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2012年高一数学竞赛解答02


2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

平面几何竞赛基础 02 ─── 全等三角形及其应用
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爱因斯坦曾说:如果平面几何不能激起一个人的好奇心,那么这个人在科学上的发展也不会很远诶. 自学处理方法:先阅读完成例题解答,再独立完成练习并将解答回发 jylingbin@163.com 邮箱,

以便批阅反馈. 注意要求目的: 要求独立完成, 可以参阅资料. 目的是开学后考试选拔 100 名思维好且钻研能力强的竞赛选手.

例 1.已知如图,△ABC 中,∠1=∠2,DE=DC,AC=EF;求证:EF∥AB.
(提示:本题至少有两种方法,法一:作 CM ? AD , EN ? AD ;法二:延长 AD 到 M ,使 DM ? DF )

解法一:作 CM⊥AD,EN⊥AD ∴∠N=∠M=90° 又∵ED=CD, ∠EDN=∠CDM ∴△EDN≌△CDM(AAS) ∴EN=CM 又∵∠N=∠CMA=90°,EF=AC ∴△NEF≌MCA(HL) M ∴∠EFN=∠2 ∵∠1=∠2 N ∴∠EFN=∠1 ∴EF∥AB 解法二:延长 AD 到 M,使 DM=DF,连接 CM ∵DM=DF,DC=DE, ∠MDC=∠FDE ∴△MDC≌△FDE(SAS) ∴EF=CM, ∠EFD=∠M ∵EF=AC ∴CM=AC ∴∠2=∠M ∴∠EFD=∠2 M ∵∠1=∠2 ∴∠EFD=∠1 ∴EF∥AB 例 2.已知如图,△ABC 中,BD=DC=AC,DE=EC;求证:∠B=∠EAC.
(提示:延长 AE 到 F ,使 EF ? AE ,连结 CF )

A 1 2 F

B

E

D

C

A

B

D

E

C

延长 AE 到 F,使 EF=AE,连接 CF ∵DE=CE,.AE=FE, ∠DEA=∠CEF ∴△DEA≌△CEF(SAS) ∴AD=CF, ∠ADE=∠ECF ∵AC=CD ∴∠DAC=∠ADE ∴∠ECF=∠DAC ∴∠ECF+∠ACD=∠DAC+∠ACD ∴∠ACF=∠ADB 又∵BD=AC,AD=CF ∴△BDA≌△ACF(SAS)

A

E

D
F

1

C

F

B

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

∴∠B=∠EAC 例 3.已知如图,△ABC 中,∠C= 90? ,AC=BC,AD=DB,AE=CF;求证:DE=DF. (提示:连结 CD ,
证明两三角形全等)

连结 CD ∵∠ACB=90°,AC=BC,AD=DB ∴∠A=∠DCF=45°,AD=CD 又∵AE=CF ∴△AED≌△CFD(SAS) ∴DE=DF

例 4.已知如图,△ABC 中,∠BAC= 90? ,AB=AC,AD=DC,AE⊥BD 交 BC 于 E, 求证:∠ADB=∠CDE.
(提示:作 ?BAC 的平分线交 BD 于 F )

作∠BAC 的平方线交 BD 于 F 易知∠BAF=∠C=∠FAD=45° ∵AE⊥BD ∴∠ABF+∠BAE=90° ∵∠BAC=90° ∴∠BAE+∠EAC=90° ∴∠ABF=∠EAC 又∵AB=AC, ∠BAF=∠C=45° ∴△BFA≌△AEC(ASA) ∴AF=EC 又∵∠FAD=∠C=45°,AD=CD ∴△FAD≌△ECD(SAS) ∴∠ADB=∠CDE 例 5.已知如图,△ABC 中,∠C=2∠B,BC=2AC,求证:∠A= 90? .
(提示:作 ?C 的平分线交 AB 于 D ,取 BC 的中点 E ,连结 DE )

作∠C 的平方线交 AB 于 D,取 BC 的中点 E,连结 DE ∵E 为 BC 中点 ∴BC=2CE ∵BC=2AC ∴CE=AC ∵CD 平分∠ACB ∴∠DCE=∠ACD= ∵∠B= ∠ACB
2 1 1 2

∠ACB

∴∠B=∠DCE ∴BD=CD

A

D
2N

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

∵BE=CE ∴DE⊥CE ∵DC=DC, ∠ACD=∠DCE,AC=CE ∴△ACD≌△ECD(SAS) ∴∠A=∠DEC=90° 例 6.已知:如图,正方形 ABCD 中,M 是 BC 上一点 MN⊥AM 交∠DCE 的平分线于 N;求证: AM=MN. (提示:在 AB 上截取 AF ? MC ,连结 FM ) ∵∠B=90° ∴∠FAM+∠AMB=90° ∵MN⊥AM ∴∠AMB+∠NMC=90° ∴∠FAM=∠CMN ∵AB=BC,AF=CM ∴AB-AF=BC-CM ∴BF=BM ∵∠B=90° ∴∠BFM=45° ∴∠AFM=135° ∵CN 平分∠DCE ∴∠NCE=45° ∴∠NCM=∠AFM 又∵AF=CM, ∠FAM=∠CMN ∴△FAM≌△CMN(ASA) ∴AM=MN 巩固练习 02 (以下两道题的解答要回发到邮箱 jylingbin@163.com) 1.在△ABC 中,BD⊥AC 于 D,CE⊥AB 于 E,BD、CE 交于 H,M、N 分别是 AH、BC 的中点, 求证:MN⊥DE. 连接 EN,DN,EM,DM ∵N 分别为 RT△BEC 和 RT△BDC 斜边上中线 ∴EN=DN=
1 2

BC

∴N 为 ED 中垂线上一点 同理可得 M 为 ED 中垂线上一点 ∴MN 是 ED 中垂线 ∴MN⊥DE

2.△ABC 中,AB=2AC,D 是∠A 平分线上一点,若 DA=DB,求证:DC⊥AC. 取 AB 中点 E,连结 DE ∵DB=DA,AE=BE ∴DE⊥AB ∵AB=2AE,AB=2AC

∴AE=AC 又∵∠EAD=∠CAD,AD=AD
3

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教练员 凌彬

∴△EAD≌△CAD(SAS) ∴∠ACD=∠AED=90° ∴DC⊥AC
E

4


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