|

=2,|AB|=3,|AA1|=2,E是BC的中点,作OD⊥AC于点 D,求线段B1E的长度及顶点O1到点D的距离.

[分析]

先根据空间直角坐标系,求出点B1、E、O1、D

的坐标,然后利用两点间的距离公式求解.

[解析]

由已知的空间直角坐标系及长方体的棱长可得长

方体的各个顶点的坐标分别为:O(0,0,0)、A(2,0,0)、 B(2,3,0)、C(0,3,0)、O1(0,0,2)、A1(2,0,2)、B1(2,3,2)、 C1(0,3,2). ∵E是BC的中点,∴点E的坐标为(1,3,0), ∴由两点间的距离公式得 |B1E|= ?2-1?2+?3-3?2+?2-0?2= 5.

设D(x,y,0),在Rt△AOC中, |OA|=2,|OC|=3,|AC|= 13, ∴|OD|
2

?2×3? ? ?2 36 =? = . 13 ? 13 ? ?

又OO1⊥平面 OABC OD
2

∴OO1⊥OD ∴|O1D|=

+OO2= 1

36 2 286 +4= 13 13

(2011~2012· 广州模拟)如图所示,已知正四面体A- BCD的棱长为1,E,F分别为棱AB、CD的中点.

(1)建立适当的空间直角坐标系,写出顶点A,B,C,D的 坐标. (2)求EF的长. [分析] 正四面体也是正三棱锥,即其顶点和底面正三角

形中心的连线是正四面体的高,以底面正三角形的中心为坐标 原点,高为z轴,建立空间直角坐标系.

[解析]

(1)设底面正三角形BCD的中心为点O,连接AO,

DO,延长DO交BC于点,则AO⊥平面BCD,M是BC的中点, 且DM⊥BC,过点O作ON∥BC,交CD于点N,则ON⊥DM, 故以O为坐标原点,OM,ON,OA所在直线分别为x轴,y轴, z轴建立如右图所示的空间直角坐标系, ∵正四面体A-BCD的棱长为1,O为底面△BCD的中心. 2 2 ∴OD=3· DM=3 OA= AD -DO =
2 2

1 3 1 3 1-4= 3 ,OM=3DM= 6 . 3 6 1-9= 3 .

6 3 1 3 1 ∴A(0,0, 3 ),B( 6 ,- 2 ,0),C( 6 , 2 ,0),D(- 3 3 ,0,0). 3 1 6 3 (2)由(1)及中点坐标公式得E( 12 ,- 4 , 6 ),F(- 12 , 1 ,0), 4 ∴|EF|= 32 12 62 2 ?- ? +? ? +?- ? = . 6 2 6 2

总结评述:(1)建立空间直角坐标系.在解答有关正三 棱锥的问题时,常用的一条辅助线就是其高线,建立空间直 线坐标系必须根据题目的条件找出从同一点出发的三条两两 垂直的直线. (2)求坐标易出错的原因有:一是弄不清y轴与CD,CB的 位置关系;二是忽略了重心定理的应用;三是忽视了点的位 置对坐标的影响,如点B的纵坐标应是BM长的相反数.另外 解答本类问题还常出现计算错误而失分.所以要加强计算能 力的训练与培养.

名师辨误做答

易错点 [例4]

空间点的坐标的求法 如下图所示,在底面是菱形的直四棱柱ABCD-

A1B1C1D1中,底面的边长为a,且有一个角为120° ,侧棱长为 2a,在空间直角坐标系中确定点A1,D,C的坐标.

[错解]

a A1(a,0,0),D(2,0,a),C(0,a,2a).

[思路分析] 错解主要是不知道点的坐标是用点在各个坐 标平面xOy,yOz,zOx的射影来确定.

[正解]

∵点A1在xOy坐标平面内,∴点A1的竖坐标为0.

又由平面几何知识得Ox轴与A1D1垂直且平分,
? 3 a 3 a ? ? ∴A1H= ,OH= a,∴A1? a,- ,0?. 2 2 2 ? ? 2 ? ? 同理可得D? ? ? ? 3 a ? a, ,2a?,C(0,a,2a). 2 2 ?

课堂基础巩固

1.下列点在x轴上的是(

)

A.(0.1,0.2,0.3) B.(0,0,0.001) C.(5,0,0) D.(0,0.01,0)

[答案] C

2.在空间直角坐标系中,点M(-1,2,-4)关于x轴的对 称点的坐标是( ) B.(-1,-2,-4) D.(1,-2,4)

A.(-1,-2,4) C.(1,2,-4)

[答案]

A

3.如下图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则 点B1的坐标是( )

A.(1,0,0) B.(1,0,1) C.(1,1,1) D.(1,1,0)

[答案] C

4.已知A(4,-7,1),B(6,2,z),|AB|=11,则z= ________.
[答案] -5或7

[解析] =-5或7.

|AB|=

?4-6?2+?-7-2?2+?1-z?2 =11,解得z

5.已知点A(1,-2,1)关于坐标平面xOy的对称点为A1, 则A,A1两点间的距离为________.
[答案]
[解析]

2
A1(1,-2,-1),

则|AA1|= ?1-1?2+?-2+2?2+?1+1?2=2.

6.已知点A(1,2,3),B(2,-1,4),点P在y轴上,且|PA|= |PB|,则点P的坐标是________.
[答案] 7 -6

[解析]

设点P(0,b,0),则

?1-0?2+?2-b?2+?3-0?2= 7 ?2-0? +?-1-b? +?4-0? ,解得b=-6.
2 2 2

7.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知|AB|=3,|BC| =2,|AA1|=2,用空间两点间的距离公式求对角线B1D的长.

[解析]

∵D(0,0,0),B1(2,3,2),

∴|B1D|= 22+32+22= 17.

8.如图所示,V-ABCD是正棱锥,O为底面中心,E,F 分别为BC,CD的中点.已知|AB|=2,|VO|=3,建立如右所 示空间直角坐标系,试分别写出各个顶点的坐标.

[解析]

∵底面是边长为2的正方形,

∴|CE|=|CF|=1. ∵O点是坐标原点, ∴C(1,1,0),同样的方法可以确定B(1,-1,0),A(-1,- 1,0),D(-1,1,0). ∵V在z轴上,∴V(0,0,3).

[点评]

(1)本题坐标系已给出,不用再建系,若未给出坐

标系,建立空间直角坐标系时应遵循以下原则: ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内; ②充分利用几何图形的对称性. (2)求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面上 的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一轴上的射影(或者 通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标.


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