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【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修2双基限时练16


双基限时练(十六)
1.如果直线 l 与平面 α 不垂直,那么在平面 α 内( A.不存在与 l 垂直的直线 B.存在一条与 l 垂直的直线 C.存在无数条与 l 垂直的直线 D.任意一条都与 l 垂直 答案 C )

2.如图,PA⊥平面 ABCD,且四边形 ABCD 为矩形,下列结论 中不正确的是( )

A.PB⊥BC C.

PO⊥CD

B.PD⊥CD D.PA⊥BD

解析 易证 BC⊥平面 PBA, CD⊥平面 PDA, ∴BC⊥PB, CD⊥PD. 又 PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥BD,故 A、B、D 正确. 答案 C

3.已知直线 l,m,平面 α,β,l⊥α,m⊥β,α∥β,则直线 l 与 m 的位置关系是( A.相交 C.平行 ) B.异面 D.不确定

解析 l⊥α,α∥β,∴l⊥β,又 m⊥β,∴l∥m.

答案

C

4.设 α,β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是 ( ) A.若 l⊥α,α⊥β,则 l?β B.若 l∥α,α∥β,则 l?β C.若 l⊥α,α∥β 则 l⊥β D.若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β 答案 C

5.设 l,m,n 为三条不同的直线,α 为一个平面,下列命题中正 确的个数是( )

①若 l⊥α, 则 l 与 α 相交; ②若 m?α, n?α, l⊥m, l⊥n, 则 l⊥α; ③若 l∥m,m∥n,l⊥α,则 n⊥α;④若 l∥m,m⊥α,n⊥α,则 l∥n. A.1 C.3 解析 答案 B.2 D.4 ①、③、④正确,②不正确.因此选 C. C

6.圆 O 的半径为 4,PO 垂直圆 O 所在的平面,且 PO=3,那么 点 P 到圆上各点的距离是________. 解析 依题意知 P 到圆 O 上各点的距离都相等,由勾股定理算得 其值为 5. 答案 5 7.二面角 α-l-β 的大小为 120° ,直线 AB?α,直线 CD?β.且 AB⊥l,CD⊥l,则 AB 与 CD 所成角的大小为________. 解析 由两条直线所成角通常是指两直线的夹角, 因此应答 60° (当 AB,CD 为异面直线时)而不是 120° . 答案 60°

8.如图,?ADEF 的边 AF⊥平面 ABCD,且 AF=2,CD=3,则 CE=________.

解析 由 AF⊥平面 ABCD,知 DE⊥面 ABCD. ∴DE⊥CD,在 Rt△CDE 中,CE= CD2+DE2= 22+32= 13. 答案 13

9.如图,在空间四边形 ABCD 中,AB=BC,CD=DA,E,F, G 分别为 CD,DA 和 AC 的中点.

求证:平面 BEF⊥平面 BGD. 证明 如题图, ∵AB=BC,G 为 AC 的中点,∴BG⊥AC. 同理 DG⊥AC,又 DG∩BG=G, ∴AC⊥平面 BGD. 又 E,F 分别为 CD,DA 的中点, ∴EF∥AC. ∴EF⊥平面 BGD.

又 EF?平面 BEF. ∴平面 BEF⊥平面 BGD. 10.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC,AC=BC=1, CC1=2,点 D,E 分别是 AA1,CC1 的中点.

(1)求证:AE∥平面 BC1D; (2)证明:平面 BC1D⊥平面 BCD. 证明 (1)在矩形 ACC1A1 中,由 C1E∥AD,C1E=AD,

得 AEC1D 是平行四边形,∴AE∥DC1. 又 AE?平面 BC1D,C1D?平面 BC1D, ∴AE∥平面 BC1D. (2)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BC⊥CC1,AC⊥BC,CC1∩AC= C, ∴BC⊥平面 ACC1A1, 而 C1D?平面 ACC1A1,∴BC⊥C1D. 在矩形 ACC1A1 中,DC=DC1= 2,CC1=2,
2 从而 DC2+DC1 =CC2 1,

∴C1D⊥DC. 又 DC∩BC=C,

∴C1D⊥平面 BCD, 而 C1D?平面 BC1D, ∴平面 BC1D⊥平面 BCD. 11.如图所示,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点.

(1)求证:MN∥平面 PAD. (2)求证:MN⊥CD. (3)若∠PDA=45° ,求证:MN⊥平面 PDC.

证明

(1)取 PD 中点 Q,连接 NQ,AQ.

∵N,Q 分别为 PC,PD 的中点, 1 ∴NQ 綊2CD 綊 AM. ∴AMNQ 为平行四边形. ∴AQ∥MN.

又 AQ?平面 PAD,MN?平面 PAD, ∴MN∥平面 PAD. (2)∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥AB. 又 AD⊥AB,∴AB⊥平面 PAD. ∴AB⊥AQ,即 AB⊥MN. 又 CD∥AB,∴MN⊥CD. (3)∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥AD. 又∠PDA=45° ,Q 为 PD 的中点, ∴AQ⊥PD. ∴MN⊥PD. 又由(2)知 MN⊥CD,且 PD∩CD=D, ∴MN⊥平面 PCD.


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