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历届数学高考试题精选——平面向量[1]


历届高考中的“平面向量”试题精选(自我测试)
一、选择题:(每小题 5 分,计 50 分)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9
<

br />10


1.(2008 广东文)已知平面向量 a ? (1,2),b ? (?2, m) ,且 a ∥ b ,则 2a ? 3b =( A.(-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10)

2. (2001 江西、山西、天津理)若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c= ( 1 1 3 3 3 1 3 1 (A) ? a+ b (B) a- b (C) a ? b (D)- a ? b 2 2 2 2 2 2 2 2

)

3.(2005 全国卷Ⅱ理、文)已知点 A( 3,1) , B(0, 0) , C ( 3,0) .设 ?BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E ,那么有 BC ? ?CE ,其中 ? 等于( )

1 (A)2 (B) 2
(B) 2

(C)-3

1 (D)- 3
) (D) 6

4.(2004 全国卷Ⅱ文)已知向量 a、b 满足:|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|=( (A)1 (C) 5

5.(2006 四川文、理)如图, 已知正六边形 PP 1 2P 3P 4P 5P 6 ,下列向量的数量积中最大的是( (A) PP (B) PP (C) PP (D) PP 1 2 ? PP 1 4 1 2 ? PP 1 6 1 2 ? PP 1 3 1 2 ? PP 1 5



6、(2008 海南、宁夏文)已知平面向量 a =(1,-3), b =(4,-2),

? a ? b 与 a 垂直,则 ? 是(
A. -1 B. 1 C. -2

) D. 2

→ → → → 1 AB AC AB AC → → → 7.(2006 陕西文、理)已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0 且 · = ,则△ → | |AC →| → | |AC →| 2 |AB |AB ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 )

8.(2005 北京理、文)若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为( (A)30° (B)60° (C)120° (D)150° 9.(2007全国Ⅱ文、理)在?ABC中,已知D是AB边上一点,若 AD =2 DB ,

CD = 1 CA ? ? CB , 3
则?=( ) (B)

2 (A) 3

1 3

(C) ?

1 3

(D) ?

2 3

10.(2004 湖南文)已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值, 最小值分 别是( ) A. 4 2 ,0 B. 4, 4 2 C.16,0 D.4,0

二.填空题:(每小题 5 分,计 20 分) 11. (2007 广东理)若向量 a , b 满足 a ? b ? 1, a与b 的夹角为 120°, 则a?a ? a?b = .

12.(2006 天津文、理)设向量 a 与 b 的夹角为 ? , a ? (3 , 3) , 2b ? a ? (?11) , ,则

cos ? ?



,, 2) b ? (2, 3) ,若向量 ? a ? b 与向量 c ? (?4, ? 7) 共 13.(2008 全国Ⅱ卷文、理)设向量 a ? (1 线, 则? ? .

14、 (2005 江苏)在 ?ABC 中,O 为中线 AM 上一个动点,若 AM=2,则 OA ? (OB ? OC) 的 最小值是__________。

三、解答题:(15、16 两题分别 12 分,其余各题分别 14 分,计 80 分) 15.(2007 广东理)已知△ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C (c,0) . (1)若 c ? 5 ,求 sin∠ A 的值; (2)若∠ A 是钝角,求 c 的取值范围.

π π 16.(2006 全国Ⅱ卷理)已知向量 a=(sinθ ,1),b=(1,cosθ ),- <θ < . 2 2 (Ⅰ)若 a⊥b,求 θ ; (Ⅱ)求|a+b|的最大值.

17.(2006 湖北理)设函数 f ( x) ? a ? (b ? c ) ,其中向量 a ? (sin x, ? cos x) ,

?

?

?

b ? (sin x, ?3cos x)
c ? (? cos x,sin x) , x ? R 。
(Ⅱ)将函数 的d 。

(Ⅰ)、求函数 f ( x ) 的最大值和最小正周期;

f ( x) 的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小

18.(2004 湖北文、理) 如图,在 Rt△ABC 中,已知 BC=a.若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为 中点,问 PQ 与BC 的夹 角θ 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值.

