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高三数学二轮复习讲义


高三数学 1-6 次课讲义 第1讲

函数与导数专题

直击 2011 高考
第 6 题,5 分
? ? ? 根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为 f ? x ? ? ? ? ? ? c x c ,x ? A
c ( A , 为常

,x ≥ A A 数)已知工人

组装第 4 件产品用时 30 分钟, , 组装第 A 件产品用时 15 分钟, 那么 c 和 A 的值分别是 ( A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16 【解析】 D;



第 13 题,5 分
?2 x≥ 2 ? , 已知函数 f ? x ? ? ? x ,若关于 x 的方程 f ? x ? ? k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围 ?? x ? 1?3 , x ? 2 ?

是 . 1) 【解析】 (0 , ;
1

y y=k

第 18 题,13 分 已知函数 f ? x ? ? ? x ? k ? e k .
2 x

O

2

x

⑴求 f ? x ? 的单调区间;

1 ? ⑵若对于任意的 x? ? 0 , ? ? ,都有 f ? x ? ≤ ,求 k 的取值范围. e 【解析】 ⑴ k ① 当 k ? 0 时, f ( x) 在 (?? ,? k ) 和 (k ,? ?) 上单增,在 (?k , ) 上单减; ② 当 k ? 0 时, f ( x) 在 (?? ,k ) 和 (?k ,? ?) 上单减,在 (k ,? k ) 上单增;
? 1 ? ⑵ k 的取值范围是 ? ? ,0 ? . ? 2 ?

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1

方法引导
(2010 丰台二模 19) 1 已知函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? b 在 x ? ?2 处有极值. 3 ⑴ 求函数 f ? x ? 的单调区间;

⑵ 若函数 f ? x ? 在区间 ? ?3 , 3? 上有且仅有一个零点,求 b 的取值范围. 【解析】 ⑴ ⑵
f ( x) 在 [?3 , 上有且只有一个零点. 3]

单调递减区间是 ? ?2 , 0 ? .

例题精讲
考点: 函数的性质与基本初等函数
1 ,当 x ? [?3 ,? 1] 时,记 f ( x) 的最 x

【例1】 ⑴ 已知函数 y ? f ( x) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ?

大值为 m ,最小值为 n ,则 m ? n ? ( ) 3 3 4 4 A. B. ? C. D. ? 4 4 3 3 ⑵ (2011 丰台一模 6) ? x3 , x ≤ 0, 已知函数 f ( x) ? ? 若 f (2 ? x2 ) ? f ( x) ,则实数 x 的取值范围是( ?ln( x ? 1), x ? 0. A. (?? ,? 1) ? (2 ,? ?) B. (?? ,? 2) ? (1,? ?) 1) C. (?1 ,2) D. (?2 ,



⑶ (2009-2010 海淀区高三期中测试 8) 对于定义域为 R 的函数 f ( x) ,给出下列命题: 1) ① 若函数 f ( x) 满足条件 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ? 2 ,则函数 f ( x) 的图象关于点 (0 , 对称; ② 若函数 f ( x) 满足条件 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ,则函数 f ( x) 的图象关于 y 轴对称; ③ 在同一坐标系中,函数 y ? f ( x ? 1) 与 y ? f (1 ? x) 其图象关于直线 x ? 1 对称; ④ 在同一坐标系中,函数 y ? f (1 ? x) 与 y ? f (1 ? x) 其图象关于 y 轴对称. 其中,真命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】 ⑴ C

2

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⑵ D ⑶ D 【备选】 (2010 山东威海高三模拟) 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f ( x) ? ? f ( 2 ? x ), 且 当 x ? 1 时 f ( x) 递 增 , 若 x1 ? x2 ? 2 ,
( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值是( ) A.恒为正数 B.恒为负数 C.等于 0 【解析】 A

D.正、负都有可能

考点:

函数的最值问题
已知函数 f ( x) ? 3 ? 2 x , g ( x) ? x2 ? 2x ,构造函数 F ( x) ,定义如下:当 f ( x) ≥ g ( x) 时,
F ( x) ? g ( x) ;当 f ( x) ? g ( x) 时, F ( x) ? f ( x) .那么 F ( x) 的最大值为_______.

【例2】 ⑴ (2008 山东实验中学)

⑵ (2010 全国 I 理 10 文 7) 已知函数 f ( x) ?| lg x | ,若 0 ? a ? b ,且 f (a ) ? f (b) ,则 a ? 2b 的取值范围是( A. 2 2 ,? ? ⑶ (2011 天津 8)



?

?

B. ? 2 2 ,? ? ?

?

C. (3 ,? ?)

? D. ?3 , ? ?

?a ,a ? b ≤ 1 对实数 a 和 b ,定义运算“ ? ”: a ? b ? ? .设函数 f ( x) ? ( x2 ? 2) ? ( x ? x2 ) , ?b ,a ? b ? 1
x ? R .若函数 y ? f ( x) ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是(



3? ? A. (?? ,? 2] ? ? ?1 , ? 2? ? 1? ?1 ? ? C. ? ?1 , ? ? ? ,? ? ? 4? ?4 ? ?

3? ? B. (?? ,? 2] ? ? ?1 ,? ? 4? ? 3 ? ?1 ? ? D. ? ?1 ,? ? ? ? ,? ? ? 4 ? ?4 ? ?
y

【解析】 ⑴ 7 ? 2 7 ⑵ C ⑶ B
A

考点:

函数、方程与不等式综合

O

B

x

1 【例3】 ⑴ a ? 2 , 若 则方程 x3 ? ax2 ? 1 ? 0 在 (0 ,2) 上的根的个数为 ( ) 3 A.恰有一根 B.恰有三根 C.可能无根 D.不能确定,与 a 相关 ⑵ (2008 天津理) a 设 a ?1, 若对于任意的 x ? [a ,2a] , 都有 y ?[a , 2 ] 满足方程 log a x ? log a y ? 3 , 这时 a 的 取值集合为( ) 3} A. {a |1 ? a ≤ 2} B. {a | a ≥ 2} C. {a | 2 ≤ a ≤ 3} D. {2 ,
⑶ (2011 朝阳一模 8) 定义区间 (a , b) , [a , b) , (a , b] , [a , b] 的长度均为 d ? b ? a ,多个区间并集的长度为各区

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3

间长度之和.例如, (1 , 2) ? [3 , 5) 的长度 d ? (2 ? 1) ? (5 ? 3) ? 3 .用 [ x] 表示不超过 x 的最 大整数,记 {x} ? x ? [ x] ,其中 x ? R .设 f (x) ? [ x] ?{ x} , g ( x) ? x ? 1 ,若用 d1 , d2 , d 3 分 别表示不等式 f ( x) ? g ( x) ,方程 f ( x) ? g ( x) ,不等式 f ( x) ? g ( x) 解集区间的长度,则当 0 ≤ x ≤ 2011 时,有( ) A. d1 ? 1, d2 ? 2 , d3 ? 2008 B. d1 ? 1, d2 ? 1, d3 ? 2009 C. d1 ? 3 , d2 ? 5 , d3 ? 2003 【解析】 ⑴ A ⑵ B ⑶ B D. d1 ? 2 , d 2 ? 3 , d3 ? 2006

考点:

函数与其它知识的综合

【例4】 ⑴ 已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,且对任意的实数 x ,y ? R , 等式 f ( x) f ( y) ? f ( x ? y) 成立.若数列 {an } 满足 a1 ? f (0) , 1 且 f (an ?1 ) ? ( n ? N* ) ,则 a2011 的值为( ) f (?2 ? an ) A. 4020 B. 4021 C. 4022 D. 4023 ⑵ (2010 东城一模文 8) 已知函数 f ( x) 是奇函数且是 R 上的增函数, x , y 满足不等式 f ( x2 ? 2x) ≤ ? f ( y 2 ? 2 y) , 若 则 x2 ? y 2 的最大值是( ) A. 3 B. 2 2 C. 8 D. 16 ⑶ (2011 年石景山一模理 8) 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (4) ? 1 . f ?( x) 为 f ( x) 的导函数, 已知函数 y ? f ?( x) 的图象如右图所示. b ?1 若两正数 a , b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则 的取值范围是( ) a ?1 1? ?1 1? ? A. ? , ? B. ? ?? , ? ? ? 5 ,? ? ? 3? ?5 3? ? ?1 ? 3) C. ? ,5 ? D. (?? , 3 ? ? 【解析】 ⑴ B ; ⑵ C; ⑶ C;
b 【备选】 已知 a , ? R ,若关于 x 的方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的实根 x1 和 x 2 满足 ?1 ≤ x1 ≤1 , 1 ≤ x2 ≤ 2 , b 则在平面直角坐标系 aOb 中,点 (a , ) 所表示的区域内的点 P 到曲线 (a ? 3)2 ? (b ? 2)2 ? 1 上 的点 Q 的距离 PQ 的最小值为( )

A. 3 2 ? 1 【解析】 A;

B. 2 2 ? 1

C. 3 2 ? 1

D. 2 2 ? 1

考点:
4

导数的应用——图象交点问题

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【例5】 (2006 四川高考) 已知函数 f ? x ? ? x3 ? 3ax ? 1, ? x ? ? f ? ? x ? ? ax ? 5 ,其中 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数. g ⑴ 对满足 ?1 ≤ a ≤ 1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 ,求实数 x 的取值范围; ⑵ 设 a ? ? m 2 ,当实数 m 在什么范围内变化时,函数 y ? f ? x ? 的图象与直线 y ? 3 只有一个公 共点.
? 2 ? 1 【解析】 ⑴解得 x 的取值范围为 ? ? , ? . ? 3 ?
3 ⑵ 当 m? (? 3 2 , 2) 时, f ( x) 的图象与 y ? 3 只有一个交点.

考点:

导数与不等式综合——恒成立问题
1? a (a ?R) . x

【例6】 (2011 海淀一模理 18 改编) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? ?

⑴ 若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的极值; ⑵ 设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x) 的单调区间; ⑶ 若在 [1,e](e=2.718? ) 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围. ⑷ a ≥ 1 ,且 f ( x) ≤ e? 1 对任意的 x ?[e , 2 ] 恒成立,求实数 a 的取值范围. 若 e 【解析】 ⑴所以 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 1 ; ⑵ h( x) 在 (0 ,? ?) 上单调递增.

e2 ? 1 或 a ? ?2 . e ?1 ? e2 ? e? 1 ? ,? ? ? . ⑷实数 a 的取值范围是 ? ? 2 ?
⑶a ?

3 【备选】 已知函数 f ( x) ? ln(2 ? 3x) ? x2 . 2 1] ⑴ 求 f ( x) 在 [0 , 上的极值;
?1 1? ⑵ 若对任意 x ? ? , ? ,不等式 | a ? ln x | ? ln[ f ?( x) ? 3x] ? 0 成立,求实数 a 的取值范围; ?6 3? 1] ⑶ 若关于 x 的方程 f ( x) ? ?2 x ? b 在 [0 , 上恰有两个不同的实根,求实数 b 的取值范围.
1 ?1? f ? ? ? ln 3 ? 1] 3? 6 为函数 f ( x) 在 [0 , 上的极大值,没有极小值. 【解析】 ⑴ ? 1 1 ⑵即 a ? ln 或 a ? ln . 3 5 1 7 2 7 ⑶ ln 5 ? ≤ b ? ln 2 ? 7 ? ? . 2 6 3

?

?

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头脑风暴
(2010 浙江理 10) ? 1 1 ? 设函数的集合 P ? ? f ? x ? ? log 2 ? x ? a ? ? b a ? ? , , , b ? ?1, , ? ,平面上点的集合 0 1; 0 1 2 2 ? ?
? 1 1 ? Q ? ?? x ,y ? x ? ? ,0 , , y ? ?1, , ? ,则在同一直角坐标系中, P 中函数 f ? x ? 的图 1; 0 1 2 2 ? ? 象恰好经过 Q 中两个点的函数的个数是( ) ..

A.4 【解析】 B

B.6

C.8

D.10

实战演练
?5? 【演练1】 已知函数 f ( x) ? x2 ? mx ? n ,且 f ( x ? 2) 是偶函数,则 f (1) , f ? ? , ?2? ( ) 5? ? ?7? ?7? ?5? A. f ? ? ? f (1) ? f ? ? B. f (1) ? f ? ? ? f ? ? ?2? ?2? ?2? ?2? ?7? ?5? ?7? ?5? C. f ? ? ? f (1) ? f ? ? D. f ? ? ? f ? ? ? f (1) ?2? ?2? ?2? ?2? 【解析】 A; ?7? f ? ? 的大小关系是 ?2?

【演练2】 (2008 西城二模理 8) n 1 设 a ? 1 ,函数 y ? loga x 的定义域为 ? m , ? ? m ? n ? ,值域为 ? 0 , ? .定义“区间 ? m ,n? 的长 度等于 n ? m ”,若区间 ? m ,n? 长度的最小值为 A. 11 【解析】 B;
a 【演练3】 已知 f ( x) 为偶函数, f (2 ? x) ? f (2 ? x) , ?2 ≤ x ≤ 0 时,f ( x) ? 2 x , n ? N* , n ? f (n) , 且 当 若

B. 6

5 ,则实数 a 的值为( 6 11 3 C. D. 2 6



则 a2007 ? ( A. 2007 【解析】 B;

) 1 B. 2

C. 2

D. ?2

6

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【演练4】 (北师大实验中学 2011 高三摸底考试 18) 1? ? 已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? x ? ? e ax (a ? 0) . a? ? ⑴ 当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 3 ⑵ 若不等式 f ( x) ? ≥ 0 对 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围. a 【解析】 ⑴单调递减区间为 (?1 , 1) ; ⑵ a ? (0 , ln 3] .

大千世界
(2011 对外经贸大学自主招生 11) 已知函数 y ? f ( x) 的图象关于点 (1 ,0) 对称,且当 x ≤ 1 时, f ( x) ? ⑴ 求当 x ? 1 时 y ? f ( x) 的解析式; ⑵ 求 y ? f ( x) 的递增区间; ⑶ 设 p ≥ 4 , q ≥ 4 ,求证: | f ( p) ? f (q) |? 3 . 【解析】 ⑴ 当 x ? 1 时, 2 ? x ? 1 , f ( x) ? ? f (2 ? x) ? ? ⑵ f ( x) 的递增区间是 (0 ,2) . ⑶ | f ( p) ? f (q) |? f (4) ? 0 ? 3 .
7(2 ? x) ? 7 7x ? 7 ? ; (2 ? x) 2 ? (2 ? x) ? 1 x 2 ? 3 x ? 3

7x ? 7 , x ? x ?1
2

学案
尖子班
1. (2009 江苏 10) 5 ?1 已知 a ? ,函数 f ( x) ? a x ,若实数 m 、n 满足 f (m) ? f (n) ,则 m 、n 的大小关系为 2 【解析】 m ? n



? lg x ? 1 ,x ? 1 ? 2.已知 f ( x) ? ? ,则方程 f 2 ( x) ? f ( x) ? 0 的实根共有________个. x ?1 ?0 , ? 【解析】 7
3. (2005 全国高考) 设 a 为实数,函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? a , ⑴ f ( x) 的单调区间与极值; 求

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⑵ a 在什么范围内取值时,方程 f ( x) ? 0 仅有一个根. 当
1? ? ? 1 ? ? 1 ? 【解析】 ⑴ f ( x) 的单调递增区间为 ? ?? , ? 与 (1, ?) ;单调递减区间为 ? ? , ? ; 3? ? ? 3 ? ? 1? 5 ? a ,极小值是 f (1) ? a ? 1 . f ( x) 的极大值是 f ? ? ? ? ? 3 ? 27
5 ? ? ⑵ a ? ? ?? , ? ? ? (1 , ? ?) . 27 ? ?

