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第一章 集合与函数概念(二)B卷


高中同步创优单元测评 B 卷 数 学

班级:________ 姓名:________ 得分:________ 第一章 集合与函数概念(二) (函数的概念与基本性质) [名校好题· 能力卷] (时间:120 分钟 满分:150 分) 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列四组函数中,表示同一函数的是( A.y=x-1 与 y= ?x-1?2 B.y= x-1与 y= x-1 x-1 )

C.y=4lg x 与 y=2lg x2 x D.y=lg x-2 与 y=lg100 2.已知 f:x→x2 是集合 A 到集合 B={0,1,4}的一个映射,则集 合 A 中的元素个数最多有( A.3 个 C.5 个 3.函数 f(x)= A.[-1,1) C.[-1,+∞) ) B.4 个 D.6 个 x+1 的定义域是( x-1 ) B.[-1,1)∪(1,+∞) D.(1,+∞)

4.函数 y=2- -x2+4x的值域是( A.[-2,2] C.[0,2]

)

B.[1,2] D.[- 2, 2 ] )

5.已知 f(x)的图象如图,则 f(x)的解析式为(

? ?1,0≤x≤1 A.f(x)=? ? ?-x-2,1<x≤2 ?-1,0≤x≤1 ? B.f(x)=? ?x+2,1<x≤2 ? ? ?-1,0≤x≤1 C.f(x)=? ?x-2,1<x≤2 ? ?-1,0≤x≤1 ? D.f(x)=? ?-x+2,1<x≤2 ?

6.定义两种运算:a⊕b= a2-b2,a ? b= ?a-b?2,则函数 2⊕x f ( x) = 的解析式为( ?x?2?-2 )

4-x2 A.f(x)= x ,x∈[-2,0)∪(0,2]

x2-4 B.f(x)= x ,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞) x2-4 C.f(x)=- x ,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞) 4-x2 D.f(x)=- x ,x∈[-2,0)∪(0,2] 1 7.函数 f(x)=x -x 的图象关于( A.坐标原点对称 C.y 轴对称 ) B.x 轴对称 D.直线 y=x 对称

8.设 f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且 f(4)>f(1),则下列各式 一定成立的是( A.f(0)<f(6) C.f(2)>f(0) ) B.f(4)>f(3) D.f(-1)<f(4)

9.若奇函数 f(x)在[1,3]上为增函数,且有最小值 0,则它在[-3, -1]上( ) B.是增函数,有最小值 0 D.是增函数,有最大值 0

A.是减函数,有最小值 0 C.是减函数,有最大值 0

?ax?x<0?, ? 10.已知函数 f(x)=? 满足对任意 x1≠x2, ? ??a-3?x+4a?x≥0?,

f?x1?-f?x2? 都有 <0 成立,则 a 的取值范围是( x1-x2 1? ? A.?0,4?
? ? ?1 ? C.?4,1? ? ?

)

B.(0,1) D.(0,3)

11. 若 f(x)是 R 上的减函数, 且 f(x)的图象经过点 A(0,4)和点 B(3, -2),则当不等式|f(x+t)-1|<3 的解集为(-1,2)时,t 的值为( )

A.0 C.1

B.-1 D.2

12.已知函数 y=f(x)满足:①y=f(x+1)是偶函数;②在[1,+ ∞)上为增函数.若 x1<0,x2>0,且 x1+x2<-2,则 f(-x1)与 f(-x2) 的大小关系是( ) B.f(-x1)<f(-x2) D.无法确定 (非选择题 共 90 分)

A.f(-x1)>f(-x2) C.f(-x1)=f(-x2) 第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正 确答案填在题中横线上) 13.若函数 f(x)=ax7+bx-2,且 f(2 014)=10,则 f(-2 014)的 值为________. ax+1 14.若函数 f(x)= 在 x∈(-2,+∞)上单调递减,则实数 a x +2 的取值范围是________. x +3 ?1? 15. 已知函数 f(x)= , 记 f(1)+f(2)+f(4)+f(8)+f(16)=m, f?2? ? ? x +1
?1? ?1? ? 1 ? +f?4?+f?8?+f?16?=n,则 m+n=________. ? ? ? ? ? ?

