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第二章2.1函数及其表示


数学

R A(文)

§2.1 函数及其表示
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ

基础知识·自主学习
要点梳理
1.函数的基本概念 (1)函数的定义 设 A,B 是非空的 数集 ,如果按照某种确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的 任意 一个数 x,在集合 B 中都有 唯一

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确定 的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到
集合 B 的一个函数,记作 y=f(x),x∈A .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
(2)函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做 函数的 定义域 ; 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值, 函数值的 集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 .显然,值域是集合 B 的子集. (3)函数的三要素: 定义域 (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法 、 图象法 和 列表法 .
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、 对应关系 和 值域

.

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要点梳理
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2.映射的概念 设 A,B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有 唯

一确定 的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A→B 为从集
合 A 到集合 B 的一个 映射 .

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基础知识·自主学习
要点梳理
3.函数解析式的求法 求函数解析式常用方法有 待定系数法 法、消去法. 4.常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母 不等于零 . 大于或等于0 (2)偶次根式函数被开方式 (3)一次函数、二次函数的定义域为 R. (4)y=ax (a>0 且 a≠1),y=sin x,y=cos x,定义域均为 R. ? ? π (5)y=tan x 的定义域为?x|x∈R且x≠kπ+2,k∈Z?. ? ? (6)函数 f(x)=xα 的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}.
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、 换元法、配凑

.

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) × (3) × (4) √ (5) × (6) √

解析

B C

B
①②

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

函数的概念
思维启迪 解析 答案 思维升华

有以下判断: |x| ①f(x) = x 与 g(x) = ? ?x≥0? ?1 ? 表示同一函数; ? ?-1 ?x<0? ②函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个; ③f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t +1 是同一函数;

? ?1?? ④若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f?f?2??=0. ? ? ??

其中正确判断的序号是________.
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题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

函数的概念

有以下判断: 思维启迪 解析 答案 思维升华 |x| ①f(x) = x 与 g(x) = ? ?x≥0? ?1 可从函数的定义、定义域 ? 表示同一函数; ? ?-1 ?x<0? ②函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 和值域等方面对所给结论 的交点最多有 1 个; ③f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t +1 是同一函数;

进行逐一分析判断.

? ?1?? ④若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f?f?2??=0. ? ? ??

其中正确判断的序号是________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

函数的概念

有以下判断: 思维启迪 解析 答案 思维升华 |x| |x| 由于函数 f(x)= x 的 ①f(x) = x 与 g(x) = 对于①, ? ?x≥0? ?1 定义域为{x|x∈R 且 x≠0}, ? 表示同一函数; ? ?-1 ?x<0? ? ?x≥0? ?1 而函数 g(x)=? ②函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 ? ?-1 ?x<0? 的交点最多有 1 个;

的定义域是 R,所以二者不

③f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t 是同一函数; +1 是同一函数; 对于②, 若 x=1 不是 y=f(x) ? ?1?? ④若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f?f?2??=0. 定义域内的值,则直线 x=1 ? ? ?? 与 y=f(x)的图象没有交点, 其中正确判断的序号是________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

函数的概念
思维启迪 解析 答案 思维升华

有以下判断: |x| ①f(x) = x 与 g(x) = ? ?x≥0? ?1 ? 表示同一函数; ? ?-1 ?x<0? ②函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个; ③f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t +1 是同一函数;

如果 x=1 是 y=f(x)定义域 内的值,由函数定义可知, 直线 x=1 与 y=f(x)的图象 只有一个交点,

即 y=f(x)的图象与直线 x=1 最多有一个交点;
对于③, f(x)与 g(t)的定义域、 值域和对应关系均相同,所 以 f(x)和 g(t)表示同一函数;
思想方法 练出高分

? ?1?? ④若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f?f?2??=0. ? ? ??

其中正确判断的序号是________.
基础知识 题型分类

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

函数的概念

有以下判断: 思维启迪 解析 答案 思维升华 |x| ?1? ?1 ? ①f(x) = x 与 g(x) = 对于④,由于 f?2?=?2-1?- ? ? ? ? ? ?x≥0? ?1 ?1? ? ?1?? ? 表示同一函数; ? ?=0,所以 f?f? ??=f(0)=1. ? ?-1 ?x<0? ?2? ? ?2?? ②函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个; ③f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t +1 是同一函数;

综上可知,正确的判断是 ②③.