目标班
1. (2009 湖南理 1)
?1? 若 log 2 a ? 0 , ? ? ? 1 ,则( ?2? A. a ? 1 , b ? 0 C. 0 ? a ? 1 , b ? 0 【解析】 D
b

) B. a ? 1 , b ? 0 D. 0 ? a ? 1 , b ? 0

? f ( x ) ,f ( x ) ≥ g ( x ) 2.已知函数 f ( x) ? log 1 x , g ( x) ? x ? 1 ,设 h( x) ? ? . ? g ( x ) ,f ( x ) ? g ( x ) 2 则使 h(a) ≥ 2 成立的 a 的范围是_____.
1? ? 【解析】 ? 0 , ? ? ?3 ,? ? ? 4? ?
y 2

3. (2010 海淀高三期中) 已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? ax ? b . ⑴ 当 a ? ?1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; ⑵ 若函数 f ( x) 的图象与直线 y ? ax 只有一个公共点, 求实数 b 的取值范 围. 1? ? 【解析】 ⑴ f ( x) 的单调递减区间为 ? ?1, ? . 3? ? 4 ⑵ b ? 0 或b ? ? 时 当 27

O

1

x

目标 123 班
1. (2010 山东理 4 文 13) 设 f ? x ? 为定义在 R 上的奇函数,当 x ≥ 0 时, f ? x ? ? 2x ? 2x ? b ( b 为常数) ,则 f ? ?1? ?( A.3 【解析】 D B.1 C. ?1 D. ?3 )

2. (2010 新课标理 11 文 12) ?| lg x | , 0 ? x ≤10 ? 已知函数 f ( x) ? ? 1 ,若 a , b , c 均不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 abc 的取 ?? 2 x ? 6 , x ? 10 ?

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值范围是( 10) A. (1 , C 【解析】


6) B. (5 , 12) C. (10 ,

D. (20 ,24)

3. (2011 朝阳一模 18) 2 已知函数 f ( x) ? ? a ln x ? 2(a ? 0) . x ⑴ 若曲线 y ? f ( x) 在点 P(1,f (1)) 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直,求函数 y ? f ( x) 的单调区间; ? ⑵ 若对于 ?x ? (0 , ?) 都有 f ( x) ? 2(a ? 1) 成立,试求 a 的取值范围; ⑶ g ( x) ? f ( x) ? x ? b(b ? R) ,当 a ? 1 时,函数 g ( x) 在区间 [e?1 ,e] 上有两个零点,求实数 b 的取 记 值范围. 【解析】 ⑴ f ( x) 的单调增区间是 (2 , ? ?) ,单调减区间是 (0 , 2) .
? 2 ? ⑵ b ? ?1 , ? e? 1? . e ? ?

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第2讲

三角函数 与平面向量

直击 2011 高考
第 9 题,5 分 在 △ ABC 中,若 b ? 5 , ?B ? 【解析】

π , tan A ? 2 ,则 sin A ? 4

;a ?



2 5 ; 2 10 . 5 第 10 题,5 分 ? ? ? ? ? ? 1 已知向量 a ? 3 , , b ? ? 0 , 1? , c ? k , 3 ,若 a ? 2b 与 c 共线,则 k ? ?

?

?

?

?



【解析】 1. 第 15 题,13 分
π? ? 已知函数 f ? x ? ? 4cos x sin ? x ? ? ? 1 . 6? ? ⑴求 f ? x ? 的最小正周期; ? π π? ⑵求 f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. ? 6 4? 【解析】 ⑴ f ( x) 的最小正周期为 π . ⑵ f ( x) 的最大值和最小值分别是 2 和 ?1 .

知识纵横

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角的概念

弧度制

弧长公式、扇形面积公式 三角函数线

任意角的三角函数的定义 同角三角函数的关系 三角函数 诱导公式 和角、差角公式 二倍角公式

公式的变形、逆用、 “1”的替换 化简、求值、证明(恒等变形)

定义域 正弦函数 y=sin x = 三角函数 的 图 象 余弦函数 y=cos x 正切函数 y=tan x y=Asin(?x+?)+b 奇偶性 单调性 周期性 对称性 最值

值域

图象

对称轴是(正切函数除外) 经过函数图象的最高(或 低)点且垂直 x 轴的直线, 对称中心是正余弦函数图 象的零点,正切函数的对称 中心为(
kπ ,0)(k∈ Z). 2

①图象可由正弦曲线经过平移、 伸缩得到, 但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同; ②图象也可以用五点作图法;③用整体代换求单调区间(注意?的符号) ; ④最小正周期 T=
(2k ? 1)π ? 2? kπ ? ? 2π ;⑤对称轴 x= ,对称中心为( ,b)(k∈Z). 2? ? |? |

概念 线性运算 基本定理 平面向量 坐标表示

模 加、减、数乘 几何意义

|→|= (x2-x1)2+(y2-y1)2 a

→在→方向上的投影为|→|cos?=—— a·b b a b → 几何意义 投影
a·b 设→与→夹角?,则 cos?=—— a b → → | a |·| b | → → |a|

→ →

数量积 夹角公式 共线(平行) 共线与垂直 垂直 正弦定理 解三角形 余弦定理 面积 实际应用 a+b+c 1 1 S△= ah= absinC= p(p-a)(p-b)(p-c)(其中 p= ) 2 2 2 解的个数的讨论 →∥→?→=?→ ? x y -x y =0 a b b a 1 2 2 1 →⊥→?→·→=0 ? x x +y y =0 a b b a 1 2 1 2

方法引导

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(2011 山东理 17)
b c 在 △ ABC 中,内角 A ,B ,C 的对边分别为 a , , ,已知

cos A ? 2cos C 2c ? a , ? cos B b

⑴ 求

sin C 的值; sin A

【解析】 ⑴

sin C ? 2; sin A
15 15 ,S ? . 4 4

⑵ 解得 a 2 ? 1 , sin B ?

例题精讲
考点: 三角函数基础知识

【例1】 ⑴ (2011 西城一模 6) 已知函数① y ? sin x ? cos x ,② y ? 2 2 sin x cos x ,则下列结论正确的是( )
? π ? A.两个函数的图象均关于点 ? ? ,0 ? 成中心对称图形 ? 4 ? π B.两个函数的图象均关于直线 x ? ? 成轴对称图形 4 ? π π? C.两个函数在区间 ? ? , ? 上都是单调递增函数 ? 4 4? D.两个函数的最小正周期相同 ⑵ (2011 浙江 6) ?? 3 π π ?π ? 1 ? ?π ? ? 若 0 ? ? ? , ? ? ? ? 0 , cos ? ? ? ? ? , cos ? ? ? ? ,则 cos ? ? ? ? ? ( 2? 2 2 ?4 ? 3 ? ?4 2? 3
3 5 3 6 C. D. ? 3 9 9 A? B ⑶ 在 ?ABC 中,已知 tan ? sin C ,给出以下四个论断,其中正确的是 2 ①tan A ? cot B ? 1 ②0 ? sin A ? sin B ≤ 2 2 2 ③sin A ? cos B ? 1 ④cos2 A ? cos2 B ? sin 2 C ⑷ (2010 江西理 7) ) E , F 是等腰直角 △ ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan∠ECF ? ( 3 16 2 3 A. B. C. D. 3 3 4 27



A.

3 3

B. ?



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⑸ (2010 江苏 13) 在锐角 △ ABC 中, A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c . 角 若 则

b a ? ? 6cs C , o a b

tan C tan C 的值是________. ? tan A tan B

【解析】 ⑴C; ⑵C; ⑶② ; ④ ⑷D; ⑸4 . 【备选】 (2011 西城二模 6) 函数 y ? sin(?x ? ? ) (? ? 0) 的部分图象如右图所示,设 P 是图象 的最高点,A ,B 是图象与 x 轴的交点, tan ?APB ?( 则 ) 8 4 A. 10 B. 8 C. D. 7 7 【解析】 B;
A

y P

O

B x

考点:

三角函数非常规题

y

【例2】 ⑴ (2011 海淀一模 7) 1 如果存在正整数 ? 和实数 ? 使得函数 y ? cos2 (? x ? ? ) ( ? ,? 为 2 常数) 的图象如图所示 (图象经过点 (1 ,0) ) 那么 ? 的值为 , ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 O ⑵ (2011 新课标 11) π 设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0 ,? ? ) 的最小正周期为 π , 2 f (? x) ? f ( x) ,则( 且 )
π? ? A. f ( x) 在 ? 0 , ? 单调递减 2? ? π? ? C. f ( x) 在 ? 0 , ? 单调递增 2? ? ⑶ (2008 海淀一模理 14) ? π 3π ? B. f ( x) 在 ? , ? 单调递减 ?4 4 ? ? π 3π ? D. f ( x) 在 ? , ? 单调递增 ?4 4 ? 1 (n ? 2 , 3 , 4 , ?) ,则 a4 ? an ?1

1

x

数列 {an } 满足: a1 ? 2 , an ? 1 ?



若 {an } 有一个形如 an ? A sin(?n ? ? ) ? B 的通项公式,其中 A , B , ? , ? 均为实数,且 π A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ,则此通项公式可以为 an ? (写出一个即可) . 2 【解析】 ⑴B ⑵A; ? 2π ? 3k ? 1? π? 1 ⑶ 2 , an ? 3 sin ? n? ?? (k?N) 3 3? 2 ? 【备选】 (2011 新课标 16)

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13

在 △ ABC 中, B ? 60? ,AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值为 【解析】 2 7 ;



考点:

三角函数的图象与性质
y
3

【例3】 (2007 江西)
π? ? 0 如图, 函数 y ? 2cos(? x ? ? ) ? x ? R , ≤ ? ≤ ? 的图象与 y 2? ?

轴交于点 (0 , 3) ,且在该点处切线的斜率为 ?2 . ⑴ ? 和 ? 的值; 求 ?π ? 0 y ⑵ 已知点 A ? , ? ,点 P 是该函数图象上一点,点 Q( x0 , 0 ) ?2 ? 是 PA 的中点,当 y0 ? 【解析】 ⑴
?? ? y ? 2cos ? 2 x ? ? . 6? ?
3 ?π ? π , x0 ? ? , ? 时,求 x0 的值. 2 ?2 ?

P

O

A

x



x0 ?

2? 3? 或 x0 ? . 3 4

【备选】 (2010 江西理 17)
π? ? π? ? 已知函数 f ? x ? ? ?1 ? cot x ? sin 2 x ? m sin ? x ? ? sin ? x ? ? . 4? ? 4? ? ? π 3π ? ⑴ m ? 0 时,求 f ? x ? 在区间 ? , ? 上的取值范围; 当 ?8 4 ? 3 ⑵ tan ? ? 2 时, f ?? ? ? ,求 m 的值. 当 5 ? 1? 2 ? 【解析】 ⑴ f ? x ? ? ?0 , ?. 2 ? ?

⑵ m ? ?2 .

考点:

解三角形
2c ? b cos B . ? a cos A

【例4】 (2011 东城一模 15) 在 △ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且满足 ⑴ 求角 A 的大小; ⑵ 若 a ? 2 5 ,求 △ ABC 面积的最大值. ? 【解析】 ⑴ ?A ? . 3

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⑵ 三角形面积的最大值为 5 3 ,此时 △ ABC 为等边三角形.

【备选】 (2008 海淀一模 20) 一个函数 f ? x ? ,如果对任意一个三角形,只要它的三边长 a , b , c 都在 f ? x ? 的定义域内,就 有 f ? a ? , f ? b ? , f ? c ? 也是某个三角形的三边长,则称 f ? x ? 为“保三角形函数”. ⑴ 判断 f1 ? x ? ? x , f 2 ? x ? ? x , f3 ? x ? ? x2 中,哪些是“保三角形函数”,哪些不是,并说明理 由; ⑵ 如果 g ? x ? 是定义在 R 上的周期函数,且值域为 ? 0 , ? ? ? ,证明 g ? x ? 不是“保三角形函数”; ⑶ 若函数 F ? x ? ? sin x , x? ? 0 , A? 是“保三角形函数”,求 A 的最大值.

x? y x? y ) cos 2 2 【解析】 ⑴ f1 ? x ? , f 2 ? x ? 是“保三角形函数”, f3 ? x ? 不是“保三角形函数”.
(可以利用公式 sin x ? sin y ? 2sin 任给三角形,设它的三边长分别为 a , b , c ,则 a ? b ? c ,不妨假设 a 剟c , b 由于 a ? b ? a ? b ? c ? 0 ,所以 f1 ? x ? ,f 2 ? x ? 是“保三角形函数”. 对于 f3 ? x ? ,3,3,5 可作为一个三角形的三边长,但 32 ? 32 ? 52 , ⑵ 设 T ? 0 为 g ? x ? 的一个周期,由于其值域为 ? 0 , ? ? ? , 所以,存在 n ? m ? 0 ,使得 g ? m ? ? 1, g ? n ? ? 2 , 取正整数 ? ? 所以不存在三角形以 32 , 32 , 52 为三边长,故 f3 ? x ? 不是“保三角形函数”.
c,

n?m ,可知 ?T ? m, ?T ? m, n 这三个数可作为一个三角形的三边长, T 但 g ? ?T ? m? ? 1 , g ? ?T ? m? ? 1, g ? n ? ? 2 不能作为任何一个三角形的三边长.
故 g ? x ? 不是“保三角形函数”. ⑶ A 的最大值为

5π . 6

考点:

平面向量常规题

【例5】 ⑴ (2009 全国Ⅱ 6) 理 ? ? ? ? ? ? 已知向量 a ? ? 2 , ? , a ? b ? 10 , a ? b ? 5 2 ,则 b ? ( 1 A. 5 B. 10 ⑵ (2011 东城一模 4) C.5 D.25



??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ???? ? ??? ? 已知平面上不重合的四点 P , A , B , C 满足 PA ? PB ? PC ? 0 ,且 AB ? AC ? mAP ,那 么实数 m 的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 ⑶ (2011 海淀一模理 6) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 已知非零向量 a , b , c ,满足 a ? b ? c ? 0 ,向量 a , b 的夹角为 120? ,且 | b |? 2 | a | ,则 ? ? 向量 a 与 c 的夹角为( ) A. 60? B. 90? C. 120? D. 150?

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⑷ (2011 东城二模理 7) ??? ??? ???? ? ? ? ??? ??? ? ? △ ABC 外接圆的半径为 1 ,圆心为 O ,且 2OA ? AB ? AC ? 0 , | OA |?| AB | , ??? ??? ? ? 则 CA ? CB 等于( ) 3 A. B. 3 C. 3 D. 2 3 2 【解析】 ⑴C; ⑵B; ⑶B; ⑷C;

【备选】 (2008 山东胜利一中高三质量检测) ???? ??? ? 点 P 为 锐 角 ?ABC 的 外 心 , 且 AC ? 4 , AB ? 2 , 则 ??? ???? ??? ? ? ) AP ? ( AC ? AB) ? ( A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【解析】 C;

A

P B O C

考点:

平面向量非常规题

? ? 【例6】 ⑴ (2011 新课标 10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题 ? ? ? ? 2π ? ? ? 2π ? p1 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0 , ? p2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,π ? 3 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? π? ? ?π ? p3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0 , ? p4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,π ? 3? ? ?3 ?

其中的真命题是( ) A. p1 ,p4 B. p1 ,p3 C. p2 ,p3 D. p2 ,p4 ? ? ? ? ⑵ (2011 湖北理 8)已知向量 a ? ( x ? z , , b ? (2 ,y ? z ) ,且 a ? b .若 x , 满足不等式 3) y
x ? y ≤1 ,则 z 的取值范围为(

) C. [?3 ,2] D. [?3 ,3]

A. [?2 ,2]

B. [?2 ,3]

?0 ≤ x ≤ 2 ? ⑶(2011 广东理 5)在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ≤ 2 给定.若 ? ?x ≤ 2 y ???? ??? ? ? M ( x ,y ) 为 D 上的动点,点 A 的坐标为 ( 2 , ,则 z ? OM ? OA 的最大值为( ) 1)
A. 4 2 ⑷ (2011 山东理 12) B. 3 2 C. 4 D. 3

????? ????? 设 A1 ,A2 ,A3 ,A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 A1 A3 ? ? A1 A2 ? ? ? R ? , ????? ????? 1 1 A1 A4 ? ? A1 A2 ? ? ? R ? ,且 ? ? 2 ,则称 A3 ,A4 调和分割 A1 ,A2 ,已知平面上的点 ? ? 0) 0) 则下面说法正确的是 C (c , ,D(d , ( c ,d ? R ) 0) 0) 调和分割点 A(0 , ,B(1, , ( A. C 可能是线段 AB 的中点 B. D 可能是线段 AB 的中点 C ,D 可能同时在线段 AB 上 C. D. C ,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上



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【解析】 ⑴A; ⑵D; ⑶C; ⑷D; 【备选】 (2009 湖南 16)

??? ???? ? ??? ???? ? ??? 2 ? 在 ?ABC 中,已知 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC ,求角 A , B , C 的大小.