19、 (2002 全国新课程文、 理, 天津文、 理) 已知两点 M ?? 1,0?, N ?1,0? , 且点 P 使 MP ? MN , (1)点 P 的轨迹是什么曲线? PM ? PN , NM ? NP 成公差小于零的等差数列 (2)若点 P 坐标为 ( x0 , y0 ) ,记 ? 为 PM 与 PN 的夹角,求 tan ? 。
王新敞
奎屯 新疆

→ → → 20.(2006 陕西理)如图,三定点 A(2,1),B(0,-1),C(-2,1); 三 动点 D,E,M 满足AD=tAB, BE = → t BC, → → DM=t DE, t∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线 DE 斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点 M 的轨迹方程.
y C D M -2 -1 O E -1 B 1 2 x A

历届高考中的“平面向量”试题精选(自我测试) 参考答案
一、选择题:(每小题 5 分,计 50 分)

题号 答案

1 C

2 B

3 C

4 D

5 A

6 A

7 D

8 C

9 A

10 D

二.填空题:(每小题 5 分,计 20 分)

1 11. 2



12.

3 10 10



13.

2



14、__—2__。

三、解答题:(15、16 两题分别 12 分,其余各题分别 14 分,计 80 分) 15. 解:(1) AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4) , 当c=5时, AC ? (2, ?4)
cos ?A ? cos ? AC, AB ?? ?6 ? 16 5? 2 5 ? 1 5,

sin ?A ? 1 ? cos 2 ?A ?
进而
2

2 5 5

25 3 25 显然此时有AB和AC不共线,故当A为钝角时,c的取值范围为[ ,+ ? ) 3
(2)若A为钝角,则 AB ? AC = -3(c-3)+( -4) <0, 解得c> 16.解(1).

a ? b, ? a ? b ? 0 ? sin ? ? cos ? ? 0 ? tan ? ? ?1 ? ? ? ?

?
4

(2). a ? b ? (sin ? ? 1,cos ? ? 1) ? (sin ? ? 1) 2 ? (cos ? ? 1) 2
? sin 2 ? ? 2sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 2 cos ? ? 1 ? 2(sin ? ? cos ? ) ? 3

? 2 2 sin(? ? ) ? 3 4

?

当 sin(? ?

?
4

) =1 时 a ? b 有最大值,此时 ? ?
2 ?1

?
4

最大值为 2 2 ? 3 ?

17.解:(Ⅰ)由题意得,f(x)=a· (b+c)=(sinx,-cosx)· (sinx-cosx,sinx-3cosx)

=sin2x-2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x-sin2x=2+ 2 sin(2x+

2? =? . 2 3? k? 3? 3? ? (Ⅱ)由 sin(2x+ )=0 得 2x+ =k. ? ,即 x= ,k∈Z, 4 2 8 4 k? 3? k? 3? 2 ? 于是 d=( ,-2), d ? ( ? ) ? 4 , k∈Z. 2 8 2 8
所以,f(x)的最大值为 2+ 2 ,最小正周期是 因为 k 为整数,要使 d 最小,则只有 k=1,此时 d=(― 18.解:

3? ). 4

? ,―2)即为所求. 8

解法一 : ? AB ? AC,? AB ? AC ? 0. ? AP ? ? AQ, BP ? AP ? AB, CQ ? AQ ? AC, ? BP ? CQ ? ( AP ? AB) ? ( AQ ? AC)
? AP ? AQ ? AP ? AC ? AB ? AQ ? AB ? AC ? ?a 3 ? AP ? AC ? AB ? AP ? ?a 2 ? AP ? ( AB ? AC) 1 ? ?a 2 ? PQ ? BC 2 2 ? ?a ? a 2 cos? . 故当cos? ? 1,即? ? 0(PQ与BC方向相同 )时, BP ? CQ最大.其最大值为 0.
解法二:以直角顶点 A 为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐 标系.

设 | AB |? c, | AC |? b, 则A(0,0), B(c,0), C (0, b), 且 | PQ |? 2a, | BC |? a. 设点P的坐标为( x, y ),则Q(? x,? y ). ? BP ? ( x ? c, y ), CQ ? (? x,? y ? b), BC ? (?c, b), PQ ? (?2 x,?2 y ). ? BP ? CQ ? ( x ? c)(? x) ? y (? y ? b) ? ?( x 2 ? y 2 ) ? cx ? by.

