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江西省南昌市2008-2009学年度高三第一次模拟测试数学(理)试题p


黄金试题

江西省南昌市 学年度高三第一次模拟测试 江西省南昌市 2008-2009 学年度高三第一次模拟测试 数学( 数学(理)
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 选择题: 目要求的. 目要求的. 1.已知集合 M = x x ≠ 0, x ∈ R ∪ y y ≠ 1, y ∈ R ,集合 P = x x < 0 或 0 < x < 1 或 x > 1, x ∈ R} ,则之 . 间的关系是 A. M ? P B. P ? M C.

{

} {

}

{

P=M

D. M ∩ P = ?

2.已知 ab = 1 ,函数 f ( x) = a x 与函数 g ( x) = ? log b x 的图象可能是 .

3.数列 {an } 中, a1 = 2i , (1 + i)an +1 = (1 ? i)an (n ∈ N * ) ,则 a10 的值为 . A.2 B.-2 C.2i D.1 024i

4.设 α , β , γ 是三个互不重合的平面,m,n 是直线,给出下列命题 . ①若 α ⊥ β , β ⊥ γ ,则 α ⊥ γ ; ②若 α // β , m ? β ,则 m // α ;

③若m,n在 γ 内的射影互相垂直,则 m ⊥ n ;④若 m // α , n // β , α ⊥ β ,则 m ⊥ n . 其中正确命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3

5. f ( x) = cos x ? sin x , f ( x) 的图象按向量 a =(m, (m>0) . 设 把 0) 平移后, 图象恰好为函数 y = ? f ′( x) 的图象,则 m 的值可以为 A.

π
4

B. π

3 4

C. π

D.

π
2

6. . 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , S 2 =10, 5 = 55 , 且 S 则过点 P n, a n ) Q n + 2, a n + 2 ) n ∈ N * ) ( 和 ( ( 的直线的一个方向向量的坐标可以是 A (2,4) 7.设 5x ? . ( 为 B (?

1 4 ,? ) 3 3

C (?

1 ,?1 ) 2

D ( ? 1,?1 )

n x)的展开式的各项系数之和为 M, 二项式系数之和为 N,若 M-N=240, 则展开式中 x3 的系数

A. ?150

B.150

C. ?500
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D.500

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8.设函数 f ( x) = x + ln( x + 1 + x 2 ) , 则对于任意的实数 a 和 b , a + b > 0 是 f ( a ) + f (b) > 0 的 . A.必要不充分条件; B.充分不必要条件;C.充要条件; D.既不充分也不必要条件. 9.设 a ∈ R ,若函数 y = e ax + 3 x , x ∈ R 有大于零的极值点,则 . A. a > ?3 B. a < ?3 C. a > ?

1 3

D. a < ?

1 3

10.过点 P (4 , 2) 作圆 x 2 + y 2 = 4 的两条切线,切点分别为 A 、 B , O 为坐标原点,则 ?OAB 的外接圆方 . 程是 A. ( x ? 2)2 + ( y ? 1) 2 = 5 C. ( x + 2) 2 + ( y + 1)2 = 5 B. ( x ? 4)2 + ( y ? 2) 2 = 20 D. ( x + 4) 2 + ( y + 2) 2 = 20

11 如图,在棱长为 4 的正方体 ABCD—A′B′C′D′中,E、F 分别是 AD,A′D′的中点, 长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在线段 EF 上运动, 另一个端点 N 在底面 A′B′C′D′ 上运动,则线段 MN 的中点 P 的轨迹(曲面)与二面角 A—A′D′—B′所围成的几何 体的体积为 A.

4π 3

B.

2π 3

C.

π
3

D.

π
6

12.若 f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) + f ( x ) + f ( y ) ,且 f (1) = 1 ,则 f (1) + f (2) + ??? + f (2009) 等于 . A. 22009 ? 1 B. 22010 ? 1 C. 2
2009

? 2010

D. 2

2010

? 2011

小题, 请把答案填在答题卡上. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把答案填在答题卡上. 填空题: 13.若抛物线 y 2 = 2 px 的焦点与椭圆 .

x2 y 2 + = 1 的右焦点重合,则 p 的值为 6 2

14.一对酷爱运动的年轻夫妇,让刚满十个月大的婴儿把“0,0,2,8,北,京”六张卡片排成一行,若婴 . 儿能使得排成的顺序为“2008 北京”或“北京 2008”,则受到父母的夸奖,那么婴儿受到夸奖的概率为 15.设直线 l ? 平面 α ,过平面 α 外一点 A 作直线,与 l , α 都成 450 角的直线有 条.