? ?1?? ④若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f?f?2??=0. ? ? ??

其中正确判断的序号是________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

函数的概念

有以下判断: 思维启迪 解析 答案 思维升华 |x| ?1? ?1 ? ①f(x) = x 与 g(x) = 对于④,由于 f?2?=?2-1?- ? ? ? ? ? ?x≥0? ?1 ?1? ? ?1?? ? 表示同一函数; ? ?=0,所以 f?f? ??=f(0)=1. ? ?-1 ?x<0? ?2? ? ?2?? ②函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个; ③f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t +1 是同一函数;

综上可知,正确的判断是 ②③.

? ?1?? ④若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f?f?2??=0. ? ? ??

②③ 其中正确判断的序号是________ .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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题型一
【例 1】

函数的概念

有以下判断: 思维启迪 解析 答案 思维升华 |x| ①f(x) = x 与 g(x) = 函数的值域可由定义域和对应 关系唯一确定;当且仅当定义域 ? ?x≥0? ?1 ? 表示同一函数; 和对应关系都相同的函数才是 ? ?-1 ?x<0? ②函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个;

同一函数.值得注意的是,函数 的对应关系是就效果而言的 ( 判 断两个函数的对应关系是否相

③f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t 同,只要看对于函数定义域中的 +1 是同一函数; 任意一个相同的自变量的值,按 ? ?1?? ④若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f?f?2??=0. 照这两个对应关系算出的函数 ? ? ?? 值是否相同). ②③ 其中正确判断的序号是________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)下列四个图象中,是函数图象的是 (

B )

A.(1) C.(1)(2)(3)

B.(1)(3)(4) D.(3)(4)

解析

(1)由一个变量 x 仅有一个 f(x)与之对应,得(2)不是函数

图象.故选 B.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
(2)下列各组函数中,表示同一函数的是 A.f(x)=|x|,g(x)= x2 B.f(x)= x2,g(x)=( x)2 x2-1 C.f(x)= ,g(x)=x+1 x-1 D.f(x)= x+1· x-1,g(x)= x2-1
解析 (2)A 中,g(x)=|x|,∴f(x)=g(x).

(

)

B 中,f(x)=|x|(x∈R),g(x)=x (x≥0),
∴两函数的定义域不同.
C 中,f(x)=x+1 (x≠1),g(x)=x+1(x∈R),
∴两函数的定义域不同.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
(2)下列各组函数中,表示同一函数的是 A.f(x)=|x|,g(x)= x2 B.f(x)= x2,g(x)=( x)2 x2-1 C.f(x)= ,g(x)=x+1 x-1 D.f(x)= x+1· x-1,g(x)= x2-1
D 中,f(x)= x+1· x-1(x+1≥0 且 x-1≥0),f(x)的定义域为 {x|x≥1};
g(x)= x2-1(x2-1≥0),
g(x)的定义域为{x|x≥1 或 x≤-1}.
∴两函数的定义域不同.故选 A.

( A )

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

求函数的解析式
1 x (1)如果 f(x)= ,则当 1-x
思维启迪 解析 答案 思维升华

x≠0 且 x≠1 时,f(x)等于 ( ) 1 1 1 1 A.x B. C. D.x-1 x-1 1-x (2)已知 f(x)是一次函数, 且满足 3f(x +1)-2f(x-1)=2x+17,则 f(x)= ________. (3)已知函数 f(x)的定义域为(0, +∞), 1 且 f(x) = 2f( x )· x - 1 , 则 f(x) = ________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

求函数的解析式
1 x (1)如果 f(x)= ,则当 1-x
思维启迪 解析 答案 思维升华

x≠0 且 x≠1 时,f(x)等于 ( ) 1 1 1 1 A.x B. C. D.x-1 x-1 1-x (2)已知 f(x)是一次函数, 且满足 3f(x +1)-2f(x-1)=2x+17,则 f(x)= ________.

