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合肥一中及其联谊学校2011届高三第三次全省大联考数学(理科)


合肥一中及其联谊学校 2011 届高三第三次全省大联考 数学(理科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。请在答题卷上作答。

第Ⅰ卷

选择题(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的四个选项中

,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ,集合 A ? B ? U ,则有( ) A. A ? B ? B C. ( C U A ) ? ( C U B ) ? C U B
2

B. A ? B ? A D. ( C U A ) ? ( C U B ) ? C U B )

2.已知命题 p : ? x ? R , x ? x ? 2 ? 0 ,则命题 ? p 是( A. ? x ? R , x ? x ? 2 ? 0
2 2

B. ? x ? R , x ? x ? 2 ? 0 D. ? x ? R , x ? x ? 2 ? 0
2

C. ? x ? R , x ? x ? 2 ? 0
2

3.若平面向量 a ? (1, x ) 和 b ? ( 2 x ? 3, ? x ) 互相平行,其中 x ? R ,则 a ? b ? ( A. 2 5 B. 2 或 2 5 C. - 2 或 0 D. 2或 1 0

?

?

?

?



4.设 a、 b 为两条不同的直线, ? 、 ? 为两个不同的平面.下列命题中,正确的是( A.若 a、 b 与 ? 所成的角相等,则 a / / b C.若 a ? ? , a / / ? ,则 ? ? ?
? ? 5.已知 f ( x ) ? ? ? ? 1 x ( ) 2



B.若 ? ? ? , m / / ? ,则 m ? ?

D.若 a / / ? , b / / ? ,则 a / / b

( x ? 3)

,则 f (lo g 2 3) 的值是(



f ( x ? 1)( x ? 3)

A.

1 12

B.

1 24

C. 2 4
2

D. 12 )

6.若直线 y ? x ? k 与曲线 x ? A. k ? ? 2 C. ? 2 , 2

1 ? y 恰有一个公共点,则 k 的取值范围是(

B. ? 2 , ? ? ? ? ? , ? 2 ?
? ?

? ?

?

?
T S

D. k ? ? 2 或 ? ? 1,1 ?

7.已知正四面体 A B C D 的表面积为 S ,其四个面的中心分别为 E 、 F 、 G 、 H .设四面体
E F G H 的表面积为 T ,则

等于(



A.

1 9

B.

4 9
x

C.
?
6

1 4

D.

1 3

8.若当 x ? ? 1, 3 ? 时, 不等式 a ? sin
? ? 1? ? 2? ? ? 1? ?

x ? a ? 0, a ? 1 ? 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 (
?1 ? ?



A. ? 0 ,

B. ? 0 , ? 2

C. ? ,1 ?
?2

D ? ,1 ? ? ? 1, ? ? ? .
?2 ?

?1

?

a a 9.数列 ? a n ? 满足下列条件: 1 ? 1 , 且对于任意的正整数 n , 恒有 a 2 n ? a n ? n , 5 1 2 ?(



A. 1 2 8

B. 256
3

C. 5 1 2
? ? 1

D. 1024
? , 0 ? 内单调递增, a 的取值范围 则 2 ?

10.若函数 f ( x ) ? lo g a ( x ? a x )( a ? 0, a ? 1) 在区间 ? ? 是( )
?1 ? ?

A. ? ,1 ?
?4

B. ? ,1 ?
?4

?3

? ?

C. ?

?9

? , ?? ? ?4 ?

D. ? 1,
?

?

9? ? 4?

第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)


二、填空题:本大题 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
o b 11. ? A B C 中, 在 已知 A ? 6 0 , ? 4 3 , 为使此三角形只有一个, a 的取值范围为 则

12.计算 ?

1 0

1 ? x dx =
2



13.在数列 ? a n ? 中,已知 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a 2 ? a1 ( n ? N *, n ? 2) ,则这个数 列的通项公式是
2)

. .

