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[精品教案]新课标高中数学人教A版必修一全册教案2.1.1指数与指数幂的运算


指数与指数幂的运算
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解 n 次方根与根式的概念; (2)正确运用根式运算性质化简、求值; (3)了解分类讨论思想在解题中的应用. 2.过程与方法 通过与初中所学的知识(平方根、立方根)进行类比,得出 n 次方根的概念,进而学习 根式的性质. 3.情感、态度与价值观 (1)通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯; (2)培养学生认识、接受新事物的能力. (二)教学重点、难点 1.教学重点: (1)根式概念的理解; (2)掌握并运用根式的运算性质. 2.教学难点:根式概念的理解. (三)教学方法 本节概念性较强,为突破根式概念的理解这一难点,使学生易于接受,故可以从初中已 经熟悉的平方根、立方根的概念入手,由特殊逐渐地过渡到一般的 n 次方根的概念,在得出 根式概念后, 要引导学生注意它与 n 次方根的关系, 并强调说明根式是 n 次方根的一种表示 形式,加强学生对概念的理解,并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采用类比发 现,学生合作交流,自主探索的教学方法. (四)教学过程

教 学 环 节 提 出

教学内容

师生互动

设计意 图

先让我们一起来看两个问题(见教材 P52—53).

老师提出问题, 学生思考回答.

由实际问 题引入,

问 题

在问题 2 中,我们已经知道
1 1 2 1 3 , ( ) , ( ) , …是正整数指数幂,它们的值 2 2 2

激发学生 的学习积 极性.

分别为 , , , ….那么,
1 1 1 ( ) 5730 , ( ) 5730 , ( ) 2 2 2
6000 10000 100000 5730

1 1 1 2 4 8

的意义是什么呢?这

正是我们将要学习的知识. 下面,我们一起将指数的取值范围从 整数推广到实数.为此,需要先学习根式 的知识.

复 习 引 入

什么是平方根?什么是立方根?一 个数的平方根有几个,立方根呢?

师 生 共 同回 顾初中 所

学习

学过的平方根、立方根的定 新 知 前 的简单 复习, 不 仅能唤 起学生 的记忆, 而且为 学习新 课作好 了知识 上的准 备.

归纳:在初中的时候我们已经知道: 义. 若 x 2 ? a ,则 x 叫做 a 的平方根.同理,若
x3 ? a ,则 x 叫做 a 的立方根.

根据平方根、立方根的定义,正实数 的平方根有两个,它们互为相反数,如 4 的平方根为 ?2 , 负数没有平方根, 一个数 的立方根只有一个,如―8 的立方根为― 2;零的平方根、立方根均为零.

形 成 概 念

类比平方根、立方根的概念,归纳出

老师点拨指导,由学生 观察、归纳、概括出 n 次方

由 特 殊到一 般, 培养 学生的 观察、 归 纳、 概括

n 次方根的概念.

n 次方根:一般地,若 x n ? a ,则 x 根的概念.
叫做 a 的 n 次方根 (throot) , 其中 n >1, 且 n∈N*, 当 n 为偶数时, 正数 a 的 n 次方根中,

正数用 n a 表示,如果是负数,用 ? n a 表 示. 当 n 为奇数时,a 的 n 次方根用符号
n

的能力.

a 表示,
n

a 叫做根式.其中 n 称为根指数,a

为被开方数.

深 化 概 念

类比平方根、立方根,猜想:当 n 为

让学生对 n 为奇偶数进



偶数时,一个数的 n 次方根有多少个?当 行 充 分 讨 论 . 通 过 探 究 得 过 分 n

n 为奇数时呢?
n ? ?n为奇数, a的n次方根有一个,为 a a为正数:? n ? ?n为偶数, a的n次方根有两个,为 ? a

到:

为奇数 和偶数 两种情 况讨论, 掌握 n 次方根

n 为奇数, n an ? a ; n 为偶数,
n

? ?n为奇数, a的n次方根只有一个,为n a a为负数:? ? ?n为偶数, a的n次方根不存在.

?a, a ? 0 . a ?| a |? ? ??a, a ? 0
n

零的 n 次方根为零,记为 n 0 ? 0 举例:16 的次方根为 ?2 , 而 ?27 的 ?27的5次方根为5 ?27 等等, 4 次方根不存在. 小结:一个数到底有没有 n 次方根, 我们一定先考虑被开方数到底是正数还 是负数,还要分清 n 为奇数和偶数两种情 况. 根据 n 次方根的意义,可得: 举出实例,加深理解.