1 1 (1)令 t=x, 反解出 x, 代入 f(x) x = ,求 f(t)的表达式. 1- x
(2)设 f(x)=ax+b(a≠0),结合 条件列出关于 x 的方程求参数

a,b. 1 (3)已知函数 f(x)的定义域为(0, +∞), (3)用x 代替 x,通过解方程组求 1 且 f(x) = 2f( x )· x - 1 , 则 f(x) = f ( x) . ________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

求函数的解析式
1 x (1)如果 f(x)= ,则当 1-x
思维启迪 解析 答案 思维升华

1 1 (1)令 t=x,得 x= t , x≠0 且 x≠1 时,f(x)等于 ( ) 1 1 1 1 1 A.x B. C. D.x-1 t 1 x-1 1-x ∴f(t)= 1= , t - 1 (2)已知 f(x)是一次函数, 且满足 3f(x 1- t 1 +1)-2f(x-1)=2x+17,则 f(x)= ∴f(x)= . x-1 ________. (3)已知函数 f(x)的定义域为(0, +∞), (2)设 f(x)=ax+b(a≠0),

1 且 f(x) = 2f( x )· x - 1 , 则 f(x) = ________.
基础知识 题型分类

则 3f(x + 1) - 2f(x - 1) = 3ax + 3a +3b-2ax+2a-2b =ax+5a+b,
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

求函数的解析式
1 x (1)如果 f(x)= ,则当 1-x
思维启迪 解析 答案 思维升华

x≠0 且 x≠1 时,f(x)等于 ( ) 1 1 1 1 A.x B. C. D.x-1 x-1 1-x (2)已知 f(x)是一次函数, 且满足 3f(x +1)-2f(x-1)=2x+17,则 f(x)= ________.

即 ax+5a+b=2x+17 不论 x 为何 值都成立,
? ?a=2, ∴? ? ?b+5a=17, ? ?a=2, 解得? ? ?b=7,

∴f(x)=2x+7.
1 1 (3)在 f(x)=2f(x ) x-1 中,用x 代

(3)已知函数 f(x)的定义域为(0, +∞), 1 且 f(x) = 2f( x )· x - 1 , 则 f(x) = 替 x, 1 1 得 f ( ) = 2 f ( x ) -1, ________. x x
基础知识 题型分类 思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

求函数的解析式
1 x (1)如果 f(x)= ,则当 1-x
思维启迪 解析 答案 思维升华

x≠0 且 x≠1 时,f(x)等于 ( ) 1 1 1 1 A.x B. C. D.x-1 x-1 1-x (2)已知 f(x)是一次函数, 且满足 3f(x

2f?x? 1 将 f( x ) = - 1 代入 f(x) = x 1 2f(x) x-1 中,

+1)-2f(x-1)=2x+17,则 f(x)= 可求得 f(x)=2 x+1. 3 3 ________. (3)已知函数 f(x)的定义域为(0, +∞), 1 且 f(x) = 2f( x )· x - 1 , 则 f(x) = ________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

求函数的解析式
1 x (1)如果 f(x)= ,则当 1-x
思维启迪 解析 答案 思维升华

x≠0 且 x≠1 时,f(x)等于 ( B ) 1 1 1 1 A.x B. C. D.x-1 x-1 1-x (2)已知 f(x)是一次函数, 且满足 3f(x

2f?x? 1 将 f( x ) = - 1 代入 f(x) = x 1 2f(x) x-1 中,

+1)-2f(x-1)=2x+17,则 f(x)= 可求得 f(x)=2 x+1. 3 3 ________. 2x+7 (3)已知函数 f(x)的定义域为(0, +∞), 1 且 f(x) = 2f( x )· x - 1 , 则 f(x) = 2 1 ________. 3 x+3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

求函数的解析式
1 x (1)如果 f(x)= ,则当 1-x
思维启迪 解析 答案 思维升华

x≠0 且 x≠1 时,f(x)等于 ( B ) 1 1 1 1 A.x B. C. D.x-1 x-1 1-x (2)已知 f(x)是一次函数, 且满足 3f(x +1)-2f(x-1)=2x+17,则 f(x)= ________. 2x+7

函数解析式的求法

(1)待定系数法:若已知函数的类 型(如一次函数、 二次函数), 可用 待定系数法;
(2)换元法:已知复合函数 f(g(x))

(3)已知函数 f(x)的定义域为(0, +∞), 的解析式,可用换元法,此时要 1 且 f(x) = 2f( x )· x - 1 , 则 f(x) = 注意新元的取值范围; 2 1 x+ ________. 3 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