14.直线 l 经过 A (2,1) , B (1, a ( a ? R ) 两点,那么直线 l 的倾斜角的取值范围是 15.如图, ? ? l ? ? 为 6 0 的二面角,等腰直角三角形 M P N
o

?
l

M P N

的直角顶点 P 在 l 上, M ? ? , N ? ? ,且 M P 和 N P 与 l 所成 的角相等,则 M N 与 ? 所成角为 .

?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 2? 如图,? A B C 中,? B ? , A C ? 2 ,? A ? ? ,设 ? A B C 的面积为 f (? ) .
3

(Ⅰ)若 ? ?

?
12

B
2? 3

,求 A B 的长;

(Ⅱ)求 f (? ) 的解析式,并求 f (? ) 的单调区间.

A

?

C

17. (本小题满分 12 分) 某跳小运动员进行 1 0 m 跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线为下图所示 坐标系下经过原点 O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件) ,最高处距水面 1 0
2 3 m,

入水处距池边的距离为 4 m .在某次跳水时,要求该运动员在距水面高度为 5m 或 5m 以上 时,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误. y A (Ⅰ)求这条抛物线的解析式; 3m (Ⅱ)该运动员按(Ⅰ)中抛物线运行,要使此次跳水 x O 不至于失误,那么运动员在空中调整好入水姿势 时,距池边的水平距离至多为多少米? 跳
10m 台 支 柱 1m 池边 B

18. (本小题满分 12 分) 如图,在直四棱柱 A B C D ? A ' B ' C ' D ' 中,底面 A B C D 为梯形, B C / / A D ,
AA ' ? AB ? 2 , A D ? 2 B C ? 2 ,直线 A D 与面 A B B ' A ' 所成角为 4 5 .
o

(Ⅰ)求证: D B ? 面 A B B ' A ' ; (Ⅱ)求证: A D ' ? B ' C ; (Ⅲ)求二面角 D ? A B '? B 的正切值.

D

D'

C A B

C' A' B'

19. (本小题满分 12 分)
B 将圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 按向量 a ? ( ? 1, 2 ) 平移后得到圆 O , 直线 l 与圆 O 相交于 A 、 ,
2 2

?

若在圆 O 上存在点 C ,使 O C ? O A ? O B ? ? a ,求直线 l 的方程及对应的点 C 坐标.

????

??? ?

??? ?

?

20. (本小题满分 13 分) 已知数列 ? a n ? 满足: a1 ? 3 , a n ? 1 ?
3an ? 2 an

,n ? N * .

(Ⅰ)证明数列 ?

? an ? 1 ? ? 为等比数列,并求数列 ? a n ? 的通项公式; ? an ? 2 ?

(Ⅱ)设 b n ? a n ( a n ? 1 ? 2) ,数列 ? b n ? 的前 n 项和为 S n ,求证: S n ? 2 . 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 x ? a x , g ( x ) ? ln x , F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) .
2

(Ⅰ)若 F ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值,求 F ( x ) 的极大值; (Ⅱ)若 F ( x ) 在区间 (0, ) 上是增函数,求实数 a 的取值范围;
4 1

(Ⅲ)若 a ? 3 ,问是否存在与曲线 y ? f ( x ) 和 y ? g ( x ) 都相切的直线?若存在,判断有 几条?并加以证明,若不存在,说明理由.

合肥一中及其联谊学校 2011 届高三第三次全省大联考 数学(理科)参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 题号 C D B C A D A B C 答案 二、填空题(本大题 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在横线上. ) 11. a | a ? 6 或 a ? 4 3 10 B

?

?




12.

?
4



13. a n ? ?

? 1 ?2
n?2

( n ? 1) (n ? 2)



14. ? 0,
?

?

? ?

?? ? ? ? ? 2 ,? ? 4? ? ?

15.

