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正弦量的基本概念



3.1 正弦量的基本概念
3.1.1 正弦交流电的三要素
按正弦规律变化的交流电动势、交流电压、交流电流等物理量统称为 正弦量,如图3-1-1所示。

以正弦电流为例,对于给定的参考方向,正弦量的 一般解析函数式为

i (t ) ? I m sin(?t ? ? )
1. 瞬时值和振幅值(最大值)
正弦量瞬时值中的最大值, 叫振幅值, 也叫峰值。 用大写字母带下标“m”表示, 如Um、Im等。 2. 周期和频率 正弦量变化一周所需的时间称为周期。通常用“T” 表示,单位为秒(s)。正弦量每秒钟变化的周数称为频 率,用“f”表示,单位为赫兹(Hz)。周期和频率互成倒 数,即

1 f ? T

3.相位、角频率和初相

ωt+φ---相位角
在不同的瞬间,正弦量有着不同的相位,因而 有着不同的状态。相位的单位一般为弧度(rad)。 角频率---相位角变化的速度。 单位:rad/s或1/s。 相位变化2πrad,经历一个周期T,那么

?

?

2π T

? 2πf

?与f成正比

当φ=0时,正弦波的零点就是计时起点

当φ>0,正弦波零点在计时起点之左,其波形相对于φ=0的 左移φ角,
当φ<0,正弦波零点在计时起点之右,其波形相对于φ=0的 波形右移|φ|角, 确定φ角正负的零点均指离计时起点最近的那个零点

i i1=Imsin??t

i

? i2=Imsin(??t+ ) 2

i

? i3=Imsin(??t+ ) 6

i

? i4=Imsin(??t- 6)

0

??t

? 2

0

??t
? 6

0

??t

0 ? 6

??t

(a)

(b)

(c)

(d)

几种不同计时起点的正弦电流波形

例 在选定的参考方向下, 已知两正弦量的解析式为 u=200sin(1000t+200°) V, i=-5sin (314t+30°) A, 试求两个正 弦量的三要素。 解 (1) u=200sin(1000t+200°)=200sin(1000t-160°)V

所以电压的振幅值Um=200V, 角频率ω=1000rad/s, 初相θu=160°。 (2) i=-5sin(314t+30°)=5sin(314t+30°+180°)=5sin(314t150°)A 所以电流的振幅值Im=5A, 角频率ω=314rad/s, 初相θi=-150°。

例 已知选定参考方向下正弦量的波形图如图4.4所示, 试写出正弦量的解析式。 ? 解 u1 ? 200 sin(?t ? )V 3 ? u2 ? 250 sin(?t ? )V 6
u/V 250 200 u2 u1

0 ? 3

? ? 6

2?

??t

?

i 例 3-1 图3-1-4给出正弦电压u ab 和正弦电流ab 的 波形。(1)写出u ab 和i ab 的解析式并求出它们在 i t=100ms时的值。(2)写出 ba 的解析式并求出 t=100ms时的值。

?

由波形可知电压和电流的最大值分别为300mV和 5mA,频率都为1kHz,角频率为2000πrad/s,初 π π ? 相分别为 和 ,它们的解析式分别为
6
3

(1)t=100ms时,

π π u ab (t ) ? 300 sin(2000 πt ? )mV , iab (t ) ? 5 sin(2000 πt ? )mV 6 3
π π u ab (0.1) ? 300 sin(2000 π ? 0.1 ? ) ? 300 sin ? 150 mV 6 6 π π iab (0.1) ? 5 sin(2000 π ? 0.1 ? ) ? 5 sin ? ?4.33m? 3 3

