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上海市闵行区2015年高三数学理科二模试卷


上海市闵行区 2014 学年第二学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷(理科)
(满分 150 分,时间 120 分钟) 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得 0 分. 1.用列举法将方程 log3 x ? log3 ( x ? 2) ? 1 的解集表示为 2.若

复数 z 满足 z ? (1 ? i) ? 2 (其中 i 为虚数单位) ,则 z ? 1 ? 3.双曲线 . . .

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线的夹角的弧度数为 4 12

4.若 cos ? ?

? 4 ,且 ? ? ? 0, ? ? ,则 tg ? 2 5

. .

5. 在极坐标系中, 若过点 (3, 0) 且与极轴垂直的直线交曲线 ? ? 4cos? 于 A 、B 两点, 则 AB = 6.已知等比数列 ?an ? 满足 a2 ? 2, a3 ? 1 ,则 lim ( a1a2 ? a2 a3 ?
n ???

? an an ?1 ) =

.

7. 设二项式 (3x ? 1)n 的展开式的二项式系数的和为 p ,各项系数的和为 q ,且 12 p ? 64? q ,则 n 的 值 为 8. .

? m 是 从 集 合 ??1,0,1, 2,3? 中 随 机 抽 取 的 一 个 元 素 , 记 随 机 变 量 ? ? cos( m ? ) , 则 ? 的 数 学 期 望
3
.

E? ?

2 2 9. 给出条件: ①x1 ? x2 , ② x1 ? x2 , ③x1 ? x2 , ④x1 . 函数 f ( x) ? sin x ? x , 对任意 x1、x2 ? ? ? ? x2

? ? ?? , , ? 2 2? ?

能使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立的条件的序号是 10.已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 为 11.斜率为 .



2 an ? 2an ? 2 ? 1(n ? N? ) ,则使不等式 a2015 ? 2015 成立的所有正整数 a1 的集合

y2 2 2 的直线与焦点在 x 轴上的椭圆 x ? 2 ? 1(b ? 0) 交 b 2
C

y N

于不同的两点 P 、Q .若点 P 、Q 在 x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦 点,则该椭圆的焦距为
2

. O D A M

B P x

12.函数 f ( x) ? loga x ? a( x ? 1) ? 8 在区间 ? 0,1? 内无零点,则实 数 a 的范围是 .

13. 如图, 已知点 P(2, 0) , 且正方形 ABCD 内接于 O : x2 ? y 2 ? 1,

M 、 N 分 别 为 边 AB 、 BC 的 中 点 . 当 正 方 形 ABCD 绕 圆 心 O 旋 转 时 , PM ? ON 的 取 值 范 围
为 .

1

? ? x2 ? x ? k x ? 1 x ? (a ? R ) , 若 对 任 意 的 14 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? 1 , g ( x) ? a ln( x ? 2) ? 2 x ?1 ?? 2 ? log 1 x x ? 1 3 ?

x1, x2 ??x | x ? R, x ? ?2? ,均有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 k 的取值范围是



二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 小题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号 上,将代表答案的小方格用铅笔涂黑,选对得 5 分,否则一律得 0 分. 15.如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是 (A) a ? ab .
2

(

)

(B) ?ab ? ?b .
2

(C)

1 1 ? . a b

(D)

b a ? . a b

16.从 4 个不同的独唱节目和 2 个不同的合唱节目中选出 4 个节目编排一个节目单, 要求最后一个节目必 须是合唱,则这个节目单的编排方法共有 ( ) (A) 14 种. (B) 48 种. (C)72 种. (D) 120 种. 17.函数 y ? sin x 的定义域为 ? a, b? ,值域为 ? ?1, ? ,则 b ? a 的最大值是( 2

? ?

1? ?

)

(A)

?.

(B)

4? . 3

(C)

5? . 3

(D) 2? . l A P B

18. 如图,已知直线 l ? 平面 ? ,垂足为 O ,在 △ ABC 中, BC ? 2, AC ? 2, AB ? 2 2 ,点 P 是边 AC 上的动点. 该三角形在空间按以下条件作自由移动:(1) A ? l , (2) C ? ? .则 OP ? PB 的最大值为 (A) 2 . (B) 2 2 . ( (C) 1 ? 5 . ) (D)

?
10 .
N

O C

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的 步骤. 19. (本题满分 12 分) 如图, 已知圆锥的底面半径为 r ? 10 , 点 Q 为半圆弧 AB 的中点, 点 P 为母线 SA 的中点. 若直线 PQ 与