? x ≥ 0, kS ? 16. 不等式组 ? y ≥ 0, (k > 1) 所表示的平面区域为 D, D 的面积为 S, 若 则 的最小值为 . k ?1 ? y ≤ ? kx + 4k ?
小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 17. . (本小题满分 12 分)在锐角 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 向量 m = 2 sin B, ? 3 , n = ? cos 2 B, 2 cos 2



(

)

? ?

B ? ? 1? ,且 m // n 。 2 ?

(I)求角 B 的大小; (II)如果 b = 2 ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值。
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18. . (本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } , 其前 n 项和 Sn 满足 S n +1 = 2λS n + 1(λ 是大于 0 的常数) 且 a1=1, , a3=4. (I)求 λ 的值; (II)求数列 {a n } 的通项公式 an;

(III)设数列 {na n } 的前 n 项和为 Tn,试比较

Tn 与 Sn 的大小。 2

19. . (本小题满分 12 分)一个正四面体的四个面上分别涂有 1,2,3,4 四个数学,现随机投掷两次,正 四面体面朝下的数学分别为 x1、x2 ,记 ξ = ( x1 ? 3)2 + ( x2 ? 3)2 .
(1)分别求出 ξ 取得最大值和最小值时的概率; 2)求 ξ 的分布列及数学期望.。 (

20. (本小题满分 12 分)已知斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,∠BCA = 90 , AC = BC = 2 , A1 在底面 ABC 上
的射影恰为 AC 的中点 D ,又知 BA1 ⊥ AC1 。 (I)求证: AC1 ⊥ 平面 A1 BC ; II)求 CC1 到平面 A1 AB 的距离; ( (III)求二面角 A ? A1 B ? C 的大小

21. (本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d ( a、b、c、d ∈ R) ,且函数 f ( x) 的图象关于原点对称,其图象在 x = 3 处的

切线方程为 8 x ? y ? 18 = 0 .(1)求 f ( x) 的解析式; 2)是否存在区间 [m,n] ,使得函数 g ( x) 的定义域 ( 和值域均为 [m,n] ,且其解析式为 f ( x) 的解析式?若存在,求出这样的一个区间 [m,n] ;若不存在,
则说明理由;

22. (本小题满分 14 分)设双曲线 C :

x2 ? y 2 = 1 的左、右顶点分别为 A 1 、 A2 ,垂直于 x 轴的直线 m 与 2

双曲线 C 交于不同的两点 P、Q。 1)若直线 m 与 x 轴正半轴的交点为 T,且 A1 P ? A2Q = 1 ,求点 T 的坐 ( 标; 2)求直线 A1 P 与 A2Q 的交点 M 的轨迹 E 的方程; ( (3)过点 F (1, 0) 作直线 l 与(2)中的轨迹 E 交于不同的两点 A、B,设 FA = λ FB , 若 λ ∈ [ ?2, ?1] ,求 | TA + TB | (T 为(1)中的点)的取值范围。

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参考答案
一.选择题 题号 答案(理) 二.填空题 13. 1 B 2 B 3 A 4 B 5 D 6 B 7 B 8 C 9 B 10 A 11 C 12 D

4 ;

14. (理)

1 180

(文) ? 1 ; 3

15. 2;

16. 32

三.解答题
B 17.解:(1) m // n ? 2sinB(2cos2 -1)=- 3cos2B ……………………………2 分 2

?2sinBcosB=- 3cos2B ?
2π π ∵0<2B<π,∴2B= ,∴B= 3 3

tan2B=- 3 ……………………………………4 分 ………………………………………………6 分

π (2) ∵当 B= 时, b=2,由余弦定理得: 3
4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立) ………………………9 分

∵S△ABC=

1 3 acsinB= ac≤ 3 2 4

…………………………………………………11 分 ………………………………………………………12 分

∴△ABC 的面积最大值为 3

18.解: I)由 S n +1 = 2λS n + 1 得 (

S 2 = 2λS1 + 1 = 2λa1 + 1 = 2λ + 1, S 3 = 2λS 2 + 1 = 4λ2 + 2λ + 1 , …………2 分 ∴ a 3 = S 3 ? S 2 = 4λ2 ,∵ a 3 = 4, λ > 0,∴ λ = 1. ……………………………………4 分
(II)由 S n +1 = 2 S n + 1整理得S n +1 + 1 = 2( S n + 1) , ∴数列{ S n + 1 }是以 S1+1=2 为首项,以 2 为公比的等比数列,……………………6 分