π 2π iba (t ) ? ?iab ? 5 sin(2000 πt ? ? π) ? 5 sin(2000 πt ? )mA 3 3
当t=100ms时

2π iba (0.1) ? 5 sin( ) ? 4.33mA 3

3.1.2 相位差
两个同频率正弦量的相位之差, 称为相位差, 用字母“φ” 表示。

u1 ? U m1 sin(?t ? ?1 )

u2 ? U m 2 sin(?t ? ? 2 )
相位差

?12 ? (?t ? ?1 ) ? (?t ? ? 2 ) ? ?1 ? ? 2
当两个同频率正弦量的计时起点改变时, 它们之间的初相也随之改变,但二者的相位差 却保持不变。

下面分别加以讨论: (1) φ12=θ1-θ2>0且|φ12|≤π弧度 (2) φ12=θ1-θ2<0且|φ12|≤π弧度 (3) φ12=θ1-θ2=0,称这两个正弦量同相 (4) φ12=θ1-θ2=π, 称这两个正弦量反相 ? (5) φ12=θ1-θ2= , 称这两个正弦量正交 2
u u2 u2 u u1 u u1 u2 u u1 u2 u1

?? ??

0

??t

0

??t

0

??t

0

??t

(a)

(b)

(c)

(d)

同频率正弦量的几种相位关系

例 已知

u ? 220 2 sin(?t ? 235 ?)V , i ? 10 2 sin(?t ? 45 ?) A

求u和i的初相及两者间的相位关系。 解

u ? 220 2 sin(?t ? 235 ?)V ? 220 2 sin(?t ? 125 ?)V

所以电压u的初相角为-125°, 电流i的初相角为45°。

? ui ? ?u ? ?i ? ?125 ? ? 45? ? ?170 ? ? 0
表明电压u滞后于电流i 170°。

例 分别写出下图中各电流i1、 i2的相位差, 并说明i1 与i2 的相位关系。 i
i1 i2 ? 3? 2 i2 ? 2 0 2? i i1

?t

0

? 2

?

3? 2

2?

??t

??=??

(a)

(b)

i i1 i2

i

i1

i2

?

? 2

?

3? 2? 2

?t

?

? 2

?

3? 2

2?

?t

3? 4

(c)

(d)

解 (a) 由图知θ1=0, θ2=90°, φ12=θ1-θ2=-90°, 表明i1滞后 于i2 90°。 (b) 由图知θ1=θ2, φ12=θ1-θ2=0, 表明二者同相。

(c) 由图知θ1-θ2=π, 表明二者反相。
(d) 由图知θ1=0, ? 2 ? ? 3? ,?12 ? ?1 ? ? 2 ? 3? , 表明i1越 4 4 前于 i 3? 。
2

4

3.1.3 正弦量的有效值

有效值的定义
交流电的有效值。 交流电的有效值是根据它的热效应
确定的。交流电流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量 和直流电流I通过同一电阻R在相同时间内所产生的热量相 等, 则这个直流电流I的数值叫做交流电流i的有效值, 用大写 字母表示, 如I、 U等。

Q ? I 2 RT Q ? ? i 2 R dt
0 T

I RT ? ? i R dt
2 2 0

T

1 I? T 1 U? T

?

T

0

i dt u dt
2

2

?

T

0

正弦量的有效值
1 I? T ?

?

T

0

I sin ?tdt ?
2 m 2

2 Im T

?

T

0

1 ? cos 2?t dt 2
2 Im (T ? 0) 2T

2 T Im T ( ? dt ? ? cos 2?tdt) ? 0 2T 0

Im I? ? 0.707 I m 2 Um U? ? 0.707U m 2 U m ? 220 2 ? 311V

?例

3-4 时电流的值为5A,试求该电流的有效值。

T 一个正弦电流的初相角为60°,在 4

解 该正弦电流的解析式为

i?t ? ? I m sin wt ? 60 ? A
? wT ?? 5 ? I m sin? ? 60 ? A ? 4 ? ?? ? ?

?

?

代入已知量有:

5 ? I m sin? ? ? A ?2 3? 5 5 则有:I m= ? ? 10 A sin?5? / 6? 1 2 Im I? ? 7.07 A 2

作业:预习向量


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