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2013杨浦、青浦、静安、宝山二模数学试卷(文)有答案


2012 学年静安、杨浦、青浦宝山区高三年级高考模拟考试

数学试卷(文科)
每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 CU A ? 2.若复数 z 满足 z ? i (2 ? z ) ( i 是虚数单位) ,则 z ? 3.已知直线 2 x ? y ? 1 ?

0 的倾斜角大小是 ? ,则 tan 2? ? 4.若关于 x、y 的二元一次方程组 ? . .

2013.04.

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,

?

?

.

?mx ? y ? 3 ? 0 有唯一一组解,则实数 m 的取值范围是 ?(2m ? 1) x ? y ? 4 ? 0
开始 输入 p n=1 S=0 .

.

5.已知函数 y ? f (x) 和函数 y ? log 2 ( x ? 1) 的图像关于直线 x ? y ? 0 对称, 则函数 y ? f (x) 的解析式为 .

x2 6.已知双曲线的方程为 ? y 2 ? 1 ,则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 3
7.函数 f ( x ) ?

n=n+1 S=S+2?n


cos x sin x

sin x cos x

的最小正周期 T ?

.

n<p?
? 否

?x ? 1 ? 8.若 ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 ?x ? y ? 6 ?
9.执行如图所示的程序框图,若输入 p 的值是 7 ,则输出 S 的值是

输出 S . 结 束 (第 9 题图) .

10.已知圆锥底面半径与球的半径都是 1cm ,如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等,那么这个圆锥的 母线长为

cm .

11.某中学在高一年级开设了 4 门选修课,每名学生必须参加这 4 门选修课中的一门,对于该年级的 甲乙 2 名学生,这 2 名学生选择的选修课相同的概率是 12. 各项为正数的无穷等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , lim 若 (结果用最简分数表示). .

Sn ? 1 , 则其公比 q 的取值范围是 n ?? S n ?1

13.已知函数 f ( x ) ? x x .当 x ? ?a, a ? 1? 时,不等式 f ( x ? 2a) ? 4 f ( x) 恒成立,则实数 a 的取值 范围是 .

14.函数 y ? f (x) 的定义域为 ?? 1,0? ? ?0,1? ,其图像上任一点 P( x, y ) 满足 x ? y ? 1 .
2 2

① 函数 y ? f (x) 一定是偶函数; ② 函数 y ? f (x) 可能既不是偶函数,也不是奇函数; ③ 函数 y ? f (x) 可以是奇函数; ④ 函数 y ? f (x) 如果是偶函数,则值域是 ?0,1? 或 ?? 1,0? ; ⑤ 函数 y ? f (x) 值域是 ?? 1,1? ,则 y ? f (x) 一定是奇函数. 其中正确命题的序号是 (填上所有正确的序号) .

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的相应 编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知 ? ? ( (A)

?
2

, ? ) , sin ? ?
(B) ?

3 ? ,则 tan(? ? ) 的值等于………………………( 5 4
(C) 7 . (D) ? 7 .



1 . 7

1 . 7

16.一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是 1 的正方形,俯视图是 直角边长为 1 的等腰直角三角形,则这个几何体的表面积等于…( (A) 2 ? 2 . (B) 3 ? 2 . (C) 4 ? 2 . ) (D) 6 . )
C P F

17. 若直线 ax ? by ? 2 通过点 M (cos? , sin ? ) ,则 ………………………………( (A) a 2 ? b 2 ? 4 . (B) a 2 ? b 2 ? 4 .
D

1 1 (C) 2 ? 2 ? 4 . a b

1 1 (D) 2 ? 2 ? 4 . a b
2 2

A

B

E

18.某同学为了研究函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? (1 ? x) (0 ? x ? 1) 的性质,构造了如图所示的两个 边长为 1的正方形 ABCD 和 BEFC , P 是边 BC 上的一个动点, CP ? x , f ( x) ? AP ? PF . 点 设 则 那么, 可推知方程 f ( x) ? (A) 0 .