?
6

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (本小题满分 12 分) ? ? ? AB AC ? ? 解: (Ⅰ) ? C ? ? ,由正弦定理知:
3 12
sin

4

sin C

sin B

?
4 ? 2 6 2? 3 3

∴ AB ? AC ?
sin

(Ⅱ)由正弦定理知:

AB sin C

?

AC sin B



sin ( ? ? ) 4 3 ? 3 ? sin ( ? ? ) ∴ AB ? AC ? 2? 3 3 sin 3
4 3 3 sin ? sin (

?

∴ f (? ) ? S ? A B C ?

1 2

A B ?A C ?sin A ?

?
3

? ? ) , (0 ? ? ?

?
3

)

∴ f (? ) ?

4 3 3

sin ? sin (

?
3

?? ) ?

4 3 3

sin ? (

3 2

co s ? ?

1 2

sin ? )

? 2 s ?n i

?c ?o s
3 3 3

2

3

2

? ?s i n? ?
3 2 ? 3 3

3 s i ?n 2 ?

( 1

c o s 2

)

? s i n 2? ?

3 c ?o s 2 ? 3

? 3 ? s i? n ( 2 ?
6 3

)

又0 ? ? ? 由
?
6

?
3

,∴
?
6
? ?

?
6

? 2? ?

?
6

?

5? 6

? 2? ?

?

?
2

得0 ? ? ?
? ?

?
6

,由

?
2

? 2? ?

?
6

?

5? 6



?
6

?? ?

?
3

∴ f (? ) 在区间 ? 0,

?? ? ? , ? 上是增函数,在区间 ? 6 3 ? 上是减函数. 6? ? ?

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)在给定的直角坐标系下,设最高点为 A ,入水点为 B . 抛物线的解析式为 y ? a x ? b x ? c .
2

由题意知: O 、 B 两点的坐标依次为 (0, 0 ) 、 ( 2, ? 1 0 ) ,且顶点 A 的纵坐标为
25 ? a ? ? ? 6 ? 10 ? 解之得 ? b ? 3 ? ? c?0 ? ?
b 2a 10 3 10 3

2 3



?c?0 ? 2 2 ? 4ac ? b 所以有 ? ? 4a 3 ? ? 4 a ? 2b ? c ? ? 10 ?

3 ? ?a ? ? 2 ? 或 ? b ? ?2 ? c ? 0 ? ?

∵抛物线对称轴在 y 轴右侧, ? ∴ 后一组解舍去.∴ a ? ?
25 6

? 0, b 又∵抛物线开口向下, a ? 0 , ? 0 , ∴

,b ?
2

,c ? 0 .
x.

∴抛物线的解析式为 y ? ?

25 6

x ?

(Ⅱ)由题意要使某次跳水不至于失误,那么运动员在空中调整好入水姿势时,距水面 高度不小于 5m . 则应有 y ? ? 5 .即 ?
25 6 x ?
2

10 3

x ? ? 5 ,解得

2? 5

34

? x?

2? 5

34

∴运动员此时距池边的距离至多为 18. (本小题满分 12 分)

2? 5

34

?2?

12 ? 5

34

m.

解: (Ⅰ)∵ 面 A B D ? 面 A B B ' A ' ,∴直线 A B 为直线 A D 在面 A B B ' A ' 上的身影, ∴ ? D A B ? 4 5 ,由 A B ?
o

2 , A D ? 2 知, D B ? A B ,∴ D B ? 面 A B B ' A '
D E C A B B' C' A' D'

(Ⅱ)取 A D 中点 E ,连接 C E 、 A ' E , ∵ BC / / AD , AD ? 2 BC , ∴ BC / / AE 且 BC ? AE , ∴ E C / / A B / / A ' B ' 且 E C ? A ' B ' ,∴ A ' E / / B ' C , 又直四棱柱 A B C D ? A ' B ' C ' D ' 侧面 A A ' D ' D 为矩形,
tan ? A A ' E ? 1 2 ? 2 2

, tan ? A D ' A ' ?