求函数的解析式
1 x (1)如果 f(x)= ,则当 1-x
思维启迪 解析 答案 思维升华

x≠0 且 x≠1 时,f(x)等于 ( B ) 1 1 1 1 A.x B. C. D.x-1 x-1 1-x (2)已知 f(x)是一次函数, 且满足 3f(x +1)-2f(x-1)=2x+17,则 f(x)=

(3)配凑法:由已知条件 f(g(x))= F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x) 的表达式,然后以 x 替代 g(x), 便得 f(x)的解析式;
?1? f?x ?或 ? ?

2x+7 ________.
(3)已知函数 f(x)的定义域为(0, 1 +∞), 且 f(x)=2f(x)· x-1, 则 f(x) 2 1 x+ =________. 3 3
基础知识 题型分类

(4)消去法:已知关于 f(x)与

f(-x)的表达式,可根据已知条件 再构造出另外一个等式组成方程 组,通过解方程组求出 f(x).
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
1 1 2 跟踪训练 2 (1)已知 f(x+x)=x + 2,求 f(x)的解析式. x 1 (2)已知 f(x)满足 2f(x)+f(x)=3x,求 f(x)的解析式.
1 1 12 2 解 (1)∵f(x+x )=x +x2=(x+x ) -2, 1 1 且 x+x ≥2 或 x+x≤-2,

∴f(x)=x2-2(x≥2 或 x≤-2). 1 (2)∵2f(x)+f(x )=3x, 1 把①中的 x 换成x ,得



基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
1 1 2 跟踪训练 2 (1)已知 f(x+x)=x + 2,求 f(x)的解析式. x 1 (2)已知 f(x)满足 2f(x)+f(x)=3x,求 f(x)的解析式.
1 3 2f(x )+f(x)=x . ②

3 ①×2-②得 3f(x)=6x-x ,
1 ∴f(x)=2x-x (x≠0).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

求函数的定义域
ln?2+x-x2? 函数 f(x)= 的 |x|-x ( B.(-1,0)∪(0,2) D.(0,2) )
思维启迪 解析 答案 思维升华

定义域为 A.(-1,2) C.(-1,0)

(2)已知函数 f(x)的定义域为[1,2], f?2x? 则函数 g(x) = 的定义域为 ?x-1?0 ________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

求函数的定义域
ln?2+x-x2? 函数 f(x)= 的 |x|-x ( B.(-1,0)∪(0,2) D.(0,2) )
思维启迪 解析 答案 思维升华

定义域为 A.(-1,2) C.(-1,0)

函数的定义域是使解析式 有意义的自变量的取值集 合;抽象函数的定义域要 注意自变量的取值和各个 字母的位置.

(2)已知函数 f(x)的定义域为[1,2], f?2x? 则函数 g(x) = 的定义域为 ?x-1?0 ________.
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

求函数的定义域
ln?2+x-x2? 函数 f(x)= 的 |x|-x ( B.(-1,0)∪(0,2) D.(0,2) )
思维启迪 解析 答案 思维升华

定义域为 A.(-1,2) C.(-1,0)

(1)f(x)有意义, 2 ? ?2+x-x >0, 则? ? ?|x|-x≠0,
? ?-1<x<2, 解之得? ? ?x<0,

(2)已知函数 f(x)的定义域为[1,2], ∴-1<x<0, f?2x? 则函数 g(x) = 的定义域为 ?x-1?0 ________.
基础知识 题型分类 思想方法

∴f(x)的定义域为(-1,0).

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

求函数的定义域
ln?2+x-x2? 函数 f(x)= 的 |x|-x ( B.(-1,0)∪(0,2) D.(0,2) )
思维启迪 解析 答案 思维升华

定义域为 A.(-1,2) C.(-1,0)

f?2x? (2)要使函数 g(x)= 有 ?x-1?0 意义,
? ?1≤2x≤2 则必须有? ? ?x-1≠0



(2)已知函数 f(x)的定义域为[1,2], f?2x? 则函数 g(x) = 的定义域为 ?x-1?0 ________.
基础知识 题型分类

1 ∴2≤x<1,故函数 g(x)的定义 1 域为[2,1).