SO 所成的角为

? ,求此圆锥的表面积. 4

S

P

B 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 10 分. 设三角形 ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别是 a、b、c ,且 B ? (1) 角 C 的范围;(2) Q

O

A

?
3

.若 △ ABC 不是钝角三角形,求:

2a 的取值范围. c
2

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 某油库的设计容量为 30 万吨,年初储量为 10 万吨,从年初起计划每月购进石油 m 万吨,以满足区域内和 区域外的需求,若区域内每月用石油 1 万吨,区域外前 x 个月的需求量 y (万吨)与 x 的函数关系为

y ? 2 px ( p ? 0,1 ? x ? 16, x ? N* ) ,并且前 4 个月,区域外的需求量为 20 万吨.
(1)试写出第 x 个月石油调出后,油库内储油量 M (万吨)与 x 的函数关系式; (2)要使 16 个月内每月按计划购进石油之后,油库总能满足区域内和区域外的需求,且每月石油调出后,油库 的石油剩余量不超过油库的容量,试确定 m 的取值范围.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 6 分.
2 2 2 2 2 2 0?r ?4) 已知两动圆 F ,把它们的公共点的轨迹 1 : ( x ? 3) ? y ? r 和 F 2 : ( x ? 3) ? y ? (4 ? r ) (

记为曲线 C ,若曲线 C 与 y 轴的正半轴的交点为 M ,且曲线 C 上的相异两点 A、B 满足: MA ? MB ? 0 . (1) 求曲线 C 的方程; (2)证明直线 AB 恒经过一定点,并求此定点的坐标; (3)求 △ ABM 面积 S 的最大值.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 7 分,第(3)小题满分 7 分. 各项均为正数的数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n ,都有 2Sn ? bn (bn ? 1) . (1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)如果等比数列 ?an ? 共有 m(m ? 2, m ? N ) 项,其首项与公比均为 2 ,在数列 ?an ? 的每相邻两项 ai 与 ai ?1 之
?

间插入 i 个 (?1) bi (i ? N ) 后,得到一个新的数列 ?cn ? .求数列 ?cn ? 中所有项的和;
i *

(3)如果存在 n ? N ,使不等式 bn ?

?

1 1 成立,求实数 ? 的范围. ? (n ? 1)? ? bn?1 ? bn bn?1
3

闵行区 2014 学年第二学期高三年级质量调研考试 数学试卷参考答案与评分标准(理科)
一. 填空题 1. ?1? ; 2. 5 ; 3.
? 10. n | n ? 2015, n ? N ;

? ; 3

4.

1 ; 3

5. 2 3 ;

6.

1 32 ; 7.4; 8. ; 9.④; 10 3

?

?

11.

3? ? ; 14. ? ? 2, 2 2 ; 12. ?1, 2? ; 13. ? ?? , ? ? ?. ? ? 4? ?
17.B; 18. C.

二. 选择题 15. B; 三. 解答题

16. D;

19.[解] 取 OA 的中点 M,连接 PM,又点 P 为母线 SA 的中点 所以 PM // OS ,故 ?MPQ 为 PQ 与 SO 所成的角.………………………2 分 在 Rt △MPQ 中, ?MPQ ?

S

?
4

, PM ? QM ,………………………4 分 B Q

P

由点 Q 为半圆弧 AB 的中点知 OQ ? AB , 在 Rt△MOQ 中, OQ ? 10, OM ? 5 ? MQ ? 5 5 故 PM ? 5 5 ,所以 OS ? 10 5 , SA=10 6 .

O M

A

………………………8 分

所以 S底 ? ? r 2 ? 100? , S侧 ? ? r ? SA ? ? ?10 ?10 6 ? 100 6? ………………10 分

S全 ? S底 ? S侧 ? 100? ? 100 6? ? 100(1 ? 6)? .…………………………………12 分
20.[解] (1)因为 A ? C ? 由0 ? C ?

?

2 2 6 2a 4 R sin A sin A ? ? (2) c 2 R sin C sin C

,0 ? A ?

?

2? 2? ?C ,A? 3 3

…………………………………2 分 …………………………………4 分 …………………………………6 分

得:

?

?C ?

?

2

?

? 2sin( B ? C ) sin C ? 3 cos C 3 cos C ? ( ? C ? )……………10 分 ? ? 1? 6 2 sin C sin C sin C
?
2
时,

当C ?

