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上海市宝山区2014-2015学年高二上学期期末考试数学试卷


宝山区 2014-2015 学年第一学期期末 高二年级数学质量监测试卷
本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2015.1.21 学生注意: 1. 本试卷包括试题纸和答题纸两部分. 2. 在试题纸上答题无效,必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3. 可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,

考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

n ? _______ . n ?? n ? 2 2.在等比数列 {an } 中,若 a3 ? 2 , a6 ? 16 ,则公比为 _______ .
1.计算: lim

? 1 ?1? ? ?4 ? ? , B ? ? ? ,则 AB ? _______ . ?2 3 ? ?1? ?1 1? 4.已知向量 a ? ?1,0 ? , b ? ? , ? ,则 a ? b ? b ? . ?2 2? 1 2 x 5.若行列式 D ? 2 x 1 的第二行、第三列元素的代数余子式的值等于 ?3 ,则实数 x 1 2
3.已知矩阵 A ? ?

?

?

x?

.
2

6. 利用数学归纳法证明 “1 ? a ? a ? 立时,等号左边是 _________ .

? a n?1 ?

1 ? a n?2 (a ? 1,n ? N ? ) ” , 在验证 n ? 1 成 1? a

7.已知向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? ( ?k,10) ,且点 A, B, C 三点共线,则实数 k ? _______ . 8 .已知向量 a ? (2, ? 1),点 A(1, ? 2) ,若 AB 与 a 同向 ,且 AB ? 3 5 ,则点 B 坐标为 ..

_______ .
9.一平面截一球得到面积为 12? 的圆面,球心到这个圆面的距离是球半径的一半,则该球 的表面积是 . 10.如图,在平行四边形 ABCD 中, E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中 点,若 AC ? ? AE ? ? AF ,其中 ? , ? ? R ,则 ? ? ? ? _______ .
第 10 题

11.在各项均为正整数 的等差数列 {an } 中,若 a1 ? 1 , an ? 51 (其中 .......

n ? N ? ),公差为 d ,则 n ? d 的最小值等于 _______ .

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12.在等腰直角 ?ABC 中, ?A ? 90 , BC ? 3 ,

?ABC 中排列着内接正方形,如图所示,若正方形的
面积依次为 S1 , S2 , 则 lim ? S1 ? S2 ?
n ??

, Sn ,

(从大到小) ,其中 n ? N ,
第 12 题

?

? Sn ? ? _______ .

13.设直线 m 与平面 ? 相交但不 垂直,则下列所有正确的命题序号是 _______ . . ①在平面 ? 内有且只有一条直线与直线 m 垂直; ②与直线 m 平行的直线不 可能与平面 ? 垂直; . ③与直线 m 垂直的直线不 可能与平面 ? 平行; . ④与直线 m 平行的平面不 可能与平面 ? 垂直. .
? 3 14. 已知等差数列 ?an ? 前 n 项和为 S n n ? N ,函数 f ( x) ? x ? x ? 2 ? x ? R ? ,

?

?

若满足 f (a2 ? 2) ? 5 , f (a2014 ? 4) ? ?1,则 S2015 ? _______ . 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案.考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.在四边形 ABCD 中, AB ? BC ? 0 , BC ? AD ,则四边形 ABCD 为( (A)直角梯形 (B)菱形 (C)矩形 (D)正方形 )

16.在等差数列 ?an ? 中,若

a11 ? ?1 ,且 ?an ? 的前 n 项和 Sn 有最大值, a10
) (C)20 (D)21

开始 输入 a , b , c

则使得 Sn ? 0 的最大值 n 为( (A)11 (B)19

x?a


b?x


x?b


17. 右面的程序框图,如果输入三个实数 a, b, c ,要求输出这三个数中最 大的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面选项中的( ) (A) c ? x (B) x ? c (C) c ? b (D) b ? c
否 输出 x

x?c

18.已知两非零 向量 a ? (a1 , b1 ) , b ? (a2 , b2 ) ,其中 a1,a2,b1,b2 均 .. 为实数, 集合 A ? {x a1x ? b1 ? 0} , 集合 B ? {x a2 x ? b2 ? 0}, 则 “ a // b ” 是“ A ? B ”的 (A)充分非必要条件 (C)充要条件 ( (B)必要非充分条件 (D)既非充分又非必要条件
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结束 第 17 题



三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 an ? 5Sn ? 3 , n ? N ,
?