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

求函数的定义域
ln?2+x-x2? 函数 f(x)= 的 |x|-x ( C ) B.(-1,0)∪(0,2) D.(0,2)
思维启迪 解析 答案 思维升华

定义域为 A.(-1,2) C.(-1,0)

f?2x? (2)要使函数 g(x)= 有 ?x-1?0 意义,
? ?1≤2x≤2 则必须有? ? ?x-1≠0



(2)已知函数 f(x)的定义域为[1,2], f?2x? 则函数 g(x) = 的定义域为 ?x-1?0
1 [2,1) ________ .
基础知识 题型分类

1 ∴ ≤x<1,故函数 g(x)的定义 2 1 域为[ ,1). 2

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

求函数的定义域
ln?2+x-x2? 函数 f(x)= 的 |x|-x ( C ) B.(-1,0)∪(0,2) D.(0,2)
思维启迪 解析 答案 思维升华

(1)求函数的定义域,其实质就 是以函数解析式所含运算有意 义为准则,列出不等式或不等 式组,然后求出它们的解集.

定义域为 A.(-1,2) C.(-1,0)

(2)已知 f(x)的定义域是[a,b],

(2)已知函数 f(x)的定义域为[1,2], 求 f[g(x)] 的定义域,是指满足 f?2x? a≤g(x)≤b 的 x 的取值范围, 而 则函数 g(x) = 0 的定义域为 ?x-1?
1 [2,1) ________ .
基础知识 题型分类

已知 f[g(x)]的定义域是[a,b], 指的是 x∈[a,b].

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 (1) 已知函数 f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x) 1 1 =f(x+ )+f(x- )的定义域是________. 2 2 ln?x+1? (2)函数 y= 的定义域为__________________. 2 -x -3x+4

解析

(1) 因为函数 f(x)的定义域是[0,2] , 1 1 所以函数 g(x) = f(x + 2 ) + f(x - 2 ) 中的自变量 x 需要满足

1 ? ?0≤x+2≤2, ? ?0≤x-1≤2, 2 ?
基础知识

1 3 解得:2≤x≤2,
题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 (1) 已知函数 f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)

1 3 1 1 [2,2] . =f(x+ )+f(x- )的定义域是________ 2 2
ln?x+1? (-1,1) (2)函数 y= 的定义域为__________________ . 2 -x -3x+4

1 3 所以函数 g(x)的定义域是[2,2].
? ?x+1>0 (2)由? 2 ? ?-x -3x+4>0

,得-1<x<1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 分段函数
x ? ?2 ,x>0, f(x)=? ? ?x+1,x≤0,

【例 4】 (1)已知函数 实数 a 的值等于 A.-3

若 f(a)+f(1)=0,则 ( )

B.-1

C.1

D.3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 分段函数
x ? ?2 ,x>0, f(x)=? ? ?x+1,x≤0,

【例 4】 (1)已知函数 实数 a 的值等于 A.-3
思维启迪

若 f(a)+f(1)=0,则 ( A )

B.-1

C.1

D.3

应对 a 分 a>0 和 a≤0 进行讨论,确定 f(a).

解析

由题意知 f(1)=21=2.

∵f(a)+f(1)=0,

∴f(a)+2=0.
①当 a>0 时,f(a)=2a,2a+2=0 无解;
②当 a≤0 时,f(a)=a+1,∴a+1+2=0,∴a=-3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 分段函数
(2)设函数 y=f(x)在 R 上有定义.对于给定的正数 M,定义函数 ? ?f?x?,f?x?≤M, fM(x) = ? 则 称 函 数 fM(x) 为 f(x) 的 “ 孪 生 函 ? ?M,f?x?>M, 数”.若给定函数 f(x)=2-x2,M=1,则 fM(0)的值为 ( A.2 B.1 C. 2 D.- 2 )

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 分段函数
(2)设函数 y=f(x)在 R 上有定义.对于给定的正数 M,定义函数 ? ?f?x?,f?x?≤M, fM(x) = ? 则 称 函 数 fM(x) 为 f(x) 的 “ 孪 生 函 ? ?M,f?x?>M, 数”.若给定函数 f(x)=2-x2,M=1,则 fM(0)的值为 ( B ) A.2 B.1 C. 2 D.- 2

思维启迪 可以根据给定函数 f(x)和 M 确定 fM(x),再求 fM(0).