∴ S n + 1 = 2 ? 2 n?1 ,∴ S n = 2 n ? 1, ∴ a n = S n ? S n ?1 = 2 n ?1 (n ≥ 2),
∵ 当 n=1 时 a1=1 满足 a n = 2 n ?1 ,∴ a n = 2 n ?1. ………………………………………8 分
(III) Tn = 1 ? 2 + 2 ? 2 + 3 ? 2 + ? + ( n ? 1) ? 2
0 1 2
n? 2

+ n ? 2 n ?1 , ①

2Tn = 1 ? 2 + 2 ? 2 2 + ? + (n ? 2) ? 2 n ? 2 + (n ? 1) ? 2 n ?1 + n ? 2 n ,②
①-②得 ? Tn = 1 + 2 + 2 + ? + 2
2
n?2

+ 2 n ?1 ? n ? 2 n ,
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则 Tn = n ? 2 ? 2 + 1 .
n n

……………………………………………………10 分



Tn n ? 2n ? 2n + 1 3 ? Sn = ? (2 n ? 1) = (n ? 3) ? 2 n?1 + . 2 2 2
T1 T 1 1 ? S1 = ? < 0, 当n = 2时, 2 ? S 2 = ? < 0. 2 2 2 2 Tn T T T ? S n < 0, n < S n . 当 n>2 时, n ? S n > 0, n > S n . ……12 分 2 2 2 2

∴ 当 n=1 时,

即当 n=1 或 2 时,

19.解: 解 (Ⅰ)掷出点数 x 可能是:1,2,3,4. 则 x ? 3 分别得:-2,-1,0,1. 于是 ( x ? 3) 2 的所有取值分别为:0,1,4. 因此 ξ 的所有取值为:0,1,2,4,5,8.
………………………………………………2 分

当 x1 = 1 且 x2 = 1 时, ξ = ( x1 ? 3)2 + ( x2 ? 3)2 可取得最大值 8,
1 1 1 此时, P (ξ = 8) = × = ; 4 4 16 …………………………………………………… 4 分

当 x1 = 3 时且 x2 = 3 时, ξ = ( x1 ? 3)2 + ( x2 ? 3)2 可取得最小值 0. 此时 P (ξ = 0) =
1 1 1 × = . 4 4 16 ……………………………………………………6 分

(II)由(1)知 ξ 的所有取值为:0,1,2,4,5,8.
P (ξ = 0) = P (ξ = 8) = 1 ; 16 ……………………………………………………7 分

当 ξ = 1 时, ( x1 , x2 ) 的所有取值为(2,3)(4,3)(3,2)(3,4).即 P (ξ = 1) = 、 、 、

4 ; 16 4 8分 16

当 ξ = 2 时, ( x1,x2 ) 的所有取值为(2,2)(4,4)(4,2)(2,4).即 P (ξ = 2) = 、 、 、
当 ξ = 4 时, ( x1 , x2 ) 的所有取值为(1,3)(3,1)即 P (ξ = 4) = 、

2 ; 16 4 9分 16

当 ξ = 5 时, ( x1 , x2 ) 的所有取值为(1,2)(2,1)(1,4)(4,1). 即 P (ξ = 5) = 、 、 、 所以 ξ 的分布列为:

ξ
P

0 1 16

1 1 4

2 1 4

4 1 8

5 1 4

8 1 16
…………………………10 分

即 ξ 的期望 Eξ = 0 ×

1 1 1 1 1 1 + 1× + 2 × + 4 × + 5 × + 8 × = 3 . 16 4 4 8 4 16

……………12 分

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20.解: 解 (I)因为 A1 D ⊥ 平面 ABC , 所以平面 AA1C1C ⊥ 平面 ABC ,……………1 分 又 BC ⊥ AC ,所以 BC ⊥ 平面 AA1C1C , 得 BC ⊥ AC1 ,又 BA1 ⊥ AC1 所以 AC1 ⊥ 平面 A1 BC ; …………2 分 ………………3 分