故A?

π 2π π π π 2π ,B? , C ? ,或 A ? , B ? , C ? . 6 3 6 6 6 3

头脑风暴
1. (2011 海淀二模 14)已知函数 f ( x) ? ⑴ 判断下列三个命题的真假:

sin x , x

3 π 时, f ( x) 取得极小值. 2 其中真命题有____________________; (写出所有真命题的序号) ? nπ ? ? nπ π ? ? ? 的正整数 n 的最小值为___________. ⑵ 满足 f ? ? ? f ? 6 ? ? ? 6 6? ② 【解析】 ⑴① ⑵ 9
① f ( x) 是偶函数;② f ( x) ? 1 ;③ x ? 当 2. (2011 江西理 17)
b c 在 △ ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分别是 a , , ,已知 sin C ? cos C ? 1 ? sin

C . 2

⑴ sin C 的值;⑵ a2 ? b2 ? 4(a ? b) ? 8 ,求边 c 的值. 求 若 3 【解析】 ⑴故 sin C ? . 4 ⑵ c ? 7 ?1.

实战演练
【演练1】 (2010 海淀二模理 11) ? ? ? ? 已知向量 a ? (1, 0) , b ? ( x , 1) ,若 a ? b ? 2 ,则 x ? 【解析】 2; 10 ;

? ? ; a?b ?



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【演练2】 (2011 东城一模 6) ?? 1 ?? ? ? 已知 ? ? ? ,? ? , tan ? ? ? ? ? ,那么 sin ? ? cos ? 的值为( 4? 7 ?2 ? ? 1 7 7 3 A. ? B. C. ? D. 5 5 4 5 【解析】 A;



π? ? 【演练3】 (2011 朝阳一模 5)函数 y ? cos 2 ? x ? ? 的单调增区间是( ) 2? ? π ? ? ?π ? A. ? kπ , ? kπ ? , k ? Z B. ? ? kπ , kπ ? π ? , k ? Z 2 ? ? ?2 ? C. (2kπ , π ? 2kπ) , k ? Z D. (2kπ ? π , 2kπ ? 2π) , k ? Z

【解析】 A; 【演练4】 (2011 海淀一模文 13) ? ? ? ? 已知向量 a ? ( x , ,b ? (1,y) , 其中 x ,y ≥ 0 . a ? b ≤ 4 , y ? x 的取值范围为_______. 若 则 2) 【解析】 [?4 ,2] ; 【演练5】 (2011 西城一模 15) 设 △ ABC 的内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,且 cos B ?

4 ,b ? 2 . 5

5 ⑴ 当 a ? 时,求角 A 的度数; 3 ⑵ 求 △ ABC 面积的最大值. 【解析】 ⑴ A ? 30? . ⑵ ?ABC 面积的最大值为 3 .

大千世界
1. (2011“北约”4) 在 △ ABC 中, a ? b ≥ 2c ,求证: ?C ≤ 60? .
a 2 ? b2 ? c2 ≥ 【解析】 cos C ? 2ab 1 a 2 ? b 2 ? ( a ? b) 2 3a 2 ? 3b 2 ? 2ab 6ab ? 2ab 1 4 ? ≥ ? , 当且仅当 a ? b ? c 2ab 8ab 8ab 2

时取到等号. 因为 C 为三角形的内角,故 ?C ≤ 60? .

2. (2011“华约”11) 已知 △ ABC 不是直角三角形.

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⑴ 证明: tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C ; tan B ? tan C ⑵ 若 3 tan C ? 1 ? ,且 sin 2 A ,sin 2 B ,sin 2C 的倒数成等差数列, tan A A?C 求 cos 的值. 2 tan A ? tan B 【解析】⑴ tan C ? ? tan ? A ? B ? ? , 整理得 tan A tan B tan C ? tan A ? tan B ? tan C ; tan A tan B ? 1 6 A?C ⑵ cos . ?1或 4 2

学案
尖子班
π? 1 ? 1.已知 tan ? ? ? ? ? ,则 tan? 的值为( ) 4? 4 ? 3 3 5 A. B. ? C. 5 5 3 【解析】 C;

D. ?

5 3

2. (2011 浙江 14) ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ?? 1 若平面向量 ? ,? 满足 ? ? 1 , ? ≤1 , 且以向量 ? ,? 为邻边的平行四边形的面积为 , ? 与 ? 则 2 的夹角 ? 的取值范围是 . ? π 5π ? 【解析】 ? , ? ; ?6 6 ? 3. (2010 全国Ⅰ 17、文 18) 理 △ ABC 的内角 A , B 及其对边 a , b .满足 a ? b ? a cot A ? b cot B ,求内角 C . 已知 π 【解析】 C ? . 2

目标班
?π ? ?π ? 1.函数 y ? 2sin ? ? x ? ? cos ? ? x ? 的最小值等于 ( ?3 ? ?6 ?

) D. ? 5

A. ?3 【解析】 C; 2. (2009 安徽 14)

B. ?2

C. ?1

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??? ? ??? ? 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120? .如图所示,点 ???? ??? ? ??? ? C 在以 O 为圆心的圆弧 ? 上变动.若 OC ? xOA ? yOB ,其中 x ,y ? R , AB 则 x ? y 的最大值是 . 【解析】 2 ;

C B

O

A

3. (2011 朝阳一模理 15)

3 在锐角 △ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知 cos 2C ? ? . 4 ⑴ sin C ;⑵ c ? 2a ,且 b ? 3 7 时,求 a . 求 当 14 【解析】 ⑴ sin C ? . 4
⑵ a ? 14 .

目标 123 班
sin 50? cos10? ? 3 sin10?
1. A.

?

sin80?
B. ?

? 的值为(
1 2

) C. 1 D. ?1

1 2 【解析】 C;

2.(2010 崇文二模文 8) 设 O 为坐标原点, A(1, 1) ,若点 B 是不等式组
? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1≥ 0 ? 表示的平面区域内的动点, ?1 ≤ x ≤ 2 ?1 ≤ y ≤ 2 ? ??? ??? ? ? 则 OA ? OB 的最小值为( )

y 2 B

A. 2

B. 2

C. 3

D. 2 ? 2
1 A C

【解析】C; 3. (2011 浙江理 18) b c 在 △ ABC 中,角 A ,B ,C 所对的边分别为 a , , , 1 已知 sin A ? sin C ? p sin B ? p ?R ? ,且 ac ? b2 . 4 5 ⑴ p ? , ? 1 时,求 a , 的值; 当 b c 4 ⑵ 若角 B 为锐角,求 p 的取值范围. 【解析】 ⑴ 1 ?a ? 1 ? ? ?a ? 或? 4; ? 1 ?c ? 4 ?c ? 1 ? ?

6 ? p? 2. 2

O

1

2

x

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第3讲

数列与不等式

直击 2011 高考
第 11 题,5 分 在等比数列 ?an ? 中,若 a1 ?

1 , a4 ? ?4 ,则公比 q ? 2

; a1 ? a2 ? ? ? an ?



1 【解析】 ?2 ; 2n?1 ? . 2 第 20 题,13 分 若 数 列 An : a1 , 2 , , n ? n ≥ 2? 满 足 ak ?1 ? ak ? 1? k ? 1 2 ?, ? ?1, 则 称 An 为 E 数 列 . 记 a ? a ,, n
⑴写出一个满足 a1 ? a5 ? 0 ,且 S ? A5 ? ? 0 的 E 数列 A5 ; ⑵若 a1 ? 12 , n ? 2000 ,证明: E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an ? 2011 ; ⑶对任意给定的整数 n ? n≥ 2 ? ,是否存在首项为 0 的 E 数列 An ,使得 S ? An ? ? 0 .如果存在,写出一个 满足条件的 E 数列 An ;如果不存在,说明理由. 1 1 0 1 0 1 0 【解析】 ⑴ A5 : 0 , ,2 , , 或 0 , , , , 均满足要求. ⑵ 必要性: 若 ?an ? 递增,则 ak ?1 ? ak ? ak ?1 ? ak ? 1 , 1 ≤ k ≤ n ? 1 ; 充分性: 若 a2000 ? 2011 ,则: a2000 ? a1 ? 1999 ; 而 a2 ? a1 ≤ a2 ? a1 ? 1 ; a3 ? a2 ≤ a3 ? a2 ? 1 ;……; a2000 ? a1999 ≤ a2000 ? a1999 ? 1 ; 把这些式子全部相加即得 a2000 ? a1 ≤1999 , 等号成立说明上面的所有等号都要成立; 故 a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? ? ? a2000 ? a1999 ? 1 ,
S ? An ? ? a1 ? a2 ? ? ? an .

于是 ?an ? 为公差为 1 的等差数列, a2000 ? a1 ? 1999 ? 2011 ;故必要性成立;

于是 ?an ? 为公差为 1 的等差数列, ?an ? 递增;故充分性成立. ⑶ n ? 4k 或 4 k ? 1 (k ?N* ) 时,存在满足条件的“ E 数列”

知识纵横

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解析法:an=f (n) 概念 通项公式 递推公式 数列 等差数列 等比数列 an≠0,q≠0 表示 图象法 列表法

数列是特殊的函数

等差数列与等比数列的类比 an=a1+(n-1)d an+am=ap+ar 前 n 项和 n(a1+an) Sn= 2 an=a1qn-1 anam=apar 前 n 项积(an>0) Tn= (a1an)n 叠加法 叠乘法 q 构造等比数列{an+ } p-1 构造等差数列{1/an} an} an+1 p an 化为 n = · n-1+1 转为③ q q q

通项公式 求和公式 性质 判断

?na1,q=1 n Sn=?a1(1-q ) ,q≠1 ? 1-q
常见递推类型及方法

①an+1-an=f (n) ② an + 1 =f (n) an

③an+1=pan+q ④pan+1an=an-an+1 ⑤an +1=pan+qn

公式法:应用等差、等比数列的前 n 项和公式 倒序相加法 常见求和方法 分组求和法 裂项求和法 错位相减法 不等式的性质 一元二次不等式 可行域 不等式 简单的线性规划 目标函数 应用题 一次函数:z=ax+by z= y-b :构造斜率 x-a
几何意义: z 是直线 ax+by-z =0 在 x 轴上截距 的 a 倍,y 轴上截 距的 b 倍.

借助二次函数的图象

三个二次的关系

z= (x-a)2+(y-b)2:构造距离 和定值,积最大;积定值,和最小. 应用时注意:一正二定三相等 a+b 2ab ≤ ab≤ ≤ 2 a+b a2+b2 2

基本不等式: a+b ab≤ 2 (a>0,b>0)

最值问题 变形

方法引导

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(2009 安徽文) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n2 ? 2n ,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? 2 ? bn . ⑴ 求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式;
2 ⑵ 设 cn ? an ? bn ,证明:当且仅当 n ≥ 3 时, cn ?1 ? cn . 1 1 1 Tn ? ⑶求证: ? ? ? ? 对所有 n ? N* 恒成立. S1 S2 Sn 2

. 【解析】 ⑴ bn ? 21?n .
2 ⑵ cn ? an ? bn ? n2 25?n ,得 由

cn ?1 1 ? 1 ? ? ?1 ? ? . cn 2? n? 1 4 当且仅当 n ≥ 3 时, 1 ? ≤ ? 2 ,即 cn ?1 ? cn . n 3
n

2

?1? 1? ? ? n 1 ? 2 ? ? 2 ?1 ? ? 1 ? ? . ⑶ {bn } 是首项为 1 ,公比为 的等比数列,故 Tn ? ? ? ? ? 1 2 ? ?2? ? ? ? 1? 2 1 1 1?1 1 ? ? ? ? 又 Sn ? 2n2 ? 2n ,故 ? ?, Sn 2n(n ? 1) 2 ? n n ? 1 ?

于是 ∵

1 1 1 1? 1 1 1 1 1 ? 1? 1 ? ? ??? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?, S1 S2 Sn 2 ? 2 2 3 n n ?1? 2 ? n ?1?
n

1 1 1 1 1? 1 ? 1 Tn ?1? ? ??? ? ?1 ? ? ? , ?1? ? ? ≥ , 2 2 S1 S2 Sn 2 ? n ? 1 ? 2 ?2? 1 1 1 Tn ? 故 ? ??? 对所有正整数 n 恒成立. S1 S2 Sn 2

例题精讲
考点: 数列基本知识


【例1】 ⑴ (2010 辽宁理 6) S S 设 ?an ? 是由正数组成的等比数列, n 为其前 n 项和. 已知 a2 a4 ? 1 , 3 ? 7 , S5 ? 则 (

15 31 B. 2 4 ⑵ (2009 广东五校联合测试)
A.

C.

33 4

D.

17 2
则 ? 2 , S2008 ?( )

在等差数列 ?an ? 中,a1 ? ?2008 , 其前 n 项的和为 Sn . 若

S72 52 S 0 0 ? 27 25 0 0 0 0

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A. ?2007 B. ?2008 C. 2007 D. 2008 ⑶ (2009 海淀一模 12) 已知 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,若 Sn ? 1 ? nan ? n ? 1, , , ? ,则 Sn 关于 n 的表达式为 2 3 ? . Sn ? ⑷ (2011 朝阳二模 12) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 ,且 an?1an ? an ?1 ? 2an ? 0 , n ? N? ,则 a2 ? __________;并归纳 出数列 ?an ? 的通项公式 an ? _____________. 【解析】 ⑴B. ⑵B; n ⑶ ; n ?1 2n 4 ⑷ , n ; 3 2 ?1

【备选】 (2008 北京二中高三期中测试 9)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 0 ,若存在自然数 p ≥ 10 ,使得 S p ? a p ,则当 n ? p 时, Sn 与 a n 的大小关系是( ) A. an ? Sn 【解析】 A; B. an ≥ Sn C. an ? Sn D. an ≤ Sn

考点:

数列与其它知识综合

【例2】 ⑴ (2008 四川理 7) 已知等比数列 {an } 中, a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是( ) ? 0) ? ? ? ? A. (?? , 1] B. (?? , ? (1, ?) C. [3 , ?) D. (?? , 1] ? [3 , ?) ⑵ (2011 江苏盐城一模 13) b 2a { a 已知 {an } 是公差不为 0 的等差数列, bn } 是等比数列, 其中 a1 ? 2 , 1 ? 1 , 2 ? b2 , 4 ? b3 , 且存在常数 ? ,? ,使得 an ? log? bn ? ? 对每一个正整数 n 都成立,则 ? ? ? ______. ⑶ (2011 东城二模理 14) 1 2 2 对任意 x ? R ,函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? ? f ( x)? ? ,设 an ? ? f (n)? ? f (n) ,数列 2 31 . ?an ? 的前 15 项的和为 ? ,则 f (15) ? 16 【解析】 ⑴D; ⑵ 4; 3 ⑶ ; 4

【备选】 (2011 丰台二模理) 如图所示, ?AOB ? 1rad ,点 A1 , A2 ,…在 OA 上,点 B1 , B2 ,…在 OB 上,其中的每一个 实线段和虚线段的长均为 1 个长度单位,一个动点 M 从 O 点出发,沿着实线段和以 O 为圆

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心的圆弧匀速运动,速度为 l 长度单位/秒,则质点 M 到达 A3 点处所需要的时间为____秒, 质点 M 到达 An 点处所需要的时间为_____秒. 1 3 1 1 【解析】 于是当 n 为偶数时, an ? n2 ? n ? n(n ? 3) ;当 n 为奇数时, an ? n(n ? 1) . 2 2 2 2

考点:

数列非常规题

【例3】 ⑴ (2008 朝阳二模理 14) 把形如 M ? m n (m , n?N* ) 的正整数表示成各项都是整数、公差为 2 的等差数列的前 m 项 的和, 称作“对 M 的 m 项分划”. 例如, 9 表示成 9 ? 32 ? 1 ? 3 ? 5 , 把 称作“对 9 的 3 项分划”, 3 把 64 表示成 64 ? 4 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ,称作“对 64 的 4 项分划”. 据此,对 324 的 18 项分划中最大的数是_____;若 M ? m3 的 m 项分划中第 5 项是 281 ,则 m 的值是_____. ⑵ (2010 海淀一模理 8) 已 知 数 列 A : a1 ,a 2 ? an ? ≤ a ? a ?2? ? an n ≥ ? 具 有 性 质 P : 对 任 意 , , 0 1 , 3
i , j ?1≤ i ≤ j ≤ n ? , a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个是该数列中的一项.现给出以下

四个命题: ① 数列 0 , 1 , 3 具有性质 P ; ② 数列 0 , 2 , 4 , 6 具有性质 P ; ③ 若数列 A 具有性质 P ,则 a1 ? 0 ;
a a ④ 若数列 a1 , 2 , 3 具有性质 P ,则 a1 ? a3 ? 2a2 . 其中真命题有( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个

⑶ (2011 海淀二模理 13)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? t , an ?1 ? an ? 2 ? 0 t ? N? , ? N? ,记数列 n

?an ? 的前 n 项和的最大值为 f (t ) ,则 f (t ) ?
?3an ? 5 ,an为奇数 , ? an ?1 ? ? an ? k , an为偶数.(k为使an ?1为奇数的正整数) ?2 ① a1 ? 11 时, a100 ? _______. 当

?