解析 由题设 f(x)=2-x2≤1,得
当 x≤-1 或 x≥1 时,
当-1<x<1 时,fM(x)=1.

fM(x)=2-x2;

∴fM(0)=1.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型四
思维升华

分段函数
(1)应用分段函数时,首先要确定自变量的值属

于哪个区间,其次选定相应关系代入计算求解,特别要注 意分段区间端点的取舍,当自变量的值不确定时,要分类 讨论.

(2) 若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的 取值范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意 检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围.

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 4 -1 的解集为 A.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,0)∪(1,+∞) 1 B.[-1,- )∪(0,1] 2 1 D.[-1,- ]∪(0,1) 2 已知函数
? ?-x-1?-1≤x<0?, f(x)=? ? ?-x+1?0<x≤1?,

则 f(x)-f(-x)> ( )

解析 ①当-1≤x<0 时,0<-x≤1,

此时 f(x)=-x-1,f(-x)=-(-x)+1=x+1,
∴f(x)-f(-x)>-1 化为-2x-2>-1, 1 1 解得 x<-2,则-1≤x<-2.

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思想方法

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题型分类·深度剖析
跟踪训练 4 -1 的解集为 A.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,0)∪(1,+∞)
②当 0<x≤1 时,-1≤-x<0,

已知函数

? ?-x-1?-1≤x<0?, f(x)=? ? ?-x+1?0<x≤1?,

则 f(x)-f(-x)> ( B )

1 B.[-1,- )∪(0,1] 2 1 D.[-1,- ]∪(0,1) 2

此时,f(x)=-x+1,f(-x)=-(-x)-1=x-1, ∴f(x)-f(-x)>-1 化为-2x+2>-1, 3 解得 x<2,则 0<x≤1. 1 故所求不等式的解集为[-1,-2)∪(0,1].
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列2 分段函数意义理解不清致误
? ?2x+a,x<1, f(x)=? ? ?-x-2a,x≥1,

典例:(5 分) 已知实数 a≠0,函数 f(1+a),则 a 的值为________.

若 f(1-a)=

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列2 分段函数意义理解不清致误
? ?2x+a,x<1, f(x)=? ? ?-x-2a,x≥1,

典例:(5 分) 已知实数 a≠0,函数 f(1+a),则 a 的值为________.

若 f(1-a)=

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

本题易出现的错误主要有两个方面:(1)误以为 1-a<1,1+a>1,没 有对 a 进行讨论直接代入求解.

(2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误.

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列2 分段函数意义理解不清致误
? ?2x+a,x<1, f(x)=? ? ?-x-2a,x≥1,

典例:(5 分) 已知实数 a≠0,函数
3 a=-4 f(1+a),则 a 的值为________.

若 f(1-a)=

易 错 分 析
解析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

当 a>0 时,1-a<1,1+a>1,

由 f(1-a)=f(1+a)可得 2-2a+a=-1-a-2a, 3 解得 a=-2,不合题意; 当 a<0 时,1-a>1,1+a<1,

由 f(1-a)=f(1+a)可得-1+a-2a=2+2a+a, 3 解得 a=-4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列2 分段函数意义理解不清致误
? ?2x+a,x<1, f(x)=? ? ?-x-2a,x≥1,

典例:(5 分) 已知实数 a≠0,函数
3 a=- 4 . f(1+a),则 a 的值为________

若 f(1-a)=

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)分类讨论思想在求函数值中的应用 对于分段函数的求值问题, 若自变量的取值范围不确定, 应分情况求解.
(2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意 求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意,因此要检验结 果是否符合要求.
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思想方法·感悟提高
1.在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两 点:一是定义域是否相同;二是对应关系是否 相同.

方 法 与 技 巧

2.定义域优先原则:函数定义域是研究函数的基 础依据,对函数性质的讨论,必须在定义域上 进行.

3.函数解析式的几种常用求法:待定系数法、换 元法、配凑法、消去法.

4.分段函数问题要分段求解.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高

失 误 与 防 范

求分段函数应注意的问题: 在求分段函数的值 f(x0)时,首先要判断 x0 属于定义域 的哪个子集,然后再代入相应的关系式;分段函数的 值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围 的并集.