(II)因为 AC1 ⊥ A1C ,所以四边形 AA1C1C 为 菱形, 故 AA1 = AC = 2 ,又 D 为 AC 中点,知 ∠A1 AC = 60 。……………………………4 分 取 AA1 中点 F ,则 AA1 ⊥ 平面 BCF ,从而平面 A1 AB ⊥ 平面 BCF , …………6 分 过 C 作 CH ⊥ BF 于 H ,则 CH ⊥ 面 A1 AB , 在 Rt ?BCF 中, BC = 2, CF =

3 ,故 CH =

2 21 ,…………………………… 7 分 7

即 CC1 到平面 A1 AB 的距离为 CH =

2 21 。 ………………………………………8 分 7

(III)过 H 作 HG ⊥ A1 B 于 G ,连 CG ,则 CG ⊥ A1 B , 从而 ∠CGH 为二面角 A ? A1 B ? C 的平面角,……………………………………… 9 分 在 Rt ?A1 BC 中, A1C = BC = 2 ,所以 CG = 在 Rt ?CGH 中, sin ∠CGH =

2,

CH 42 = ,……………………………………… 11 分 CG 7 42 。………………………………………12 分 7

故二面角 A ? A1 B ? C 的大小为 arcsin

解法 2: (I)如图,取 AB 的中点 E ,则

DE // BC ,因为 BC ⊥ AC ,
所 以 DE ⊥ AC , 又

A1 D ⊥ 平 面

ABC ,……………………1 分
以 DE , DC , DA1 为 x, y , z 轴 建 立 空 间 坐 标 系 , 则

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A ( 0, ?1, 0 ) , C ( 0,1,0 ) , B ( 2,1, 0 ) , A1 ( 0, 0, t ) , C1 ( 0, 2, t ) ,
AC1 = ( 0, 3, t ) , BA1 = ( ?2, ?1, t ) ,……………………………………………………… 2 分 CB = ( 2, 0, 0 ) ,由 A1C ? CB = 0 ,知 A1C ⊥ CB ,
又 BA1 ⊥ AC1 ,从而 AC1 ⊥ 平面 A1 BC ; ……………………………………………3 分 (II)由 AC1 ? BA1 = ?3 + t = 0 ,得 t =
2

3 。 ……………………………………………4 分

设平面 A1 AB 的法向量为 n = ( x, y, z ) , AA1 = 0,1, 3 , AB = ( 2, 2, 0 ) ,所以

(

)

?n ? AA1 = y + 3 z = 0 ? ,设 z = 1 ,则 ? ? n ? AB = 2 x + 2 y = 0 ?
所以点 C1 到平面 A1 AB 的距离 d =

n=

(

3, ? 3,1

)

………………………………7 分

AC1 ? n n

=

2 21 。………………………………8 分 7

(III)再设平面 A1 BC 的法向量为 m = ( x, y, z ) , CA1 = 0, ?1, 3 , CB = ( 2, 0, 0 ) , 所以 ?

(

)

?m ? CA1 = ? y + 3 z = 0 ? ? ?
m ? CB = 2 x = 0 m?n m?n =?

,设 z = 1 ,则 m = 0, 3,1 ,……………………9 分

(

)

故 cos < m, n >=

7 ,根据法向量的方向, ……………………………11 分 7 7 。…………………………………………12 分 7

可知二面角 A ? A1 B ? C 的大小为 arccos

21.解: 解 (1)∵ f ( x) 的图象关于原点对称,∴ f (? x) + f ( x) = 0 恒成立,即 2bx 2 + 2d ≡ 0 , ∴ b = d = 0 .又 f ( x) 的图象在 x = 3 处的切线方程为 8 x ? y ? 18 = 0 ,即 y ? 6 = 8( x ? 3) ,………………2 分 ∴ f ′(3) = 8 ,且 f (3) = 6 . 而 f ( x) = ax3 + cx ,∴ f ′( x) = 3ax 2 + c .…………………………3 分
? f ′(3) = 27 a + c = 8, ∴? ? f (3) = 27a + 3c = 6,
1 3 ? ? y = x ? x, (2)解 ? 3 ? y = x, ?

1 ? 1 3 ?a = 解得 ? 3 .故所求的解析式为 f ( x) = x ? x .…………………6 分 3 ?c = ?1 ?

得x=0或x=± 6 .