?



⑷ (2011 西城一模理 14) 已知数列 ?an ? 的各项均为正整数,对于 n ? 1 ,2,3,…,有

② 若存在 m ? N? ,当 n ? m 且 a n 为奇数时, a n 恒为常数 p ,则 p 的值为_____. 【解析】 ⑴ 35 , 17 ; ⑵B; ? (t ? 1) 2 ,为奇数 t ? ? ⑶ f (t ) ? ? 4 ; ? t (t ? 2) ,为偶数 t ? 4 ? ⑷ 62 ; 1 或 5 . 【备选】 (2011 西城二模 7) 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? n ? 13 ,那么满足 ak ? ak ?1 ? ? ? ak ?19 ? 102 的整数 k ( A.有 3 个 B.有 2 个 C.有 1 个 D.不存在



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【解析】 B;

考点:

不等式常规题型

【例4】 ⑴ (2010 重庆理 7) 已知 x ? 0 , y ? 0 , x ? 2 y ? 2 xy ? 8 ,则 x ? 2 y 的最小值是( ) 9 11 A.3 B.4 C. D. 2 2 ⑵ (2010 山东理 14) x 若对任意 x ? 0 , 2 ≤ a 恒成立,则 a 的取值范围是______. x ? 3x ? 1 ⑶ (2010 天津文 16) 1 设函数 f ( x) ? x ? ,对任意 x ??1, ?? , f (mx) ? mf ( x) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范 ? x 围是 . 【解析】 ⑴B. ?1 ? ⑵ ? ,? ? ? ; ?5 ? ⑶ (?? ,? 1) ; 【备选】 (2010 天津理 16)
?3 ? ?x? 设函数 f ( x) ? x2 ? 1 ,对任意 x ? ? ,? ? ? , f ? ? ? 4m 2 f ( x) ≤ f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立,则 ?2 ? ?m? 实数 m 的取值范围是 . ? ? ? 3 ? 3 【解析】 ? ?? ,? ? ? ? ,? ? ? ; ? ? 2 ? ? 2 ? ?

考点:

数列与不等式

【例5】 (2011 海淀高三期中测试理 18) 2 3 ? 已知数列 {an } 满足: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? n ? an ,(n ? 1, , , )
a a ⑴ 求 a1 , 2 , 3 的值;

⑵ 求证:数列 {an ? 1} 是等比数列;

1 3 ? , ⑶ 令 bn ? (2 ? n)(an ? 1)( n ? 1,2 , , ) 如果对任意 n ? N* , 都有 bn ? t ≤ t 2 , 求实数 t 的 4 取值范围. 1 【解析】 ⑴a1 ? ; 2 3 a2 ? ; 4 7 a3 ? ; 8 ⑵ 由题可知: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ? n ? an ①
a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an?1 ? n ? 1 ? an?1



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② -① 可得 2an?1 ? an ? 1 , 1 1 即: an?1 ? 1 ? (an ? 1) ,又 a1 ? 1 ? ? , 2 2 1 1 所以数列 {an ? 1} 是以 ? 为首项,以 为公比的等比数列; 2 2 1? ?1 ? ? ? ⑶ 实数 t 的取值范围是 ? ??, ? ? ? ? , ? ? . 4? ?2 ? ?

考点:

数列与不等式综合

【例6】 (2008 天津理 22) 在数列 ?an ? 与 ?bn ? 中,a1 ? 1 ,b1 ? 4 ,数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 nSn ?1 ? (n ? 3)Sn ? 0 ,2an ?1 为 bn 与 bn ?1 的等比中项, n ? N* . ⑴ a 2 , b2 的值; 求 ⑵ 求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; ⑶ Tn ? (?1)a1 b1 ? (?1)a2 b2 ? ? ? (?1)an bn , n ? N* ,证明 | Tn |? 2n2 , n ≥ 3 . 设 【解析】 ⑴a2 ? 3 .
b2 ? 9 . n(n ? 1) ⑵ an ? 对任何的 n ? N* 都成立. 2 即 bn ? (n ? 1)2 , n ≥ 1 .

⑶ Tn ? (?1)a1 b1 ? (?1)a2 b2 ? ? ? (?1)an bn ? ?22 ? 32 ? ? ? (?1)

n ( n ?1) 2

(n ? 1)2 .

当 n ? 4k , k ? N* 时, Tn ? ?22 ? 32 ? 42 ? 52 ? ? ? (4k ? 2)2 ? (4k ? 1)2 ? (4k )2 ? (4k ? 1)2 . 注意到 ?(4k ? 2)2 ? (4k ? 1)2 ? (4k )2 ? (4k ? 1)2 ? 32k ? 4 , k (k ? 1) 故 Tn ? 32 ? (1 ? 2 ? ? ? k ) ? 4k ? 32 ? ? 4k 2 ? 4k (4k ? 4) ? 4k ? (4k )2 ? 3 ? 4k ? n2 ? 3n . 当 n ? 4k ? 1 , k ? N* 时, Tn ? (4k )2 ? 3 ? 4k ? (4k ? 1)2 ? (n ? 1)2 ? 3(n ? 1) ? (n ? 2)2 ? n . 当 n ? 4 k ? 2 , k ? N* 时, Tn ? (4k )2 ? 3 ? 4k ? (4k ? 1)2 ? (4k )2 ? 3(n ? 2) ? (n ? 3)2 ? ?n2 ? 3n ? 3 . 当 n ? 4 k ? 3 , k ? N* 时, Tn ? (4k )2 ? 3 ? 4k ? (4k ? 1)2 ? (4k )2 ? (4k ? 1)2 ? 3(n ? 3) ? (n ? 4)2 ? (n ? 2)2 ? ?n ? 3 .
n ? 4k ? 3 ??n ? 3 , ? 2 ??n ? 3n ? 3 ,n ? 4k ? 2 ( k ? N* ) . 所以, Tn ? ? n, n ? 4k ? 1 ? ?n 2 ? 3n , n ? 4k ?

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?1 3 n ? 5, , , 9 13 ? ? n ? n2 ? 2 ? ?1 ? 3 ? 3 ? 2 n ? 6, , , 10 14 ? | Tn | ? n n 2 从而 n ≥ 3 时,有 2 ? ? n ?1 ? 2 n ? 3, , , 7 11 ? ?n ? 3 ?1 ? ? 2 n ? 4, , , 8 12 ? ? n |T | 总之,当 n ≥ 3 时有 n ? 2 ,即 | Tn |? 2n2 . n2 【备选】 (2008 湖北理 21) 2 已知数列 {an } 和 {bn } 满足: a1 ? ? ,an?1 ? an ? n ? 4 ,n ? (?1)n (an ? 3n ? 21) ,其中 ? 为实数, b 3 n 为正整数. ⑴ 对任意实数 ? ,证明数列 {an } 不是等比数列;

⑵ 试判断数列 {bn } 是否为等比数列,并证明你的结论; ⑶ Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有 Sn ? ?12? 若存 设 在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由. 2 【解析】 ⑴ 假设存在一个实数 ? ,使 ?an ? 是等比数列,则有 a2 ? a1a3 ,
4 4 ?2 ? ?4 ? 即 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? 4 ? ? ? 2 ? 4? ? 9 ? ? 2 ? 4? ? 9 ? 0 ,矛盾. 9 9 ?3 ? ?9 ? 所以 ?an ? 不是等比数列.
2

⑵∵bn ?1 ? (?1)n ?1 ? an ?1 ? 3 ? n ? 1? ? 21? ? ? ?1? ? ?

n ?1

?2 ? ? an ? 2n ? 14 ? ?3 ?

2 2 n ? ?1? (an ? 3n ? 21) ? ? bn , 3 3 又 b1 ? ? ? ? ? 18? ,所以当 ? ? ?18 , bn ? 0 ? n ?N* ? ,此时 ?bn ? 不是等比数列; ??
b 2 当 ? ? ?18 时, b1 ? ? ? ? ? 18? ? 0 ,由上可知 bn ? 0 ,∴ n ?1 ? ? ( n ? N* ) . bn 3

2 故当 ? ? ?18 时,数列 ?bn ? 是以 ? ? ? ? 18? 为首项, ? 为公比的等比数列. 3 ? ⑶ ? 的取值范围为 (?? , 6) .

头脑风暴
1. (2011 江苏 13) a a a 设 1 = a1 ≤ a2 ≤? ≤ a7 , 其中 a1 , 3 , 5 , 7 成公比为 q 的等比数列,a2 ,a4 ,a6 成公差为 1 的 等差数列,则 q 的最小值是________. 【解析】 3 3 ;

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2. (2011 西城一模文 8) 某次测试成绩满分为 150 分,设 n 名学生的得分分别为 a1 , 2 , , n ( ai ?N ,1 ≤ i ≤ n ) , a ? a 为 记 则 ) bk( 1 ≤ k ≤ 150 ) n 名学生中得分至少为 k 分的人数. M 为 n 名学生的平均成绩. ( b ? b ? ? ? b150 b ? b ? ? ? b150 A. M ? 1 2 B. M ? 1 2 n 150 b ? b ? ? ? b150 b ? b ? ? ? b150 C. M ? 1 2 D. M ? 1 2 n 150 【解析】 A;

实战演练
【演练1】 (2008 宣武一模理 2) 设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q ,则“ a1 ? 0 且 0 ? q ? 1 ”是“对于任意 n ? N? 都有 ) an?1 ? an ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【解析】 A; 【演练2】 若对任意 x ? R ,
?1 ? 【解析】 ? ,? ? ? ; 2 ? ?
2

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

x ≤ a 恒成立,则 a 的取值范围是______. x ?1

【演练3】 (2011 东城一模理 14) 已知数列 ?an ? 满足:a1 ? 1 ,a2 ? 2 ,a3 ? 3 ,a4 ? 4 ,a5 ? 5 , 且当 n ≥ 5 时,an?1 ? a1a2 ?an ? 1 ,
2 若数列 ?bn ? 满足对任意 n ? N* , bn ?aa 2 ? n a 1 a 有 a ? ? 1 2 2 ? ? ? a 2 n

, b5 ? 则

; n≥ 5 当

时, bn ? 【解析】 65 ,70 ? n ; 【演练4】 (2011 浙江理 19)



已知公差不为 0 的等差数列 ?an ? 的首项 a1 为 a( a ? R ) 设数列的前 n 项和为 Sn , , 且
1 成等比数列. a4

1 1 , , a1 a2

⑴ 求数列 {an } 的通项公式及 Sn ; 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ??? ⑵ An ? ? 记 , Bn ? ? ? ,当 n ≥ 2 时,试比较 An 与 Bn 的 S1 S2 S3 Sn a1 a2 a22 a2n?1 大小.

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【解析】 ⑴ an ? a ? (n ? 1)d ? na ;

a ? na n(n ? 1)a ; ?n ? 2 2 ⑵ 故当 a ? 0 时,有 An ? Bn ;当 a ? 0 时, An ? Bn . Sn ?

大千世界
(2011“华约”13)
2x 1 ?1? 2 ,f ?1? ? 1 ,f ? ? ? .令 x1 ? ,xn?1 ? f ? xn ? . ax ? b 2 ?2? 3 ⑴ 求数列 ?xn ? 的通项公式;

已知函数 f ? x ? ?

⑵ 证明 x1 x2 ? xn ?1 ? 【解析】 . ⑴

1 . 2e

xn ?

2n?1 ; 2n?1 ? 1

⑵ 要证 x1 x2 ? xn ?1 ?

1 ,即证 ln x1 ? ln x2 ? ? ? ln xn?1 ? ? ln(2e) , 2e ? ? 1 ?0 ? ? ? 1 ?1 ? ? ? 1 ?n ? 即证 ln ?1 ? ? ? ? ? ln ?1 ? ? ? ? ? ? ? ln ?1 ? ? ? ? ? ln(2e) ? 1 ? ln 2 . ? ? 2? ? ? ?2? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 易知 ln(1 ? x) ≤ x ,对 x ≥ ?1 恒成立.
?1? ?1? ?1? 故左边 ≤ ln 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ln 2 ? 1 ? ? ? ? 1? ln2 ,命题得证; ?2? ?2? ? 2?
1 n n

学案
尖子班
b c d 1.已知 a , , , 为实数,且 c ? d .则“ a ? b ”是“ a ? c ? b ? d ”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 B;



2.在数列 {an } 中,对任意 n ? N* ,都有

an ? 2 ? an ?1 ? k (k 为常数) ,则称 {an } 为“等差比数列”. an ?1 ? an

下面对“等差比数列”的判断:①k 不可能为 0 ;② 等差数列一定是等差比数列;③ 等比数列一定是等

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差比数列;④ 通项公式为 an ? a ? bn ? c(a ? 0 , ? 0 , 的数列一定是等差比数列,其中正确的个数 b 1) 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 B; 3. (2011 海淀高三期中测试理 16) 在等比数列 {an } 中, an ? 0(n ?N* ) ,且 a1a3 ? 4 , a3 ? 1 是 a 2 和 a 4 的等差中项. ⑴ 求数列 {an } 的通项公式;
3 ? ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . ⑵ 若数列 {bn } 满足 bn ? an ?1 ? log2 an ( n ? 1,2 , , )

【解析】 ⑴ 数列 {an } 通项为 an ? 2n?1 ; ⑵ bn ? 2n ? n ? 1 , n(n ? 1) Sn ? 2n ?1 ? 2 ? . 2

目标班
1. (2009 朝阳二模文 6) 1 1 若 a , b ? R ,则 3 ? 3 成立的一个充分不必要条件是( a b A. a ? b ? 0 B. b ? a C. ab ? 0
【解析】 A. 2.若数列 ?an ? 满足
2 an ?1 ? p , p 为正常数, n ? N* ) ( ,则称 ?an ? 为“等方比数列”. 2 an

) D. ab(a ? b) ? 0

甲:数列 ?an ? 是等方比数列;乙:数列 ?an ? 是等比数列,则( A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【解析】 B; 3. (2011 新课标 17) a 等比数列 {an } 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, 32 ? 9a2 a6 . ⑴ 求数列 {an } 的通项公式.



?1? ⑵ bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ,求数列 ? ? 的前 n 项和. 设 ? bn ? 1 【解析】 ⑴ an ? n . 3

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⑵ ?

2n . n ?1

目标 123 班
1. (2011 浙江理 7) 若 a 、 b 为实数,则“ 0 ? ab ? 1 ”是“ a ? A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【解析】 A;

1 1 或 b ? ”的( ) b a B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2. (2010 石景山一模文、理 14) 2 2 在数列 ?an ? 中,若 an ? an?1 ? p , n ≥ 2, n ? N? , p 为常数) ( ,则称 ?an ? 为“等方差数列”. 下列是对“等方差数列”的判断:
2 ① ?an ? 是等方差数列,则 an 是等差数列; 若

② (?1)n 是等方差数列; ③ ?an ? 是等方差数列,则 ?akn ? ( k ? N? , k 为常数)也是等方差数列; 若 ④ ?an ? 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列. 若 其中正确命题序号为 【解析】 ① ③ ; ② ④ . (将所有正确的命题序号填在横线上)

?