22 解的个数是……………………………………………………… ( 2
(C) 2 . (D) 4 .



(B) 1 .

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 . S 如图,设计一个正四棱锥形冷水塔,高是 0.85 米,底面的边长是 1.5 米. (1)求这个正四棱锥形冷水塔的容积; (2)制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板? (精确到 0.01 米 )
1.5 0.85

2

O E

(第 19 题图)

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 如图所示,扇形 AOB ,圆心角 AOB 的大小等于 过点 C 作平行于 OB 的直线交弧 AB 于点 P . (1)若 C 是 OA 的中点,求 PC ; (2)设 ?COP ? ? ,求△ POC 周长的最大值及此时 ? 的值.

? ,半径为 2 ,在半径 OA 上有一动点 C , 3

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

已知椭圆 ?: ?

x2 12

y2 ? 1. 4

(1)直线 AB 过椭圆 ? 的中心交椭圆于 A、B 两点, C 是它的右顶点,当直线 AB 的斜率为1 时, 求△ ABC 的面积; (2)设直线 l:y ? kx ? 2 与椭圆 ? 交于 P、Q 两点,且线段 PQ 的垂直平分线过椭圆 ? 与 y 轴 负半轴的交点 D ,求实数 k 的值.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? x ? a .
2

(1)若函数 y ? f ( f ( x)) 的图像过原点,求 f (x) 的解析式; (2)若 F ( x) ? f ( x) ?

2 是偶函数,在定义域上 F ( x) ? ax 恒成立,求实数 a 的取值范围; bx ? 1

(3)当 a ? 1 时,令 ? ( x) ? f ( f ( x)) ? ?f ( x) ,问是否存在实数 ? ,使 ? (x) 在 ?? ?,?1? 上是减函数, 在 ?? 1,0? 上是增函数?如果存在,求出 ? 的值;如果不存在,请说明理由.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 2 , nan ?1 ? S n ?

n(n ? 1) .从 {a n } 中抽出部分项 3

a k1 , a k2 ,?, a kn ,? , (k1 ? k 2 ? ? ? k n ? ?) 组成的数列 {a k n } 是等比数列,设该等比数列的公比为 q ,
其中 k1 ? 1, n ? N .
*

(1)求 a 2 的值; (2)当 q 取最小时,求 {k n } 的通项公式; (3)求 k1 ? k 2 ? ? ? k n 的值.

四区联考 2012 学年度第二学期高三数学
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. [?1,3] ; 2. 2 ; 3.

4 ; 3

4. m ?

1 ; 3

5. y ? 2 ? 1 ;
x

6.1 ;

1 C4 1 63 7. ? ;8.4;9. ;10. 17 ;11. 2 ? ;12. ?0,1? ;13. (1, ??) ;14.②③⑤ 4 64 4

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的相应 编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. D ; 16.B; 17. B ;18.C

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 . 解: (1)如图正四棱锥底面的边长是 1.5 米,高是 0.85 米
S

0.85

V ?

1 1 sh ? ? 1.5 ? 1.5 ? 0.85 ? 0.6375 m 3 3 3

O E 1.5

所以这个四棱锥冷水塔的容积是 0.6375 m 3 . (2)如图,取底面边长的中点 E ,连接 SE , SE ?

SO 2 ? EO 2 ? 0.85 2 ? 0.75 2

1 S侧 ? 4 ? ? 1.5 ? SE 2

1 ? 4 ? ? 1.5 ? 0.85 2 ? 0.75 2 ? 3.40 m 2 2

答:制造这个水塔的侧面需要 3.40 平方米钢板. 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 .

2? , OP ? 2, OC ? 1 3 2? 2 2 2 由 OP ? OC ? PC ? 2OC ? PC cos 3 ? 1 ? 13 2 得 PC ? PC ? 3 ? 0 ,解得 PC ? . 2
解:(1)在△ POC 中, ?OCP ? (2)∵ CP ∥ OB ,∴ ?CPO ? ?POB ?