2 2

? A A ' E ? ? A D ' A ' , ? A A ' E ? ? D ' A A ' ? ? A D ' A '? ? D ' A A ' ? 90

o

∴ A D ' ? A ' E ,∴ A D ' ? B ' C

(Ⅲ)∵ D B ? 面 A B B ' A ' 且 B D ?

D
2

D'

过点 B 作 B F ? A B ' 交 A B ' 于 F ,连接 D F , 则 AB ' ? 面 DBF , ∴ A B ' ? D F , ? B F D 为所求二面角的平面角, 又 BF ?
A B ?B B ' AB ' ? 2? 2 2 ?1

E C A C' F B'
2 .

A'

B

∴ tan ? B F D ?

BD BF

?

2 ,即二面角 D ? A B '? B 的正切值为

19. (本小题满分 12 分) 解:将圆的方程 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 化为 ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 5
2 2 2 2

∴圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 按向量 a ? ( ? 1, 2 ) 平移后得到圆 x ? y ? 5
2 2 2 2

?

???? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ∵ O C ? O A ? O B ? ? a ,又 O A ? O B ?

y
5

l A

C B
1 2 x?m

∴ AB ? OC ,OC / /a ∴直线 l 的斜率 k ?
1 2

????

?

,设直线 l 的方程为 y ?

O

x

1 ? ?y ? x? m 2 2 由? 得 5 x ? 4 m x ? 4 m ? 20 ? 0 , 2 2 2 ?x ? y ?5 ?

? ? 16 m ? 20(4 m ? 20) ? 0
2 2

设 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ?

4m

5 5 ???? 4m 8m 4m 8m 4m 2 8m 2 , ) ,∵点 C ( ? , ) 在圆上,∴ ( ? ) ?( ) ?5 ∴ O C ? (? 5 5 5 5 5 5 5 2 2 解得 m ? ? ,满足 ? ? 16 m ? 20(4 m ? 20) ? 0 4 5 当 m ? 时, l 的方程为 2 x ? 4 y ? 5 ? 0 ,点 C 坐标为 ( ? 1, 2) ; 4 5 当 m ? ? 时, l 的方程为 2 x ? 4 y ? 5 ? 0 ,点 C 坐标为 (1, ? 2 ) . 4

, y1 ? y 2 ?

8m

20. (本小题满分 13 分)
3an ? 2 a n ?1 ? 1 a n ?1 ? 2 ?1 ? ?2 2( a n ? 1) an ? 2
a1 ? 1 a1 ? 2

证明: (Ⅰ)∵

?

an 3an ? 2 an

,又

? 2? 0,

∴?

n ?1 ? an ? 1 ? a ?1 2 ?1 n ? 2 ,解得 a n ? 等比数列,且公比为 2 ,∴ n ; ? n 2 ?1 an ? 2 ? an ? 2 ?

(Ⅱ) b n ? a n ( a n ? 1 ? 2 ) ? ∴当 n ? 2 时, b n ?

2

?1 2 ?1 1 ( n ?1 ? 2) ? n , n 2 ?1 2 ?1 2 ?1

n ?1

n?2

1 2 ?1
n

? 2

1
n ?1

?2

n ?1

?1

? 2

1
n ?1

S n ? b1 ? b 2? b ?3 ? ? b n ? 1 ?

1 2

?

1 2
2

?? ? 2

1
n ?1

? 1?

n ?1 1? ?1? ? ?1 ? ? ? ? 2? ?2? ? ? ?

1?

1 2

?1? ? 2?? ? ?2?

n ?1

? 2

21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? 2 x ? a x ? ln x ,
2

∴ F '( x ) ? 4 x ? a ?

1 x

( x ? 0 ) ,又 F ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值
2

∴ F '(1) ? 4 ? a ? 1 ? 0 ,∴ a ? ? 5 , F ( x ) ? 2 x ? 5 x ? ln x
1 x
? 1? ? 0, ? ? 4?