16.设 a 为常数且 a<0,y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 a2 时,f(x)=x+ x -2.若 f(x)≥a2-1 对一切 x≥0 都成立,则 a 的取值范 围为________. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答时应写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) (1)已知 f(x-2)=3x-5,求 f(x);

(2)若 f(f(f(x)))=27x+26,求一次函数 f(x)的解析式.

18.(本小题满分 12 分) 1 已知 f(x)= ,x∈[2,6]. x-1 (1)证明:f(x)是定义域上的减函数; (2)求 f(x)的最大值和最小值.

19.(本小题满分 12 分) 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元,每生产一台 仪 器 需 增 加 投 入 100 元 , 已 知 总 收 益 满 足 函 数 : R(x) =

?400x-1x2,0≤x≤400, 2 ? ?80 000,x>400,

其中 x 是仪器的月产量.

(1)将利润 f(x)表示为月产量 x 的函数; (2)当月产量 x 为何值时,公司所获利润最大?最大利润是多少 元?(总收益=总成本+利润)

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当 a=-1 时,求函数的最大值和最小值; (2)若 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,求实数 a 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分) 已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a,b∈R),若 f(1)=-1 且函数 f(x)

的图象关于直线 x=1 对称. (1)求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在[k,k+1](k≥1)上的最大值为 8,求实数 k 的值.

22.(本小题满分 12 分) 已知二次函数 f(x)的图象过点(0,4),对任意 x 满足 f(3-x)=f(x), 7 且有最小值4. (1)求 f(x)的解析式; (2)求函数 h(x)=f(x)-(2t-3)x 在区间[0,1]上的最小值,其中 t∈ R; (3)在区间[-1,3]上,y=f(x)的图象恒在函数 y=2x+m 的图象上 方,试确定实数 m 的范围.

详解答案 第一章 集合与函数概念(二) (函数的概念与基本性质) [名校好题· 能力卷] 1. D 解析: ∵y=x-1 与 y= ?x-1?2=|x-1|的对应关系不同, ∴它们不是同一函数;y= x-1(x≥1)与 y= x-1 (x>1)的定义域不 x-1

同,∴它们不是同一函数;又 y=4lg x(x>0)与 y=2lg x2(x≠0)的定义 x 域不同,因此它们也不是同一函数,而 y=lg x-2(x>0)与 y=lg100= lg x-2(x>0)有相同的定义域、 值域与对应关系, 因此它们是同一函数. 2.C 解析:令 x2=0,1,4,解得 x=0,± 1,± 2.故选 C.
? ?x+1≥0, 3.B 解析:由? 解得 x≥-1,且 x≠1. ?x-1≠0, ?

4.C 解析:令 t=-x2+4x,x∈[0,4],∴t∈[0,4].又∵y1= x, x∈[0,+∞)是增函数∴ 选 C. 5.C 解析:当 0≤x≤1 时,f(x)=-1;当 1<x≤2 时,设 f(x) =kx+b(k≠0),把点(1,-1),(2,0)代入 f(x)=kx+b(k≠0),则 f(x)
? ?-1,0≤x≤1, =x-2.所以 f(x)=? 故选 C. ?x-2,1<x≤2. ?

t∈[0,2],- t∈[-2,0],∴y∈[0,2].故

6.D

22-x2 4-x2 解 析 : f(x) = = = .由 ?x-2?2-2 |x-2|-2 ?x?2?-2 2⊕x

2 ? ?4-x ≥0, 4-x2 ? 得-2≤x≤2 且 x≠0.∴f(x)=- x . ? ?|x-2|-2≠0,

7.A 解析:函数 f(x)的定义域关于原点对称,又∵f(-x)=

1 -x

?1 ? +x=-? x-x?=-f(x),∴f(x)为奇函数,其图象关于坐标原点对称. ? ?