2a 3 cos C ? 1? ?1 c sin C 2a 3 ? 1? ? ?1, 4? c tan C
…………………………………12 分



?
6

?C ?

?
2

时,

所以

2a 3 ? 1? ? ?1, 4? . c tan C

…………………………………14 分

21.[解](1)由条件得 20 ?

2 p ? 4 ? 2 p ? 100 ,所以 y ? 10 x (1 ? x ? 16, x ? N* ) 2 分
. x ? N* ) …………………………………6 分
4

(1 ? x ? M ? mx ? x ? 10 x ? 10 , 1 6 ,

(2)因为 0 ? M ? 30 , 所以 ?

? ? 10 ? mx ? x ? 10 x ? 0 ?10 ? mx ? x ? 10 x ? 30 ?

?1 ? x ? 16, x ? N ? 恒成立
*

………………………8 分

10 10 ? m?? ? ?1 ? x x ? ?? 1 ? x ? 16, x ? N* ? 恒成立 ? ? m ? 20 ? 10 ? 1 ? x x ?


………………………10 分

1 x

? t ,则:

1 ? t ?1 4

?m ? ?10t 2 ? 10t ? 1? 1 ? ?? ? ? t ? 1? 恒成立, 2 ? ? m ? 20t ? 10t ? 1 ? 4
由 m ? ?10t ? 10t ? 1 ? ?10(t ? ) ?
2 2

1 2

7?1 ? ? ? t ? 1? 恒成立得 2?4 ?
………………………12 分

m?

7 ( x ? 4 时取等号) 2

19 ?1 ? ( x ? 16 时取等号) m ? 20t 2 ? 10t ? 1? ? t ? 1? 恒成立得 m ? 4 ?4 ?
所以

7 19 ?m? . 2 4

………………………14 分

22.[解](1)设两动圆的公共点为 Q,则有: QF 1 ? QF 2 ? 4(? F 1F 2 ) .由椭圆的定义可知 Q 的轨迹为椭圆,

a ? 2, c ? 3 .所以曲线 C 的方程是:

x2 ? y 2 ? 1.…4 分 4

(2)证法一:由题意可知: M (0,1) ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 当 AB 的 斜 率 不 存 在 时 , 易 知 满 足 条 件 MA ? MB ? 0 的 直 线 AB 为 : x ? 0 过 定 点

3 N (0, ? ) 5
当 AB 的斜率存在时,设直线 AB : y ? kx ? m ,联立方程组:

………………………6 分

? x2 2 ? ? y ?1 ① 2 2 2 ,把②代入①有: (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 ……………8 分 ?4 ? y ? kx ? m ② ?
x1 ? x2 ? ?8km 4m 2 ? 4 x ? x ? ③, ④, 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

因为 MA ? MB ? 0 ,所以有 x1 ? x2 ? (kx1 ? m ?1)(kx2 ? m ?1) ? 0 ,
5

(1 ? k 2 ) x1 ? x2 ? k (m ?1)( x1 ? x2 ) ? (m ?1)2 ? 0 ,把③④代入整理:
(1 ? k 2 ) 4m 2 ? 4 ?8km (有公因式 m-1)继续化简得: ? k (m ? 1) ? (m ? 1) 2 ? 0 , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

(m ? 1)(5m ? 3) ? 0 , m ?

?3 或 m ? 1 (舍) , 5

综合斜率不存在的情况,直线 AB 恒过定点 N (0, ? ) .

3 5

………………………10 分

证法二: (先猜后证)由题意可知: M (0,1) ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 如果直线 AB 恒经过一定点,由椭圆的对称性可猜测此定点在 y 轴上,设为 N (0, m) ; 取特殊直线 MA : y ? x ? 1 ,则直线 MB 的方程为 y ? ? x ? 1 ,

? x2 ? ? y2 ? 1 解方程组 ? 4 ?y ? x ?1 ?

得点 A(? , ? ) ,同理得点 B ( , ? ) ,

8 5

3 5

8 5

3 5

此时直线 AB 恒经过 y 轴上的点 N (0, ? ) (只要猜出定点的坐标给 2 分)……2 分 下边证明点 N (0, ? ) 满足条件 MA ? MB ? 0 当 AB 的斜率不存在时,直线 AB 方程为: x ? 0 , 点 A、B 的坐标为 (0, ?1) ,满足条件 MA ? MB ? 0 ;………………………8 分 当 AB 的斜率存在时,设直线 AB : y ? kx ?