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

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1 2 3

A组
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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1 1.函数 f(x)= + 4-x2的定义域为 ln?x+1? A.[-2,0)∪(0,2] C.[-2,2] B.(-1,0)∪(0,2] D.(-1,2]

( B )

解析

?x+1>0 ? 由?ln?x+1?≠0 ?4-x2≥0 ?



得-1<x≤2,且 x≠0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

2 x ? ? +1,x≤1, 2.(2012· 江西)设函数 f(x)=?2 则 f(f(3))等于( D ) ,x>1, ? ?x 1 2 13 A. B.3 C. D. 5 3 9

解析

2 ?2? ?2?2 13 ? ? ? ? 由题意知 f(3)=3,f 3 = 3 +1= 9 ,` ? ? ? ?

?2? 13 ∴f(f(3))=f?3?= 9 . ? ?

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专项基础训练
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3.若函数 y=f(x)的定义域为 M={x|-2≤x≤2},值域为 N= {y|0≤y≤2},则函数 y=f(x)的图象可能是 ( B )

解析

可以根据函数的概念进行排除,使用筛选法得到答案.

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专项基础训练
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2 4. 已知函数 f(x)满足 f( )=log2 x|x|, 则 f(x)的解析式是( B ) x+|x| A.f(x)=log2x C.f(x)=2-x B.f(x)=-log2x D.f(x)=x-2

1 解析 根据题意知 x>0,所以 f(x )=log2x, 1 则 f(x)=log2 x=-log2x.

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1 2 3

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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

5.某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名 代表,当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代 表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函 数关系用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可 以表示为 x A.y=[ ] 10 x+4 C.y=[ ] 10
基础知识 题型分类

( x+3 B.y=[ ] 10 x+5 D.y=[ ] 10
思想方法 练出高分

)

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

解析 方法一

取特殊值法,若 x=56,则 y=5,排除 C,D;

若 x=57,则 y=6,排除 A,选 B.
方法二 设 x=10m+α(0≤α≤9,m,α∈N),

x+3 α+3 x 当 0≤α≤6 时,[ 10 ]=[m+ 10 ]=m=[10], x+3 α+3 x 当 6<α≤9 时,[ 10 ]=[m+ 10 ]=m+1=[10]+1,

所以选 B.
答案 B
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4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

{2,3,4,5} 6.下表表示 y 是 x 的函数,则函数的值域是________.
x y 0<x<5 2 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20 3 4 5

解析

函数值只有四个数 2、 3、 4、 5, 故值域为{2,3,4,5}.

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A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1 1 2 11 7.已知 f(x-x)=x + 2,则 f(3)=________. x

解析

1 1 12 2 ∵f(x-x )=x +x2=(x-x) +2,

∴f(x)=x2+2(x≠0),
∴f(3)=32+2=11.

基础知识

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

8.若函数 f(x)=

2x

2

?2ax ?a

?1的定义域为

R,则 a 的取值范围为

[-1,0] . ________
解析 由题意知 2
x 2 ? 2 ax ?a

-1≥0 恒成立.

∴x2+2ax-a≥0 恒成立, ∴Δ=4a2+4a≤0,

∴-1≤a≤0.

基础知识

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

9.已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1. 求函数 f(x)的解析式.
解 设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0),又 f(0)=0,

∴c=0,即 f(x)=ax2+bx.
又∵f(x+1)=f(x)+x+1. ∴a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1.

∴(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

9.已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1. 求函数 f(x)的解析式.

? ?2a+b=b+1 ∴? ? ?a+b=1



1 ? ?a=2 解得? ?b=1 2 ?

.

1 2 1 ∴f(x)=2x +2x.

基础知识

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思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10. 某人开汽车沿一条直线以 60 km/h 的速度从 A 地到 150 km 远处的 B 地.在 B 地停留 1 h 后,再以 50 km/h 的速度返 回 A 地,把汽车与 A 地的距离 x(km)表示为时间 t(h)(从 A 地出发开始)的函数,并画出函数的图象.