概念, 培 养学生 掌握知 识的准 确性、 全 面性, 同 时培养 学生的 分类讨 论的能 力

( n a )n ? a
n ( n a )n ? a 肯定成立, n an 表示 a 的

n 次方根, 等式 n an ? a 一定成立吗?如果

不一定成立,那么 n an 等于什么? 让学生注意讨论,n 为奇偶数和 a 的 符号,充分让学生分组讨论. 通过探究得到:n 为奇数, n an ? a

n 为偶数,
n

?a, a ? 0 a n ?| a |? ? ??a, a ? 0

如 3 (?3)3 ? 3 ?27 ? ?3,
4

(?8) 4 ?| ?8 |? 8

小结:当 n 为偶数时, n an 化简得到 结果先取绝对值,再在绝对值算具体的 值,这样就避免出现错误.

应 用 举 例

例题:求下列各式的值
(1)
3

学生思考,口答,教师 版演、点评.

通 过例题

( ?8)3

(2)
(3) (4)
4

( ?10) 2
(3 ? ? ) 4 ( a ? b) 2
n

例题分析:当 n 为偶数 的解答, 时,应先写 n a n ?| a | ,然后 进 理 再去绝对值. 式 解: (1) 3 (?8)3 = —8; 念
(2) ( ?10)
2

一步 解根 的概 、性

思考: an ? ( n a )n 是否成立, 举例说 明. 课堂练习:1. 求出下列各式的值

=|

— 质.

10|=10;
(3) (1) 7 ( ?2) 7
4

(3 ? ? ) 4

; ;

=? ? 3
(4)


( a ? b) 2 = a ? b

(2) 3 (3a ? 3)3 ( a ? 1) (3) (3a ? 3) 4 .
4

课堂练习 1.解: (1)—7;

2.若 a 2 ? 2a ? 1 ? a ? 1,

求a的取值范围 .

(2) 3a ? 3 ; (3) | 3a ? 3|
? ?3a ? 3 a ? 1 =? . ? ?3 ? 3a a ? 1

3.计算
3

(?8)3 ? 4 (3 ? 2) 4 ? 3 (2 ? 3)3

2.解: a ? 1 . 3. 解 : 原 式 = — 8+1+ 3 ? 2 = ?9 ? 3 . 归 纳 总 结 1.根式的概念:若 n>1 且 n ? N * , 则 x是a的n次方根 . 先让学生独自回忆,然 后师生共同总结. 通 过小结 使学生 加强对 知识的 记忆, 加 深对数 学思想 方法的 理解, 养 成总结 的好习 惯. 课 后 作 业 作业:2.1 第一课时 习案 学生独立完成 巩固新 知 提升能 力

n为奇数时,x= n a ,

n 为偶数时, x ? ? n a ;
2. 掌握两个公式: n为奇数时,( n a )n ,

?a (a ? 0) n为偶数时,n a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)

例题讲解
例 1 计算下列各式的值: (1) (3 a ) 3 ;
n (2) n (3 ? ? )

( n ? 1 ,且 n ? N ) ( n ? 1 ,且 n ? N )
?

?

(3) 2 n ( x ? y )

2n

【解析】 (1) (3 a ) 3 ? a .
n (2)当 n 为奇数时, n (3 ? ? ) = 3 ? ? ; n 当 n 为偶数时, n (3 ? ? ) = ? ? 3 .

(3) 2 n ( x ? y )

2n

=| x ? y |,
2n

当 x ? y 时, 2 n ( x ? y ) 当 x ? y 时, 2 n ( x ? y )

=x? y; = y ? x.
n

2n

【小结】 (1)当 n 为奇数时, an ? a ; 当 n 为偶数时, a ?| a |? ? ?
n n

a(a ? 0) ?? a(a ? 0)
n

(2) 不注意 n 的奇偶性对式子 an 值的影响, 是导致错误出现的一个重要原因.故要在 理解的基础上,记准、记熟、会用、活用.

例 2 化简求值:

5? 2 6 ? 7?4 3 ? 6?4 2
【分析】需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质; 【解析】 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2

? ( 3) 2 ? 2 3 ? 2 ? ( 2) 2 ? 22 ? 2 ? 2 3 ? ( 3) 2 ? 22 ? 2 ? 2 2 ? ( 2) 2 ? (( 3 ? 2)) 2 ? (2 ? 3) 2 ? (2 ? 2) 2

?|

3?

2 |? | 2 ?

3? | |? 2

2 |

? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? (2 ? 2)
?2 2
【小结】开方后带上绝对值,然后根据正负去掉绝对值.


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