8. D 解析: ∵f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数, ∴f(-1)=f(1). 又 f(4)>f(1),f(4)>f(-1). 9.D 解析:因为奇函数 f(x)在[1,3]上为增函数,且有最小值 0, 所以 f(x)在[-3,-1]上是增函数,且有最大值 0. 10.A
x ? ?a ?x<0?, 解析:由于函数 f(x)=? 满足对任意 ??a-3?x+4a?x≥0? ?

f?x1?-f?x2? x1≠x2,都有 <0 成立,所以该函数为 R 上的减函数,所以 x1-x2 0<a<1, ? ? ?a-3<0, ? ?4a≤a0, 1 解得 0<a≤4.

解题技巧:本题主要考查了分段函数的单调性,解决本题的关键 是利用好该函数为 R 上的减函数这一条件.应特别注意隐含条件 “a0≥4a”. 11.C 解析:由不等式|f(x+t)-1|<3,得-3<f(x+t)-1<3,

即-2<f(x+t)<4.又因为 f(x)的图象经过点 A(0,4)和点 B(3,-2),所 以 f(0)=4,f(3)=-2,所以 f(3)<f(x+t)<f(0).又 f(x)在 R 上为减函 数,则 3>x+t>0,即-t<x<3-t,解集为(-t,3-t).∵不等式的 解集为(-1,2),∴-t=-1,3-t=2,解得 t=1.故选 C. 12.A 解析:由 y=f(x+1)是偶函数且把 y=f(x+1)的图象向右 平移 1 个单位可得函数 y=f(x)的图象,所以函数 y=f(x)的图象关于 x =1 对称,即 f(2+x)=f(-x).因为 x1<0,x2>0,且 x1+x2<-2,所以 2<2+x2<-x1.因为函数在[1,+∞)上为增函数,所以 f(2+x2)<f(-

x1),即 f(-x1)>f(-x2),故选 A. 13.-14 解析:设 g(x)=ax7+bx,则 g(x)是奇函数,g(-2 014) =-g(2 014).∵f(2 014)=10 且 f(2 014)=g(2 014)-2,∴g(2 014)= 12,∴g(-2 014)=-12,∴f(-2 014)=g(-2 014)-2,∴f(-2 014) =-14. ax+1 1-2a 1 1 14.a<2 解析:f(x)= =a+ .∵y= 在 x∈(-2, x+2 x+2 x+2 1 +∞)上是减函数,∴1-2a>0,∴a<2. x+3 ?1? 1+3x 15.18 解析:因为函数 f(x)= ,所以 f? x?= . ? ? x+1 x+1
?1? 4?x+1? 又因为 f(x)+f?x ?= =4, ? ? x+1 ?1? ?1? ?1? ? 1 ? f(1)+f(2)+f(4)+f(8)+f(16)+f?2?+f?4?+f?8?+f?16? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ?1? ?1? ?1? = f(1) + f(2) + f ?2? + f(4) + f ?4? + f(8) + f ?8? + f(16) + f ?16? = f(1) + ? ? ? ? ? ?

4×4=18, 所以 m+n=18. 解题技巧:本题主要考查了学生的观察、归纳、推理的能力,解
?1? 决本题的关键是挖掘出题目中隐含的规律 f(x)+f? x?=4. ? ?