?

3

?? ,

在△ POC 中,由正弦定理得

2 CP OP CP ? ? ,即 2? sin ? sin ?PCO sin ? sin 3

∴ CP ?

4 3

sin ? ,又

OC sin( ? ? ) 3

?

?

CP 4 ? ?OC ? sin( ? ? ) . 2? 3 3 sin 3
4 3 sin ? ? 4 sin( ? ? ) ? 2 3 3

记△ POC 的周长为 C (? ) ,则 C (? ) ? CP ? OC ? 2 ?

?

=

? 4 ? 3 1 4 ?? ? ? ? 2 cos? ? 2 sin ? ? ? 2 ? 3 sin ? ? ? 3 ? ? 2 ? 3? ? ? ?

∴? ?

?
6

时, C (? ) 取得最大值为

4 3 ?2. 3

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 .

? x2 y 2 ?1 ? ? 解:(1)依题意, a ? 2 3 , C (2 3,0) , 由 ?12 ,得 y ? ? 3 , 4 ?y ? x ?
设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y 2 ) ,? OC ? 2 3 ∴ S ?ABC ? (2)如图,由 ? x 2

1 1 OC ? y1 ? y 2 ? ? 2 3 ? 2 3 ? 6 ; 2 2

? y ? kx ? 2 ? 2 2 2 得 (3k ? 1) x ? 12kx ? 0 , ? ? (12 k ) ? 0 y2 ? ?1 ?12 4 ? 依题意, k ? 0 ,设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) ,线段 PQ 的中点 H ( x0,y0 ) , x ? x2 ?6k 2 则 x0 ? 1 , y0 ? kx0 ? 2 ? 2 , D (0, ? 2) , ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1 2 ?2 2 3 由 k DH ? k PQ ? ?1,得 3k ? 1 ? k ? ?1 ,∴ k ? ? 6k 3 ? 2 3k ? 1
22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 解:(1)? y ? f ( f ( x)) ? x ? 2ax ? a ? a 过原点, a 2 ? a ? 0
4 2 2

? a ? 0或a ? ?1 得 f ( x) ? x 2 或 f ( x) ? x 2 ? 1
(2) F ( x) ? x 2 ? a ?

2 是偶函数,?b ? 0 bx ? 1
2

即 F ( x) ? x ? a ? 2 , x ? R
2 2

又 F ( x) ? ax 恒成立即 x ? a ? 2 ? ax ? a( x ? 1) ? x ? 2 当 x ? 1时 ? a ? R 当 x ? 1时, a ?

x2 ? 2 3 ? ( x ? 1) ? ? 2 ,a ? 2 3 ? 2 x ?1 x ?1

当 x ? 1 时, a ?

x2 ? 2 3 ? ( x ? 1) ? ?2, x ?1 x ?1

a ? ?2 3 ? 2

综上: ? 2 3 ? 2 ? a ? 2 3 ? 2 (3) ? ( x) ? f ( f ( x)) ? ?f ( x) ? x ? (2 ? ? ) x ? (2 ? ? )
4 2

?? (x) 是偶函数,要使 ? (x) 在 ?? ?,?1? 上是减函数在 ?? 1,0? 上是增函数,
即 ? (x) 只要满足在区间 ?1,?? ? 上是增函数在 ?0,1? 上是减函数. 令 t ? x 2 ,当 x ? ?0,1? 时 t ? ?0,1? ; x ? ?1,??? 时 t ? ?1,??? ,由于 x ? ?0,?? ? 时,

t ? x 2 是增函数记 ? ( x) ? H (t ) ? t 2 ? (2 ? ? )t ? (2 ? ? ) ,故 ? (x) 与 H (t ) 在区间 ?0,??? 上
有相同的增减性,当二次函数 H (t ) ? t ? (2 ? ? )t ? (2 ? ? ) 在区间 ?1,?? ? 上是增函数在 ?0,1? 上
2

是减函数,其对称轴方程为 t ? 1 ? ?