又 f ′( x) = x 2 ? 1 ,由 f ′( x) = 0 得 x = ±1 ,且当 x ∈ [ ? 6, ?1) 或 x ∈ (1, 6] 时, f ′( x) > 0 ;…………………8 分 当 x ∈ (?1,1) 时 f ′( x) < 0 . ∴ f ( x) 在 [? 6, ?1] 和 [1, 6] 递增;在 [?1,1] 上递减. …………………………9 分 ∴ f ( x) 在 [? 6, 6] 上的极大值和极小值分别为 f (?1) =
2 2 f (1) = ? . 3 3

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2 2 而 ? 6 < ? < < 6 . 故存在这样的区间 [m, n] ,其中一个区间为 [? 6, 6] . …………………………12 分 3 3

22.解: 1)由题意得 A1 ( ? 2, 0), A2 ( 2, 0) ,设 P ( x0 , y0 ), Q ( x0 , ? y0 ) , 解 (

则 A1 P = ( x0 + 2, y0 ), A2Q = ( x0 ? 2, ? y0 ). 由 A1 P ? A2Q = 1 ? x0 ? y0 ? 2 = 1 ,即 x0 ? y0 = 3 ,①……………………………………2 分
2 2
2 2

又 P ( x0 , y0 ) 在双曲线上,则

2 x0 2 ? y0 = 1 。② 联立①、②,解得: x0 = ±2 ,……………3 分 2

由题意, x0 > 0 ,∴ x0 = 2 ,∴点 T 的坐标为(2,0) ……………………………………4 分 。 (2)设直线 A1 P 与 A2Q 的交点 M 的坐标为 ( x, y ) , 由 A1、P、M 三点共线,得: ( x0 + 2) y = y0 ( x + 2) ,③ 由 A2、Q、M 三点共线,得: ( x0 ? 2) y = ? y0 ( x ? 2) ,④ 联立③、④,解得: x0 =

2 2y , y0 = 。 x x

……………………………………………6 分

2 ( )2 2y 2 ∵ P ( x0 , y0 ) 在双曲线上,∴ x ? ( ) = 1。 2 x
∴轨迹 E 的方程为

x2 + y 2 = 1( x ≠ 0, y ≠ 0) 。……………………………………………8 分 2

(3)容易验证直线 l 的斜率不为 0。 故要设直线 l 的方程为 x = ky + 1 代入

x2 + y 2 = 1 中得: (k 2 + 2) y 2 + 2ky ? 1 = 0 。 2

设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), y1 ≠ 0且y2 ≠ 0 ,则由根与系数的关系, 得: y1 + y2 = ?

2k ,⑤ k +2
2

y1 y2 = ?

1 。⑥ k +2
2

…………………………………10 分

∵ FA = λ FB ,∴有

y1 = λ ,且 λ < 0 。 将⑤式平方除以⑥式,得: y2

y1 y2 4k 2 1 4k 2 + +2=? 2 ?λ+ +2=? 2 λ y2 y1 k +2 k +2
由 λ ∈ [ ?2, ?1] ? ?

5 1 1 1 1 4k 2 ≤ λ + ≤ ?2 ? ? ≤ λ + + 2 ≤ 0 ?= ? ≤ ? 2 ≤0 λ λ 2 2 2 k +2
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? k2 ≤ 2 2 ? 0 ≤ k2 ≤ 7 7
……………………………………………………………12 分

∵ TA = ( x1 ? 2, y1 ), TB = ( x2 ? 2, y2 ) ,∴ TA + TB = ( x1 + x2 ? 4, y1 + y2 ) , 又 y1 + y2 = ?

2k 4(k 2 + 1) ,∴ x1 + x2 ? 4 = k ( y1 + y2 ) ? 2 = ? 2 , k2 + 2 k +2
2 2

故 | TA + TB | = ( x1 + x2 ? 4) + ( y1 + y2 ) =
2

16(k 2 + 1) 2 4k 2 + 2 (k 2 + 2) 2 (k + 2)2

=

16(k 2 + 2)2 ? 28(k 2 + 2) + 8 28 8 = 16 ? 2 + 2 , 2 2 (k + 2) k + 2 (k + 2) 2
1 2 2 ,∵ 0 ≤ k ≤ k +2 7
2

7 1 1 7 1 ≤ 2 ≤ ,即 t ∈ [ , ] , 16 k + 2 2 16 2 7 2 17 2 2 。 ∴ | TA + TB | = f (t ) = 8t ? 28t + 16 = 8(t ? ) ? 4 2
令t = ∴ 而 t ∈[

7 1 169 13 2 , ] ,∴ f (t ) ∈ [4, ] 。 ∴ | TA + TB |∈ [2, ] 。………………………14 分 16 2 32 8

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