3 5

3 5

3 ,联立方程组: 5

? x2 ? y2 ? 1 ① ? 24k 64 ?4 2 2 x? ?0 ,把②代入①得: (1 ? 4k ) x ? ? 5 25 ? y ? kx ? 3 ② ? 5 ?

x1 ? x2 ?

24k ?64 ③, x1 ? x2 ? ④, 2 5(1 ? 4k ) 25(1 ? 4k 2 )
8 5 8 5

所以 MA ? MB ? x1 ? x2 ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? x1 ? x2 ? (kx1 ? )(kx2 ? )

? (1 ? k 2 ) x1 x2 ?

8k 64 ( x1 ? x2 ) ? 5 25
………………………10 分

? (1 ? k 2 ) ?

?64 8k 24k 64 ? ? ? ?0 2 2 25(1 ? 4k ) 5 5(1 ? 4k ) 25

(3) △ ABM 面积 S ? S△MNA ? S△MNB =

1 4 MN x1 ? x2 = ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 2 5
6

由第(2)小题的③④代入,整理得: S ?

32 25k 2 ? 4 ? 25 1 ? 4k 2

……………………………12 分

因 N 在椭圆内部,所以 k ? R ,可设 t ? 25k 2 ? 4 ? 2 ,

32t 32 ……………………………14 分 ? (t ? 2) 2 9 4t ? 9 4t ? t 64 9 25 4t ? ? ,? S ? ( k ? 0 时取到最大值). 25 t 2 64 所以 △ ABM 面积 S 的最大值为 . …………………………………………16 分 25 23. [解] (1)当 n ? 1 时,由 2S1 ? b1 (b1 ? 1) 得 b1 ? 1 …………1 分 S?
当 n ? 2 时,由 2Sn ? bn (bn ? 1) , 2Sn?1 ? bn?1 (bn?1 ? 1) 得

(bn ? bn?1 )(bn ? bn?1 ) ? bn ? bn?1
因数列 ?bn ? 的各项均为正数,所以 bn ? bn?1 ? 1 所以数列 ?bn ? 是首相与公差均为 1 等差数列 所以数列 ?bn ? 的通项公式为 b n ? n . (2)数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n 当 m ? 2k ?1(k ? 2, k ? N? ) 时,数列 ?cn ? 共有 ………………………………4 分 ……………………5 分 ………………………………3 分

(2k ?1) ? 1 ? 2 ?

? (2k ? 2) ? k (2k ?1) 项,其所有项的和为

Sk (2k ?1) ? (2 ? 22 ?

? 22k ?1 ) ? [?1? 22 ? 32 ? 42 ?

? (2k ? 3)2 ? (2k ? 2)2 ]

? 2(22k ?1 ?1) ? [3 ? 7 ?
? 1 m(m ? 1) ? 2m ?1 ? 2 2

? (4k ? 5)] ? 22k ? 2 ? (2k ?1)(k ?1)
………………………………8 分

当 m ? 2k (k ? N? ) 时,数列 ?cn ? 共有

2k ? 1 ? 2 ?

? (2k ?1) ? k (2k ? 1) 项,其所有项的和为

Sk (2k ?1) ? Sk (2k ?1) ? 22k ? (2k ?1)2
? 22k ? 2 ? (2k ?1)(k ?1) ? 22k ? (2k ?1)2 ? 22k ?1 ? k (2k ?1) ? 2
1 ? ? m(m ? 1) ? 2m ?1 ? 2 2
(3)由 bn ? ……………………………11 分

1 1 ? (n ? 1)? ? bn?1 ? 得 bn bn?1

n?

1 1 n ? ? ? 1? , n ? 1, 2,3, n ?1 (n ? 1) 2

……………………………13 分
7

1 n , B ? 1 ? 1 , n ? 1, 2,3, 记 An ? n n ?1 (n ? 1) 2 n?
由 An ? An ?1 ?

2?n , n(n ? 1)(n ? 2)

Bn ? 1 ?

2n ? 3 1 递减(或 Bn ? Bn ?1 ? )………………………15 分 2 (n ? 1) 2 (n ? 2) 2 (n ? 1)
, B1 ? B2 ? B3 ? ……………………………18 分

得A 1 ? A 2 ? A 3, A 3 ? A 4 ? A 5 ?

所以实数 ? 的范围为 ? A2 , B1 ? ,即 ? , ? . 6 4

?5 5? ? ?

8


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