?

? ?

3. (2011 山东理 20) a a 等比数列 {an } 中, a1 , 2 , 3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a 2 , a 3 中的任何两 个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 10 2 第一行 3 4 14 第二行 6 8 18 第三行 9 ⑴ 求数列 {an } 的通项公式; ⑵ 若数列 {bn } 满足: bn ? an ? (?1)n ln an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 【解析】 ⑴ an ? 2 ? 3n ?1 ; ⑵ bn ? 2 ? 3n?1 ? (?1)n ln 2 ? (?1)n (n ? 1)ln3 . 当 n 为偶数时, n ln 3 ; Sn ? 3n ? 1 ? 2 当 n 为奇数时, (n ? 1)ln 3 Sn ? 3n ? 1 ? ln 2 ? . 2

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第4讲

计数原理 与概率统计

直击 2011 高考
第 12 题,5 分 用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共有 个. (用数字作答) 【解析】 14. 第 17 题,13 分 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图 中以 X 表示.
甲组 9 9 1 1 乙组 X 8 9 0

0 1

⑴如果 X ? 8 ,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; ⑵如果 X ? 9 ,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数 Y 的分布列和数学 期望. 2 2 2 1 (注:方差 s 2 ? ? x1 ? x ? x2 ? x ? ? ? xn ? x ? ,其中 x 为 x1 , x 2 ,…, x n 的平均数) ? ? ? n? 35 【解析】 ⑴ 平均数为 ; 4 11 方差为 . 16 ⑵ Y 的分布列为 17 18 19 20 21 Y P 1 1 1 1 1 4 4 4 8 8 E (Y ) ? 19 .

?

? ?

?

?

?

知识纵横
两个原理 计数原理 排列与组合 排列数:A n = 组合数:C n = 通项公式 二项式定理 二项式系数性质 Cn+Cn+?+Cn = 2n
0 1 n m m

分类加法计数原理与分步乘法计数原理 n! (n-m)! 性质 Cn = C n
m m n-m

n! m!(n-m)!

r - Cn+1 = C n +C n Tr+1 = Cn an r br 二轮复习·第 1 讲·尖子-目标-目标 123·教师版 首末两端“等距离”两项的二项式系数相等

m

m-1

33

Cn+Cn+Cn+?=Cn+Cn+Cn+?=2n

0

2

4

1

3

5

-1

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方法引导
(2011 朝阳一模 17) 在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投 6 个球,至少投进 4 个球且最后 2 个球都 2 投进者获奖;否则不获奖,已知教师甲投进每个球的概率都是 . 3 ⑴ 设教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X ,求 X 的分布列及数学期望; ⑵ 求教师甲在一场比赛中获奖的概率; ⑶ 已知教师乙在某场比赛中, 个球中恰好投进了 4 个球, 6 求教师乙在这场比赛中获奖的概率; 教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗?

例题精讲
考点: 排列组合、二项式定理常规问题

【例7】 ⑴ (2011 朝阳二模 5) 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从 1,2,3, 4,5,6 这六个数字中任取 3 个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有( ) A.120 个 B.80 个 C.40 个 D.20 个 ⑵ (2011 西城一模 13) 某展室有 9 个展台,现有 3 件展品需要展出,要求每件展品独自占用 1 个展台,并且 3 件展 品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有______种;如果进一步要求 3 件展品所选用的展台之间间隔不超过 2 个展台,则不同的展出方法有______种. ⑶ (2010 湖北理 8) 现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导 游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他 三项工作,丙、丁、戊都能胜四项工作,则不同安排方案的种数是( ) A.152 B.126 C.90 D.54 ⑷ (2011 新课标 8)
a ?? 1? ? ? x ? ?? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为( x ?? x? ? A. ? 40 B. ? 20 C.20 D.40 【解析】 ⑴ C; ⑵ 60 , 48 ; ⑶ B; ⑷ D;
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【备选】 (2009 四川理 11) 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生 相邻,则不同排法的种数是( ) A.360 B.228 C.216 D.96 【解析】 B; 【备选】 (2010 重庆理 9) 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天 1 人,每人值班 1 天,若 7 位员工中的甲、 乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安排方案共有( ) A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种 【解析】 C;

考点:

概率基本知识

【例8】 ⑴ (2011 陕西 10) 甲乙两人一起去游“2011 西安世园会”,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个 进行游览,每个景点参观 1 小时,则最后一小时他们在同一个景点的概率是( ) 1 1 5 1 A. B. C. D. 6 36 9 36 ⑵ (2011 湖南理 15) E H 如图, EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形,将一颗豆 EFGH 内”,B 表 子随机地扔到该圆内, A 表示事件“豆子落在正方形 用 示事件“豆子落在扇形 OHE (阴影部分)内”,则 P ? A? =______; O
P ? B | A? =______ .
F

⑶ (2011 湖北理 7) 如图,用 K 、 A1 、 A2 三类不同的元件连接成一个系统.当 K 正常工作且 A1 、 A2 至少有一 个正常工作时,系统正常工作,已知 K 、 A1 、 A2 正常工作的概率依次为 0.9 、 0.8 、 0.8 , 则系统正常工作的概率为( )

G

A. 0.960 【解析】 ⑴ D; 1 2 ⑵ ; ; π 4 ⑶ B;

B. 0.864

C. 0.720

D. 0.576

【备选】 甲袋中装有 3 个白球与 5 个黑球,乙袋中装有 4 个白球和 6 个黑球,所有白球与黑球的大小形 状完全相同.现从甲袋中随机取到一个球放入乙袋中,充分混合后再从乙袋中随机取出一个 球放回甲袋,则甲袋中白球没有减少的概率为( ) 37 25 35 9 A. B. C. D. 44 44 44 44 【解析】 C;

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考点:

概率与其它内容综合

【例9】 ⑴ (2010 西城一模理 7) ? ? y ≤ x ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? y ≤ ? x ? 1? 已知区域 ? ? ?( x , y ) ? y ≥ 0 ? ,M ? ?( x , y) ? 向区域 ? 内随机投一点 P , ?, ?y≥0 ? ? x ≤1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 点 P 落在区域 M 内的概率为( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 2 3 3 ⑵ (2011 朝阳二模 14) ) 已 知 函 数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1 , 且 a ? ( 0, 3 , 则 对 于 任 意 的 b ? R , 函 数 F ( x) ? f ( x) ? x 总有两个不同的零点的概率是____________. ⑶ (2010 浙江文 17) 在平行四边形 ABCD 中, O 是 AC 与 BD 的交点, P , Q , M , N 分别是线段 OA 、 OB 、 OC 、 OD 的中点.在 A , P , M , C 中任取一点记为 E ,在 B , Q , N , D 中任取一点 ???? ??? ??? ? ? 记为 F .设 G 为满足向量 OG ? OE ? OF 的点,则上述的点 G 组成的集合中的点,落在平行 四边形 ABCD 外(不含边界)的概率为___________. 【解析】 ⑴C; 1 ⑵ ; 3 3 ⑶ ; 4 【备选】 (2009 安徽理 10) 考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中任意选 两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( ) 1 2 3 4 A. B. C. D. 75 75 75 75 【解析】 D; 考点: 离散型随机变量的期望与方差

【例10】 ⑴ (2007 浙江 15) 随机变量 X 的分布列如下: 0 X ?1 1

P

a

b

c

1 b c 其中 a , , 成等差数列,若 E ( X ) ? ,则 D ( X ) ? _______. 3 ⑵ 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a , 2 分的概率为 b , 得 不得分的概率为 c( a 、b 、

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37

,则 ab 的最大值为 c ??0 , ? ) 1 ,已知他投篮一次得分的数学期望为 2(不计其它得分情况) ( ) B.

1 A. 48 5 【解析】 ⑴ ; 9 ⑵ D;
考点: 统计小题

1 24

C.

1 12

D.

1 6

【例11】 ⑴ (2011 东城一模 11) 从某地区随机抽取 100 名高中男生,将他们的体 重(单位: kg )数据绘制成频率分布直方图(如 图) .由图中数据可知体重的平均值为_____ kg ;
90] 若要从身高在 ?60 , ? , ?70 , ? , [80 , 三组 70 80

内的男生中,用分层抽样的方法选取 12 人参加一 项活动,再从这 12 人选两人当正、副队长,则这 两人身高不在同一组内的概率为 . ⑵ (2010 天津理 11) 甲 乙 甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表 9 8 1 9 7 1 示如下图,中间一列的数字表示零件个数的十位数, 0 1 3 2 0 2 1 4 2 4 两边的数字表示零件个数的个位数,则这 10 天甲、乙 1 1 5 3 0 2 0 两人日加工零件的平均数分别为 和 . ⑶ (2011 海淀一模 10) 为了解本市居民的生活成本,甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每 月日常消费额”的调查,他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示) , 记 甲 、 乙 、 丙 所 调 查 数 据 的 标 准 差 分 别 为 s1 , s 2 , s3 , 则 它 们 的 大 小 关 系 为 _______________. (用“ ? ”连接)
频率 组距
0.0008 0.0006 0.0004 0.0002 0.0008 0.0006 0.0004 0.0002 1000 1500 2000 2500 3000 3500

频率 组距
0.0008 0.0006 0.0004 0.0002 1000 1500 2000 2500 3000 3500

频率 组距

0



0



0

1000 1500 2000 2500 3000 3500









【解析】 ⑴ 64.5 ,

2 ; 3 ⑵ 24 ,23 ;
⑶ s1 ? s2 ? s3 ;

考点:

概率统计大题

【例12】 (2009 湖南理 17) 为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程和产业建设工

38

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程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的

1 1 1 , , .现有 3 名工人独立地从中任 2 6 3

选一个项目参与建设. ⑴ 求他们选择的项目所属类别互不相同的概率; ⑵ 记 ? 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数, ? 的分布列及数学期 求 望. 【解析】 ⑴ 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 1 P? . 6 ⑵ ? 的分布列是 ? 0 1 2 3

P
? 的数学期望 E? ? 2 . .
考点:

1 27

2 9

4 9

8 27

概率与其它知识综合

【例13】 (2011 陕西 20) A 地到火车站共有两条路径 L 1 和 L 2 ,据统计,通过两条路径所用的时间互不影响, 所用时间落在各时间段内的频率如下表: 时间(分钟)
L 1 的频率 L 2 的频率

10~20
0.1

20~30
0.2

30~40
0.3

40~50
0.2

50~60
0.2

0

0.1

0.4

0.4

0.1

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站 ⑴ 为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? ⑵ 用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对⑴ 的选择方案,求 X 的 分布列和数学期望. 【解析】 ⑴乙应该选择 L2 ; ⑵ X 的分布列为 0 X 1 2 0.04 0.42 0.54 P EX ? 1.5 . 【备选】 (2011 安徽理 20) 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进去,且每个人只 派一次,工作时间不超过 10 分钟,如果有一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出,再派下一 个人.现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别 p1 ,p2 ,p3 , 假设 p1 ,p2 ,p3 互不相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立. ⑴ 按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率.若改变三个人被派出的 先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化? ⑵ 若按某指定顺序派人, 这三个人各自能完成任务的概率依次为 q1 ,q2 ,q3 , 其中 q1 ,q2 ,q3

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39

是 p1 ,p2 ,p3 的一个排列,求所需要派出人员数目 X 的分布列和均值(数学期望) EX ; ⑶ 假定 1 ? p1 ? p2 ? p3 ,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目的均 值(数字期望)达到最小. 【解析】 ⑴任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关, 并等于 1 ? (1 ? p1 )(1 ? p2 )(1 ? p3 ) ? p1 ? p2 ? p3 ? p1 p2 ? p2 p3 ? p3 p1 ? p1 p2 p3 .
q q ⑵ 当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为 q1 , 2 , 3 时,随机变量 X 的分布列为 3 X 1 2 P q1 (1 ? q1 )q2 (1 ? q1 )(1 ? q2 )

EX ? 3 ? 2q1 ? q2 ? q1q2 . ⑶优先派出完成任务的概率大的人,可减少所需派出的人员的数目的均值,

头脑风暴
6 名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考,考生答完试卷的先后顺序不一定,每人考 完后立即交卷,则其中一人交卷时为达到通道而打扰其它正在考试的学生的概率为 _________. 43 【解析】 ; 45

实战演练
【演练1】 (2010 山东理 8) 某台小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位、节目乙不能 排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) A.36 种 B.42 种 C.48 种 D.54 种 【解析】 B; 【演练2】 (2008 上海理 7) 0 0 1 2 2 3 在平面直角坐标系中, 从六个点:A? 0 , ? 、B ? 2 , ? 、C ?1,? 、D ? 0 , ? 、E ? 2 , ? 、F ?3 , ? 中任取三个,这三点能构成三角形的概率是 3 【解析】 ; 4 (结果用分数表示) .

【演练3】 (2011 江苏 6) 某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10,6,8,5,6,则该组数据的方差 s 2 ? ___ .

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【解析】

16 ; 5

【演练4】 (2010 朝阳二模理 16) 袋子里有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球,今从袋子里随机取球. ⑴ 若有放回地取 3 次,每次取 1 个球,求取出 1 个红球 2 个黑球的概率; ⑵ 若无放回地取 3 次,每次取 1 个球, ① 求在前 2 次都取出红球的条件下,第 3 次取出黑球的概率; ② 求取出的红球数 X 的分布列和均值(即数学期望) . 【解析】 ⑴ 144 . 343 4 ⑵ ① . 5 ② .

X
P
所以 EX ?

0

1

2

3

4 35 9 . 7

18 35

12 35

1 35

大千世界
(2011 卓越联盟 14) 一个袋子里有 a 个白球和 b 个黑球,从中任取一个球,如果取出白球,则把它放回袋中,如 果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中,重复 n 次这样的操作后,记袋中 的白球的个数为 X n . ⑴ 求 EX 1 ; ⑵ 设 P( X n ? a ? k ) ? pk ,求 P( X n?1 ? a ? k ) , ? 0 , , , , ; k 1 2 ... b
1 ? ? ⑶ 证明: EX n ?1 ? ?1 ? ? EX n ? 1 . a?b? ? 【解析】 ⑴ a2 ? ab ? b ; EX1 ? a?b ⑵ (a ? k ) pk ? (b ? k ? 1) pk ?1 P( X n ?1 ? a ? k ) ? . a?b
b k ?0

p?1 规定为 0 ;

⑶ EX n ? ap0 ? (a ? 1) p1 ? ? ? (a ? b) pb ? ? (a ? k ) pk ;

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41

EX n ?1 ? ? P( X n ?1 ? a ? k ) ? (a ? k ) ,
k ?0

b

(a ? k ) pk ? (b ? k ? 1) pk ?1 , a?b b b (a ? k ) pk ? (b ? k ? 1) pk ?1 (a ? k )2 pk ? (a ? k )(b ? k ? 1) pk ?1 ? (a ? k ) ? ? 故 EX n ?1 ? ? a?b a?b k ?0 k ?0
由⑵知 P( X n?1 ? a ? k ) ?
?? ??
??
b

(a ? k )2 pk ? (a ? k ? 1)(b ? k ) pk (a ? b ? 1)(b ? b) ? pb a?b a?b k ?0
b

(a ? k )2 pk ? (a ? k )(b ? k ) pk ? (b ? k ) pk a?b k ?0
b

b (a ? k )(a ? b) pk ? (b ? k ) pk (b ? a ? a ? k ) pk ? ? ? ? ?(a ? k ) pk ? ? a?b a?b ? k ?0 k ?0 ?

b (a ? k ) pk 1 ? ? ? ? ? ? ?(a ? k ) pk ? ? pk ? ? ?1 ? ? EX n ? 1 . a?b ? ? a?b? k ?0 ?

