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对数及指数函数的导数


基本初等函数的导数
公式1:常函数的导数 c ? 0(c为常数)
/

(x 公式2:幂函数的导数 ) ? nx (n ? Q)
n /

n ?1

公式3:正弦函数的导 (sinx) ? cosx 数
/

公式4:余弦函数的导 (cosx) ? ?sinx 数
/

(1)求y ?(1? 3x) 的导数 3x (2)求y ? 的导数 3 (2x ? 1)

?4

π (3)求y ? cos( ? 3x)的导数 x π 2 (4)求y ? sin (2x ? )的导数 3

(5).求y ? ax ? bx ? c的导数
3 2

(6).求y ? (2x ? 3) 1? x 的导数
2 2

公式5:对数函数的导数

1 (5)(ln x )? ? x 1 (6)(log a x )? ? log a e x

例1:  求y ? ln(2x ? 3x ? 1)的导数
2

分析:用到对数的求导 公式和复合函数求导法 则及 四则运算.

1 ? 2 ?(4x ? 3) 2x ? 3x ? 1 2 例2:  求y ? lg 1 ? x 的导数
1 1 1 / 2 / 2 lg e ?(1? x ) 法2:y ? lg(1? x )y ? 2 2 1? x 2 1 1 xlge ? lge ?( ?2x) ? 2 2 2 1? x x ?1

1 2 / y ? 2 (2x ? 3x ? 1) 2x ? 3x ? 1
/

练 习 1: 求 下 列 函 数 的 数 导 (1)y ? xlnx y ? 1?lnx 1 / 1 y ?? (2)y ? ln x 2x x / y ? 2 logae 2 (3)y ? loga(x ? 2) x ?2
/

(4)y ? lg(sinx)y ? cotx?lge
/

1 (5)y ? lg 1 ? x y ? 2(x - 1) x
/

(6)y ? ln 1 ? x

2

y ?
/

1? x

2

公式5:对数函数的导数

1 (5)(ln x )? ? x 1 (6)(log a x )? ? log a e x
公式6:指数函数的导数

(7)(e ) ? e
x /
x /

x
x

(8)(a ) ? a lna

例3:求y? e ? cos3x的导数
2x

分析:先用到两个函数 乘积的求导法则,再 用到复合函数求导法则

y ? e (2cos3x? 3sin3x)
/ 2x

例4:求y? a 的导数
5x

y ? 5a lna
/ 5x

练 习 2: 求 下 列 函 数 的 数 导 (1)y ? x ? e
2 x

(2)y ? e

3x 3 x

(3)y ? x ? 3 (4)y ? x ? e
n x x x

?x

(5)y ? e ? sinx (6)y ? e ?lnx (7)y ? a ?loga x

例3:求y? log2(x ? 1? x )的导数:
2

解:y ?
/

1 x ? 1? x
1

log2e ?(x ? 1? x ) 2
? 1 2

2 /

1 2 ? log2e ?[1? (1? x ) ? 2x] 2 2 x ? 1? x

?

log2e 1? x
2

变式:求下列函数的导 数 (1) y ? x
x

本题解法的求导方法称 为“对数求导法”

两边取自然对数 ,    y ? x ln x , ln 1 1 两边对 x求导,    y? ? ln x ? x ? y x ? ? x x (1 ? ln x ). ?y


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