∴ F '( x ) ? 4 x ? 5 ?

?

4x ? 5x ?1
2

?

( 4 x ? 1)( x ? 1) x

( x ? 0)

x

x

1 4
0

?1 ? ? ,1 ? ?4 ?

1

? 1, ? ? ?
?

F '( x )

?

?

0

F (x)

?

极大值
1 9 8 ? 2 ln 2 .

?

极小值

?

∴ F ( x ) 的极大值为 F ( ) ? ?
4
? ?

(Ⅱ)由 F ( x ) 在区间 ? 0 ,
? ?

1? ? 上是增函数得 4?

当 x ? ? 0,

1 1 1? ? 时, F '( x ) ? 4 x ? a ? ? 0 恒成立,设 h ( x ) ? ? ( 4 x ? ) 4? x x
1 x 1? 4x x
2 2

则 a ? h ( x ) ,又 h '( x ) ? ? ( 4 ?

)? 2

? 1 ? 0 ,∴ h ( x ) 在 ? 0 , ? 4

? ? 上是增函数, ?

∴ a ? h ( x ) m ax , a ? h ( ) ? ? 5 ,即实数 a 的取值范围为 ? ? 5, ? ? ? .
4
2 (Ⅲ)当 a ? 3 时, f ( x ) ? 2 x ? 3 x , g ( x ) ? ln x ,∴ f '( x ) ? 4 x ? 3 , g '( x ) ?

1

1 x



设直线 l 与曲线 y ? f ( x ) 和 y ? g ( x ) 都相切,切点分别为 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 则 y1 ? 2 x1 ? 3 x1 , y 2 ? ln x 2
2

∴ l : y ? (2 x1 ? 3 x1 ) ? (4 x1 ? 3)( x ? x1 ) ,即 y ? ( 4 x1 ? 3) x ? 2 x1
2
2

2

又 l 过点 B ( x 2 , y 2 ) 且 f '( x ) ? g '( x ) ,∴ y 2 ? ( 4 x1 ? 3) x 2 ? 2 x1 且 4 x1 ? 3 ?

1 x2

∴ ln x 2 ? (4 x1 ? 3) x 2 ? 2 x1 , ∴ ? ln ( 4 x1 ? 3) ? 1 ? 2 x1
2 2

2

方程 2 x1 ? ln (4 x1 ? 3) ? 1 ? 0 有根,设 ? ( x ) ? 2 x ? ln ( 4 x ? 3) ? 1 ,
2

则 ? '( x ) ? 4 x ? 当 x ? (?
1

4 4x ? 3

?

4 ( 4 x ? 3 x ? 1)
2

4x ? 3

?

4 ( 4 x ? 1)( x ? 1) 4x ? 3

(x ? ?

3 4

)

3 1 , ) 时, ? '( x ) ? 0 , ? ( x ) 是减函数, 4 4

当 x ? ( , ? ? ) 时, ? '( x ) ? 0 , ? ( x ) 是增函数,
4

∴ ? ( x ) m in ? ? ( ) ? ?
4

1

7 8

? ln 4 ? 0 .
3 4
2 2

又当 x ? ?

3 4

且 x 趋向于 ?

时, ? ( x ) 趋向于 ? ? ,

? e5 ? 3 ? ? e5 ? 3 ? ? 25 ? 3 ? 5 ?? ? 2? ? ln e ? 1 ? 2 ? ∴ ? ? ? ?6?0, 4 ? 4 ? 4 ? ? ? ?

∴ ? ? x ? 在区间 ? ?
?

?

3 1? ?1 , ? 、? , ?? 4 4? ?4

? ? 上各有一个根. ?

∴与曲线 y ? f ( x ) 和 y ? g ( x ) 都相切的直线存在,有 2 条.


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