学案
尖子班 1. (2010 湖北理 4) 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A ,“骰子向上的点数是 3”为 事件 B ,则事件 A , B 中至少有一件发生的概率是( ) 5 1 7 3 A. B. C. D. 12 2 12 4 【解析】 C; 2. (2011 石景山一模 6) 某单位有 7 个连在一起的车位, 现有 3 辆不同型号的车需停放, 如果要求剩余的 4 个车位连在一起, 则不同的停放方法的种数为( ) A.16 B.18 C.24 D.32 【解析】 C; 3. (2010 四川理 17) 某种有奖销售的饮料, 瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样, 购买一瓶若其瓶盖 内印有“奖励一 1 瓶”字样即为中奖,中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料. 6 ⑴ 求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率; ⑵ 求中奖人数 ? 的分布列及数学期望 E? . 25 【解析】 ⑴ ; 216 ⑵ 所以中奖人数 ? 的分布列为: ? 0 1 2 3

42

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P
E? ? 1 2

125 216

25 72

5 72

1 216

目标班 1. (2011 上海 13 改编) 随机抽取一个 4 层楼上的 4 名住户,至少有 2 人住在同一层的概率为________(默认每层楼上的住 户人数相同,结果用最简分数表示) 29 【解析】 ; 32 2. 0, 2, 4 这五个数字组成的无重复数字的四位偶数, 由 1, 3, 按从小到大的顺序排成一个数列 ?an ? , 则 a19 ? ( A. 2014 【解析】 A; ) B. 2034 C. 1432 D. 1430

3. (2010 海淀二模理 17) 为保护水资源,宣传节约用水,某校 4 名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动, 每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家,且每人的选择相互独立. ⑴ 求 4 人恰好选择了同一家公园的概率; ⑵ 设选择甲公园的志愿者的人数为 X ,试求 X 的分布列及期望. 【解析】 ⑴ 1 . 27 ⑵ X 的分布列为: 0 1 2 3 4 X

P

16 81

32 81
4 . 3

24 81

8 81

1 81

X 的期望为 E ? X ? ?

目标 123 班 1. (2010 宣武二模理 7)
2 3 4 5 6 3 5 抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数的样本空间为 S ? ?1, , , , , ? .令事件 A ? ?2 , , ? ,

2 4 5 6 事件 B ? ?1, , , , ? ,则 P( A | B) 的值为(



A.

3 5

B.

1 2

C.

2 5

D.

1 5

【解析】 C; 2. (2009 天津理 16) 1 3 4 5 6 用数字 0 , ,2 , , , , 组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶

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43

数的四位数共有 【解析】 324 ;

个(用数字作答) .

3.(2011 海淀二模 16) 某商场一号电梯从 1 层出发后可以在 2、3、4 层停靠.已知该电梯在 1 层载有 4 位乘客,假设每位 乘客在 2、3、4 层下电梯是等可能的. ⑴ 求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的概率; ⑵ 用 X 表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数,求 X 的分布列和数学期望. 【解析】 ⑴ 65 P ? A? ? . 81 k 4? k ? 2? k ?1? 1 3 ⑵ P( X ? k ) ? C4 ? ? ? ? ? ? ,k ? 0 , ,2 , ,4 . ? 3? ? 3? 0 1 2 3 4 X 16 32 24 8 1 P 81 81 81 81 81 4 E? X ? ? . 3

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第5讲

平面解析几何

直击 2011 高考
第 14 题,5 分 曲线 C 是平面内与两个定点 F1 ? ?1, ? 和 F2 ?1, ? 的距离的积等于常数 a2 ? a ? 1? 的点的轨迹. 给出下列 0 0 三个结论: ① 曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称;

1 ③若点 P 在曲线 C 上,则 △F1PF2 的面积不大于 a 2 . 2 其中,所有正确结论的序号是 . 【解析】 ② ③
第 19 题,14 分 x2 已知椭圆 G : ? y2 ? 1 ,过点 ? m , ? 作圆 x2 ? y 2 ? 1 的切线 l 交椭圆 G 于 A , B 两点 0 4 ⑴求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; ⑵将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的最大值. 【解析】 ⑴ 焦点坐标为 ? 3 ,0 ,离心率 e ? ⑵ AB 的最大值为 2 .
B

y l A O x

?

?

3 ; 2

知识纵横

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45

倾斜角和斜率

倾斜角的变化与斜率的变化 重合

位置关系 直线 截距 注意:截距可正、 可负,也可为 0.

平行 相交 垂直

A1B2-A2B1=0 A1B2-A2B1≠0 A1A2+B1B2=0

点斜式:y-y0=k(x-x0) 斜截式:y=kx+b 两点式: y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 注意各种形式的转 化和运用范围.

直线方程的形式

两直线的交点

x y 截距式: + =1 a b 一般式:Ax+By+C=0 | Ax0+By0+C | A +B
2 2

距离

点到线的距离:d=

| C1-C2 | ,平行线间距离:d= A2+B2

圆的标准方程 圆的一般方程 圆 直线与圆的位置关系 两圆的位置关系 曲线与方程 椭圆 圆锥曲线 双曲线 抛物线 性质 离心率 相离 相切 相交 ?<0,或 d>r ?=0,或 d=r ?>0,或 d<r

轨迹方程的求法:直接法、定义法、相关点法 定义及标准方程 范围、 对称性、 顶点、 焦点、 长轴 (实轴) 、 短轴 (虚轴) 渐近线 、 (双曲线) 准线 、 (只 要求抛物线)

关于点(a,b)对称 点(x1,y1) ───────→点(2a-x1,2b-y1)

中心对称 对称性问题 轴对称

关于点(a,b)对称 曲线 f (x,y) ───────→曲线 f (2a-x,2b-y)

点(x1,y1)与点(x2,y2)关于 直线 Ax+By+C=0 对称 特殊对称轴 x±y+C=0

?A·x1+x2+B·y1+y2+C=0 ? 2 2 ?y2-y1 A ? ?x2-x1·(-B)=-1
直接代入法



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例题精讲
考点: 直线与圆

【例1】 ⑴ (2008 天津 15) 1) 已知圆 C 的圆心与点 P(?2 , 关于直线 y ? x ? 1 对称.直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 与圆 C 相交于 A , 两点,且 | AB |? 6 ,则圆 C 的方程为 B . ⑵ (2011 山东 8) x2 y 2 b 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , ? 0 )的两条渐近线均和圆 C : x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 相切, a b 且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( ) x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 A. ? B. ? C. ? D. ? ?1 ?1 ?1 ?1 5 4 4 5 3 6 6 3 ⑶ (2011 江西 9) 若曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 与曲线 C2 : y ( y ? mx ? m) ? 0 有四个不同的交点,则实数 m 的 取值范围是( ) ? ? ? ? ? 3 3 3 3? A. ? ? B. ? ? , ? , ? ? ?0, ? 0? ? ? 3 ? 3 3 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 3? 3? ? 3 C. ? ? D. ? ?? ,? , ? ??? ? ? ? 3 ,? ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? ? ⑷ (2008 海淀一模文 8) 已知点 P( x ,y) 是直线 kx ? y ? 4 ? 0 (k ? 0) 上一动点, PA , PB 是圆 C : x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的 两条切线, A , B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( ) 21 A.3 B. C. 2 2 D.2 2 【解析】 ⑴ x2 ? ( y ? 1)2 ? 18 ; ⑵A; ⑶B; ⑷ D;
y

【备选】 (2009 江南十校素质测试) 已 知 P 是 抛 物 线 y2 ? 2x 上 的 一 个 动 点 , 过 P 作 圆
( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 的切线,切点分别为 M 、 N ,则 MN 的最小

A

C B O x

值是__________. 4 5 【解析】 ; 5

y P M

P
O N A(3,0) x

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47

考点:

圆锥曲线基本量

【例2】 ⑴ (2011 东城二模 6) x2 y 2 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0 , ? 0? ,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M , b a b N 两点, O 为坐标原点.若 OM ? ON ,则双曲线的离心率为( ) ?1 ? 3 1? 3 ?1 ? 5 1? 5 A. B. C. D. 2 2 2 2 2 2 x y ⑵设 F1 , F2 分别为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点.若在椭圆上存在点 P ,满足 a b ) | PF2 |?| F1 F2 | ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于椭圆的短轴长,则该椭圆的离心率为( 1 1 4 5 A. B. C. D. 2 7 7 3 【解析】 ⑴D; ⑵D;

考点:

中点弦问题与设而不求法

【例3】 ⑴ (2009 江南十校素质测试 12) x2 y 2 若 AB 是过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 中心的一条弦,M 是椭圆上任意一点,且 AM 、BM a b 与坐标轴不平行, k AM 、 k BM 分别表示直线 AM 、 BM 的斜率,则 k AM ? kBM ? ( )

c2 b2 c2 a2 B. ? 2 C. ? 2 D. ? 2 b a2 a b ⑵ (2010 课标全国) 0) 已知双曲线 E 的中心为原点,F (3 , 是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A ,B 两点, 且 AB 的中点为 N (?12 ,? 15) ,则 E 的方程为( )
A. ? A. 【解析】 ⑴B; ⑵B; 【备选】 已知双曲线中心在原点, 且一个焦点为 F

x2 y 2 ? ?1 3 6

B.

x2 y 2 ? ?1 4 5

C.

x2 y 2 ? ?1 6 3

D.

x2 y 2 ? ?1 5 4

?

MN 7 ,0 , 直线 y ? x ? 1 与其相交于 M ,N 两点,

?

2 中点的横坐标为 ? ,则此双曲线的方程是( ) 3 2 2 x y x2 y 2 x2 y 2 A. ? B. ? C. ? ?1 ?1 ?1 3 4 4 3 5 2 【解析】 D;

D.

x2 y 2 ? ?1 2 5

考点:
48

直线与抛物线

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【例4】 ⑴ (2011 东城一模 13) 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点作倾斜角为 60? 的直线, 与抛物线分别交于 A ,B 两点 (点 , A 在 x 轴上方)
AF BF ?



??? ? ??? ? ⑵ (2010 重庆理 14)已知以 F 为焦点的抛物线 y 2 ? 4 x 上的两点 A 、 B 满足 AF ? 3FB ,则弦 AB 的中点到准线的距离为___________. 【解析】 ⑴ 3 ; 8 ⑵ ; 3

【备选】 (2010 浙江高考 13) 设抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点为 F ,点 A ? 0 ,2? .若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则 B 到 该抛物线准线的距离为 3 2 【解析】 ; 4 .

考点:

圆锥曲线综合问题
y A

【例5】 ⑴ (2011 朝阳一模 7) 如图,双曲线的中心在坐标原点 O , A 、 C 分别是双曲线虚轴 的上、下顶点, B 是双曲线的左顶点, F 为双曲线的左焦点, 直线 AB 与 FC 相交于点 D ,若双曲线的离心率为 2 ,则 ?BDF 的余弦值是( ) 7 5 7 7 5 7 A. B. C. D. 7 7 14 14 ⑵ (2011 海淀二模 7) x2 y 2 x2 y2 若椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1( a1 ? b1 ? 0 )和椭圆 C2 : 2 ? 2 ? 1 a1 b1 a2 b2 ( a2 ? b2 ? 0 )的焦点相同且 a1 ? a2 .给出如下四个结论: a b ① 椭圆 C1 和椭圆 C2 一定没有公共点; ② 1 ? 1; a2 b2

F D

B

O

x

C

③ a12 ? a22 ? b12 ? b22 ; ④a1 ? a2 ? b1 ? b2 . 其中,所有正确结论的序号是( ) A.② ④ ③ B.① ④ ③ C.① ④ ② D.① ② ⑶ 设 e1 ,e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率, P 为两曲线的一个公共 2 ???? ???? ? e 2 ? e2 点,且满足 PF1 ? PF2 ? 0 ,则 1 的值为( ) (e1e2 ) 2 1 A. 1 B. C. 2 D.不确定 2 【解析】 ⑴C; ⑵B; ⑶C;

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49

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点,且两条 a 2 b2 曲线的公共点的连线过 F ,则该椭圆的离心率为( ) 5 ?1 2 A. 2 ? 1 B. 2( 2 ? 1) C. D. 2 2 【解析】 A;
【备选】 已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点 F 恰好是椭圆

考点:

解析几何综合

【例6】 (2011 海淀一模 19) 3? x2 y 2 1 ? 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M ? 1 , ? ,其离心率为 . 2? 2 a b ? ⑴ 求椭圆 C 的方程; 1? ? ⑵ 设直线 l : y ? kx ? m ? | k |≤ ? 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点,以线段 OA , OB 为邻边作平行 2? ? 四边形 OAPB ,其中顶点 P 在椭圆 C 上, O 为坐标原点.求 | OP | 的取值范围.

x2 y 2 ? ?1. 4 3 y ? 13 ? ⑵ | OP | 的取值范围是 ? 3 , . ? 2 ? ? B 【备选】 (2011 昌平二模 19) O x x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,左焦点 F ? 3 ,0 ,且离 a b P l A 3 心率 e ? 2 ⑴ 求椭圆 C 的方程; ⑵ 若直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N ( M , N 不是左、右顶点) , 且以 MN 为直径的圆经过椭圆 C 的右顶点 A .求证:直线 l 过定点,并求出定点的坐标. x2 【解析】 ⑴ 椭圆的方程为 ? y 2 ? 1 . 4 ? x2 2 y ? ? y ?1 ⑵ 由方程组 ? 4 得 1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 . ( l M ? y ? kx ? m ?
【解析】 ⑴椭圆 C 的方程为

?

?

? ? (8km)2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4m2 ? 4) ? 0 ,整理得 4k 2 ? m2 ? 1 ? 0 . 8km 设 M ( x1 ,y1 ) , N ( x2 ,y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ? , 1 ? 4k 2 4m2 ? 4 . x1 x2 ? 1 ? 4k 2 0) 由已知, AM ? AN 且椭圆的右顶点为 A(2 , . ???? ???? ? ∴AM ? AN ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0 . y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ,

A O
N

x

即 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (km ? 2)( x1 ? x2 ) ? m2 ? 4 ? 0 .

50

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4m2 ? 4 ?8km ? (km ? 2) ? ? m2 ? 4 ? 0 , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 整理得: 5m2 ? 16mk ? 12k 2 ? 0 . 6k 解得 m ? ?2k 或 m ? ? ,均满足 4k 2 ? m2 ? 1 ? 0 . 5 0) 当 m ? ?2k 时,直线的 l 方程为 y ? kx ? 2k ,过定点 (2 , ,与题意矛盾舍去.
也即 (1 ? k 2 ) ?
6? 6k ? ?6 ? 时,直线的 l 方程为 y ? k ? x ? ? ,过定点 ? ,0 ? . 5? 5 ? ?5 ? ?6 ? 故直线 l 过定点,且定点的坐标为 ? ,0 ? . ?5 ?

当m??

头脑风暴
(2011 安徽 15) 在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点 ? x ,y ? 为整点,下列命题中正确的是 _____________(写出所有正确命题的编号) . ① 存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ② 如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点 ③ 直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点 ④ 直线 y ? kx ? b 经过无穷多个整点的充分必要条件是: k 与 b 都是有理数 ⑤ 存在恰经过一个整点的直线 【解析】 ① ⑤ ③ ;

实战演练
【演练1】 圆 x2 ? y 2 ? 1 与直线 y ? kx ? 2 没有公共点的充要条件是( .. A. k ? (? 2 , 2) C. k ? (?? , 2) ? ( 2 , ?) ? ? 【解析】 B; B. k ? (? 3 , 3) D. k ? (?? , 3) ? ( 3 , ?) ? ? )

【演练2】 (2008 宣武二模理 14) 1) 设抛物线 x2 ? 12 y 的焦点为 F , 经过点 P (2 , 的直线 l 与抛物线相交于 A 、B 两点, 又知点 P 恰为 AB 的中点,则 AF ? BF ? .

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51

【解析】 8; 【演练3】 (2011 新课标 7) 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点, 且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A ,B 两点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( A. 2 【解析】 B; B. 3 ) D.3 C.2

【演练4】 (2010 丰台一模文 19)

在直角坐标系 xOy 中, M 到点 F1 ? 3 , 0 ,F2 点

?

?

?

3 , 0 的距离之和是 4 , M 的轨迹是 C , 点

?