16.-1≤a<0 解析:当 x=0 时,f(x)=0,则 0≥a2-1,解得 -1≤a≤1,所以-1≤a<0. a2 当 x>0 时,-x<0,f(-x)=-x+ -2,则 f(x)=-f(-x)=x+ -x a2 x +2. 由对数函数的图象可知,当 x= a2=|a|=-a 时,有 f(x)min=-

2a+2, 所以-2a+2≥a2-1,即 a2+2a-3≤0,解得-3≤a≤1.又 a<0, 所以-3≤a<0. 综上所述,-1≤a<0. 17.解:(1)令 t=x-2,则 x=t+2,t∈R,由已知有 f(t)=3(t+ 2)-5=3t+1,故 f(x)=3x+1. (2)设 f(x)=ax+b(a≠0),f(f(x))=a2x+ab+b, f(f(f(x)))=a(a2x+ab+b)+b=a3x+a2b+ab+b,
?a3=27, ? ∴? 2 ?a b+ab+b=26, ?

解得 a=3,b=2.则 f(x)=3x+2. 18.(1)证明:设 2≤x1<x2≤6,则 f(x1)-f(x2)= x2-x1 , ?x1-1??x2-1? 因为 x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0,所以 f(x1)-f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2). 所以 f(x)是定义域上的减函数. 1 (2)由(1)的结论可得,f(x)min=f(6)=5,f(x)max=f(2)=1. 19.解:(1)当 0≤x≤400 时, 1 1 f(x)=400x-2x2-100x-20 000=-2x2+300x-20 000. 当 x>400 时,f(x)=80 000-100x-20 000=60 000-100x, 1 1 - = x1-1 x2-1

?-1x2+300x-20 000,0≤x≤400, 所以 f(x)=? 2 ?60 000-100x,x>400.

(2)当 0≤x≤400 时, 1 1 f(x)=-2x2+300x-20 000=-2(x-300)2+25 000; 当 x=300 时,f(x)max=25 000; 当 x>400 时, f(x)=60 000-100x<f(400)=20 000<25 000; 所以当 x=300 时,f(x)max=25 000. 故当月产量 x 为 300 台时,公司获利润最大,最大利润为 25 000 元. 20.解:(1)当 a=-1 时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1. 又因为 x∈[-5,5].所以函数的最大值为 37,最小值为 1. (2)若 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数, 则有-a≤-5 或-a≥5 解得 a≤-5 或 a≥5. 解题技巧: 本题主要考查了二次函数在给定区间上的最值与单调 性. 解决本题的关键是确定对称轴和区间端点的关系. 注意分类讨论. b 21.解:(1)由题意可得 f(1)=a+b=-1 且-2a=1, 解得 a=1,b=-2. (2)f(x)=x2-2x=(x-1)2-1. 因为 k≥1,所以 f(x)在[k,k+1]上单调递增, 所以 f(x)max=f(k+1)=(k+1)2-2(k+1)=8, 解得 k=± 3. 又 k≥1,所以 k=3. 3 7 22. 解: (1)由题知二次函数图象的对称轴为 x=2, 又最小值是4, 3? 7 ? 则可设 f(x)=a?x-2?2+4(a≠0),
? ?

3? 7 ? 又图象过点(0,4),则 a?0-2?2+4=4,解得 a=1.
? ?

3? 7 ? ∴f(x)=?x-2?2+4=x2-3x+4.
? ?

(2)h(x)=f(x)-(2t-3)x=x2-2tx+4=(x-t)2+4-t2,其对称轴 x =t. ①t≤0 时,函数 h(x)在[0,1]上单调递增,最小值为 h(0)=4; ②当 0<t<1 时,函数 h(x)的最小值为 h(t)=4-t2; ③当 t≥1 时,函数 h(x)在[0,1]上单调递减,最小值为 h(1)=5- 4,t≤0, ? ? 2 2t,所以 h(x)min=?4-t ,0<t<1, ? ?5-2t,t≥1. (3)由已知:f(x)>2x+m 对 x∈[-1,3]恒成立, ∴m<x2-5x+4 对 x∈[-1,3]恒成立. ∴m<(x2-5x+4)min(x∈[-1,3]). 9 ∵g(x)=x2-5x+4 在 x∈[-1,3]上的最小值为-4, 9 ∴m<-4.


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