求 lim( a1 ? a3 ?
n ??

? a2 n ?1 ) 的值.

20. (本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题8分. 已知向量 a ? 2i ? 3 j , b ? 2i ? 3 j ,其中 i, j 是互相垂直的单位向量. (1) 求以 a , b 为一组邻边的平行四边形的面积; (2) 设向量 m ? a ? 3b , n ? ? a ? b ,其中 ? 为实数,若 m 与 n 夹角为钝角 , .. 求 ? 的取值范围.

21. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题 8 分,第 2 小题 6 分. 如图:在体积为 3 的正三棱锥 ....A ? BCD 中, BD 长为 2 3 ,

E 为棱 BC 的中点. (1)求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小;
(2)求正三棱锥 A ? BCD 的表面积.
第 21 题

22. (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分. 在上海自贸区的利好刺激下, A 公司开拓国际市场,基本形成了市场规模;自 2014 年 1 月以来的第 n 个月(2014 年 1 月为第一个月)产品的内销量 、出口量 和销售总量 (销售总 ... ... .... 量=内销量 ? 出口量)分别为 bn 、 cn 和 an (单位:万件) ,依据销售统计数据发现形成如 下营销趋势:bn?1 ? a ? an , cn?1 ? an ? ban 2 (其中 a , b 为常数, n ? N ) ,已知 a1 ? 1 万件,
?

a2 ? 1.5 万件, a3 ? 1.875 万件.
(1)求 a , b 的值,并写出 an ?1 与 an 满足的关系式; (2)证明: an 逐月递增且控制在 2 万件内; (3)试求从 2014 年 1 月份以来的第 n 个月的销售总量 an 关于 n 的表达式.

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23. (本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 8 分. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 S1 ? 1 ,且 6S n ? (an ? 1)(an ? 2), n ? N ? . (1)求 an与an?1 的关系式; (2)在满足条件的所有数列 ?an ? 中,求 a2015 最小值; (3)若数列 ?an ? 各项都为正数 ,设数列 ?bn ? 满足 an (2 ..
bn

? 1) ? 3,并记 Tn 为 ?bn ? 的前 n 项

和,问:是否存在常数 c 使得对任意的正整数 n ,都有 Tn ? c 成立?如果存在,请写出 c 的 取值范围;如果不存在,请说明理由.

参考答案 一、填空题 1. 1 9. 64? 2. 2 10. 3. ?

? ?5 ? ? ? ?5 ?

4.0

5.-1

6. 1 ? a ? a 13.②

2

7.-

2 3

8. ? 7, ?5?

4 3

11.16 16.B

12. 9 8 17. A

14. 6045

二、选择题 15.C 三、解答题 19. (本题满分 12 分)

18.B

数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 an ? 5Sn ? 3 , n ? N ,求 lim( a1 ? a3 ?
?
n ??

? a2 n ?1 ) 的

值. 解:当 n ? 1 时 a1 ? S1 ? 3 ??????????????????????2分 4 当 n ? 2 an ? Sn ? Sn ?1 ?

an ? 3 an?1 ? 3 a 1 ? ? n ?? 5 5 an?1 4

3? 1? 所以 an ? ? ? ? 4? 4?

n ?1

??????????????????????6分

因此 ?a2n?1? 是以 a1 ?

lim(a1 ? a3 ?
n ??

3 1 为首项, 为公比的等比数列????????????9分 4 16 3 4 ? a2 n ?1 ) ? 4 ? ??????????????????12分 1 5 1? 16
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20. (本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题8分.