直线 l : y ? kx ? 2 与轨迹 C 交于不同的两点 P 和 Q . ⑴ 求轨迹 C 的方程; ??? ???? ? ⑵ 是否存在常数 k , OP ? OQ ? 0 ?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由. 【解析】 ⑴其方程为

x2 ? y2 ? 1 . 4 ⑵ 将 y ? kx ? 2 代入曲线 C 的方程,
整理得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8 2kx ? 4 ? 0 ①

1 . 4 8 2k 4 设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,由方程① x1 ? x2 ? ? 得 , x1 x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
? ? 128k 2 ? 16(4k 2 ? 1) ? 16(4k 2 ? 1) ? 0 ,故 k 2 ?



又 y1 ? y2 ? kx1 ? 2 kx2 ? 2 ? k 2 x1 x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 2

?

??

?

4k 2 16k 2 2 ? 4k 2 ③ ? ?2? 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ??? ???? ? 若 OP ? OQ ? 0 ,得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . ?
将② 、③ 代入上式得,
6 3 1 4 2 ? 4k 2 都满足. ? ? 0 ,解得 k 2 ? ? ,故 k ? ? 2 2 2 2 4 1 ? 4k 1 ? 4k

大千世界
(2011“华约”14) x2 y 2 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1? a ? 0 , ? 0? ,F1 ,F2 分别为 C 的左右焦点. P 为 C 右支上一点, b a b π 且使 ?F1 PF2 ? , 又 △F1PF2 的面积为 3 3a 2 . 3 ⑴ 求 C 的离心率 e ; ⑵ 设 A 为 C 的左顶点, Q 为第一象限内 C 上的任意一点,问是否存在常数 ? ? ? ? 0 ? , 使得
?QF2 A ? ??QAF2 恒成立.若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由. 【解析】⑴ e ? 2 ;

52

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⑵ 双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,即 3x2 ? y 2 ? 3a 2 , y2 ? 3 x2 ? a2 a2 3a2 π π 显然 Q ? 2a , 3a ? 是双曲线上一点,此时 ?QF2 A ? , ?QAF2 ? ,故 ? ? 2 . 2 4 于是若 ? 存在,则其值只可能为 2 . 如图,设 Q ? x0 ,y0 ? , MN 为 AF 的垂直平分线,
?1 ? 则 A ? ?a , 0 ? , F ? 2a , 0 ? , M ? a , 0 ? , ?2 ?
N

?

?

Q

x ? xA 于是 (注意到 xQ ? a ) ? ? N NQ xQ ? xN AN

3 a 3a 2 ? , 1 x0 ? a 2 x0 ? a 2

A

M

F

AF QF

?

3a (注意到焦半径公式, QF ? ex0 ? a ? 2x0 ? a ,如果不知道 QF 公式,也可 2 x0 ? a AF QF

以用两点间距离公式,及点 Q 在双曲线上求得 QF 的长) 由
AN NQ ?

,∴NF 为 ?QFA 的平分线,∴?QFA ? 2?NFA ? 2?QAF

因此 ? 的值为 2 .

学案
尖子班
1. (2010 东城一模文 7) 1 1 已知圆 x2 ? y 2 ? mx ? ? 0 与抛物线 y ? x 2 的准线相切,则 m 的值等于( 4 4 A. ? 2 B. 3 C. 2 D. ? 3 【解析】 D;


x2 y 2 2.已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C∶ 2 ? 2 ? 1(a ? 0 , ? 0) 相交于 B 、 D 两点,且 BD 的中点为 b a b M (1, .则 C 的离心率为________. 3) 【解析】 2 ;
3. (2010 西城二模文 18) 6 x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 ,椭圆 C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和 3 a b 为6 . ⑴ 求椭圆 C 的方程; ⑵ 设直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C 交与 A , B 两点,点 P ? 0 , 1? ,且 | PA |?| PB | ,求直线 l 的方程. 【解析】 ⑴

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53

椭圆方程为 ⑵

x2 y 2 ? ?1. 9 3

y B M A x

因此直线 l 的方程为 y ? x ? 2 或 y ? ? x ? 2 .
P

目标班
1. (2010 丰台二模理 11)

O

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 、 F2 ,过 F2 垂直于 x 轴的直线交椭圆于一点 P , 25 16 那么 PF1 的值是________.
椭圆 【解析】

34 ; 5

2. (2010 东城二模文 6)
已知双曲线 若
AF1 AF2 ?

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0 ,b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 A 在双曲线上,且 AF2 ? x 轴, a 2 b2
) C. 2 D. 3

5 ,则双曲线的离心率等于( 3

A. 2

B. 3

【解析】

A; 3. (2011 丰台二模 19 改编) 已知抛物线 P : x2 ? 2 py ? p ? 0? . ⑴ 若抛物线上点 M ? m, ? 到焦点 F 的距离为 3 .求抛物线 P 的方程; 2 ⑵ 设过焦点 F 的动直线 l 交抛物线于 A,B 两点,连接 AO , BO 并延长分别交抛物线的准线于 C, D 两点,求证:以 CD 为直径的圆过焦点 F. 【解析】 ⑴抛物线 P 的方程为 x 2 ? 4 y . p ⑵ 直线 l 的斜率显然存在,设 l : y ? kx ? , A? x1 ,y1 ? , B ? x2 ,y2 ? , 2 2 ? x ? 2 py y ? 由? ,消 y 得 x2 ? 2 pkx ? p2 ? 0 . p ? y ? kx ? ? 2
? ? (2 pk )2 ? 4 p2 ? 0 恒成立.
A F O D C B l x

∴x1 ? x2 ? 2 pk , x1 ? x2 ? ? p ;
2

? px y p? p ∴ 直线 OA : y ? 1 x 与 y ? ? 联立可得 C ? ? 1 ,? ? , x1 2? 2 ? 2 y1
? px p? 同理得 D ? ? 2 ,? ? . 2? ? 2 y2 ??? ? px ? ? ? ??? ? px ? p? ? ∵ 焦点 F ? 0 , ? ,∴FC ? ? ? 1 ,? p ? , FD ? ? ? 2 ,? p ? , 2? ? ? 2 y1 ? ? 2 y2 ?

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??? ??? ? px ? ? ? ? px ? px px p 2 x1 x2 ? p2 ∴ FC ? FD ? ? ? 1 ,? p ? ? ? ? 2 , ? p ? ? 1 2 ? p 2 ? 4 y1 y2 ? 2 y1 ? ? 2 y2 ? 2 y1 2 y2 2 4 4 p x1 x2 p p ? ? p2 ? ? p2 ? ? p2 ? 0 . 2 2 x1 x2 x1 x2 ? p2 4? ? 2p 2p ∴ CD 为直径的圆过焦点 F . 以

目标 123 班
1. (2008 辽宁)

1 已知双曲线 9 y 2 ? m2 x2 ? 1(m ? 0) 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ,则 m ? ( ) 5 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】 D; 2. (2008 陕西理 8 文 9) x2 y 2 F 双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1 , 2 ,过 F1 作倾斜角为 30? 的直线交双 a b 曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为( )
A. 6 【解析】 B; 3. (2011 东城一模 19) 2 y 2 x2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且椭圆上的点到两个焦点的距离的和为 2 2 .斜率 2 a b 为 k (k ? 0) 的直线 l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于 P ,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 y 轴相交 于点 M (0 ,m) . ⑴ 求椭圆的方程; ⑵ 求 m 的取值范围; ⑶ 试用 m 表示 △MPQ 的面积,并求面积的最大值. 【解析】 ⑴椭圆方程为 ⑵0? m? B. 3 C. 2 D.
3 3

y2 ? x2 ? 1 . 2

y Q F P M O x

1 . 2 3 6 1 ⑶当 m ? 时, △MPQ 的面积有最大值 . 16 4

l

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第6讲

空间向量 与立体几何

直击 2011 高考
第 7 题,5 分 某四面体的三视图如图所示, 该四面体四个面的面积中最大的 是( ) A.8 C.10 【解析】 C. B. 6 2 D. 8 2
4 正(主)视图 3 侧(左)视图 4

A 4
俯视图

D 3

B

4

C

第 16 题,14 分 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是菱形, AB ? 2 , ?BAD ? 60? . ⑴求证: BD ? 平面 PAC ; ⑵若 PA ? AB ,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; ⑶当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长. 【解析】 ⑴∵ABCD 是菱形,∴BD ? AC ; ∵PA ? 面 ABCD ,∴PA ? BD ; ∵PA ? AC ? A ,∴BD ? 面 PAC .
6 ⑵ PB 与 AC 所成角的余弦值为 . 4

P

D A B C

⑶ PA 的长为 6 .

56

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知识纵横
棱柱 柱体 圆柱 棱台 空间几何体 台体 直观图 圆台 棱锥 锥体 球 点在直线上 点与线 点在直线外 点在面内 点与面 点在面外 相交 共面直线 线与线 异面直线 平行 空间点、 线、面的 位置关系 直线在平面外 线与面 直线在平面内 平行 面与面 相交 相交 有公共点 平行 没有公共点 没有公共点 只有一个公共点 圆锥 三棱锥、四面体、正四面体 侧面积、表面积 体积 正棱柱、长方体、正方体 三视图
长对正 高平齐 宽相等

平行关系的 相互转化

线线 平行

线面 平行

面面 平行

空间直角坐标系

垂直关系的 相互转化

线线 垂直

线面 垂直

面面 垂直

空间向量

异面直线所成的角 空间的角 直线与平面所成的角 二面角 点到面的距离 空间的距离 直线与平面的距离 平行平面之间的距离

范围:(0?,90?] 范围:[0?,90?] 范围:[0?,180?]

cos?=—— → →
| a |·| b | → → |a·n|

→ → |a·b|

sin?=—— → →
| a |·| n | → → n ·n
1 2 cos?=—— → →

|n1 |·|n2 |

相互之间的转化

d=—— →
|n|

→ → |a·n|

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例题精讲
考点: 空间几何体

【例1】 ⑴ (2010 福建理 6) 如图,若 ? 是长方体 ABCD ? A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到的几何体, 其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点, F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH ∥ A1D1 ,则下列结论 中不正确的是( ) A. EH ∥ FG B.四边形 EFGH 是矩形 C. ? 是棱柱 D. ? 是棱台 ⑵ (2011 西城二模理 4) 已知六棱锥 P ? ABCDEF 的底面是正六边形,PA ? 平面 ABC .则下列结论不正确的是( ) ... A. CD ∥ 平面 PAF C. CF ∥ 平面 PAB
D1 A1 E F D A B C H B1 C1 G

B. DF ? 平面 PAF D. CF ? 平面 PAD
P

B C

A

F D

E

第⑴ 题 第⑵ 题 ⑶ (2010 全国Ⅱ 9) 理 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为( 已知正四棱锥



A.1 B. 3 C.2 D.3 ⑷ (2010 朝阳一模理 8) 一个空间四边形 ABCD 的四条边及对角线 AC 的长均为 2 ,二面角 D ? AC ? B 的余弦值为 1 ,则下列论断正确的是 ( ) 3 A.空间四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 3π . B.空间四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 4π C.空间四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 3 3π D.不存在这样的球使得空间四边形 ABCD 的四个顶点在此球面上. 【解析】 ⑴ D; ⑵ D; ⑶ C; ⑷ A;

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【备选】 (2010 江西理 16)如图,在三棱锥 O ? ABC 中,三条棱 OA , OB , OC 两两垂直,且 OA ? OB ? OC ,分别经过三条棱 OA , OB , OC 作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依 次为 S1 , S2 , S 3 ,则 S1 , S2 , S 3 的大小关系为 . 【解析】 S3 ? S2 ? S1 ;
O C

考点:

三视图
A B

【例2】 ⑴ (2011 丰台二模理 12) 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 . ⑵ (2011 安徽 6)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(



A.48 B. 32 ? 8 17 C. 48 ? 8 17 D.50 ⑶ (2011 山东 11) 下图是长和宽分别相等的两个矩形,给定下列三个命题:① 存在三棱柱,其正(主)视图、 俯视图如下图;② 存在四棱柱,其正(主)视图,俯视图如下图;③ 存在圆柱,其正(主)视 图、俯视图如下图,其中真命题的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0
4
1 1 正视图 侧视图

4

正(主)视图 1 2

侧(左)视图

正(主)视图
2

0.6

2.4 俯视图

0.6

1 俯视图

俯视图

第⑴ 题 【解析】 ⑴12 ; ⑵ C; ⑶ A;

第⑵ 题

第⑶ 题

【备选】 (2011 海淀二模理 6) 一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是( ....
1 1 1 1
1 1



1

1

1

1

1
1 主视图 1 左视图

A

B

C

D

【解析】 C;

考点:

计算类的小题

【例3】 ⑴ 已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 2 AB , E 为 AA1 的中点,则异面直线 BE 与 CD1 所 成角的余弦值为( )

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10 1 B. 10 5 ⑵ (2010 丰台二模理 8)

A.

C.

3 10 10

D.

3 5

π , ? AC ? AA1 ? 2 , G 与 E 分别为线段 A1 B1 点 AB 2 和 C1C 的中点,点 D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点.若 GD ? EF ,则线段 DF 长度的 最小值是( ) 2 5 2 A. 2 B. 1 C. D. 5 2
如图, 在直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, BAC ? ?
D1 A1 B1 C1

A1 G B1

C1

E

E A
D C B

D C

F B

A

第⑴ 题 【解析】 ⑴C; ⑵ C;

第⑵ 题

【备选】 (2010 辽宁理 12) 有四根长都为 2 的直铁条, 若再选两根长都为 a 的直铁条, 使这六根铁条端点处相连能够焊接 成一个三棱锥形的铁架,则 a 的取值范围是( )

? C. ?

A. 0 , 6 ? 2

?

6 ? 2, 6 ? 2

?

? ? D. ? 0 ,2 2 ?
B. 1,2 2

【解析】 A

考点:

综合类的小题
2 ,则 2

【例4】 ⑴ (2009 宁夏理 8) 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,线段 B1 D1 上有两个动点 E , F ,且 EF ?