? cos? ?

PQ ? BC | PQ | ? | BC |

?

cx ? by . a2

? cx ? by ? a 2 cos? . ? BP ? CQ ? ?a 2 ? a 2 cos? . 故当cos? ? 1, 即? ? 0( PQ与BC方向相同)时, BC ? CQ最大, 其最大值为 0.
19.解:(1) 记P( x, y),由M (?1,0), N (1,0)得

PM ? ?MP ? (?1 ? x,? y), PN ? ?NP ? (1 ? x,? y), MN ? ?NM ? (2,0) ? MP ? MN ? 2(1 ? x), PM ? PN ? x 2 ? y 2 ? 1, NM ? NP ? 2(1 ? x) 。
MP ? MN, PM ? PN, NM ? NP 是公差小于零的等差数列等价于 1 2 2 ? 2 ? x ? y 2 ? 1 ? [2(1 ? x) ? 2(1 ? x)] ? x ? y ? 3 即 , , ? ? 2 x ? 0 ? ? 2(1 ? x) ? 2(1 ? x) ? 0 ? 所以,点 P 的轨迹是以原点为圆心, 3 为半径的右半圆。 (2)点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) 。
于是,

?PM ?? ?PN ? ?
? ? cos? ?

2 2 PM ? PN ? x0 ? y0 ?1 ? 2 2 (1 ? x0 ) 2 ? y 0 ? 2 4 ? x0 2 (1 ? x0 ) 2 ? y 0

( 4 ? 2 x0 )(4 ? 2 x0 ) ? 2 PM ? PN PM ? PN ?

1
2 4 ? x0

? 0 ? x0 ? ?

3

1 ? 1 ? cos? ? 1,0 ? ? ? , sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? 2 2 3 4 ? x0 sin ? ? cos? 1? 1 2 4 ? x0

t an? ?

1 2 4 ? x0

?

2 3 ? x0 ? y0

→ → 20.解法一: 如图, (Ⅰ )设 D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由AD=tAB, → → BE = t BC, 知(xD-2,yD-1)=t(-2,-2).
?xD=-2t+2 ? ∴ ?yD=-2t+1 ?xE=-2t 同理 ? . ?yE=2t-1 C M -2 -1 O E -1 B 1 D 2 x y A

∴ kDE =

yE-yD 2t-1-(-2t+1) = = 1-2t. xE-xD -2t-(-2t+2)

∴ t∈ [0,1] , ∴ kDE∈ [-1,1]. → → (Ⅱ )∵ DM=t DE ∴ (x+2t-2,y+2t-1)=t(-2t+2t-2,2t-1+2t-1) =t(-2,4t-2)=(-2t,4t2-2t).

?x=2(1-2t) ? ∴ 2 ?y=(1-2t)

x2 , ∴ y= , 即 x2=4y. 4

∵ t∈ [0,1], x=2(1-2t)∈ [-2,2].

即所求轨迹方程为: x2=4y, x∈ [-2,2] 解法二: (Ⅰ )同上. → → → → (Ⅱ ) 如图, OD=OA+AD = OA+ → → → → → → tAB = OA+ t(OB-OA) = (1-t) OA+tOB,

→ → → → → → → → → → OE = OB+BE = OB+tBC = OB+t(OC-OB) =(1-t) OB+tOC,
y

→ → → → → → → → → → OM = OD+DM= OD+ tDE= OD+t(OE-OD)=(1-t) OD+ tOE → → → = (1-t2) OA + 2(1-t)tOB+t2OC . → → → 设 M 点的坐标为(x,y),由OA=(2,1), OB=(0,-1), OC=(-2,1)得
?x=(1-t2)· 2+2(1-t)t· 0+t2· (-2)=2(1-2t) ? 2 1+2(1-t)t· (-1)+t2· 1=(1-2t)2 ?y=(1-t) ·

C M -2 -1 O E -1 B 第 20 题解法图 1 D

A

2

x

消去 t 得 x2=4y, ∵ t∈ [0,1],

x∈ [-2,2]. 故所求轨迹方程为: x2=4y, x∈ [-2,2]


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