已知向量 a ? 2i ? 3 j , b ? 2i ? 3 j ,其中 i, j 是互相垂直的单位向量. (1)求以 a , b 为一组邻边的平行四边形的面积; (2)设向量 m ? a ? 3b , n ? ? a ? b ,其中 ? 为实数,若 m 与 n 夹角为钝角,求 ? 的取值 范围. 解: (1)由数形结合可得:该平行四边形面积为

1 ? 4 ? 6 ? 12 ?????6 分 2

方法二:可知平行四边形两条邻边长为 a ? b ? 13 ??????????2 分 又设 a, b 夹角为 ? ,可知 cos ? ? 因为 ? ??0, ? ? ,可知 sin ? ?

a ?b a?b

??

5 , ?????????????4 分 13

12 13 12 ? 12 ??????????6 分 13

所以该平行四边形面积为 a ? b sin ? ? 13 ?

(2) m ? (?4, ?12) , n ? (2 ? 2?,3 ? 3? ) ??????????8 分

11 ? ?m ? n ? a ? 3b ? ? a ? b ? 0 ? ? ? 7 ? ??????????12 分 ? 1 -3 ?m, n不共线 ? ?0 ? ? 1 ? 11 1 ? ? ? 且? ? ? ??????????14 分 7 3

?

??

?

21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题 8 分,第 2 小题 6 分. 如图,在体积为 3 的正三棱锥 A ? BCD 中, BD 长为 2 3 , E 为棱 BC 的中点,求 (1)异面直线 AE 与 CD 所成角的大小; (2)正三棱锥 A ? BCD 的表面积. 解: ( 1 ) 过 点 A 作 AO ? 平 面 B C D, 垂 足 为 O , 则 O 为 △BCD 的 中 心 , 由

1 3 2 ? ? 2 ? 3 ? AO= 3 得 AO ? 1 , 3 4
又在正三角形 BCD 中得 OE =1 ,所以 AE ? 2 ??????????2 分

取 BD 中点 F ,连结 AF 、 EF ,故 EF ∥ CD , 所以 ? AEF 就是异面直线 AE 与 CD 所成的角.???????????????4 分 在△ AEF 中, AE ? AF ? 2 , EF ? 3 ,
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AE 2 ? EF 2 ? AF 2 6 所以 cos ?AEF ? . ? 2 ? AE ? EF 4
所以,异面直线 AE 与 CD 所成的角的大小为 arccos

????????????6 分

6 .???????????8 分 4

(2)由 AE ? 2 可得正三棱锥 A ? BCD 的侧面积为

1 3 S ? 3 ? ? BC ? AE ? ? 2 3 ? 2 ? 3 6 2 2 所以正三棱锥 A ? BCD 的表面积为

???????????????11 分

S ?3 6?

3 ? BC 2 ? 3 6 ? 3 3 . 4

??????????????14 分

22. (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分. 在上海自贸区的利好刺激下, A 公司开拓国际市场,基本形成了市场规模;自 2014 年 1 月以来的第 n 个月(2014 年 1 月为第一个月)产品的内销量 、出口量 和销售总量 (销售总 ... ... .... 量=内销量 ? 出口量)分别为 bn 、 cn 和 an (单位:万件) ,依据销售统计数据发现形成如 下营销趋势:bn?1 ? a ? an , cn?1 ? an ? ban 2 (其中 a , b 为常数, n ? N ) ,已知 a1 ? 1 万件,
?

a2 ? 1.5 万件, a3 ? 1.875 万件.
(1)求 a , b 的值,并写出 an ?1 与 an 满足的关系式; (2)证明: an 小于 2 万件且逐月递增; (3)试求从 2014 年 1 月份以来的第 n 个月的销售总量 an 关于 n 的表达式. 解: (1)依题意: an?1 ? bn?1 ? cn?1 ? aan ? an ? ban 2 , ∴ a2 ? aa1 ? a1 ? ba12 ,

a ?1? b ? ∴

3 ?????① 2

??????????????????2 分

又 a3 ? aa2 ? a2 ? ba22 ,

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∴ a?

3 2

3 ? 3 ? 15 ? b ? ? ? ?????② 2 8 ?2?