下列结论中错误的是( ) A. AC ? BE B. EF ∥平面 ABCD C.三棱锥 A ? BEF 的体积为定值 D.异面直线 AE , BF 所成的角为定值 ⑵ (2011 朝阳高三第一学期期末 8) 如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E , F 分别为棱 DD1 , AB 上的点.已知下列判断: ① A1C ? 平面 B1 EF ;②△B1EF 在侧面 BCC1B1 上的正投影是面积为定值的三角形;③ 在平面 A1B1C1D1 内总存在与平面 B1EF 平行的直线;④ 平面 B1EF 与平面 ABCD 所成的二面角(锐角) 的大小与点 E 的位置有关,与点 F 的位置无关.其中正确判断的个数有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

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二轮复习·第 1 讲·尖子-目标-目标 123·教师版

C1 E D1 F A1

B1
A1

D1 E D B1

C1

C D A

B
A F

C B

第⑴题 第⑵题 ⑶ (2011 昌平二模理 8) 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2,点 M 是 BC 的中点,点 P 是平面 ABCD 内的一个动点, 且满足 PM ? 2 , P 到直线 A1 D1 的距离为 5 ,则点 P 的轨迹是( ) A.两个点 B.直线 C.圆 D.椭圆 【解析】 ⑴ D; ⑵ B; ⑶A;

考点:

空间向量与立体几何

【例5】 (2008 浙江) 如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直, BE ∥ CF , ?BCF ? ?CEF ? 90? ,
AD ? 3 , EF ? 2 . ⑴ 求证: AE∥平面 DCF ; ⑵ AB 的长为何值时,二面角 A ? EF ? C 的大小为 60? ? 当 A 【解析】 ⑴ 过点 E 作 EG ? CF 交 CF 于 G ,连结 DG , 可得四边形 BCGE 为矩形, 又 ABCD 为矩形, B 所以 AD ∥ EG , AD ? EG ,从而四边形 ADGE 为平行四边形,
E D

C

F
z D

故 AE ∥ DG . 因为 AE ? 平面 DCF , DG ? 平面 DCF , 所以 AE∥平面 DCF . 9 ⑵ 所以当 AB 为 时,二面角 A ? EF ? C 的大小为 60? . 2
x

A C B E G F y

考点:

立体几何中的折叠问题

【例6】 (2011 丰台二模 17) 已知平行四边形 ABCD 中,AB ? 6 ,AD ? 10 ,BD ? 8 ,E 是线段 AD 的中点. BD 将 ?BCD 沿 ?D ,使得平面 BC ?D ⊥ 翻折到 ?BC 平面 ABD . C' ⑴ 求证: C ?D ? 平面 ABD ; ⑵ 求直线 BD 与平面 BEC ? 所成角的正弦值; ⑶ 求二面角 D ? BE ? C ? 的余弦值. B C 【解析】 ⑴ 平行四边形 ABCD 中, AB ? 6 , AD ? 10 , BD ? 8 ,
D E 二轮复习·第 1 讲·尖子-目标-目标 123·教师版 A

61

沿直线 BD 将 △ BCD 翻折成 △BC ?D , 可知 C ?D ? CD ? 6 , BC ? ? BC ? 10 , BD ? 8 , 即 BC ?2 ? C ?D 2 ? BD 2 , 故 C ?D ? BD . ∵ 平面 BC ?D ⊥ 平面 ABD ,平面 BC ?D ? 平面 ABD = BD , C ?D ? 平面 BC ?D , ∴C ?D ? 平面 ABD . 3 41 ⑵直线 BD 与平面 BEC ? 所成角的正弦值为 . 41 4 41 ⑶ D ? BE ? C ? 的余弦值为 . 41 【备选】 (2010 浙江理 20) 如图,在矩形 ABCD 中,点 E ,F 分别在线段 AB ,AD 上, AE ? EB ? AF ? 线 EF 将 △ AEF 翻折成 △ A?EF ,使平面 A?EF ? 平面 BEF . ⑴ 求二面角 A? ? FD ? C 的余弦值; ⑵ 点 M ,N 分别在线段 FD ,BC 上,若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折,使 C 与 A? 重合,求线段 FM 的长. 3 【解析】 二面角的余弦值为 ; 3 21 ⑵ FM ? . 4
A' A F M D C E N B

2 FD ? 4 .沿直 3

头脑风暴
(2011 湖北 14) 如图, 直角坐标系 xOy 所在的平面为 ? , 直角坐标系 x?Oy ? 其 ( 中 y ? 轴与 y 轴重合)所在的平面为 ? , ?xOx? ? 45? . ⑴ 已知平面 ? 内有一点 P? 2 2 ,2 , 则点 P? 在平面 ? 内的射 影 P 的坐标为 ; ⑵ 已知平面 ? 内的曲线 C ? 的方程是 x? ? 2 则曲线 C ? 在平面 ? 内的射影 C 的方程是 【解析】 (2 ,2) , ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ;
P' ( y' ) y C' x' β

?

?

O

x α

?

?

2

? 2 y ?2 ? 2 ? 0 ,



62

二轮复习·第 1 讲·尖子-目标-目标 123·教师版

实战演练
b 【演练1】 设 a , 是两条直线, ? ,? 是两个平面,则 a ? b 的一个充分条件是( b ? b ? A. a ? ? , ∥ ? , ? ? B. a ? ? , ? ? , ∥ ? b ? b ? C. a ? ? , ? ? , ∥ ? D. a ? ? , ∥ ? , ? ? 【解析】 C;



【演练2】 (2011 新课标 6) 在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则相应的侧视图可以 为( )
(正视图)

A.

B.

C.

D.

【解析】 D; 【演练3】 (2009 丰台一模 5) 如图,在体积为 V1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M ,N 分别为 所在边的中点,正方体的外接球的体积为 V ,有如下四个命题: ①BD1 ? 3 AB ;②BD1 与底面 ABCD 所成角是 45? ;
V 3 π ;④MN ∥ 平面 D1 BC . ③ ? V1 2 其中正确命题的个数为( ) A.4 B.3 C.2 【解析】 C;

(俯视图)

D1 A1 M D A N B B1

C1

C

D.1

【演练4】 (2010 石景山理一模 17) 如图,已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , ?ACB ? 90? , E 是棱 CC1 上动点, F 是 AB 中点 , C1 AC ? BC ? 2 , AA1 ? 4 .

⑴ 求证: CF ? 平面 ABB1 ;
⑵ E 是棱 CC1 中点时,求证: CF ∥ 当 平面 AEB1 ;
A1 E B1

⑶ 在棱 CC1 上是否存在点 E ,使得二面角 A ? EB1 ? B 的大小是
45? ,若存在,求 CE 的长,若不存在,请说明理由.

【解析】 ⑴ 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是直棱柱,∴BB1 ? 平面 ABC . ∵ 又∵CF ? 平面 ABC ,∴CF ? BB1 .

C

∵?ACB ? 90? , AC ? BC ? 2 , F 是 AB 中点,

A

F

B

二轮复习·第 1 讲·尖子-目标-目标 123·教师版

63

∴CF ? AB . ∵BB1 ? AB ? B ,∴CF ? 平面 ABB1 . ⑵ 取 AB1 的中点 G ,联结 EG , FG .
∵F 、 G 分别是 AB 、 AB1 的中点, 1 ∴FG ∥ BB1 , FG ? BB1 . 2 1 又∵EC ∥ BB1 , EC ? BB1 , 2 ∴FG ∥ EC , FG ? EC .
A1 E

C1

B1

C

G

A

F

B

∴ 四边形 FGEC 是平行四边形,∴CF ∥EG . 又∵CF ? 平面 AEB1 , EG ? 平面 AEB1 ,∴CF ∥ 平面 AEB1 .
CC ⑶ 以 C 为坐标原点, 射线 CA ,CB , 1 为 x , , 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标 y z 系 C ? xyz ,

2 4) 则 C (0 ,0 ,0) , A(2 ,0 ,0) , B1 (0 , , . ? 0 设 E (0 , ,m) ,平面 AEB1 的法向量 n ? ( x ,y ,z ) , ??? ? ???? ? 则 AB1 ? (?2 , , , AE ? (?2 , , ) . 0 m 2 4) ? ???? ? ??? ? ? 且 AB1 ? n , AE ? n . ???? ? ? ? AB1 ? n ? ?2x ? 2 y ? 4 z ? 0, ? 于是 ???? ? ? ? AE ? n ? ?2x ? 0 y ? mz ? 0. ?

z C1

A1 E

B1

mz ? ?x ? 2 , ? 所以 ? ? y ? mz ? 4 z . ? ? 2 ? 取 z ? 2 ,则 n ? (m , ? 4 , m 2)

C

A F x

B y

∵ 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是直棱柱,∴BB1 ? 平面 ABC . 又∵AC ? 平面 ABC ,∴AC ? BB1 . ∵?ACB ? 90? ,∴AC ? BC . ∵BB1 ? BC ? B ,∴AC ? 平面 ECBB1 . ??? ? ??? ? ∴CA 是平面 EBB1 的法向量, CA ? (2 ,0 , . 0) 二面角 A ? EB1 ? B 的大小是 45? , ??? ? ? CA ? n 2m 2 5 故 cos 45? ? ??? ? ? .解得 m ? . ? ? 2 2 2 2 2 CA n 2 ? m ? (m ? 4) ? 2 ∴ 在棱 CC1 上存在点 E ,使得二面角 A ? EB1 ? B 的大小是 45? ,
此时 CE ?

5 . 2

64

二轮复习·第 1 讲·尖子-目标-目标 123·教师版

大千世界
(2011 华约 6) 已知异面直线 a ,b 成 60? 角. A 为空间一点,则过 A 与 a ,b 都成 45? 角的平面( ) A.有且只有一个 B.有且只有两个 C.有且只有三个 D.有且只有四个 【解析】 D;

学案
尖子班
1. (2011 东城高三期末 4) 已知 ? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? ,那么“ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 A. 2. (2008 四川理 12) 一个正方体的展开如图所示, B ,C , D 为原正方体的顶点, A 为原正方体一条棱的中点,在原来的正方体中, CD 与 AB 所成 角的余弦值为( ) 5 5 10 10 A. B. C. D. 10 5 5 10 【解析】 D; )

A B D

C

3. (2011 西城二模理 16) 如图, 已知菱形 ABCD 的边长为 6 ,?BAD ? 60? , AC ? BD ? O . 将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起, 使 BD ? 3 2 ,得到三棱锥 B ? ACD . ⑴ 若点 M 是棱 BC 的中点,求 证 : OM ∥ 平 面 ABD ; ⑵ 求 二 面 角 A ? B D? O 余 弦 值 ; 的 ⑶ 设点 N 是线段 BD 上一个动点,试确定 N 点的位置,使得 CN ? 4 2 ,并证明你的结论.
B B M A O C A O C

D

D

【解析】 ⑴ 因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点, 所以 O 是 AC 的中点.又点 M 是棱 BC 的中点, 所以 OM 是 △ ABC 的中位线, OM ∥ AB .

二轮复习·第 1 讲·尖子-目标-目标 123·教师版

65

因为 OM ? 平面 ABD , AB ? 平面 ABD , 所以 OM ∥ 平面 ABD . ⑵二面角 A ? BD ? O 的余弦值为
7 . 7

???? ??? ? ⑶ 因为 N 是线段 BD 上一个动点,设 N ? x1 ,y1 , 1 ? , BN ? ? BD , z

则 ? x1 ,y1 , 1 ? 3? ? ? ? 0 , , 3? , z 3 ?

所以 x1 ? 0 ,y1 ? 3? , 1 ? 3 ? 3? , z ???? 3 3 则 N ? 0 , ? , ? 3? ? , CN ? 3 3 , ? , ? 3? , 3 3

?

?

由 CN ? 4 2 得 27 ? 9? 2 ? ? 3 ? 3? ? ? 4 2 ,即 9? 2 ? 9? ? 2 ? 0 ,
2

1 2 或 ? ? ,所以 N 点的坐标为 ? 0 , , ? 或 ? 0 , , ? . 1 2 2 1 3 3 ???? ???? ???? ???? (也可以答是线段 BD 的三等分点, BN ? 2 ND 或 2BN ? ND )
解得 ? ?

目标班
1. (2011 朝阳高三第一学期期末 3) 设 ? , ? , ? 是三个不重合的平面, l 是直线,给出下列命题 ① ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? ; 若 ② l 上两点到 ? 的距离相等,则 l ∥ ? ; 若 ③ l ? ? , l ∥ ? ,则 ? ? ? ; 若 ④ ? ∥ ? , l ? ? ,且 l ∥ ? ,则 l ∥ ? . 若 其中正确的命题是( ) A.① ② B.② ③ C.② ④ D.③ ④ 【解析】 D. 2. (2010 海淀二模 7) 在正四面体 A ? BCD 中,棱长为 4, M 是 BC 的中点, P 在线段 AM 上运动( P 不与 A 、 M 重合) , 过点 P 作直线 l ? 平面 ABC ,l 与平面 BCD 交于点 Q , 给出下列命题: A ①BC ? 面 AMD ;②Q 点一定在直线 DM 上;③VC ? AMD ? 4 2 其中正确的是( ) A.① ② B.① ③ C.② ③ D.① ③ ② 【解析】 A;
P B M C D

3. (2011 昌平二模理 17) 如图所示,正方形 AA1 D1 D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直, AB ? 2AD ? 2 ,点 E 为 AB 的中点. ⑴ 求证: BD1 ∥ 平面 A1 DE ⑵ 求证: D1 E ? A1 D ⑶ 在线段 AB 上是否存在点 M ,使二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 π ?若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由. 6 【解析】 ⑴ 连结 AD1 ,交 A1 D 于点 O ,连结 OE . ∵ 四边形 ADD1 A1 为正方形,∴O 是 AD1 的中点.
A1 D C A E B D1

又点 E 为 AB 的中点,∴EO 为 △ ABD1 的中位线,∴EO ∥ BD1 .

66

二轮复习·第 1 讲·尖子-目标-目标 123·教师版

又∵BD1 ? 平面 A1 DE , OE ? 平面 A1 DE , ∴BD1 ∥ 平面 A1 DE ; ⑵ 正方形 ADD1 A1 中, A1 D ? AD1 . 由已知可得: AB ? 平面 ADD1 A1 , A1 D ? 平面 ADD1 A . ∴AB ? A1D , AB ? AD1 ? A . ∴A1D ? 平面 AD1 E , D1 E ? 平面 AD1 E . ∴A1 D ? D1 E . ⑶ 由题意可得: D1 D ? 平面 ABCD , 以点 D 为原点, DA , DC , DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
A1 O D C A x E B y D1 z

0) 则 D(0 ,0 ,0) , A(1,0 ,0) , C (0 ,2 , , A1 (1, , , D1 (0 , , , 0 1) 0 1)

0)(0 ≤ y0 ≤ 2) 设 M (1,y0 , ???? ? ???? ? ∵MC ? (?1, ? y0 , , D1C ? (0 , , 1) , 2 0) 2 ? ?? ? 设平面 D1MC 的法向量为 n1 ? ( x ,y ,z) , ?? ???? ? ? ?n1 ? MC ? 0 ?? x ? y (2 ? y0 ) ? 0 ? 则 ??? ???? ,得 ? ? ? ?2 y ? z ? 0 ?n1 ? D1C ? 0 ? ?? ? 取 y ? 1 , n1 ? (2 ? y0 , , 是平面 D1 MC 的一个法向量,而平面 MCD 的一个法向量为 1 2) ?? ? n2 ? (0 ,0, , 1) π 要使二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 , 6 ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? | n ? n2 | π 2 3 ? ? 而 cos ?| cos? n1 , 2 ? |? ??1 ?? ? . n ? 2 2 2 6 2 | n1 | ? | n2 | (2 ? y0 ) ? 1 ? 2

解得: y0 ? 2 ? 当 AM ? 2 ?

3 (0 ≤ y0 ≤ 2) 3

3 π 时,二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 . 3 6

目标 123 班
1. (2010 海淀高三期末 4) 已知 m , 为两条不同直线, ? ,? 为两个不同平面,那么使 m ∥? 成立的一个充分条件是( n A. m ∥ ? , ? ∥ ? B. m ? ? , ? ? ? C. m ? n , n ? ? , m ? ? D. m 上有不同的两个点到 ? 的距离相等 【解析】 C; )

2. (2011 西城高三第一学期期末 7) 如图,四边形 ABCD 中, AB ? AD ? CD ? 1 , BD ? 2 , BD ? CD . 将 四 边 形 ABCD 沿 对 角 线 BD 折 成 四 面 体 A A? ? BCD , 使平面 A?BD ? 平面 BCD , 则下列结 论正确的是( )
B D B

A'

D
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二轮复习·第 1 讲·尖子-目标-目标 123·教师版

C

C

A. A?C ? BD B. ?BA?C ? 90? C. CA? 与平面 A?BD 所成的角为 30? 1 D.四面体 A? ? BCD 的体积为 3 【解析】 B; 3. (2011 西城一模理 17) 如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 平面 ABCD , AF ∥DE , DE ? 3 AF , BE 与平面 ABCD 所成角为 60? . ⑴ 求证: AC ? 平面 BDE ; ⑵ 求二面角 F ? BE ? D 的余弦值; E ⑶ 设点 M 是线段 BD 上一个动点, 试确定 M 的位置, 使得 AM ∥平面 BEF ,并证明你的结论. 【解析】 ⑴ 因为 DE ? 平面 ABCD , 所以 DE ? AC . 因为 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD , 从而 AC ? 平面 BDE .
13 . 13 t ⑶ 点 M 是线段 BD 上一个动点,设 M (t , ,0) , ???? ? 则 AM ? (t ? 3 , , , t 0) ???? ? ? 因为 AM ∥平面 BEF ,所以 AM ? n ? 0 , 即 4(t ? 3) ? 2t ? 0 ,解得 t ? 2 .

F A

D B

C

⑵二面角 F ? BE ? D 的余弦值为

1 2 0) 此时,点 M 坐标为 (2 , , , BM ? BD ,符合题意. 3 ???? ? ??? ? (对动点问题,如果 M 坐标不容易直接看出,可设根据向量共线设 DM ? t DB , 3 解得点 M 的坐标 M (3t , t ,0) )

68

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