? ?60t ? ? 5 7 ? x= 150 2<t≤2 ? ? 7 150-50?t-2? ? ?
题型分类

5 0≤t≤2 . 7 13 2<t≤ 2
思想方法 练出高分

基础知识

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10. 某人开汽车沿一条直线以 60 km/h 的速度从 A 地到 150 km 远处的 B 地.在 B 地停留 1 h 后,再以 50 km/h 的速度返 回 A 地,把汽车与 A 地的距离 x(km)表示为时间 t(h)(从 A 地出发开始)的函数,并画出函数的图象.

图象如右图所示.

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1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

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1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

1.已知 a,b 为两个不相等的实数,集合 M={a2-4a,-1},N= {b2-4b+1,-2},f:x→x 表示把 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x,则 a+b 等于 A.1 B.2 C.3 D.4 ( D )

解析

由已知可得 M=N,
2 ? ?a -4a+2=0, ?? 2 ? ?b -4b+2=0,

2 ? ?a -4a=-2, 故? 2 ? ?b -4b+1=-1

所以 a,b 是方程 x2-4x+2=0 的两根,故 a+b=4.
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练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

2.设函数

2 ? ?x +4x+6,x≤0 f(x)=? ? ?-x+6,x>0

,则不等式 f(x)<f(-1)的解集是 ( A ) B.(-3,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,-3)∪(-1,3)

A.(-3,-1)∪(3,+∞) C.(-3,+∞)
解析

f(-1)=3,f(x)<3,当 x≤0 时,x2+4x+6<3,

解得 x∈(-3,-1);当 x>0 时,-x+6<3,

解得 x∈(3,+∞), 故不等式的解集为(-3,-1)∪(3,+∞),故选 A.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

3.已知函数

x ? ?e ,x≥0, f(x)=? ? ?-2x,x<0,

则关于 x 的方程 f(f(x))+k=0,给

出下列四个命题: ①存在实数 k,使得方程恰有 1 个实根; ②存在实数 k,使得方程恰有 2 个不相等的实根; ③存在实数 k,使得方程恰有 3 个不相等的实根; ④存在实数 k,使得方程恰有 4 个不相等的实根. 其中正确命题的序号是________. (把所有满足要求的命题序号都 填上)
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练出高分
1
解析

B组
2

专项能力提升
3 4 5

依题意,知函数 f(x)>0,
e ? ?e
x

,x≥0, 又 f(f(x))=? -2x ? ?e ,x<0,
依据 y=f(f(x))的大致图象(如右图所示),
知存在实数 k,使得方程 f(f(x))+k=0 恰有 1 个实根或恰有 2 个不 相等的实根;
不存在实数 k,使得方程恰有 3 个不相等的实根或恰有 4 个不相等 的实根.

答案

①②
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基础知识

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

4.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用, 要继续往前滑行一段距 离才能停下,这段距离叫作刹车距离.在某种路面上,某种 型号汽车的刹车距离 y(米)与汽车的车速 x(千米/时)满足下列 x2 关系:y= +mx+n(m,n 是常数). 200 如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离 y(米)与汽车的 车速 x(千米/时)的关系图. (1)求出 y 关于 x 的函数表达式; (2)如果要求刹车距离不超过 25.2 米,求行驶的最大速度.
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练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5



(1)由题意及函数图象,

2 40 ? ?200+40m+n=8.4 得? 2 ? 60 +60m+n=18.6 ?200

1 , 解得 m= 100,n=0,

x2 x 所以 y=200+100(x≥0).

x2 x (2)令200+100≤25.2, 得-72≤x≤70.
∵x≥0,∴0≤x≤70.

故行驶的最大速度是 70 千米/时.
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练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

5.运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米(50≤x≤100)(单 位:千米/小时).假设汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油(2 x2 + )升,司机的工资是每小时 14 元. 360 (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
130 解 (1)行车所用时间为 t= x (h), 14×130 130 x2 y= x ×2×(2+360)+ ,x∈[50,100]. x
所以,这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 2 340 13 y= x +18x,x∈[50,100].
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练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

5.运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米(50≤x≤100)(单 位:千米/小时).假设汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油(2 x2 + )升,司机的工资是每小时 14 元. 360 (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
2 340 13 2 340 13 解 (2)y= x +18x≥26 10,当且仅当 x =18x,
即 x=18 10时,上述不等式中等号成立.
故当 x=18 10时, 这次行车的总费用最低, 最低费用为 26 10元.
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