2

1 2 1 2 从而 an ?1 ? 2an ? an ????????????????????????4 分 2 1 2 1 2 (2)由于 an ?1 ? 2an ? an ? ? ? an ? 2 ? ? 2 ? 2 .?????????6 分 2 2
解① ② 得 a ? 1, b ? ? 但 an?1 ? 2 ,否则可推得 a1 ? a2 ? 2 矛盾.故 an?1 ? 2 ,于是 an ? 2 .????8 分 又 an ?1 ? an ? ?

1 2 1 an ? 2an ? an ? ? an ? an ? 2 ? ? 0 , 2 2

所以 an?1 ? an 从而 an ? an?1 ? 2 .???????????????????10 分 (3)由 an ?1 ? 2an ?

1 2 2 an 得 2 ? 2 ? an ?1 ? ? ? 2 ? an ? , 2

又因为 2 ? an?1 ? 0, 2 ? an ? 0 , 则 log2 (2 ? an?1 ) ? 2log2 (2 ? an ) ?1 ,???????????????????12 分 ∴ log2 (2 ? an?1 ) ?1 ? 2?log2 (2 ? an ) ?1? 即 ?log2 (2 ? an ) ?1? 为等比数列,公比为 2,首项为 ?1 ,?????????14 分 故 log2 (2 ? an ) ?1 ? ?2n?1 ,

?1? ∴ an ? 2 ? 2 ? ? ?2?

2n?1

.?????????????????????????16 分

23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 8 分. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ,满足 S1 ? 1 ,且 6S n ? (an ? 1)(an ? 2), n ? N ? . (1)求 an?1与an 满足的关系式; (2)在满足条件的所有数列 ?an ? 中,求 a2015 最小值; (3)若数列 ?an ? 各项都为正数,设数列 ?bn ? 满足 an (2
bn

? 1) ? 3,并记 Tn 为 ?bn ? 的前 n 项

和,问:是否存在常数 c 使得对任意的正整数 n ,都有 Tn ? c 成立?如果存在,请写出 c 的 取值范围;如果不存在,请说明理由. 解: (1) n ? 1 时, a1 ? 2 或 1(因为 S1 ? 1 所以舍 1) ;??????????????1
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n ? 2 时, 6Sn ? (an ? 1)(an ? 2) ? an ? 3an ? 2 ,

2

6S n?1 ? an?1 ? 3an?1 ? 2 ,两式相减得, 6an ? an ? an?1 ? 3an ? 3an?1 ,
? (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 3) ? 0 ,??????????????????3 分
所以 an?1 = ? an或an?1 ? an =3 ??????????????????????5 分 ( 2 ) 由 题 可 知 , 求 a2015 的 最 小 值 只 需 求 a2014 最 大 值 , 且

2

2

2

a2

0 1 5

? ?a

?

2 0 1 4

a

7分 0? ? ;????? 2 0 1 4
?

因为当 n ? 2013 时,若存在 n ? N ,使得 an ? an +1 =0 ,则相邻两项异号,不符合题意. 因此当 n ? 2013 时,只能满足 an +1 ? an ? 3 , a2014 才能取到最大值, 所以 a2014 ? a1 ? 2013 ? 3 ? 6041最大, 因此只需 a2015 ? ?a2014 ? ?6041 即为最小.?????????????????10 分 (3)因为 an ? 0 , an?1 = ? an不成立,所以an?1 ? an =3 ,即 an =3 n ?1 ??????11 分

3n ? 2 ,??????????????13 分 3n ? 1 5 8 3n ? 2 3n ? 2 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? log 2 ? ? ? ? ? log 2 ,????????15 分 2 5 3n ? 1 2 5 ?? Tn ?单调递增,? n ? 1 时 Tn 最小值为 log 2 ,因此存在常数 c 使 Tn ? c 恒成立, 2
满足 (3n ? 1)(2
bn

? 1) ? 3 ,得 bn ? log 2

这时 c 的取值范围是 (??, log2 5 ? 1] .??????????????18 分

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