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空间角度、距离计算(二)


空间中距离的计算问题
空间距离的求解是高中数学的重要内容, 也是历年高考考查的重点和热点, 其中以点与 点、点到线、点到面的距离为基础,一般是将问题最终转化为求线段的长度。 一、题型及方法: 例 1 边长为 1 的等边三角形 ABC 中,沿 BC 边高线 AD 折起,使得折后二面角 B-AD-C 为 60°, 则点 A 到 BC 的距离为_________,点 D 到平

面 ABC 的距离为__________.

例 2.线段 AB 是夹在互相垂直的平面 ? , ? 之间, 它和 ? , ? 所成的角分别是 45 , 30 ,A , B
0 0

两点在这两个平面的交线上的射影是 C , D ,且 CD ? 1 ,则 AB 的长为



例 3.在棱长为 2 的正方体 AC 1 中,G 是 AA 1 的中点,求 BD 到平面 GB 1 D 1 的距离.

例 4.在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在棱 CC1 上,且 CC1=4CP.求点 P 到平 面 ABD1 的距离;(难!)

例 5.将 ? QMN ? 60 ? ,边长 MN=a 的菱形 MNPQ 沿对角线 NQ 折成 60 ? 的二面角,则 MP 与 NQ 间的距离等于( A.
3 2 a

)
3 4 a

B.

C.

6 4

a

D.

3 4

a

二、巩固提升: 1.已知平面 ? ∥平面 ? ,直线 l ? ? ,点 P ? l ,平面 ? 、 ? 之间的距离为 8,则在 ? 内 到 P 点 的 距 离 为 10 ( ) A.一个圆 B.两条直线 且 到 直 线 l C.四个点 的 距 离 为 D.两个点
?

9 的 点 的 轨 迹 是 :

2 正三棱锥 P ? A B C 的高为 2 ,侧棱与底面 A B C 成 4 5 角,则点 A 到侧面 P B C 的距离为 _____ 。

3.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1A=AB=2,若棱 AB 上存在点 P,使 D 1 P ? PC ,则棱 AD 的长的取值范围是 ( A. ) B.

? 0 ,1 ?

?0 ,

2

?

C.

?0 , 2 ?

D.

?1,

2

?


4.正方体 ABCD— A1 B1 C 1 D 1 的棱上到异面直线 AB,C C 1 的距离相等的点的个数为( A.2 B.3 C. 4 D. 5

5.多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正方体的一个顶点 A 在 ? 平面内. 其余顶点在 ? 的同侧,正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 ? 的距离分别是 1、2 和 4. P 是正方体其余四个顶点中的一个,则 P 到平面 ? 的距离可能是: ①3;②4;③5;④6;⑤7. 以上结论正确的为 (写出所有正确结论的编号) .. .

6.知在 ? ABC 中,AB=9,AC=15, ? BAC ? 120 ? ,它所在平面外一点 P 到 ? ABC 三顶点 的距离都是 14,那么点 P 到平面 ? ABC 的距离为( A. 13 B. 11 C. 9 ) D. 7

7.二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 120 ? ,在 ? 内, AB ? l 于 B,AB=2,在 ? 内,CD ? l 于 D, CD=3,BD=1, M 是棱 l 上的一个动点,则 AM+CM 的最小值为( A.
2 5

) D.
2 6

B.

2 2

C.

26

8.是边长为 a 的棱形, ? BAD ? 60 ,沿对角线 BD 折成 120 的二面角 A ? BD ? C 后,
0 0

求 AC 和 BD 间的距离



9.在Rt△ABC 中,两直角边的长分别为 AC=a,BC= 2 a沿斜边上的高 CD 将平面 ACD 折 到平面 A ? CD ,使平面 A ? CD ? 平面 BCD,求折叠后点 D 到平面 A ? BC 的距离 C a A D (1) A
2a



B

10 在水平横梁上 A、B 两点处各挂长为 50cm 的细绳,AM、BN、AB 的长度为 60cm,在 MN 处挂长为 60cm 的木条,MN 平行于横梁,木条的中点为 O,若木条绕过 O 的铅垂线旋转 60°,则木条比原来升高了 10cm


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