2?? ? 1 ? ? ? 4. 2

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 解: (1)令 n ? 1得 1 ? a 2 ? a1 ?

1? 2 2 8 ,即 a 2 ? a1 ? ;又 a1 ? 2 ? a 2 ? 3 3 3

n(n ? 1) ? , ?nan ?1 ? S n ? 2 ? 2 2n 3 ? an?1 ? a n ? , (2)由 a 2 ? a1 ? 和 ? ? nan?1 ? (n ? 1)a n ? a n ? n(n ? 1) 3 ? 3 3 (n ? 1)a n ? S n ?1 ? ? 3 ?
所以数列 {a n } 是以 2 为首项,

2 2 为公差的等差数列,所以 a n ? (n ? 2) . 3 3 8 得 3

解 法 一 :数 列 {a n } 是 正 项递增 等 差 数列 ,故 数 列 {a k n } 的公 比 q ? 1 , 若 k 2 ? 2 , 则由 a 2 ?

q?

a2 4 4 2 32 32 2 10 ? , 此时 a k3 ? 2 ? ( ) ? , 由 所以 k 2 ? 2 , 同理 k 2 ? 3 ; ? (n ? 2) 解得 n ? ? N * , a1 3 3 9 9 3 3
n ?1

若 k 2 ? 4 , 则 由 a4 ? 4 得 q ? 2 , 此 时 a kn ? 2 ? 2

组成等比数列,所以 2?2

n ?1

?

2 (m ? 2) , 3

3 ? 2 n?1 ? m ? 2 ,对任何正整数 n ,只要取 m ? 3 ? 2 n?1 ? 2 ,即 a k n 是数列 {a n } 的第 3 ? 2 n?1 ? 2 项.最小
的公比 q ? 2 .所以 k n ? 3 ? 2
n ?1

? 2 .………(10 分)

解法二: 数列 {a n } 是正项递增等差数列,故数列 {a k n } 的公比 q ? 1 ,设存在

2 a k1 , a k2 ,?, a kn ,? (k1 ? k 2 ? ? ? k n ? ?) 组成的数列 {a k n } 是等比数列,则 a k2 ? a k1 ? a k3 ,即

2 ?2 ? 2 ? 3 (k 2 ? 2)? ? 2 ? 3 (k 3 ? 2) ? ?k 2 ? 2 ? ? 3?k 3 ? 2 ? ? ?
因为 k 2、k 3 ? N * 且k 2 ? 1 所以 k 2 ? 2 必有因数 3 ,即可设 k 2 ? 2 ? 3t , t ? 2, t ? N ,当数列 {a k n } 的公 比 q 最小时,即 k 2 ? 4 , ? q ? 2 最小的公比 q ? 2 .所以 k n ? 3 ? 2
n ?1

2

? 2.

(3)由(2)可得从 {a n } 中抽出部分项 a k1 , a k 2 ,?, a k n , ? (k1 ? k 2 ? ? ? k n ? ?) 组成的数列 {a k n } 是 等比数列,其中 k1 ? 1 ,那么 {a k n } 的公比是 q ?

k2 ? 2 ,其中由解法二可得 k 2 ? 3t ? 2, t ? 2, t ? N . 3

a kn ? 3 ? (

k 2 ? 2 n?1 2 k ? 2 n?1 3t ? 2 ? 2 n?1 ) ? (k n ? 2) ? k n ? 3 ? ( 2 ) ? 2 ? kn ? 3 ? ( ) ?2 3 3 3 3

? k n ? 3 ? t n ?1 ? 2 , t ? 2, t ? N
所以 k1 ? k 2 ? ? ? k n ? 3(1 ? t ? t ? ? ? t
2 n ?1

) ? 2n ? 3 ? t n ? 2n ? 3


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