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第29届CMO试题2014


2014 年中国数学奥林匹克试题
第一天 1. 2014 年 12 月 30 日 8:00-12:30 重庆
, n ? ,则

给定实数 r ? ? 0,1? ,证明:若 n 个复数 z1 , z2 , , zn 满足 zk ? 1 ? r ? k ? 1, 2, 1 1 1 z1 ? z2 ? ? zn ? ? ? ? ? n2 ?1

? r 2 ? . z1 z2 zn

2.

如图, 设 A, B, D, E , F , C 依次是一个圆上的六个点, 满足 AB ? AC . 直线 AD 与 BE 交于点 P , 直线 AF 与 CE 交于点 R ,直线 BF 与 CD 交于点 Q ,直线 AD 与 BF 交于点 S ,直线 AF 与 CD 交于 T .点 K 在 SK PQ ? 线段 ST 上,使得 ?SKQ ? ?ACE .求证: . A KT QR

C T R Q K

B S P D E

F

3.

给定整数 n ? 5 .求最小的整数 m ,使得存在两个由整数构成的集合 A, B ,同时满足: (1) A ? n , B ? m ,且 A ? B ; (2)对 B 中任意两个不同的元素 x, y 有 x ? y ? B 当且仅当 x, y ? A .

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第二天 4.

2014 年 12 月 31 日

8:00-12:30

重庆

n 求具有下述性质的所有整数 k :存在无穷多个正整数 n ,使得 n ? k 不整除 C2 n.

5.

某次会议共有 30 人参加, 其中每个人在其余人中至多有 5 个熟人; 任意 5 个人中存在两人不是熟人. 求 最大的正整数 k ,使得满足上述条件的 30 个人中总存在 k 个人,两两不是熟人.

6.

设非负整数的无穷数列 a1 , a2 ,

证明:存在正整数 k , d ,满足 ? aid ? k ? 2014 .
i ?1

2k

满足:对任意正整数 m, n 均有 ? ain ? m .
i ?1

2m

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